三角形中的边角关系测试卷
直角三角形的边角关系测试题及答案
AD′直角三角形的边角关系测试题一、选择题(每小题3分,共计30分):1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )A 、sinA=a cB 、cosB=c bC 、cosB=a bD 、tanA=ba 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=21，则BC ∶AC ∶AB 等于( )A 、1∶2∶5B 、1∶3∶5C 、1∶3∶2D 、1∶2∶33.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 4.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB 等于( ) A 、21 B 、22 C 、23 D 、1 5.化简2)130(tan - ＝（ ）。
A 、331-B 、13-C 、133-D 、13-6.等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（ ）。
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°7如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ） A. 22 B.22C. 2D. 18.当锐角A 的cosA ＞22时，∠A 的值为（ ）。
A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°9.小刚在距某电信塔10 m 的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是 60°， 则塔高为( )BNACDMA 、103mB 、53mC 、102mD 、20m 10.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm,AB 的垂直平分线MN交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53，则BC 的长是( )A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm二、填空题(每小题3分, 共计18分）：11.在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=1，则∠B= 度. 12.锐角Ａ满足2sin(A-150)＝3，则∠Ａ＝_____度. 13.如图,若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在 的位置比原来的位置升高________米.14.若︒<<︒900α，︒=60cos sin α，则_____tan =α 15.已知△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且（cosA-21）2+|tanB-1|=0，则∠C= 度。
三角形的边角关系(竞赛)
E 图1
3.在⊿ABC中,AB=5,AC=9,则BC
边上的中线AD的长的取值范围是 2＜AD＜7 _________. 延长AD到E,使DE=AD,连结BE. 证⊿BDE≌⊿CDA,得DE=AC.
B
A
D C
E
在⊿ADE中,4＜AE＜14.即4＜2AD＜14.
∴2＜AD＜7.
4.若三角形的三边长度均为整数,其中两边的差是 7,且三角形的周长是奇数,则第三边长可能是 C( ) A.9 B.8 C.7 D.6 不妨设三角形三边长度为a,b,c,且a-b=7.则a与b一 奇一偶.又a+b+c为奇数, 所以c一定为偶数,可能是8 5.一个三角形的三条边的长分别是a,b,c(a,b,c都是 质数),且a+b+c=16, 则这个三角形是( B ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形 不妨设a=2,b＜c则b+c=14,又c-b＜2,所以c-b=0, ∴b=c=7.选(B)
在⊿ABD中,有AB+AD＞BD. 在⊿PDC中,DC+DP＞PC.
B
∵∠PDC是⊿ABD的外角, ∴ ∠PDC＞∠BAC 又∠BPC是⊿PDC的一个外角,
两式相加:AB+AD+DC+DP＞BD+PC=PB+DP+PC ∴∠BPC＞∠PDC 即,AB+AC＞PB+PC.得证.
∴∠BPC＞∠BAC
(3)PA+PB+PC＜AB+BC+AC
∴ａ：ｂ＝３：１＝３ｈ：ｈ；
∴ａ：ｂ：ｃ＝３ｈ：ｈ：１２．
ｂ：ｃ＝ｈ：１２
可设三边长为３ｈｋ，ｈｋ，１２ｋ（ｋ为正整数）
直角三角形的边角关系测试题(含A组答案)
直角三角形的边角关系测试题一、选择题(每小题2分,共计24分):1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A ．sin a c B = B ．cos a b B = C ．tan c a B = D ．tan a b A =2. 已知△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且（cosA-12 ）2+|tanB-3 |=0，你认为最确切的判断是( )A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是等边三角形 3.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=12，则sinB 等于( ) A 、15 B 、15 5 C 、25 5 D 、24. 当锐角A 的cosA ＞22时，∠A 的值为（ ）。
A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°5.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ） A. 22 B.22C. 2D. 16.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（ ）A ．53B ．54C ．34D ．437.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．54 D ．538．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于 （ ）A ．100 mB ．350mC ．250mD ．50（13+）m9.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）5题 6题7题 8题A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500tan35°米10.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）。
边角关系测试题及答案
边角关系测试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，如果∠A = 50°，∠B = 70°，那么∠C的度数是多少？A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2. 如果一个三角形的内角和为180°，那么在三角形ABC中，如果∠A = 90°，∠B = 45°，∠C的度数是多少？A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°3. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么另一个锐角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题4. 如果三角形的一个角是直角，那么这个三角形的另外两个角的和是______。
5. 在一个三角形中，如果两个内角的度数之和为90°，那么这个三角形被称为______三角形。
三、简答题6. 解释什么是补角，并给出一个补角的例子。
7. 解释什么是邻补角，并给出一个邻补角的例子。
四、计算题8. 在一个三角形中，已知∠A = 120°，求∠B和∠C的度数。
9. 如果一个三角形的三个内角的度数之和为180°，且已知∠A = 60°，∠B = 50°，求∠C的度数。
五、解答题10. 证明在一个三角形中，任意两个内角的和小于180°。
答案：一、选择题1. C2. A3. C二、填空题4. 90°5. 直角三、简答题6. 补角是指两个角的度数之和等于90°，例如，如果一个角是60°，那么它的补角是30°。
7. 邻补角是指两个角共享一条边，且它们的另一条边互为反向延长线，例如，在一个直角三角形中，两个锐角互为邻补角。
四、计算题8. ∠B = ∠C = (180° - 120°) / 2 =30°9. ∠C = 180° - 60° - 50° = 70°五、解答题10. 证明：设三角形ABC中，∠A和∠B为任意两个内角。
中考数学 直角三角形的边角关系综合试题及详细答案
中考数学直角三角形的边角关系综合试题及详细答案一、直角三角形的边角关系1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=3==米，639∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠C AO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图，某公园内有一座古塔AB ，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．【答案】塔高AB 约为32.99米. 【解析】 【分析】过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451ABAEB EB∠=︒==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AHADH HD∠=． 即得 3tan3215x x -︒=+． 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒．∴ 塔高AB 约为32.99米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=︒， ∴90TPO TOP ∠+∠=︒， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=︒， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ∆≅∆， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠， 设KPB x ∠=︒， ∴BPN x ∠=︒， ∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠， ∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t =+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==， ∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒， ∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形， ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y . 故答案为32. 【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，∠ABE ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）92【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE ＝∠DAE ，再利用半径相等得∠AEO ＝∠OAE ，等量代换即可推出OE ∥AD ，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°， 在Rt △ADE 中，AD=cos30°×AE 即可解题. 【详解】证明：如图，连接OE ， ∵AE 平分∠DAC ， ∴∠OAE ＝∠DAE ． ∵OA ＝OE ， ∴∠AEO ＝∠OAE ．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×3=33，在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=3×33=9 2 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、95- ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CEA D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ，∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36，解得：x＝6695-，x＝6695--（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2解得：x＝32．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）BE=【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝FG＝DG＝2GH＝，得出DFDG＝Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC＝90°，∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，∴∠GEC＝∠GCE＝45°，∴∠BEG＝∠GCF＝135°，由平移的性质得：BE＝CF，在△BEG和△GCF中，BE CFBEG GCF EG CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG≌△GCF（SAS），∴BG＝GF，∵G在正方形ABCD对角线上，∴BG＝DG，∴FG＝DG，∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°，∴∠CGF+∠AGB＝90°，∴∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DGF＝90°，∴FG⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝32， 在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH ＝3＝323＝6，∴DG ＝2GH ＝26，∴DF ＝2DG ＝43，在Rt △DCF 中，CF ＝()22436-＝23，∴BE ＝CF ＝23．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．8． 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是31°，拉索AB 的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD 的长），试求出主塔BD 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.9．3米/秒 =65.88千米/小时>60千米/小时．∴此车超过限制速度．…4分10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°，①如图1，∠DCB等于多少度；②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB ＝60°．②结论：CP ＝BF ．理由见解析；（2）结论：BF ﹣BP ＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A ＝30°，只要证明△CDB 是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP ≌△DBF ，根据全等的性质得出CP ＝BF ，（2）求出DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，求出∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，DP ＝DF ，根据全等三角形的判定得出△DCP ≌△DBF ，求出CP ＝BF ，推出BF ﹣BP ＝BC ，解直角三角形求出CE ＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝60°，∵AD ＝DB ，∴CD ＝AD ＝DB ，∴△CDB 是等边三角形，∴∠DCB ＝60°．②如图1，结论：CP ＝BF ．理由如下：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°，∴△CDB 为等边三角形.∴∠CDB ＝60°∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，∴∠FDB ＝∠CDP ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．11．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA 交BC 于点D ．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt △ACD 中,米，CD =2AD =3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（032）C（12﹣33﹣18）；（3）B'（13 0），（2130）.【解析】【分析】(1)设OD 为x ，则x ，在RT △ODA 中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC ∽△BOA ，再利用A 、B 坐标及BD=AC 可求解出BD 长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C 作CE ⊥AO 于E ，由A 、B 坐标及C 的横坐标为2，利用相似可求解出BC 、CE 、OC 等长度；分点B’在A 点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C ，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD 为x ，∵点A （3，0），点B （0，），∴AO=3，BO=∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt △ADO 中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（﹣OD ）2．∴∴D （0）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD ∥OA ∴BD BC BO AB=且BD=AC ， ∴66BD -= ∴BD=18∴OD=﹣（18）=18﹣∵tan ∠ABO=OB AO = ∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan ∠ABO=BD CD = ∴CD=12﹣∴D（12﹣18）（Ⅲ）如图：过点C 作CE ⊥AO 于E∵CE⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE⊥AO，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE⊥AO∴AC=2，3∵BC=AB﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE⊥OA∴22B C CE-='13∴13∴B'（130）若点B'落在A点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE⊥OA∴22-='13B C CE∴132∴B'（2130）综上所述：B'（130），（2130）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.。
直角三角形的边角关系练习题及答案
一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2022河口模拟)在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列选项中不正确的是( C )A.sin B=ba B.sin C=caC.cos B=bc D.tan B=bc2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12,则AB的长是( C )A.2B.8C.2√5D.4√53.若锐角A满足sin A=√32,则∠A的度数是( C )A.30°B.45°C.60°D.75°4.(2022张店模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=512,则cos A等于( D )A.512B.125C.513D.12135.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为( B )第5题图A.12B.√22C.√32D.√336.(2022福山模拟)按如图所示的运算程序,能使输出y 值为12的是( C )第6题图A.α=60°,β=45°B.α=30°,β=45°C.α=30°,β=30°D.α=45°,β=30°7.在△ABC 中,∠A 和∠B 都是锐角,且sin A=12,cos B=√22,则△ABC 三个内角的大小关系为( D ) A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A8.一辆小车沿着斜坡向上行驶了100 m,其铅直高度上升了15 m,在用科学计算器求坡角α的度数时,其按键顺序是( A )9.如图所示,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔 60 n mile 的A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处,这时,B 处与灯塔P 的距离为( B )A.60√3 n mileB.60√2 n mileC.30√3 n mileD.30√2 n mile10.如图所示,△ABC,△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的夹角为∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角为∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,若A点到B 点的距离AB=1.6 m,则盲区中DE的长度是(参考数据:sin 43°≈0.7,tan 43°≈0.9,sin 20°≈0.3,tan 20°≈0.4)( B )A.2.6 mB.2.8 mC.3.4 mD.4.5 m11.如图所示,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( D )A.12B.920C.25D.1312.因为cos 60°=12,cos 240°=-12,所以cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°;由此猜想、推理知:当α为锐角时有cos(180°+α)=-cos α,由此可知cos 210°的值为( C )A.-12B.-√22C.-√32D.-√3二、填空题(每小题3分,共18分)13.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos B 的值为5.1314.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥,则AD的长度是10 .CD,若sin∠ACB=13第14题图15.平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1 m,BC边上露出部分BD的长为0.9 m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长为0.8 m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38)第15题图16.(2021东营期末)直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值为7.24第16题图17.如图所示,小明在距离地面30 m 的P 处测得小山山顶A 处的俯角为15°,山脚B 处的俯角为60°.若山坡AB 的坡度为1∶√3,则小山的高度为 10√3 m.(结果保留根号)第17题图18.(2022任城模拟)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x, sin(x+y)=sin x ·cos y+cos x ·sin y.据此判断下列等式成立的是 ②③④ .(写出所有正确的序号) ①cos(-60°)=-12;②sin 75°=√6+√24; ③sin 2x=2sin x ·cos x;④sin(x-y)=sin x ·cos y-cos x ·sin y. 三、解答题(共46分) 19.(6分)计算:(1)sin 60°-cos 60°·tan 45°+12√1-2tan30°+tan 230°; (2)sin 245°+cos 230°-tan 260°.解:(1)原式=√32-12×1+12√(1-tan30°)2=√32-12+12×(1-√33) =√33.(2)原式=(√22)2+(√32)2-(√3)2=12+34-3=-74.20.(8分)如图所示,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=45°,sin B=13,AD=1.(1)求BC 的长; (2)求tan ∠DAE 的值. 解:(1)∵AD 是BC 边上的高, ∴AD ⊥BC.在Rt △ABD 中,sin B=AD AB =13,AD=1,∴AB=3,∴BD=√AB 2-AD 2=√32-12=2√2. 在Rt △ADC 中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1. ∴BC=BD+CD=2√2+1. ∴BC 的长为2√2+1.(2)∵AE 是BC 边上的中线,∴CE=12BC=2√2+12, ∴DE=CE-CD=2√2+12-1=√2-12, ∴tan ∠DAE=DE AD=√2-121=√2-12.21.(10分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200 m 且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯,平均每级阶梯高 30 cm,斜坡AB 的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF 的坡度为1∶√5,求BF 的长.(结果保留根号)解:如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EG⊥BC于点G,则四边形EGHA是矩形.∴EG=AH,GH=AE=2 m.∵斜坡AB的坡度为1∶1,∴AH=BH=30×30=900 cm=9 m.∴BG=BH-HG=9-2=7(m).∵斜坡EF的坡度为1∶√5,∴FG=9√5 m.∴BF=FG-BG=(9√5-7)m.∴BF的长为(9√5-7)m.22.(12分)(2020包头)如图所示,一个人骑自行车由A地到C地途经B地,当他由A地出发时,发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3√2 km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75°方向,然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地.(1)求A地与电视塔P的距离;(2)求C地与电视塔P的距离.解:(1)如图所示,过点B 作BD ⊥AP 于点D. 在Rt △ABD 中,∠BAD=45°,AB=3√2 km,∴AD=BD=AB ×sin ∠BAD=3√2×sin 45°=3√2×√22=3(km). ∵∠PBN=75°,∴∠APB=∠PBN-∠PAB=75°-45°=30°. ∴在Rt △BDP 中,PD=BDtan∠APB =3tan30°=√33=3√3(km),PB=2BD=2×3=6(km). ∴AP=AD+PD=(3+3√3)km.∴A 地与电视塔P 的距离为(3+3√3)km. (2)∵∠PBN=75°,∠CBN=15°, ∴∠CBP=60°. ∵BP=BC=6 km, ∴△BPC 为等边三角形. ∴PC=6 km.∴C 地与电视塔P 的距离为6 km.23.(10分)(2022垦利模拟)数学活动课上,小明和小红要测量小河对岸大树BC 的高度,小红在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°,小明从A点出发沿斜坡走3√5 m到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°,且斜坡AF的坡比为1∶2.(1)求小明从点A到点D的过程中,他上升的高度;(2)依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度?若能,请计算;若不能,请说明理由.(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60)解:(1)如图所示,过点D作DH⊥AE于H.在Rt△ADH中,∵DHAH =12,∴AH=2DH.∵AH2+DH2=AD2,∴(2DH)2+DH2=(3√5)2,解得DH=3,故小明从点A到点D的过程中,他上升的高度为3 m.(2)如图所示,延长BD交AE于点G,设BC=x m,由题意得∠G=31°,∴GH=DHtanG ≈30.60=5.∵AH=2DH=6,∴GA=GH+AH=5+6=11.在Rt△BGC中,tan G=BCGC ,∴CG=BCtanG≈x0.60=53x.在Rt△BAC中,∠BAC=45°,∴AC=BC=x.∵GC-AC=AG,∴53x-x=11,解得x=16.5.故大树的高度约为16.5 m.。
三角形边角关系测试
三角形边角关系测试姓名： 1、下列说法正确的是（） A、三角形的角平分线是射线。
B、三角形三条高都在三角形内。
C、 三角形的三条角平分线有可能在三角形内， 也可能在三角形外。
D、 三角形三条中线相交于一点。
2、一个三角形的三个内角中（ ） A. 至少有一个等于 90° B. 至少有一个大于 90° C.不可能有两个大于 89° D. 不可能都小于 60°3、一个三角形的两边分别为 3 和 8，第三边长是一个偶数，则周长 为4、若等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，则它的周长是 。
5、下面四个图形中，线段 BE 是△ABC 高的是（B CB C）BBE A CE A CE AA EA B C D 6、有下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③同角或等角的补角相等；④三角形的一个外角可以等于和它不相邻的一个内角；⑤相等 的角是对顶角.其中真命题的个数是 个 1 1 7、△ABC 中,∠A= ∠B= ∠C,则△ABC 是( ) 3 4 A.锐角三角形 B.直角三角形; C.钝角三角形 D.都有可能 8、一条线段的长为 a，若要使 3a-l，15，6 这三条线段组成一个三角形，则 a 的取值范围 __________．9、在△ABC 中，∠A-∠B=∠B-∠C=100，求三角形三个内角的度数．10、下列各组条件中，不能组成三角形的是( A. C. a+1、a+2、a+3 (a>3) 三条线段之比为 1:2:3 B. D.)3cm、8cm、10 cm 3a、5a、2a+1 (a>1) ）11、如 果 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 5 ， 周 长 是 偶 数 ， 则 第 三 边 长 可 以 是 12、用 长 分 别 为 5cm 、 6cm 、 7cm 的 三 条 线 围 成 三 角 形 的 事 件 是 （ A． 随 机 事 件 B． 必 然 事 件 C． 不 可 能 事 件D． 以 上 都 不 是113、已 知 a ， b ， c 是 △ ABC 的 三 边 长 ， 满 足 a 2 +b 2 =10a+8b-41 ， 且 c 是 △ ABC 中 最长的边，求 c 的取值范围．14、若 a 、 b 、 c 是 △ ABC 的 三 边 ， 请 化 简 |a-b-c| — 3|b-c-a| — 2|c-a-b| ．15、若 a ， b ， c 是 △ ABC 的 三 边 的 长 ， 化 简 |-a-b-c| — |b-c-3a| — |c+a-b| ．16 、 已 知 △ ABC 三 边 长 是 a 、 b 、 c ， 试 化 简 代 数 式 |a+b-c|-|b-c-a|-|c-a+b|+|b-a-c|17、已 知 a 、 b 、 c 分 别 为 △ ABC 的 三 条 边 长 ，且 b 2 +c 2 -a 2 +2bc=0 ，求 △ ABC 的 形 状．18 、 已 知 a ， b ， c 为 △ ABC 的 三 条 边 的 长 ． 试 判 断 代 数 式 （ a 2 -2ac+c 2 ） -b 2 的 值 的符号，并说明理由．2。
八年级数学上册试题 第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷-沪科版(含解析)
第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（）个．A．3B．4C．5D．63．下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除D．内错角相等4．如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（ ）A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC 的值为（）=48，则SΔDEFA．2B．4C．6D．87．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）A．7B．8C．9D．108．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（ ）A．54°B．60°C．66°D．72°9．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE 相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD<1AB)，2在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为．12．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，则AC=．，DF=8313．已知△ABC的边长a，b，c满足(a−2)2+|b−4|=0，则a、b的值分别是，若c为偶数，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是．15．如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间秒．16．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC 与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是 ；(4)△DEF的面积为 ．20．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．21．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段A B，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH 折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．22．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．23．（8分）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线F N'所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）答案一．选择题1．C【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故选C2．B【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据ΔABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，即AC的长可能值有4个，故选：B．3．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．故选：D．4．B【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．B 、由∠F ＝90°知，AF 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、CE 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．D 、AC 是△ABF 的中线，故本选项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC =40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B =40°，∠C =60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC =40°．∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°−∠DAE =50°．故选C ．6．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AG 的中点，∴S △ABD =12S △ABG ，S △ACD =12S △AGC ，∴S △ABD +S △ACD =12S △ABC =24，∴S △BCD =12S △ABC =24，∵点E 是BD 的中点，∴S△CDE =12S△BCD=12，∵点F是CE的中点，∴S△DEF =12S△CDE=6．故选：C．7．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．8．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=12∠ABC，∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=32∠C，设∠C=x，则∠FBC=32x，∵∠EDC=24°，∴∠AED=x+24°，∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=32x+36°，∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32x+36°+24°=∠F+32x，∴∠F=60°．故选：B．9．C【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF设∠CAE=∠BAE=x∵∠ABC=3∠C∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y∵AD⊥CD∴∠D=90°∴∠DFB=90°−∠DBF=32y设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则{z=x+∠Gz+∠G=x+y∴∠G=12y∴∠DFB=3∠G∵∠G=20°∴∠DFB=60°故答案选：C10．D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．二．填空题11．124°【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），故答案为：124°．12．9【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD =S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD =S△ACD，∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，∵AB=6，DE=4，DF=83，∴AC=9，故答案为：9．13． 2、4 10【分析】由(a −2)2+|b −4|=0，可得a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，由c 为偶数，可得c =4，然后求周长即可．【详解】解：∵(a −2)2+|b −4|=0，∴a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，∵c 为偶数，∴c =4，∴△ABC 的周长为2+4+4=10，故答案为：2、4，10．14．94【分析】连接DF ，CE ．由题意中的线段的比和S △ABC =12，可推出S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD=13S △ABC =4，从而可求出S △ABE =14S △ABD =2，S △ADE =34S △ABD =6．结合中点的性质即得出S △ADF =S △EDF =12S △ADE =3，从而可求出S △CDF =12S △ADF =32，进而得出S △ECF =S △ACF=S △ADF +S △CDF =92，最后即得出DGEG =S △CDF S △ECF=13，最后即可求出S △EFG =34S △EDF =94．【详解】解：如图，连接DF ，CE ．∵CD:AD=1:2，S △ABC =12，∴S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD =13S △ABC =4．又∵BE:ED =1:3，∴S△ABE =14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．∵点F是线段AE的中点，∴S△ADF =S△EDF=12S△ADE=3．∵CD:AD=1:2，∴S△CDF =12S△ADF=32，∴S△ACF =S△ADF+S△CDF=92，∴S△ECF =S△ACF=92，∴S△CDFS△ECF =3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,∴DGEG =13，∴S△EFG =34S△EDF=94．故答案为：94．15．11或29【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD 于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，在Rt△OCD中，∠C=70°，∴∠D=180°−90°−70°=20°，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠1=∠B=40°，∵∠D+∠2=∠1，∴∠2=40°−20°=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，∴旋转时间=110÷10=11（秒），②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，由①可得，∠D=20°，∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，∴∠AOD=90°−∠4=70°，∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，∴旋转时间=290÷10=29（秒），故答案为：11或29．16．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°三．解答题17．解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得：(n−2)×180=360×3，∴n=8，∴这个多边形是八边形；（2）设这个多边形的边数是m，由题意得：(m−2)×180<1280<(m−2)×180+180，解得：819<m<919，∵m为整数∴m=9，∴重复加的那个角的度数是：1280°−(9−2)×180°=20°答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，CH即为所求；（3）如图所示，∵△ABC平移后得到的△DEF∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE∴这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）如图所示，△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．20．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅ACBC =6×810= 4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．21．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−(200°−2x°)=(x−20°)，故答案为：(x−20)°；（3）解：连接BF，∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．22．（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴∠ACB=180°−2∠BAC，∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，∴∠CFE+∠FEC=180°−(180°−2∠BAC)=2∠BAC，∵∠BAC=70°，∴∠CFE+∠FEC=140°；（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明：在△CEF中∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，在△ABC中，∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，∵∠BAC=∠ABC，∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．23．（1）解：如图所示，∵DC∥AB∴∠DCB=∠B=30°，（2）证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵FN平分∠EFM∴∠EFN=∠MFN=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；如图所示，证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵F N'平分∠EFM∴∠EF N'=∠MF N'=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠N'FB=∠N'FM−∠BFM=45°+α−α=45°，∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；。
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《三角形中的边角关系》测试卷
一、选择题
1、三角形的三边分别为3，1-2a,8,则a 的取值范围是（ ）
<a<-3 <a<-2 C.2<a<5 <-5或a>-2
2、下列不属于命题的是（ ）
A.两直线平行，同位角相等；
B.如果x 2＝y 2
,则x ＝y ； C.过C 点作CD ∥EF ； D.不相等的角就不是对顶角。
3、如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 4、四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ） .3
5、如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ． 5
6、一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60°
D ．75°
7、图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为
4
21
平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？ A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14
8、已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°则ΔDFE 等于（ ）
° ° ° °
9、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，
那么∠2的度数是( )
A ．32°
B ．58°
C ．68°
D ．60°
10、已知：如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边的高，则∠DBC=（ ）
A ．10°
B ．18°
C ．20°
D ．30°
11、已知等腰三角形的一个内角为040，则这个等腰三角形的顶角为 （ ）
A.0
40 B.0
100 C.0
40或0
100 D.0
70或0
50
二、填空题
A
B
30°
45°
α
1
2
? A
B C
E
F
D
A
B
G
F
C
D
E 1
2
12、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形
的最短边长是．
13、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角
的度数为．
14、三角形的最小角不大于________度，最大角不小于________度。
15、已知a,b,c为ΔABC的三条边，化简(a+b-c)2 -|b-a-c|＝______________。
16、如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重
合，折痕为DE，则△ABE的周长为．
17、如图15，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，
则∠DAC= ．
18、如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，
设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则
S△ADF－S△BEF=_________．
19、直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是______________
如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80O，则∠B=_____________。
20、用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，
则能摆出不同的三角形的个数_______.
21、三角形三边的长分别为8、19、a，则最大的边a的取值范围是_____ ____．
22、广告公司为某种商品设计了一种商标图案（如图所示），图中阴影部分为红色．
若每个小长方形的面积都是1，则红色部分的面积是．
三、解答题
23、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．
（1）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．
（2）等角的余角相等．
（3）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．
第22题
A
B C
A
B C
24、完成以下证明，并在括号内填写理由：
已知：如图所示，∠1=∠2，∠A=∠3.
求证：AC∥DE.
证明：因为∠1=∠2（），所以AB∥___（）.
所以∠A=∠4（）.
又因为∠A=∠3（），所以∠3=_ _（）.
所以AC∥DE（）.
24、证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直。
25、有一块三角形的地，现要平均分给四农户种植（即四等分三角形面积）.请你在图上作出两种分法.
26、如图，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF．
27、△ABC的三边长分别为4、9、x,
⑴求x的取值范围；
⑵求△ABC周长的取值范围；
⑶当x为偶数时，求x；
⑷当△ABC的周长为偶数时，求x；
⑸若△ABC为等腰三角形，求x．
28、如图，说明∠A+∠B +∠C +∠D +∠E=180°的理由。
A
C
B
D E。