专题跟踪突破七 数学思想方法

专题跟踪突破七数学思想方法
一、选择题
1．(2016·台湾)如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点．若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( A) A．40 B．45 C．50 D．60
2．(2015·山西)我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，
进而得到原方程的解为x
1＝0，x
2
＝2.这种解法体现的数学思想是( A )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
3．(2015·新疆)如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( C )
,A) ,B) ,C) ,D)
4．(2016·呼和浩特)已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则(m－
1)2＋(n－1)2的最小值是( A )
A．6 B．3 C．－3 D．0
5．(2016·贵阳)若m，n(n＜m)是关于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是( D )
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
二、填空题
6．(2015·丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__x－1＝0或x＋3＝0__．7．(2015·齐齐哈尔)菱形ABCD的对角线AC＝6 cm，BD＝4 cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为__5_cm73_cm__．
8．(2015·黄石)一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少费用为__29__元．
9.(2016·荆门)如图，已知点A(1，2)是反比例函数y ＝k x
图象上的一点，连结AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，点P 是x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标是__(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)__．
,第9题图) ,第10题图)
10．(2016·沈阳)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，
连结DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256
或5013
__． 三、解答题
11．(2016·潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x ≤100，由50x －1100＞0，解得x ＞22，又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元
(2)设每辆车的净收入为y 元，当0＜x ≤100时，y 1＝50x －1100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1100＝3900；当x ＞100
时，y 2＝(50－
x －1005)x －1100＝－15x 2＋70x －1100＝－15(x －175)2＋5025，当x ＝175时，y 2的最大值为5025，5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，
每天的净收入最多是5025元
12．(2016·厦门)如图是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y(微克/毫升)随用药后的时间x(小时)变化的图象(图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成)．并测得当y ＝a 时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓度至少需要多长时间达到最大浓度？
解：设直线OA 的解析式为y ＝kx ，把(4，a )代入，得a ＝4k ，解得k ＝a 4
，即直线OA 的解析式为y ＝a 4
x ，根据题意，(9，a )在反比例函数的图象上，则反
比例函数的解析式为y ＝9a x ，当a 4x ＝9a x 时，解得x ＝±6(负值舍去)，故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度．
13．(2016·苏州)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交于点A ，与反
比例函数y ＝m x
(x ＞0)的图象交于点B(2，n)，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点P(3n －4，1)是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC ＝∠ABC ，求反比例函数和一次函数的表达式．
解：∵点B (2，n )，P (3n －4，1)在反比例函数y ＝m x
(x ＞0)的图象上，∴⎩⎨⎧2n ＝m ，3n －4＝m ，解得⎩⎨⎧m ＝8，n ＝4.
∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵m ＝8，n ＝4，∴点B (2，4)，点P (8，1)．过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，并延长交AB 与点P ′.在△BDP 和△BDP ′中，⎩⎨⎧∠PBD ＝∠P ′BD ，
BD ＝BD ，∠BDP ＝∠BDP ′，
∴△BDP ≌△BDP ′.∴DP ′＝DP ＝6.∴
点P ′(－4，1)．将点P ′(－4，1)，B (2，4)代入直线的解析式得：⎩⎨⎧2k ＋b ＝4，－4k ＋b ＝1，
解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝3.
∴一次函数的表达式为y ＝12x ＋3.
14．(2016·娄底)如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．
(1)求证：∠B＝∠ACD；
(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE；
①若tan∠ACD＝3
4
，BC＝10，求CE的长；
②试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．
解：(1)∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO，即∠ACD ＝∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B
(2)①∵BC2＝AB·BE，∴BC
AB
＝
BE
BC
，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB
＝∠CEB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B＝3
4
，设BE＝4x，CE＝3x，
由勾股定理可知：BE2＋CE2＝BC2，∴(4x)2＋(3x)2＝100，∴解得x＝2，∴CE＝6；
②过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB＝90°，∴∠B＋∠ECB＝90°，∵∠ACE＋∠ECB＝90°，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE，∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CD，AE⊥CE，∴AF＝AE，∴直线CD与⊙A相切。