第五章定积分的应用01284
第五章定积分及其应用(精)
n
注意 当 f ( i ) xi 的极限存在时，其极限 I 仅与被积函数 f (x) 及积分区间 [ a, b] 有关，如果既不
i1
改变被积函数 f (x) 也不改变积分区间 [a, b] ，不论把积分变量 x 改成其它任何字母，如 t 或 u ，此和的极
限都不会改变，即定积分的值不变．就是
b
f ( x)dx
就越高，若把区间 [a, b] 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极
限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：
（ 1）将区间 [ a, b] 划分为 n 个小区间，即在区间 [ a, b] 内任意插入 n 1 个分点：
a x0 x1 x2
记为 Ai (i 1,2, , n) ，在每个小区间 [ xi 1, xi ] 上任取一点 i ( xi 1 i xi ) ，用以 [ x i 1 , x i ] 为底、 f ( i )
为高的窄矩形近似代替第 i 个小曲边梯形 (i 1,2, , n) ，则 Ai f ( xi ) xi ， (i 1,2, , n) ．这样得到
b
方，按照定义， 这时定积分 f ( x)dx 的值应为负， 因此 a
表示上述曲边梯形面积的负值；
b
f ( x)dx
a
（ 3）若在区间 [ a, b] 上， f ( x) 既取得正值又取得负值时，对
应的曲边梯形的某些部分在 x 轴的上方，某些部分在 x 轴的下方，
这时定积分
b
f ( x)dx 表示由直线 x a 、 x b 、 x 轴和曲线
b
a
（ 1）当 a b 时， f ( x)dx 0 ；即 f ( x)dx 0 ．
高等数学第五章定积分及其应用
⾼等数学第五章定积分及其应⽤第五章定积分及其应⽤第⼀节定积分概念1、内容分布图⽰★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2★内容⼩结★课堂练习★习题5-1 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1利⽤定积分的定义计算积分01dx x 2?.讲解注意：例2的近似值．⽤矩形法和梯形法计算积分-102dx ex讲解注意：第⼆节定积分的性质1、内容分布图⽰★性质1-4★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3★性质7★例4★函数的平均值★例5★内容⼩结★课堂练习★习题5-2★返回2、讲解注意：例1⽐较积分值dx e x ?-2和dx x ?-2的⼤⼩.讲解注意：例2估计积分dx xπ+03sin 31的值.讲解注意：例3估计积分dx xxππ/2/4sin 的值.讲解注意：例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f tt x x x ?++∞→2)(3sin lim .讲解注意：例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.讲解注意：第三节微积分基本公式1、内容分布图⽰★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1-2★例3★例4★例5★例6★例7-8 ★例9★例10★例11★例12★例13★例14★内容⼩结★课堂练习★习题5-3★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?x tdt dxd 02cos 求[].讲解注意：例2dt e dxdx t ?321求[].讲解注意：例3.)()((3);)()((2);)((1).,)(00sin cos )(?-===x x x x t f dt t x f x F dt t xf x F dt e x F x f 试求以下各函数的导数是连续函数设讲解注意：例4求.1cos 02x dte x t x ?-→讲解注意：设)(x f 在),(+∞-∞内连续0)(>x f .证明函数且,??=xxdtt f dtt t x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.f 例5讲解注意：例6],1[)ln 21()(1上的最⼤值与最⼩在求函数e dt t t x I x ?+=.值讲解注意：例7求.dx x ?12讲解注意：例8求.1dxx ?--12讲解注意：例9设求??≤<≤≤=215102)(x x x x f ?2讲解注意：例10.|12|10-dx x 计算讲解注意：.cos 1/3/22?--ππdx x 计算例11讲解注意：例12求.},max{222?-dx x x讲解注意：例13计算由曲线x y sin =在,0π之间及x .轴所围成的图形的⾯积x =x =A讲解注意：例14?,./5.,362了多少距离问从开始刹车到停车刹车汽车以等加速度到某处需要减速停车速度⾏驶汽车以每⼩时s m a km -=汽车驶过设讲解注意：第四节换元法积分法和分部积分法1、内容分布图⽰★定积分换元积分法★例1★例2★例3★例4★定积分的分部积分法★内容⼩结★课堂练习★习题5-4★返回★例5★例6★例7★例16★例17★例182、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1计算.sin cos /25?πxdx x讲解注意：例2?a0dx 计算.0a >)(-2x 2a讲解注意：例3计算.sin sin 053?π-dx x x讲解注意：例4计算定积分dx x x ++412.2?讲解注意：例5当)(x f 在],[a a -上连续,,,)(x f 为偶函数当当有(1)(2)则 ??-=aaadx x f dx x f 0)(2)()(x f 为奇函数有?-=aa dx x f 0)(.;讲解注意：例6.--+dx e x x x 计算讲解注意：例7计算.11cos 21122?--++dx x xx x讲解注意：例8若)(x f 在]1,0[上连续证明,(1)?=00)(cos )(sin dx x f dx x f ;(2)πππ=)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,由此计算?π+02cos 1sin dx x x x ./2π/2π讲解注意：例9计算.arcsin 0?xdx 1/2讲解注意：例10计算.2cos 10+x xdx/4π讲解注意：例11计算.sin 0?xdx /2π2x讲解注意：例12.1dx e x 计算1/2讲解注意：例13.1)1ln(102++dx x x 求定积分讲解注意：例14-22ln e e dx x x求.讲解注意：例15.,612ln 2x e dt xt 求已知?=-π讲解注意：例16).(,)(13)()(1022x f dx x f x x x f x f 求满⾜⽅程已知? --=讲解注意：例17证明定积分公式xdx I n n n 0--?-??--?-=n n n n n n n n n n ,3254231,22143231π为正偶数.为⼤于1的正奇数./2π/2π??讲解注意：例18?π05.2cos dx x 求讲解注意：第五节定积分的⼏何应⽤1、内容分布图⽰★平⾯图形的⾯积A ★例1 ★例2 ★平⾯图形的⾯积B ★例3 ★例4 ★平⾯图形的⾯积C ★例5 ★平⾯图形的⾯积D★例6 ★例7 ★例8 旋转体★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9 ★例 10 ★例 11 ★平⾏截⾯⾯积为已知的⽴体的体积★例 12 ★例 13 ★内容⼩结★课堂练习★习题5-5 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1]1,1[]1,0[2之间的⾯积.和轴上⽅在下⽅与分别求曲线-∈∈=x x x x y讲解注意：例2],1[ln 之间的⾯积.轴上⽅在下⽅与求e x x y =讲解注意：例3.1,1,03所围图形⾯积与直线求=-===x x y x y讲解注意：例44,0,042所围图形⾯积.和直线求由曲线===-=x x y x y讲解注意：例5.2所围成平⾯图形的⾯积与求由抛物线x y x y ==讲解注意：例642,2,所围成图形的⾯积.求由三条直线=-=+=y x y x x y422围成图形的⾯积与求+-==x y x y讲解注意：例8.0cos sin 之间所围图与在和求由曲线π====x x x y x y 形的⾯积讲解注意：例9r 圆锥体的直线、h x =及x 轴围直线连接坐标原点O 及点),(r h P 成⼀个直⾓三⾓形.x 轴旋转构成⼀个底半径为计算圆锥体的体积.h ,将它绕⾼为,的讲解注意：例10.12222y x V V y x by a x 和积轴旋转所得的旋转体体轴和分别绕求椭圆=+讲解注意：例112,22轴旋转⽽成的旋转体的体积.轴和所围成的图形分别绕求由曲线y x x y x y -==讲解注意：例12⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼计算这平⾯截圆柱体所得⽴体的体积.并与底⾯交成,,⾓讲解注意：例13.的正劈锥体的体积的圆为底、求以半径为h R ⾼位平⾏且等于底圆直径的线段为顶、讲解注意：第六节积分在经济分析中的应⽤1、内容分布图⽰★由边际函数求原经济函数★需求函数★例1★总成本函数★例2★总收⼊函数★例3★利润函数★例4由边际函数求最优问题★例5★例6其它经济应⽤★例7⼴告策略★消费者剩余★例8★国民收⼊分配★例9★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1),80,(80,4) (,==-='q pp qp格的函数关系.时即该商品的最⼤需求量为且边际需求的函数已知对某商品的需求量是价格求需求量与价讲解注意：例2, 90,2)(0.2 ==ceqCq 求总成本函数.固定成本的函数若⼀企业⽣产某产品的边际成本是产量讲解注意：例310,40),/(2100)(个单位时单位时的总收⼊及平均收⼊求⽣产单位元单位时的边际收⼊为已知⽣产某产品-='q q R q 并求再增加⽣产所增加的总收⼊.讲解注意：例45,10,413)(,225)(0==-='-='q c q q C q q R 时的⽑利和纯利.求当固定成本为边际成本已知某产品的边际收⼊讲解注意：例5吨产品时的边际成本为某企业⽣产q )/30501)(吨元q q C +='(?,900试求产量为多少时平均成本最低元且固定成本为讲解注意：例6q q q C q q R ,1(3)?(2);54(1)),/(/44)(),/(9)(+='-='求总成本函数和利润函数.万元已知固定成本为当产量为多少时利润最⼤万台时利润的变化量万台增加到试求当产量由其中产量万台万元成本函数为万台万元假设某产品的边际收⼊函数为以万台为单位.边际讲解注意：例70.02,10%,,100000,130000)(,.10%,1000000t e t 则决如果新增销售额产⽣的利润超过⼴告投资的美元的⼴告活动对于超过按惯例⾏⼀次类似的总成本为以⽉为单位下式的增长曲线⼴告宣传期间⽉销售额的变化率近似服从如根据公司以往的经验平均利润是销售额的美元某出⼝公司每⽉销售额是美元的⼴告活动.试问该公司按惯例是否应该做此⼴告.1000000公司现在需要决定是否举定做⼴告讲解注意：8例.2,318)(-=CS q q D 并已知需求量为如果需求曲线为个单位试求消费者剩余,表⽰某国某年国民收⼊在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由讲解注意：第七节⼴义积分1、内容分布图⽰★⽆穷限的⼴义积分★⽆穷限的⼴义积分⼏何解释★例1★例2★例3★例4★例5★例6★⽆界函数的⼴义积分例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容⼩结★课堂练习★习题5-7★返回★2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?∞+-0.dx e x 计算⽆穷积分讲解注意：例2.sin 0的收敛性判断⽆穷积分∞+xdx讲解注意：例312?∞+∞-+x dx计算⼴义积分讲解注意：例4计算⼴义积分.1sin 12∞+dx x x 2/π讲解注意：例5计算⼴义积分∞+-pt dt e 且0>p 时收敛p 是常数,(). t 0讲解注意：例6证明⼴义积分∞+11dxx p当1>p 时收敛当1≤p 时发散.,讲解注意：例7计算⼴义积分).0(022>-?a x a dxa讲解注意：例8证明⼴义积分11dx x q当1""讲解注意：例9计算⼴义积分.ln 21x dx讲解注意：例10计算⼴义积分.30dx1=x 瑕点)1(2/3-x .讲解注意：例11计算⼴义积分?∞+03+x x dx1().讲解注意：例12.)1(arcsin 10-dx x x x计算⼴义积分讲解注意：例13.11105?∞+++x x x dx 计算⼴义积分讲解注意：。
定积分的应用共29页
22.11.2019
12
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一、平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) g(x) ，
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为 Aabf(x)g(x)dx
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x ．
a
c1
c2
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3
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一般地，由曲线 y f (x) ，直线 x a ， x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 可表示为
S
b
|
f
(x) | dx
.
a
类似地，由曲线 x ( y) ，直线 y c ， y d 及
y 轴所围成的曲边梯形的面积 S (如图 5-13 所示)可
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10
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二、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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ax
bx
19
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特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
当考虑连续曲线段
oa x
x
y f (x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用
5
01(1 x)dx
1 11 2
1 2
图 5-4
例 3 利用定积分的几何意义，证明 1 1 x 2 dx .
1
2
证明
令 y 1 x2 , x [1,1]
，显然 y 0 ，则由 y 1 x 2 和直线
x 1, x 1， y 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆.如图 5-5 所示.
b
a
f
( x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性
值得注意的是不论 a, b, c 的相对位置如何总有等式
b
a
f
(x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
成立 例如 当 a b c 时 由于
c
a
f
(x)dx
b
a
f
(x)dx
求曲边梯形的面积的精确值
显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近 曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使
每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 maxx1, x2 ,L , xn , 于是 上述增加分点 使每
si v( i )ti (i 1,2,L , n).
于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即
n
S v(i)ti i 1
求精确值
精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt
第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2
2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
Nanjing College of Information and Technology
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的应用通用课件
计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用，帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策 略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标，对于企业的定价和营销策略具有指 导意义。通过定积分，可以将需求函数转化为弹性函数，从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对，使得其中一个函数的导数容易计算， 而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转化 为简单的定积分，从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形，其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度 变化，例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分，可以对信号进行平滑 处理，消除噪声和干扰，提高信号 质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波，例如 低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课 件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面 曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定 性，例如判断系统的收敛性和稳定性 。
定积分的简单应用 课件
物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)
所做的功为W＝
b
aF(x)dx
.
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v＝v(t)，
b
则物体在区间[a，b]上的位移为定积分
a
v(t)dt；物体在区间
b
[a，b]上的路程为a|v(t)|dt.
即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6， 因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求．
有关路程、位移计算公式 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程s和位移s1分别为 (1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，
b
则s＝av(t)dt；
b
s1＝av(t)dt.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功
0.15
W＝ 2 0
000xdx＝1
000x200.15
＝22.5(J)．
求变力做功的方法步骤 (1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向 上的位移． (2)利用变力做功的公式W＝bF(x)dx计算．
a
[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)， 功的单位才为焦耳(J)．
＝1
0
x＋13xdx＋132－23xdx
＝23x
3 2
＋16x210
＋2x－13x213
＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝163.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上 限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和 积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
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图形面积为
1
A (
0
xx2)dx 2 3x3 21 3x3 1 01 3
O
x
图5-5 例2示意图
例 3 求 由 抛 物 线 y 2 2 x 与 直 线 y x 4 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 .
解 如 图 5 6 所 示 ,取 y 为 积 分 变 量 比 较 简 便 . 解 方 程 组 x 1 2y 2
课堂练习题
1 . 求 由 曲 线 y = l n x , y 轴 和 直 线 y = l n a , y = l n b b > a > 0
所 围 图 形 的 面 积 .
答案
2 . 曲 线 r = 2 a c o s 所 围 图 形 面 积 S 为 多 少 ? 答案
第二节 定积分在几何中的应用
解 如 图 5 5 所 示 ,取 x 为 积 分 变 量 . 解 方 程 组 y y 2 x x 2
得交点为(0,0)与(1,1),故积分
y
区 间 为0,1,其 面 积 微 元 为 dA
( x x2 )dx.(等式右端为什么不
y2 x
能 表 示 为 (x 2 - x )dx ?)因 而 所 求
b
元 dAg2(y)g1(y),面 积 A g2(y)g1(y) c
例 1 求 抛 物 线 y 4 x 2 与 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积 .
解 如 图 1 7 4 所 示 ,取 积 分 变 量 为 x,为 了 确 定 平 面 图 形 所 在 范 围 ,
先 求 抛 物 线 y4 x2 与 x 轴 的 交 点 . 为 此 解 方 程 组 y4 x2 y 0
y y f2(x)
y d x g1(y) y dy x g2(y)
a
x
xdx b x
dA y
O
法求面积
5-3 微元法求面积
(3)由 左 右 两 条 曲 线 xg1(y),xg2(y),g2(y)g1(y)
及 ycyd,(cd)所 围 成 的 的 图 形 (见 图 173),其 面 积 微
x y
a(t a (1
sin t) cos t)
,
(0
t
2
)
的 第 一 拱 与 x轴 所 围 成 的 图 形
面积(见图5-7)
解 以x为积分变量,当t0时,x0;
O
2 a x
图5-7 例4示意图
当t 2时,x2.一进应用积分
的换元法得所求面积
2 a
2
A y d x a ( 1 c o s t)d a ( t s in t)
图5-9 例5、例10示意图
例 5 计 算 心 形 线 = a ( 1 c o s ) , ( a 0 ) 所 围 成 的 图 形 面 积 .
解 如 图 1 7 9 所 示 , 由 于 图 形 对 称 于 极 轴 , 只 要 算 出 极 轴 以 上 部 分 图 形 的 面 积 A i, 再 乘 以 2 即 得 所 求 的 面 积 A .
显 然 在 极 轴 以 上 部 分 的 变 化 区 间 为 0 , , 面 积 微 元 为
0
0
0 2 a 2 ( 1 c o s t) 2 d tx a 20 2 1 2 c o s t 1 c 2 o s 2 t d t
a23 2t2sintsin 42t0 23a2
一 般 地 , 当 曲 边 梯 形 的 曲 边 由 参 数 方 程 x y x y ( ( t t ) ) ,( t )
一、平面图形的面积 1. 在直角坐标系下的计算
(1)根 据 第 一 节 的 分 析 可 知 ,由 曲 线 yf(x)0,xa,xb, (ab)及 x轴 所 围 成 的 图 形 (见 图 51),其 面 积 微 元 dAf(x)dx
b
面 积 A f(x)dx a (2)由 上 ,下 两 条 曲 线 yf1(x),yf2(x),f2(x)f1(x) 及 xa,xb,(ab)所 围 成 的 图 形 (见 图 5-2),其 面 积 微 b 元 dAf2(x)f1(x),面 面 积 A f2(x)f1(x)dx a
5-8 )
利用微元法,取极角为积分变量,变化区间为,,在任
意子区,+d上,曲边扇形面积的部分量可用处的极径r
()为半径,以d为圆心角的扇形来近似代替,即面积的微元
为dA12r()2 d,在,上积分,得曲边扇形面积为
A
12r()2
d
r r()
a(1cos)
d
O
x
O
2a
x
图5-8 微元法求曲边扇形面积
第五章定积分的应用0128
思考题 1 . 使 用 定 积 分 微 元 法 要 满 足 哪 些 条 件 ?
答案
2 . 请 用 定 积 分 表 示 由 曲 线 y = 1 ,y x ,x 2 所 围 图 形 的 面 积 S . x 答案
3 . 应 用 微 元 法 解 决 实 际 问 题 , 最 重 要 的 一 步 是 什 么 ? 答案
得 交 点(2, 2)与(8, 4),所 以 积
x 4 y
分 区 间 为 2, 4.其 面 积 元 素 为
dA
(
y
4)
y2 2
d
y,
故
所
求
图
形面积为
A 42(y4)y22dy
y2 2x
(8 , 4 )
y x4
O (2, 2)
12y2 4y16y342 18
图5-6 例3示意图
y
例4 求摆线
交点为(2,0)与(2,0),可知积分
区间为-2,2,其面积微元为dA
y 4 y 4x2
(4x2)dx故所求图形面积为
A 2(4 x 2 )d x 22 (4 x 2 )d x 3 2
2
0
3
2 O
2
x
图5-4 例1示意图
例 2 计 算 由 两 条 抛 物 线 y x 2 与 y 2 x 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 .
给 出 时 ,则 曲 边 梯 形 的 面 积 为 A y ( t) x '( t) d t
式 中 , y ( t ) 0 ; 与 分 别 为 曲 边 左 , 右 端 所 对 应 的 参 数 值 .
2.在极坐标系下的面积计算
设 曲 线 的 方 程 由 极 坐 标 给 出 : rr(), ,求 曲 线 rr(),半 直 线 ,所 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 (见 图