第五章积分的应用

( )为半径,以d为圆心角的扇形来近似代替,即面积的微元
为dA
1 2
r(
)2
d
,
在
,
上积分,
得曲边扇形面积为
A
1 2
r(
)2
d
r r( )
a(1 cos )
d
O
x
图5-8 微元法求曲边扇形面积
O
2a
x
图5-9 例5、例10示意图
例5 计算心形线=a(1 cos ),(a 0)所围成的图形面积.
y y f2(x)
y d x g1( y) y dy x g2 ( y)
a
x
x dx b x
dA y
O
y f1(x)
c
O
x
5-2 微元法求面积
5-3 微元法求面积
(3)由左右两条曲线x g1( y), x g2 ( y),g2 ( y) g1( y)
及y cy d,(c d )所围成的的图形(见图17 3),其面积微
2
A ydx a(1 cost)d a(t sin t)
0
0
2
a2 (1 cos t)2 dt x a2
0
2 0
1
2
cos
t
1
cos 2
2t
dt
a2
3 2
t
2
sin
t
sin 2t 4
2 0
3 a2
一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程
x
y
x(t)
, (
y(t)
t
)
给出时,则曲边梯形的面积为A y(t)x '(t)dt
于是弧长为 l '(t)2 '(t)2 dt
若曲线由极坐标r r( ),(1 2 )表示,依坐标变换公式 x r cos , y r sin不难得出弧长微元为
dl r( )2 r '( )2 d
于是
l 1 r( )2 r '( )2 d 2
例8 计算半径为R的圆的周长
区间为-2,2,其面积微元为dA
y 4 y 4 x2
(4 x2 )dx故所求图形面积为
A
2
(4 x2 )dx 2
2 (4 x2 )dx 32
2
0
3
2 O
2
x
图5-4 例1示意图
例2 计算由两条抛物线y x2与y2 x所围成的平面图形的面积.
解
如图5
5所示,
取x为积分变量.解方程组
dy
O a x x dx b
x
图5-14 微元法求弧长
dl 1 ( y ')2 dx
(微小的切线段长度替代与之相应的微小弧线段的长度.)
所以,所求弧长为 b l 1 ( y ')2 dx a
如果曲线是由参数方程
x
y
(t) , (
(t)
t
)表示,则弧长微元为
dl (dx)2 (dy)2 '(t)dt2 '(t)dt2 '(t)2 '(t)2 dt
5 10)
y
取横坐标x为积分变量, 在区间
y f (x)
a,b上任取一子区间x, x dx在
其上的小旋转体可近似看成底半
a O
径为y,高为dx的小圆柱体,即体积
x x dx
b x
微元
dV y2dx f 2 (x) dx
图5 10 绕x轴求体积
则旋转体体积
b
b
V y2dx f 2 (x)dx
设函数y f (x)在a,b上具有一阶连续导数,选取x a,b
为积分变量,任取一子区间 x, x dx,相应的小弧段MN的长
y
度可以用曲线在点M x, f (x)处的
y f (x)
切线上相应的小直线MT的长度近 似代替,如图5-14所示,由于切上
N
M
T y
Q
小直线段MT (dx)2 (dy)2 1 ( y ')2 dx于是可取弧长微元为
式中, y(t) 0;与分别为曲边左,右端所对应的参数值.
2.在极坐标系下的面积计算
设曲线的方程由极坐标给出:r r( ), , 求曲线
r r( ),半直线 , 所围成的曲边扇形的面积(见图
5-8 )
利用微元法,取极角为积分变量,变化区间为, ,在任
意子区, +d 上,曲边扇形面积的部分量可用处的极径r
0
2 b2
a2
a
2
x
1 3
x3
a
0
4 ab2
3
特别情况,若a b,例6变成圆绕x轴旋转成为球体,其体积
V 4 a3
3
y
y
b
OБайду номын сангаас
O
r
a
ax
h
x
b 图5-12 例6示意图
图5-13 例7示意图
例7 求底圆半径为r,高为h的圆锥体的体积.
解 以圆锥全的轴线为x轴,顶点为原点(见图5 13).过点O及点
0
1 a2 2
0
3 2
2 cos
1 2
cos
2
d
1 a2 2
3 2
2sin
1 4
sin
2
0
3 a2
4
故所求的面积A
2 A1
3 a2
2
二、旋转体的体积
求由曲线y f (x)直线x a, x b(a b)及x轴所围成的曲
边梯形绕x轴旋转一周所形成的立体(叫旋转体)的体积(见图
1 6
4
y
3
2
18
图5-6 例3示意图
y
例4 求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cos t)
,
(0
t
2
)
的第一拱与x轴所围成的图形
面积(见图5-7)
解 以x为积分变量,当t 0时, x 0;
当t 2时,x 2.一进应用积分
的换元法得所求面积
O
2 a x
图5-7 例4示意图
2 a
答案
课堂练习题
1.求由曲线y = ln x, y轴和直线 y = ln a,y = ln b b > a > 0
所围图形的面积.
答案
2.曲线r = 2a cos所围图形面积S为多少?
答案
第二节 定积分在几何中的应用
一、平面图形的面积 1. 在直角坐标系下的计算
(1)根据第一节的分析可知,由曲线y f (x) 0, x a, x b, (a b)及x轴所围成的图形(见图5 1),其面积微元dA f (x)dx
a
a
(5-7)
同理可以得到:由由线x ( y),直线y c, y d (c d )与y
轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周所形成的旋转体(见图5-11)
的体积为
d
d
V x2dy 2 ( y)dy
c
c
(5-8)
d
x (x)
c
O
x
图5 11 绕y轴求体积
例6
求椭圆 x2 a2
y2 b2
O a x x dx b x 图5 1 微元法图形
b
(2)将上式右端在区间a,b上积分,得A f (x)dx一般地, a
若所求量A与x变化区间 a, b 有关.且关于区间 a, b 具有可加性, 在a,b上的任意一个小区间x, x dx上找出所求量的一微小量
的近似值dA f (x)dx,然后把它作为被积表达式,从而得到所求
0
0
R R2
x2
dx
4R arcsin
x R R 0
2 R
例9
求星形
x y
a a
cos2 sin3
t t
,
(a
0)的全长(见图5
15).
解 由于星形线关于两个坐标轴对称,所以所求曲线的长度是
该曲线在第一象限内曲线长的4倍.取t为积分变量.
dx 3a cos2 t sin t dt
dy 3asin2 t cost dt
解
如图5
6所示, 取y为积分变量比较简便.解方程组
x
1 2
y2
得交点(2, 2)与(8, 4),所以积
x 4 y
分区间为2, 4.其面积元素为
dA
( y
4)
y2 2
dy,故所求图
形面积为
A
4 ( y 2
4)
y2 2
dy
y2 2x
(8, 4)
y x4
O (2, 2)
1 2
y2
4y
1绕x轴旋转所得旋转体的体积.
解 该旋转体可以看作由曲线y b a2 x2 绕x轴旋转而成(见
a
图 5-12 )
取积分变量为x,积分区间为a, a,体积微元为dV y2dx
b2 a2
(a2
x2 )dx故所求体积为
V
a
a
b2 a2
(a2
x2 )dx
2 b2
a2
a
(a2 x2 )dx
y y
x2 2 x
得交点为(0,0)与(1,1),故积分
y
区间为0,1,其面积微元为dA
( x x2 )dx.(等式右端为什么不
y2 x
能表示为(x2 - x )dx ?)因而所求
y x2
图形面积为
A
1
(
0
x
x2 )dx
2 3
3
x2
1 3
1