1.1自然数
1.1从自然数到有理数(1)
问题情境
问题1：怎样找班级？ 问题2：怎样点名？（不允许叫名字） 问题3：怎样确定某位同学的位置？ 问题4：怎样了解学生人数、身高、体重情况？
应怎样表示？
在小学里，我们已经学习了分数和小数，它 们是由于测量和分配等实际需要产生的，在解答 上面的问题时，你会选用哪一类数？为什么？
巩固新知
判断： （1）最小的自然数是0；（ ） （2）所有的分数都可以化成小数；（ ） （3）所有的小数都可以化成分数. （ ）
合作学习
当堂检测
1.请阅读下面这段报道： 这是世界上最长的跨海大桥---杭州湾大桥于
罗素（英国数学家，1872-1970)曾说过： “不知要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两 天同含一个数字二.”抽象对于古人实在是太难了！
罗马数字
罗马数字常在钟表里出现. 细心的你一定发现了
罗马数字中没有“0”.其实 在公元5世纪时，“0”已经 传入罗马，但罗马教皇凶 残而且守旧.他不允许任何 人使用“0”.有一位罗马学 者在笔记中记载了关于使 用“0”的一些好处和说明， 就被教皇召去，施行了拶 （zā）刑，使他再也不能 握笔写字.
碑文上 ◆进位制是人类共同财产
数的发展
发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数 字都是自然数.出现分数以后，又解决了人们许 多难题.但是，在生活中我们还见到过不少具有 相反意义的量：前进和后退，向上和向下等等. 这些又怎么表示呢？于是，人类又将这些具有 相反意义的数称为“负数” .
数的发展
又有学者发现了一些无法用自然数和负数表示 的数.有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画 了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾 股定理x2=12+12=2，可见对角线的长度是存在的， 可它是多少？又该怎样表示它呢？
浙教版2020-2021学年七年级数学上册 1.1 从自然数到有理数精品课件
课堂总结
归纳小结、反思提高
1.谈一谈：请学生回忆这节课主要 学了哪些内容，你感受最深的是什 么？ 2.读一读：课本第15页的阅读材料
亲亲爱爱的的读读者者：： 1、学盛生而年活不思重相则来信罔，眼，一泪思日，而难眼不 再 泪学晨并则。不殆及代。时表宜软20自弱.7.勉。12，270.岁.172.月1.22不072.待1020人.92:。025。0099:0:055:0039J:0u5l-:20030J9u:l0-25009:05 春亲去爱春的又读回者，： 20、.7一世.1年上27之没.1计有2.在绝20于望20春的09，处:0一境50日 ，9:之只05计有:0在对3J于处ul晨境-20。绝0二望9:0〇的5二人〇。年二七〇月二十〇二年日七月20十20二年日7月201220日年星7月期1日2日 春去春又回，新新桃桃换换旧旧符符。。在在那那桃桃花花 32星、期莫千日等里闲之，行白，了始少于年足头下， 。空20悲20切年。7月12日星期日
2.张大妈在超市买了一袋洗衣粉，发现包装袋 上标有“净重500 5克”，张大妈看不懂是 什么意思，你能帮她解释清楚吗？
课后作业
3.如图一个台阶要铺地毯,则至少 要买地毯___m.
0.9m
2.8m
课后作业
4.一种商品有两种不同规格的包装,A种 商品的质量为75千克,价格为18元；B 种商品质量为120千克价格24元；哪一 种包装每千克的价格更低?
新课引入
大家想一想，在小学里，学习过哪些数？
自然数、整数、 分数、奇数、偶 数、质数（素 数）、合数。
新课引入
自然数概念指用以计量事物的件 数或表示事物件数的数 。 即用数 码0，1，2，3，4，……所表示的 数 。自然数由0开始 ， 一个接一 个，组成一个无穷集体。
1自然数的序数理论与基数理论
性质11：(最小数原理 最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在 性质 最小数原理 一个最小数。 三、数学归纳法 定理12：（第一归纳法原理）： 定理 ：（第一归纳法原理）： ：（第一归纳法原理 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对某个自然数 n0 成立； （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时， 命题 p(n) 对 n = k + 1 也成立。 那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
n = k + 1 也成立。
初 等 数 学 专 题 研 究
那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
定理14（第三归纳法）： 定理 （第三归纳法）： 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对无穷多个自然数成立 （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时，命题
a = bc
那么c叫做a被b除得的商，记作 三、自然数集的性质 性质8：自然数集是全序集。 性质 ： 。
c=a÷b
、
初 等 数 学 专 题 研 究
这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下 比较大小。 性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个 性质 自然数a，b，一定存在自然数 c，使 ac > b 性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 性质 a , a ′ 之间都不存在第三个自然数）。
初 等 数 学 专 题 研 究
1.2、自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理 定义10： 定义 ：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本 关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及 这个关系满足下面五条公理: 1∈ N （1） （2）对任意 a ∈ N , a ′ ≠ 1 （3）对任意 a ∈ N 有且仅有唯一的后继元 即 a = b a ′ = b′ （4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继， a ′ = b′ a = b 即 （5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足 （归纳公理）
1.1_从自然数到有理数(1)(浙教版)
（2）方法一：福利资金提高了：1400 ×10%=140万元
奖金总额减少了：2000 ×6%=120万元 因为140万元≠120万元，所以这个方案不可行。
方法二：变化后福利资金为：1400 ×（1+10%）=1540万 元 变化后奖金总额为：2000 ×（1-6%）=1880万元 变化后：（福利资金+奖金总额+发行成本） =1540+1880+4000×15%=4020万元
1.能否把下列分数化成小数？ 1 3 0.3 0.6 5 3 问：是否所有的分数都可以化为小数？
●
所有的分数都可以化为小数！ 2.能否把下列小数化成分数？
157 3.14＝ 50
1 0.1＝ 9
●
＝
问：是否所有的小数都可以化为分数？ 不是所有的小数都可以化为分数！ 有些小数可以化为分数
明确知识
⑴你能算出奖金总额是多少吗？你是怎样 算的？ ⑵为了使福利资金提高10％，而 发行成本保持不变，有人提出把奖金总额 减少 6 ％。你认为这个方案可行吗？你是 怎样获得结论的？
某市民政局举行一次福利彩票销售活动，销售总额度为 4000 万元。其中发行成本占总额度 15 ％， 1400 万元作为社 会福利资金，其余作为中奖者奖金。⑴ 你能算出奖金总 额是多少吗？你是怎样算的？⑵ 为了使福利资金提高 10 ％，而发行成本保持不变，有人提出把奖金总额减少6％。 你认为这个方案可行吗？你是怎样获得结论的？
a * b ab a b
8* 2 计算：
思维训练
☆一只蜗牛在30米深的井底想向上爬 行，已知它每小时爬3米退2米，问它 需多长时间爬到井口？ 答案：28小时 ☆已知：4个矿泉水瓶可换矿泉水一瓶， 现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多 可以喝几瓶矿泉水？ 答案：5瓶
浙教版七年级上册数学教案1.1 从自然数到有理数
1.1从自然数到有理数（1）一、教学目标：1. 了解自然数和分数是由于人们生活和生产实践的需要而产生的。
2. 了解自然数和分数的应用。
3. 经历数在解决实际问题的过程中的应用，感受数还需作进一步拓展。
二、教学重点和难点：重点：认识数的发展过程，感受由于生活与生产实践的需要，数还需从自然数和分数进一步的扩展。
难点：本节“合作学习”第2（2）题学生不易理解三、教学过程1．奥运报道：2012年伦敦奥运会中国体育代表团共由621人组成，其中运动员396人，参加本届奥运会23个大项，212个分项的比赛。
在本届奥运会上，中国体育代表团共获得奖牌88枚，其中金牌38枚，银牌27枚，铜牌23枚。
你在这段报道中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？2．请阅读下面一段报道：世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥于2003年6月8日奠基，于2008年5月1日全线通车。
这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第1座跨海大桥。
自然数有些是用来计数和测量的，而有些是用来标号或排序的。
做一做：下列语句中用到的数，哪些属于计数和测量？哪些表示标号或排序？（1）2002年全国共有高等学校2 003所；（2）小明哥哥乘1 425次列车从北京到天津；（3）香港特别行政区的中国银行大厦高369米，地上70层，至1990年为止，是世界第5高楼。
3.在解答下列问题时，你会选用哪一类数？为什么？（1）小华和她的7位朋友一起过生日，要平均分一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？（2）小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？4．完成合作学习的第1个问题，并在小组内交流．①T32次火车发车时间是________；②小慧坐火车从温州到杭州需______时；③小慧在市内交通和检票进站最少需_________分钟；④你是怎样理解“最迟”的含义的？⑤小慧最迟在________时从温州出发才一定赶得上火车.用自然数列式：___________________；用分数列式：_______________________.5．你对合作学习第2个问题中第二问方案可行不可行怎么理解？①硬卧下车票___________元／张？②小慧打算买一张硬卧下车票后还剩_______元，她实际有_____元钱？③方案可不可行，怎样计算?四、课堂小結：1．回顾一下小学里我们学过哪些数？2．找一找我们身边有哪些数的应用？想一想这些数有什么作用？3．想一想为什么有了自然数后还要引入分数或小数？在解决实际问题时，自然数和分数够用了吗？五、拓展训练1.某航空公司把从城市A到城市Ｂ的机票因燃油涨价而上涨了15%，三个月后又因燃油价格的落而重新下调15%．问下调后的票价与上涨前比是贵了，还是便宜了？2．如图一个台阶要铺地毯，则至少要买地毯m．六、学后反思1.1从自然数到有理数（2）一、教学目标：1.进一步理解正数、负数的意义，了解从自然数到有理数的扩展过程。
1自然数的序数理论与基数理论
初 等 数 学 专 题 研 究
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1
第一讲 自然数的基数理论与序数理论
1.1、自然数的基数理论
一、自然数的概念
1、集合的对等
自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论
中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就
定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具
有相同的基数，集合A的基数记为 A 若 A B 则规定集合A的基数不小于集合B的基数
即
A B
初
定义3：有限集的基数叫做自然数
等 数
学
3、冯·诺伊曼的自然数体系
专 题
研
定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即
究
0
其余的自然数按下列规则构造：
精选可编辑ppt
2
初 等 数 学
个互不相通的平面区域
专 题
研
究
精选可编辑ppt
19
数
学
专
定理5：设 a, b, c 是三个自然数，
题
研
（1）若 ab 那么 acbc
究
（2）若 ab 那么 acbc
（3）若 ab那么 acbc
精选可编辑ppt
11
推论：设 a, b, c, d 是四个自然数，并且 ab, cd
（或 ab, cd），那么 acbd（或 acbd）。
自然数的加法还满足加法消去律：
题
研
究
跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、
交换律、乘法对加法的分配率，限于时限，这里不再累述
精选可编辑ppt
1.1 从自然数到分数
找出下列语句中用到的自然数，哪些属于计数和测量？哪 些表示标号和排序？
（1）2002年全国共有高等学校2003所； 排序 计数 （2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津； 标号 （3）香港特别行政区的中国银行大 测量 计数 排序 厦高368米，地上70层，至1993年为 排序 止，是世界第5高楼。
展现自我
在小学，同学们学习了自然数与分数，可你 知道数是怎么产生的吗？
★请上黑板写出一些自然数和分数
生活中常见的数字 (1)小华和她的7位朋友一起过生日，要共同分 1 享一块生日蛋糕，每人可得多少? 分数
8
(2)小明的身高是163厘米，如果改用米作单位， 应怎样表示？ 1.63米 小数 (3)某次数学考试,全班50位同学有48位同学及 格,则该班的及格率是多少? 96% 百分数 自然数和分数都是由于生活和生产实践的需 要而产生的.
候 来 的年 更的 晚第 一一 些场 雪 ， 比 以 往 时
2002
……
5支冰棍
226厘米 学号25号 2002年
表示计数
表示测量
表示标号 表示排序或标号 表示排序
请阅读下面一段报道： 世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大 桥于2003年6月8日奠基，于2008年5月1号 全线通车，这座设计日通车量为8万辆，全 长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大 陆的第1座跨海大桥。 你在这段报道中看到了哪些数？它们都属 于哪一类数？ 自然数有些是用来计数和测量的，而有些 数用来标号或排序的。 （注：不带单位！）
小结: 通过本节课的交流,你有
什么体验或收获?
1、了解自然数和分数是由于人们生活和 生产实践的需要而产生的，感受数还需作 进一步的扩展。 2、了解自然数和分数的应用，能区分哪 些自然数是计数和测量，哪些是排序或 标号。 3、明确分数和小数是同一种数，有些 分数和小数之间是可以互相转化的。
新浙教版1.1_从自然数到有理数导学案
1.1从自然数到有理数（1）教学目标：1、感受自然数和分数在实际生活中的作用。
2、了解分数（小数）的意义和形式。
3、利用自然数和分数的运算解决相关问题。
一、创设情境2004年8月13日到8月29日，第28届奥运会在雅典召开，我国体育代表团以32枚金牌，17枚银牌，14枚铜牌，获得奖牌榜的第二名，为国家争得了荣誉。
我国金牌数约占总金牌数的。
跨栏运动员刘翔在男子100米栏决赛中以12秒91的成绩获得冠军，并打破奥运会纪录，平了世界纪录，刘翔是我国运动员在世界大赛中短距离竞赛项目获得冠军的第一人。
你在这篇报道中看到了哪些数？并指出它们分别属于哪一类数？分别表示什么？二、新授1、自然数的作用（1）计数：一般地,用数数的方法得到的数据。
（2）排序：为了表示某一种顺序的数据。
如年份、月份、名次等。
（3）标号：人为的编号，像门牌号、学号、座位号、车牌号、邮政编码、城市的公共汽车路线等。
（4）测量：一般地,借助工具得到的数据。
做一做⑴2002年全国共有高等学校2003所；（2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津；（3）香港特别行政区的中国银行大夏高368米，地上70层，至1993年为止，是世界第5高楼。
（4）刘翔在雅典奥运会中的号码1363。
2、分数与小数（1）能否把下列分数化成小数？（2）能否把下列小数化成分数？3.14＝ 0.1＝（3）小结：所有的有限小数,无限循环小数都可以看成是分数.（4）判断：0.101 和0.101001000100001……都是分数，对吗？三、课堂小结1.自然数的作用：2.分数与小数：1.1从自然数到有理数（2）教学目标：1、理解有理数的概念，会判断一个数是正数还是负数。
2、会用正数和负数表示生活中具有相反意义的量。
3、掌握有理数的分类，体会数学分类讨论的思想。
一、创设情境你能用已学过的数表示某一天的最高气温是5摄氏度,最低气温是零下5摄氏度吗?二、合作探究（一）正数与负数的意义为了表示具有相反意义的量，我们把其中的一种意义的量规定为正，小学学过的数（零除外），如123，25，2.5等数叫做正数（positive number）。
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准旗实验小学集体备课教案
学科
数
学
年
级
四
单
元
四
时
间
主备教师樊鑫
课题 1.1自然数课型新授课教法自主学习
教学
目标
1、结合具体情景，经历认识自然数、顺序和个数的过程；认识自然数，能用吊杆上
表示自然数；知道顺序和个数，能判断一个数是顺序还是个数。
2、通过“数物体”培养学生的想象力和探究能力；通过“门牌号码和座位号”培养
学生获取信息的能力。
3、通过举例分析，学生感受到数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。
教学
重难点
重点：认识自然数，能正确用自然数表示物体的个数。
难点：会判断任意自然数表示的是基数意义还是序数意义。
教具
准备物体教具、计算机及软件等。
教师设计学生活动设计意图个性化修改一、情境导入
观看星空，你能数清楚星星的个数
吗？
二、新知学习
1.教学例1
数一数下面的体育用品。
讲解：我们可以数出来。
现在又又多少个呢？
没有用什么表示？
没有用“0”表示。
数不清，无限多……
预设：
生1：1+1+1+1+1=5
1+1+1+1+1+1+1+1=8
生2：:2个2个数、4个4
个数……
没有了。
激发学生学
习兴趣。
学生一个一
个或几个几
的数，感受
数的基数意
义。
我们就说1，2，3，4，5，6，7,8……以及0可以表示物体的个数。
2.你能提出什么问题？
小结：自然数可以用来表示物体的个数（基数意义），也可以用来表示物体的顺序（序数意义）。
3.教学例2
独立完成第4页例2。
三、知识应用
1.完成ppt第1关和第2关。
2.教学第2题选做题。
A组数的特点是第二个数是第一个数加5所得的和，第三个数是前一个数加1所得的和，第四个数是第三个数加5所得的和，第五个是前一个数加1所得的和，依次排列。
B组的特点是第一个数加3所得第二个数，第二个数加3所得第三个数，它们是加3，加3，依次类推。
C组的特点是第一个数加1所得第二个数，第二个数加5所得第三个数，它们是加2，加5，依次类推。
四、课堂小结
1.自然数是无限的，最小的自然是0，没有最大的自然数。
2.自然数有两种意义，基数意义：表示物体的个数；序数意义：表示预设：
生1：有几个物体？
生2：第几个位置是什么物
体？
完成后全班汇报。
回答，并说明理由。
小组讨论，分析数的排列规
律，并用自己的话总结。
通过学生提
问，让学生
感受数字可
以表示物体
的个数和物
体的顺序，
从而得出自
然数的基数
意义和序数
意义。
基础题
思维拓展题。