高考数学测试卷必修2全册同步检测：1-2-3
高中数学-必修2全册同步检测：2-2-3
8[答案] A
[解析] ∵EH∥FG，FG⊂平面 BCD，EH⊄平面 BCD，
∴EH∥平面 BCD.
∵EH⊂平面 ABD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
∴EH∥BD.
9[答案] A
[解析] 由性质定理得截面四边形有一组对边平行．
10[答案] C
[解析] 由 PQ∥平面 AA1BB 知 PQ∥AB1，又 P 为 AO1 的中点，
2-2-3 直线与平面平行的性质
一、选择题
1．已知直线 a、b、c 及平面α，下列哪个条件能确定 a∥b( )
A．a∥α，b∥α
B．a⊥c，b⊥c
C．a、b 与 c 成等角
D．a∥c，b∥c
2．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，截面 BA1C1 与直线 AC 的位置
关系是( )
A．AC∥截面 BA1C1
∴PQ＝12AB1＝
2. 2
11[答案] 平行或相交
12[答案] 平行
13[答案] 2
[解析] 如图，连接 AD 交平面α于 E 点，连接 ME 和 NE.
∵平面 ACD∩α＝ME，CD∥α，CD⊂平面 ACD，
5
∴CD∥ME.∴AM＝AE. MC ED
同理，AE＝BN， ED ND
∴AM＝BN. MC ND
3
17．如下图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、H 分别是棱 A1B1、 D1C1 上的点，且 EH∥A1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1 相交，交 点分别为 F、G.
求证：FG∥平面 ADD1A1. 18．四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是梯形，AB∥CD，且 AB ＝23CD.试问在 PC 上能否找到一点 E，使得 BE∥平面 PAD？若能， 请确定 E 点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
高中数学必修2全册课时同步测试卷及答案
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】第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
人教版高中数学必修2同步章节训练题及答案全册汇编
高中数学必修2全册同步练习题目录1-1-1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征1-2-1、2 中心投影与平行投影空间几何体的三视图1-2-3 空间几何体的直观图1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积1-3-2 球的体积和表面积高中数学第一章综合素能检测2-1-1 平面2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系2-2-1 直线与平面平行的判定2-2-2 平面与平面平行的判定2-2-3 直线与平面平行的性质2-2-4 平面与平面平行的性质2-3-1 直线与平面垂直的判定2-3-2 平面与平面垂直的判定2-3-3 直线与平面垂直的性质2-3-4 平面与平面垂直的性质高中数学第二章综合素能检测3-1-1 倾斜角与斜率3-1-2 两条直线平行与垂直的判定3-2-1 直线的点斜式方程3-2-2 直线的两点式方程3-2-3 直线方程的一般式3-3-1 两条直线的交点坐标3-3-2 两点间的距离公式3-3-3、4 点到直线的距离两条平行直线间的距离高中数学第三章综合检测4-1-1 圆的标准方程4-1-2 圆的一般方程4-2-1 直线与圆的位置关系4-2-2 圆与圆的位置关系4-2-3 直线与圆的方程的应用4-3-1、2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式高中数学第四章综合检测一、选择题1．在棱柱中()A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案] D2．下列几何体中，不属于多面体的是()A．立方体B．三棱柱C．长方体D．球[答案] D3．如图所示的几何体是()A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体[答案] C4．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D5．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．() A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]由于顶角之和小于360°，故选C.6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点[答案] B7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是()[答案] B8．(2012－2013·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．二、填空题9．图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．[答案]棱柱侧棱顶点10．图(2)中的几何体叫做________，P A、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．[答案]棱锥侧棱侧面底面11．图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．[答案]棱台O－ABCD A′B′C′D′侧棱侧面12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③[解析]根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不同，水面EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．三、解答题13．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．[解析](1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．14．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解析]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？[解析]三棱锥五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG长方体16．一个几何体的表面展开平面图如图．(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析](1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案] C[解析]由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥[答案] D3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心[答案] D[解析]圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．4．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案] B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10 B．20C．40 D．15[答案] B[解析]圆柱的轴截面是矩形，其一边为圆柱的母线，另一边为圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是()A．球B．正方体C．圆D．球面[答案] D7．(2012－2013·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()[答案] A[解析]观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)[答案] D[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题9．图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．[答案]球球心半径直径10．图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．[答案] 圆柱 母线 底面11．图③中的几何体叫做________，SB 为叫它的________． [答案] 圆锥 母线12．图④中的几何体叫做________，AA ′叫它的________，⊙O ′及其内部叫它的________，⊙O 及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA ′O ′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．[答案] 圆台 母线 上底面 下底面 垂直于两底的腰OO ′ 三、解答题13．说出下列7种几何体的名称．[解析]a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g 是棱锥．14．说出如图所示几何体的主要结构特征．[解析](1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：16．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．[解析]将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为41 cm(如图乙所示)．一、选择题1．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱[答案] C2．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台[答案] D3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] D4．(2012－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.[答案] C[解析]结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是()[答案] B8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()[答案] D[解析]此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．二、填空题9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．[答案] 5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．11．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④12．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A －DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析]所给四棱锥的三视图如下图．[点评](1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高]1．三视图中各种数据的对应关系：(1)正视图中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底面左、右两边的距离．(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．(3)俯视图中HIJK的大小与四棱锥底面的大小形状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离．2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：15．说出下列三视图表示的几何体：[解析]16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．[答案]所对应的空间几何体的图形为：一、选择题1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等[答案] A2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()[答案] A[解析]由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC[答案] D[解析]△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC ＞AD，AC＞BC.6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[答案] C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()[答案] C[解析]由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )[答案] C[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h 2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.二、填空题9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为________，点M ′的找法是________．[答案] M ′(4,2) 在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.10．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.11．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又∵底边OB 的高为8， ∴面积S ＝12×4×8＝16.12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？[答案]8[解析]原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC周长为8.三、解答题13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析]14．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．[解析]如图．16．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍 D ．2倍[答案] D[解析] 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r )2＋(4r －r )2.解得r ＝2.所以S 圆台侧＝π(r ＋4r )·10＝100π，故选B.6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2 B ．2π C ．πD ．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝3π2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2[答案] A[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为12×62×4＝122；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为12×6×5＝15.所以全面积为48＋12 2.二、填空题9．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)，∴2πr 2＋8πr ＝42π， 解得r ＝3或r ＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2 3[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.12．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．[答案] 0<a <153[解析] 底面积为6a 2，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：S 1＝2×6a 2＋2(10＋8＋6)＝12a 2＋48， S 2＝24a 2＋2(10＋8)＝24a 2＋36， S 3＝24a 2＋2(10＋6)＝24a 2＋32. 拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为(8＋6)×2＋4×6a 2＝24a 2＋28.由题意得24a 2＋28<12a 2＋48，解得0<a <153. 三、解答题13．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S －ABCD ，如图所示，求它的表面积．[分析] 求各侧面的面积→ 求侧面积→求底面积→求表面积[解析] ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， 各侧面都是全等的正三角形， 设E 为AB 的中点， 则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×532＝253， S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)． 14．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析] (1)如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )， 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin45°＝12(b －a )， ∴C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝[22(b －a )]2＋[12(b －a )]2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)． (2)由S 侧＝a 2＋b 2，∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝aba ＋b.15．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＝48＋16 2 cm 2.一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )A ．32 3B ．28 3C ．24 3D ．20 3 [答案] B[解析] 上底面积S 1＝6×34×22＝63， 下底面积S 2＝6×34×42＝243， 体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)·h＝13(63＋243＋63·243)×2＝28 3.3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )。
(人教版B版2017课标)高中数学必修第二册 全册综合测试卷一(附答案)
（人教版B 版2017课标）高中数学必修第二册 全册综合测试卷一（附答案）第四章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，{}2|30B x x x =-≤，则A B =I （ ） A .{}|02x x ＜＜ B .{|02}x x ≤＜ C .{|23}x x ＜＜D .{|23}x x ＜≤2.函数11x y a -=+（0a ＞且1a ≠）的图像必经过定点（ ） A .(0,1)B .(1,1)C .(2,1)D .(1,2)3.已知函数3()ln ef x x =-，则其零点所在的大致区间为（ ）A .1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1, e)C .()2e,eD .()23e ,e4.若函数()(2)a f x m x =+是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数()log ()a g x x m =+的单调增区间为（ ） A .(2,)-+∞B .(1,)+∞C .(1,)-+∞D .(2,)+∞5.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A .a b c ＜＜B .a c b ＜＜C .c a b ＜＜D .b c a ＜＜6.在同一直角坐标系中，2x y =与2log ()y x =-的图像可能是（ ）A B C D7.已知(3)4log x x f x x ⋅=，那么32f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A .2-B .4C .()28log 31-D .8.若关于x 的方程12x a a -=（0a ＞且1a ≠）有两个不等实根，则a 的取值范围是（ ） A .(0,1)(1,)⋃+∞B .(0,1)C .(1,)+∞D .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9.若偶函数()f x 在(,0)-∞内递减，则不等式(()1)lg f f x -＜的解集是（ ） A .(0,10)B .1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D .10,(10,)10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 10.已知奇函数(),0(),f x x yg x x ⎧=⎨⎩＞＜，若()x f x a =（0a ＞，且1a ≠）对应的图像如图所示，则()g x 等于（ ）A .12x-⎛⎫ ⎪⎝⎭B .12x⎛⎫- ⎪⎝⎭C .2x -D .2x -11.已知函数7(13)10,7,(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨⎩≤＞是定义域上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B .16,311⎛⎤ ⎥⎝⎦C .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .16,211⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知点A(1,0)，点B 在曲线:ln G y x =上，若线段AB 与曲线1:M y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为（ ） A .0B .1C .2D .4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13.函数12()2xf x x -=-的零点个数为__________.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，若实数a 满足212log log 3(3)a af f -⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，则a 的取值范围是__________. 15.设函数()y f x =的图像与13x ay +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像关于直线y x =-对称，且1(3)43f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则实数a =__________.16.已知函数222,2()log 1,2x x x f x x x ⎧-=⎨-⎩≤＞，((4))f f =__________；函数()f x 的单调递增区间为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.[10分]化简求值：（1）212+（2）已知13(0)a a a -+=＞，求112222a aa a-++.18.[12分]已知函数()3x f x =，且(2)18f a +=，34()a x g x -=的定义域为[0,1]. （1）求函数()g x 的解析式； （2）判断函数()g x 的单调性.19.[12分]已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中0a ＞且1a ≠. （1）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （2）若1a ＞，解关于x 的不等式()0f x ＞.20.[12分]科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(0,0)x x y m x m -⋅+=＞….（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.21.[12分]已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++（0a ＞，且1a ≠）.. （1）求函数()f x 的定义域和值域； （2）若函数()f x 有最小值为2-，求a 的值.22.[12分]已知函数()2()log 2()x f x k k =+∈R 的图像过点P(0,1). （1）求k 的值并求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()f x x m =+，[0,1]x ∈有实根，求实数m 的取值范围.第四章综合测试 答案一、1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】B 12.【答案】B 二、 13.【答案】114.【答案】 15.【答案】216.【答案】1- (1,)+∞ 三、17.【答案】解：（1）212+12=-11022== （2）13(0)a a a -+=∵＞，21122125a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭∴，1122a a =+()222127a a a a --+=+-=，112222a a a a -+=+∴18.【答案】解：（1）()3x f x =∵，2(2)318a f a ++==∴，32a =∴，()24x g x =-∴，[0,1]x ∈.（2）设1x ，2x 为区间[0,1]上任意两个值，且12x x ＜， 则()()()()2221212124242222x x x x x x g x g x -=--+=-+.1201x x ∵＜剟，21221x x ∴＞….()()21g x g x ∴＜ ∴函数()g x 在[0,1]上是减函数.19.【答案】解：（1）()f x 是奇函数.证明：要使函数有意义，则1010x x +⎧⎨-⎩＞＞，即11x x -⎧⎨⎩＞＜，即11x -＜＜，即函数的定义域为(1,1)-.由[]()log (1)log (1)log (1)log (1)()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-，知函数()f x 是奇函数.（2）若1a ＞，则由()0f x ＞得log (1)log (1)0a a x x +--＞，即log (1)log (1)a a x x +-＞，即11x x +-＞，则0x ＞.∵定义域为(1,1)-，01x <<∴，即不等式的解集为(0,1). 20.【答案】解：（1）由题意，当2m =时，12225x x -⋅+=，解得1x =或1x =-.由0x ≥，得1x =，故经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度.（2）由题意得1222xxm -⋅+≥对一切0x ≥恒成立，则由20x＞，得1222xxm --…，即12222x x m --⋅-≥.令2xt -=则01t ＜≤，则2211()22222f t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭当12t =时取得最大值为12，所以12m ≥.21.【答案】解：（1）由1030x x -⎧⎨+⎩＞＞，得31x -＜＜，所以函数的定义域为{}|31x x -＜＜，()log (1)(3)a f x x x =-+.设2(1)(3)4(1)t x x x =-+=-+，则4t ≤， 又0t ＞，则04t ＜„.当1a ＞时，()log 4a y f x =≤，值域为{}log 4a y y ≤. 当01a ＜＜时，()log 4a y f x =≥，值域为{}log 4a y y ≥.（2）由题意及（1）知，当01a ＜＜时，函数有最小值，所以log 42a =-，解得12a =. 22.【答案】解：（1）因为函数()f x 的图像过点(0,1)P ， 所以()02log 21k +=，解得1k =.则()2()log 21x f x =+. 因为211x +>，所以()2()log 210x f x =+＞，所以函数()f x 的值域为(0,)+∞.（2）方程有实根，即()m f x x =-有实根，构造函数()2()()log 21x h x f x x x =-=+-，.则()()()222221log 21log 2log log 212x xxx xh x -+=+-==+ 因为函数21x y -=+在R 上单调递减，而log z y x =在(0,1)上单调递增， 所以复合函数()2()log 21x h x -=+是R 上的单调递减函数.所以()h x 在[0,1]上的最小值为()122(1)log 21log 31h -=+=-，最大值为()02(0)log 211h -=+=，即()2()log 31,1h x ∈-，所以当()2log 31,1m ∈-时，方程有实根.第五章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是容量为100的样本数据质量的频率分布直方图，已知样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为（ ）A .10B .20C .30D .402.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A .0.5B .0.6C .0.7D .0.83.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A .对立事件B .互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对4.根据某跑步团体每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据绘制了如图所示的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5.在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A BU发生的概率为（）A.13B.12C.23D.566.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg，估计这时鱼塘中鱼的总质量为（）A.192 280 kgB.202 280 kgC.182 280 kgD.172 280 kg7.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为（）A.①③B.①④C.②③D.②④8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A .100，10B .100，20C .200，10D .200，209.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ） A .25B .715C .1130D .1610.如图所示，小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为A X 和B X ，方差分别为2A s 和2B s ，则（ ）A .AB X X ＜，22A Bs s ＞ B .A B X X ＜，22A Bs s ＜ C .A B X X ＞，22A B s s ＞D .A B X X ＞，22A Bs s ＜ 11.袋子中有四个小球，分别写有“美”“丽”“中”“国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到时停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中”“国”“美”“丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231131133231031320122130233由此可以估计，恰好第三次停止的概率为（ ） A .19B .318C .29D .51812.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个人能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力中等的人的概率为q ，则(),p q =（ ）A .11,66⎛⎫ ⎪⎝⎭B .11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为11: 8: 6，从中抽取200名职员作为样本，则应抽取青年职员的人数为__________.14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.15.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值为__________.16.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为1白1黑的概率等于__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.[10分]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示.（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -的值.18.[12分]为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中4a b =.（1）求a ，b 的值；（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；（3）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，应如何抽取？19.[12分]某地区有小学21所，中学14所，大学7所。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-3- 1
1.2.3第1课时一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．不确定 [答案] B[解析] 三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直．2．若一条直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l 与α的关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定[答案] D[解析] 当l ∥α时，直线l 上所有点到α的距离都相等；当l 与α相交(包括垂直)时，对于l 上任一点P ，在平面另一侧的直线上总存在一点P ′，有P 、P ′到平面的距离相等，∴不确定．3．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 [答案] B[解析] 设a ，b 为异面直线，a ∥平面α，b ∥平面α，直线l ⊥a ，l ⊥b . 过a 作平面β∩α＝a ′，则a ∥a ′，∴l ⊥a ′. 同理过b 作平面γ∩α＝b ′，则l ⊥b ′， ∵a ，b 异面，∴a ′与b ′相交，∴l ⊥α.4．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( ) A ．b ⊥β B ．b ∥β C ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β [答案] D 5．下列命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b a ⊥bb ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] A[解析] 因为a ⊥α，则a 与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确．又若b ∥α，a ⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a ⊥b 成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a ∥α，b ⊥a 时，b 与α可以平行相交(垂直)也可以b ⊂α，∴⑤错．当a ⊥α，b ⊥a 时，有b ∥α或b ⊂α，∴⑥错．6．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．至多有一个 C ．有无数多个 D ．一定不存在 [答案] B[解析] 当a ⊥b 时，有且只有一个． 当a 与b 不垂直时，不存在．7．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E 、F 分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF 长为( )A ．2 B. 3 C. 5D.7[答案]C[解析] 取A 1B 1中点H ，连结EH 、FH ，则EH ＝2， FH ＝1且△EHF 为Rt △.∴EF ＝FH 2＋EH 2＝ 5.8．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π [答案] D[解析] 此三棱锥的高为球的半径，ABC 所在大圆面积为πr 2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为2r ，所以三棱锥底面面积为12(2r )2＝r 2，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D.二、填空题9．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)[答案] 直线[解析] 过点A 与AB 垂直的所有直线都在同一个平面β内，∵AB 是α的斜线，∴β与α不平行．从而β与α的所有公共点都在同一条直线上，即β与α的交线上．从而β内所有过点A 与α相交的直线，其交点都在此交线上．10．如图所示，直四棱柱A ′B ′C ′D ′－ABCD (侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，当底面四边形ABCD 满足__________时，A ′C ⊥B ′D ′.(只填上一个你认为正确的结论即可，不必考虑所有情况)[答案] AC ⊥BD [解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AA ′⊥平面A ′B ′C ′D ′B ′D ′⊂平面A ′B ′C ′D ′⇒AA ′⊥B ′D ′ A ′C ⊥B ′D ′ AA ′∩A ′C ＝A ′⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫⇒B ′D ′⊥平面AA ′C ′ BD ∥B ′D ′⇒BD ⊥平面AA ′C ′ AC ⊂平面AA ′C ′⇒BD ⊥AC ， 反过来当BD ⊥AC 时，有A ′C ⊥B ′D ′.说明：填四边形ABCD 为正方形、菱形均可，只要是满足AC ⊥BD 的就行． 三、解答题11．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上异于A 、B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 为垂足，求证：AN ⊥平面PBM.[解析] 连结AM ，BM .∵AB 是圆O 的直径，∴AM ⊥BM . 又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM . ∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM . 又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. 求证：BD 1⊥平面AB 1C.[解析] 连结BD ，由正方体的性质得DD 1⊥面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，又AC ⊥BD ，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥面BDD 1，又∵BD 1⊂面BDD 1，∴AC ⊥BD 1. 连结BC 1，同理可证B 1C ⊥面BC 1D 1， 又BD 1⊂平面BC 1D ，∴B 1C ⊥BD 1，又AC ⊂B 1C ＝C ，∴BD 1⊥面AB 1C .13．如图，已知空间四边形ABCD 的边BC ＝AC ，AD ＝BD ，引BE ⊥CD ，E 为垂足，作AH ⊥BE 于H ，求证：AH ⊥平面BCD .[解析] 取AB 的中点F ，连结CF 、DF ， ∵AC ＝BC ，∴CF ⊥AB .又∵AD ＝BD ，∴DF ⊥AB ，∴AB ⊥平面CDF . 又CD ⊂平面CDF ，∴CD ⊥AB .又CD ⊥BE ，CD ⊥平面ABE ，∴CD ⊥AH . 又AH ⊥BE ，∴AH ⊥平面BCD .14．如图，已知边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是P A 的中点，求E 到平面PBC 的距离．[解析] 设AC 交BD 于O ，连结EO ，则EO ∥PC ， 又EO ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，∴EO ∥平面PBC ，于是EO 上任一点到面PBC 的距离都相等，则O 点到面PBC 的距离即为所求．在平面ABCD 内过O 作OG ⊥BC 于G ， ∵PC ⊥平面ABCD ，∴PC ⊥OG ， ∴OG ⊥面PBC .∵ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴OG ＝3a2sin ∠OBC＝3a2×sin30°＝34a.即E到面PBC距离为3 4a.15．如图所示，△ABC中，∠B为直角，P是△ABC外一点，且P A＝PB，PB⊥BC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MN⊥AB.[解析]∵CB⊥AB，CB⊥PB，AB∩PB＝B，∴CB⊥平面APB.过M作ME∥CB，则ME⊥平面APB，∴ME⊥AB.若MN⊥AB，∵ME∩MN＝M，则AB⊥平面MNE，∴AB⊥EN.取AB中点D，连结PD，∵P A＝PB，∴PD⊥AB，∴NE∥PD.又M为PC中点，ME∥BC，∴E为PB中点．∵EN∥PD，∴N为BD中点，故当N为AB的四等分点(AB＝3BN)时，MN⊥AB.。
最新人教版高中数学必修2全册同步检测：3-1-1
3-1-1同步检测一、选择题1．斜率不存在嘚直线一定是( ) A ．过原点嘚直线 B ．垂直于x 轴嘚直线 C ．垂直于y 轴嘚直线 D ．垂直于过原点嘚直线2．如图所示，直线l 嘚倾斜角是( )A ．0°B ．90°C ．∠CABD ．∠OAB 3．已知点A(2,1)，B(3，－1)，则过A ，B 两点嘚直线嘚斜率为( ) A ．－2 B ．－12 C.12D ．24．直线l 嘚倾斜角α＝135°，则其斜率k 等于( ) A.22 B.32 C ．－1 D ．15．过点(－3,0)和点(－4，3)嘚直线嘚倾斜角是( ) A ．30° B ．150° C ．60°D ．120°6．过两点A(4，y)，B(2，－3)嘚直线嘚倾斜角是45°，则y等于()A．－1B．－5C．1D．57．①直线l嘚倾斜角是α，则l嘚斜率为tanα；②直线l嘚斜率为－1，则其倾斜角为45°；③与坐标轴平行嘚直线没有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率．上述命题中，正确嘚个数为() A．0个B．1个C．2个D．3个8．已知直线l1与l2垂直，l1嘚倾斜角α1＝60°，则l2嘚斜率为()A.3B.3 3C．－3D．－3 39．直线l嘚倾斜角是斜率为33嘚直线嘚倾斜角嘚2倍，则l嘚斜率为()A．1 B.3C.233D．－310．如下图，已知直线l1，l2，l3嘚斜率分别为k1，k2，k3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2二、填空题11．已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m －1)所在直线嘚倾斜角为45°，则m 嘚值等于________．12．三点A(0,2)，B(2,5)，C(3，b)能作为三角形嘚三个顶点，则实数b 满足嘚条件是________．13．设P 为x 轴上嘚一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA 嘚斜率是PB 嘚斜率嘚两倍，则点P 嘚坐标为________．14．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b ＝________. 三、解答题15．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上． 16．求经过下列两点嘚直线嘚斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．(1)A(0，－1)，B(2,0)； (2)P(5，－4)，Q(2,3)； (3)M(3，－4)，N(3，－2)．17．设A(m ，－m ＋3)，B(2，m －1)，C(－1,4)，直线AC 嘚斜率等于直线BC 嘚斜率嘚3倍，求实数m 嘚值．18．(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)嘚直线嘚斜率为12?(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m －1)嘚直线嘚倾斜角是60°？[分析] 利用斜率公式列方程求解．详解答案 1[答案] B 2[答案] C 3[答案] A[解析] k AB ＝－1－13－2＝－2.4[答案] C[解析] k ＝tan α＝tan135°＝－1. 5[答案] D[解析] 斜率k ＝3－0－4＋3＝－3，则倾斜角为120°.6[答案] A[解析] 直线嘚倾斜角为45°，则其斜率为k ＝tan45°＝1.由斜率公式，得－3－y2－4＝1，解得y ＝－1. 7[答案] B[解析] 由倾斜角和斜率嘚定义知，当倾斜角α＝90°时，则l 嘚斜率不存在，故①是错误嘚；因为tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1，所以当k ＝－1时，α＝135°，故②是错误嘚；与y 轴平行嘚直线倾斜角为90°，故③也是错误嘚；因而只有④是正确嘚，即正确嘚个数为1个，故选B.8[答案] D[解析] ∵直线l 2嘚倾斜角α2＝90°＋60°＝150°， ∴直线l 2嘚斜率k 2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－33. 9[答案] B[解析] ∵tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°， ∴2α＝60°，∴k ＝tan2α＝3.故选B. 10[答案] D[解析] 可由直线嘚倾斜程度，结合倾斜角与斜率嘚关系求解．设直线l 1，l 2，l 3嘚倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k 1<0<k 3<k 2. 11[答案] 2[解析] 由题意知k ＝tan45°＝1.由斜率公式得2m －1－21＋m －m ＝1，解得m ＝2.12[答案] b ≠132[解析] 由题意得k AB ≠k AC ， 则5－22－0≠b －23－0，整理得b ≠132.13[答案] (－5,0)[解析] 设P(x,0)为满足题意嘚点，则k PA ＝8－3－x ，k PB ＝142－x ，于是8－3－x ＝2×142－x，解得x ＝－5.14[答案] 13[解析] 由于点A ，B ，C 共线，则k AB ＝k AC ， 所以0－3a －3＝b －30－3.所以ab ＝3a ＋3b.即1a ＋1b ＝13.15[证明] 由斜率公式，得 k AB ＝11－35－1＝2，k AC ＝－5－3－3－1＝2，∴k AB ＝k AC ，且AB 与AC 都过点A ， ∴直线AB ，AC 斜率相同，且过同一点A ， ∴A ，B ，C 这三点在同一条直线上． 16[解析] (1)k AB ＝－1－00－2＝12，∵k AB >0，∴直线AB 嘚倾斜角是锐角． (2)k PQ ＝－4－35－2＝－73，∵k PQ <0，∴直线PQ 嘚倾斜角是钝角． (3)∵x M ＝x N ＝3，∴直线MN 嘚斜率不存在，其倾斜角为直角．17[解析] 依题意知直线AC 嘚斜率存在，则m ≠－1，由k AC ＝3k BC 得－m ＋3－4m －－1＝3×m －1－42－－1，∴m ＝4.18[解析] (1)由题意得k AB ＝3m －61－－m＝12，解得m ＝－2.故当且仅当m ＝－2时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)嘚直线嘚斜率为12. (2)由题意得k AB ＝tan60°＝3＝2m －1－2－m －m，解得m ＝－31－34. 故当且仅当m ＝－31－34时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m －1)嘚直线嘚倾斜角是60°.。
(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-3-2
1.2.3第2课时一、选择题1．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，那么必有( ) A ．α⊥γ和l ⊥m B ．α∥γ和m ∥β C ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β和α⊥γ[答案] A [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αm ⊥γ⇒α⊥γ，排除B 、C ；⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥γβ∩γ＝l ⇒m ⊥l ，∴选A. 2．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．②④D ．①③[答案] D[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂β l ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D. 3．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α[答案] B[解析]若a与b异面时，A、C错；当a与b不垂直时，D错，故选B.4．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案] D[解析]如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.点评：D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β[答案] D[解析]本小题主要考查线面垂直、面面垂直、线线平行和线面平行．点C若在α内，则有AC⊥β，若不在α内，则AC不垂直于β，这是面面垂直的性质，故选D.6．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是()A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥a[答案] B[解析]可以墙角为例知A错；B中，由β⊥γ，由β内有直线b⊥γ，而α∥β，则α内有a∥b，则a⊥γ，α⊥γ.二、填空题7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB 的位置关系为____________________．[答案]MN⊥AB[解析]如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN 在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB.8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________________________．[答案]②③④⇒①(答案不惟一)9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[答案]BM⊥PC(其它合理即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵P A⊥面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.∴面PCD⊥面BDM.10．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．[答案]①④⑤[解析]①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN 是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.三、解答题11．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.[解析]如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.12．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ； (3)求证：平面DEA ⊥平面ECA . [解析] (1)取EC 的中点F ，连结DF . ∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE ，∴BD ∥平面ABC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN 綊CF . ∵BD 綊CF ，∴MN 綊BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA . (3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .13．(2009·山东文)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点．(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .[解析] (1)解法一：取A 1B 1的中点F 1，连结FF 1、C 1F 1，∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1∈平面FCC1，∴平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D、F1C，∴A1F1綊D1C1綊CD，∴四边形A1DCF1为平行四边形，∴A1D∥F1C.又∵EE1∥A1D，∴EE1∥F1C，∵EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，∴EE1∥平面FCC1.解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，∴CD綊AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1.(2)证明：连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC；故平面D1AC⊥平面BB1C1C.14．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.[解析]∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC.∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.又EF⊂平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.。
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1-2-3同步检测
一、选择题
1．给出以下关于斜二测直观图嘚结论，其中正确嘚个数是( )
①角嘚水平放置嘚直观图一定是角．
②相等嘚角在直观图中仍相等．
③相等嘚线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应嘚两条线段仍然平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．利用斜二测画法得到：
①三角形嘚直观图是三角形；②平行四边形嘚直观图是平行四边形；
③正方形嘚直观图是正方形；④菱形嘚直观图是菱形．
以上说法正确嘚是( )
A．①B．①②
C．③④D．①②③④
3．如图所示嘚直观图是将正方体模型放置在你嘚水平视线嘚左上角而绘制嘚，其中正确嘚是( )
4．如图为一平面图形嘚直观图，则此平面图形可能是选项中嘚( )
5．已知一个正方形嘚直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形嘚面积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．无法确定
6．如图所示，△A′B′C′是水平放置嘚△ABC嘚直观图，则在△ABC嘚三边及中线AD中，最长嘚线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置嘚一个平面图形嘚直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，则原图形是( )
A．正方形B．矩形
C．菱形D．梯形
8．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥嘚底面与长方体嘚上底面尺寸一样，已知长方体嘚长、宽、高分别为20m,5m,10m，
四棱锥嘚高为8m，若按1500嘚比例画出它嘚直观图，那么直观图中，长方体嘚长、宽、高和棱锥嘚高应分别为( )
A．4cm,1cm, 2cm,1.6cm
B．4cm,0.5cm,2cm,0.8cm
C．4cm,0.5cm,2cm,1.6cm
D．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm
9．已知△ABC是边长为2a嘚正三角形，那么它嘚平面直观图△A′B′C′嘚面积为( )
A.
3
2
a2 B.
3
4
a2
C.
6
4
a2 D.6a2
10．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面嘚距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面嘚距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间嘚距离为( )
A．2cm B．3cm
C．2.5cm D．5cm
11．用斜二测画法画出下列图形嘚直观图(不写画法)．
12．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1嘚正三角形ABC嘚
直观图不是全等三角形嘚一组是( )
二、填空题
13．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中嘚点M(4,4)在直观图中嘚对应点是M′，则点M′嘚坐标为________，点M′嘚找法是________．14．如下图，水平放置嘚△ABC嘚斜二测直观图是图中嘚△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边嘚实际长度是________．
15．如图，是△AOB用斜二测画法画出嘚直观图，则△AOB嘚面积是________．
三、解答题
16．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB嘚中点，试求梯形ABCD水平放置嘚直观图嘚面积．
17．已知几何体嘚三视图如下，用斜二测画法，画出它嘚直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．
18．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体嘚直观图和三视图．
[分析] 该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成嘚简单组合体． 详解答案 1[答案] C
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段嘚平行性，∴④对，①对；而线段嘚长度，角嘚大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．
2[答案] B
[解析] 根据画法规则，平行性保持不变，与y 轴平行嘚线段长度减半．
3[答案] A
[解析] 由几何体直观图画法及立体图形中虚线嘚使用可知A 正确． 4[答案] C
[解析] 由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．
5[答案] D 6[答案] D
[解析] △ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°，则AC ＞AB ，AC ＞AD ，AC ＞BC.
7[答案] C 8[答案] C
[解析] 由比例尺可知长方体嘚长、宽、高和四棱锥嘚高分别为4cm,1cm,2cm 和1.6cm ，再结合斜二测画法，可知直观图嘚相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.
9[答案] C
[解析] S △A′B′C′＝12·2a·
3a·24＝64
a 2.
10[答案] D
[解析] 圆锥顶点到底面嘚距离即圆锥嘚高，故两顶点间距离为2＋3
＝5cm ，在直观图中与z 轴平行线段长度不变，仍为5cm.
11[解析]
12[答案] C
[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h
2，
后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来嘚1
2
.
13[答案] M′(4,2) 在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行嘚直线与过点(0,2)和x′轴平行嘚直线嘚交点即是点M′.
[解析] 在x′轴嘚正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y′轴上取点M 2，使O′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y′轴和x′轴嘚直线，则交点就是M′.
14[答案] 10
[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝ 90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.
15[答案] 16
[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又∵底边OB 嘚高为8， ∴面积S ＝1
2
×4×8＝16.
16[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置嘚直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 嘚长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝12OD ，梯形嘚高D′E′＝2
4，于是梯形A′B′C′D′
嘚面积为12×(1＋2)×24＝32
8
.
17[解] 如图．
18[解析] 直观图如图a 所示，三视图如图b 所示．。