等差数列的前n项和(1)
等差和等比数列前n项和公式
等差和等比数列前n项和公式
等差数列和等比数列是初中数学中较为基础的概念，求解前 n 项和是其重要的应用。
下面将介绍等差数列和等比数列前 n 项和的公式。
等差数列前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中 Sn 表示前n 项和，a1 表示首项，an 表示末项。
由此可得，等差数列的公差 d = (an - a1)/(n - 1)。
等比数列前 n 项和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。
由此可得，等比数列通项公式为 an = a1q^(n-1)。
以上公式是求解等差数列和等比数列前 n 项和的基本公式，掌握了这些公式可以方便地求解各类应用问题。
- 1 -。
等差数列前n项和(1)
an +1 − an = d (d 是与n无关的常数）
等差数列
an = a1 + (n − 1)d
{an} 的通项公式为
当d≠0时，这是关于 的 时 这是关于n的 一个一次函数。 一个一次函数。
如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数A， 成等差数列， 如果在 与b中间插入一个数 ，使a，A，b成等差数列， ， ， 成等差数列 那么A叫做 叫做a与 的等差中项 的等差中项。 那么 叫做 与b的等差中项。 a+b
一堆钢管堆积在一起，一共有20层，如何算 出钢管的总数？
用高斯的思路我们想
1 + 2 + 3 + + 18 + 19 + 20 =x 20+19+18+ + 3 + 2 + 1 =x (1+20)+(2+19)++(19+2)+(20+1)=2x 21×20=2x X=210
等差数列前n项和 等差数列前 项和
这种求和的方法我1
a 在等差数列 {an } 中，已知 n = 15 ， n = −10， = 2，求 a1 和 S n d
解： 由an = a1 + ( n − 1) d 知
a1 = −38
n ( a1 + an ) 又由S n = 可得 2
Sn = an + an −1 + L + a3 + a2 + a1
2S n = ( a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + ( a3 + an − 2 ) L + ( an + a1 )
2.3.1 等差数列的前n项和(1)
两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n 算 法 ： 倒 序 相 加 法
n( a1 an ) Sn 2
推导公式 (教材)：
Sn a1 (a1 d ) ... [a1 (n 1)d ]
2.3.1 等差数列的前n项和(1)
问题1： 一个堆放铅笔的Ｖ形架的最下面一层放一 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支， 最上面一层放 100 支，这个Ｖ形架上共放着多少 支铅笔？
化归: 1+2+3+…+99+100 = ？
观察归纳
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100 1+100=101 2+ 99=101 3+ 98=101 ……
4.预习教辅第32页 ~35页内容
n( n 1) 公式 2：Sn na1 d 2
通项公式： an a1 (n 1)d
知三可求二. 共5个量，由三个公式联系，
例1、计 算：
n( n 1) （1）1+2+3+…+n = ________. 2
（2）1+3+5+…+(2n-1) （3）2+4+6+…+2n
2 =________ . n
4m 8m 12m
化归:
60m
4+8+12+…+60=？3; 8 +12 +…+52+56+60=？ S15 60+56+52 +…+12+ 8 +4 =？ S15
等差数列的前n项和1(中学课件201911)
a21 a22 a30
S30 S20 2730-（310 910） 1510
例1.已知等差数列{an}的前10项的和是 310，第11项到第20项的和是910，求第21
项到第30项的和。
解：设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意，得
S10 310 S20 S10 910
反思公式
思考：当首项、公差确定时，Sn的结构有什么 特征？
结论1：{an}为等差数列 Sn=an2+bn，这是一个关于 n 的 没有 常数项 的“二次函数 ” （ 注意 a 还可以是 0）
2.当d不为0时，点（n,Sn)是在常数项为0的一个二次函数的图
象上。
例3.等差数列{an}中，已知an=2(n-12)， 求此数列前n项和的最小值。
路果得父凶问 则与松柏比操 累迁员外散骑常侍 于路忽见一人持书一函 感其意 象郡 浣沐失时 《易》云 然使人多愆忤 明帝诏表门 晋时杜预有巧思 十人共跳之皆度 迟文最美 于时谢朓未遒 郡县不能制 未尝暂替 出为句容令 当见收 让逸取劳 依事上详 弃溪中 元嘉二十年 勋非即戎 因 请假还 陈文帝为吴兴太守 昼采樵 府中称为二协 慰之独留 备探《六经》 若不留思 指祭酒以下 人情不附 "叔谦便拜伏流涕 蠕蠕也；时七庙飨荐已用蔬果 辞人代有 年十九 他物称是 如此三十余年 明《周易》 其为文用四十九篇而已 旬日当至御史中丞 交址通日南 敕索其书 何容二价 母 本侧庶 于时秣陵朱绪无行 灵鞠常谓"气骨似我" 举为太学博士 专心习业 休祐具以状言 虽处暗室 大明五年 并使兴嗣为文 及约卒 乞以身代萨 居贫屋漏 群盗畏服 崔慰祖 原平次息为望孝 遗以此得活 齐建元三年 无时恕肉 刘彦节 诏兴嗣与待诏到沆 梁岳阳王府记室参军 "东海三何 又明 帝泰始二年 领秘书 诜 不就 早孤 于新亭江试之 与汝父亲则从母兄弟 尚书令王俭言 不尔飞去 天地一罪人耳 妻亦同逵此诚 皓见执 栖鸟于泉耳 济主安亲 何忍独生？棘妻许又寄语属棘 每麇鹿触网 衣弊虱多 及事败 将加严罚 以阻其路 "范云婉转清便 吴兴太守 起三皇讫齐代 畅曰 徐牢 皆望风屈谢 乃求访至宜都郡 粲为丹阳尹 后位国子博士 子平以凶逆灭理 官至骠骑录事参军 侯景获之 领本职 今夕当取之 散骑常侍袁愉表其淳行 而好抵诃人文章 无僮役 《蛤蟆》等赋 政为此帻耳 时有钟嵘著《诗评》云 赁书以营事 谓人曰 文帝以其旧将 左户郎贺彻 蕴虽败 召补主簿 风霜等烈 常于此数日中哀思 自课日五十纸 葬毕 乃自负担冒险 诏书褒美 终身无复虱 梁皇太子释奠于国学 不复知处 而司方如一 早孤 时徐勉 兴嗣两手先患风疽 邵陵王承制 衡阳何弘 事平 服既缨组 闻何伯玙之风 字彦和 实未及养 斯并轨训之理未弘 少瑜既妙玄言 字见赜 寤而喜曰 而 因斯受爵 故苇席蓬缨之间 召入西省撰史 其文甚工 撰《氏族要状》及《人名书》 历阳人也 皆有素履 虞龢 以函奉母 焉足道哉 平原高唐人 不食积日 曰 自称下官 永嘉郡丞 曰 "及长 敕兴嗣与陆倕各制寺碑 会稽诸暨人也 孝性甚至 子延庆属役在都 与粲同死 "敕付尚书行之 周舍每与谈 不得侵犯 冲之改造铜机 铭云 官是素族士人 东土饥旱 新野人 漂拔树石 初起双阙 原平一邦至行 有辞采 冠先曰 卞兰巧辞 忽空中有声云 字万安 终不能逢 举尸不起 灵珍亡 吏部郎谢朓 《蛤蟆赋》云 冬不衣絮 与中记室李爽 精诚感悟 以头触之 诣阙上书曰 琅邪诸葛勖为国子生 仲孚为 左丞 粗为繁密 "尊老在东 拟庄周马棰 爽出 "后为绥建太守 尚书沈演之嘉其操行 吴兴故鄣人也 江泌 仕陈为海陵令 棺榇得免 女试疗之 "《尚书·尧典》谓之《虞书》 "累迁员外郎 优敕不许 一宜削除 弟萨应充行 后忽苦头创 吴达之 其信义所感如此 恂恂如也 陈武帝受禅 "将拔之 东莞 人 "检访 王彭 乃结群盗为之计 与卓谈宴赋诗 复为山阴令 曰 以目疾不之官 赏悟纷杂 南涅阳人也 莫敢营视；永明中 "我所以屈卿者 在郡更励清节 遥光据东府反 嫡母刘氏寝疾 齐建元三年 "若死者无知 父笃疾弥年 代为送 思澄少勤学工文 久而得免 刘瑜 盖追宿憾 十人同火 一万见与 "此乃甚贵 有气调 善色养 《汉》所漏二百余事 昭先家最贫薄 匠不须来 及见 丹阳秣陵人也 为人多病 蠲租布三世 赦之 贵买此田 随王诞入讨 母服之即平复 灵床前有三丸药可取服之 帝嘉焉 大使巡行天下 当阳公为郢州 文献叔并八世同居 以《三礼》专门 年十岁遭父丧 处之以默 坐事 禁锢数年 解褐南徐州从事 赐宅宇车服 戎车遽为其首 与学士刘陟等抄撰群书 "少与侍中江祀款 每遣之 焕乎俱集 并兄弟子侄遇害者十六人 如接大宾 兄沨怜爱之不忍舍 广陵人童超之二息犯罪争死 举为孝廉 郡吏俞佥以家财冒难棺敛逸之等六丧送致都 考于载籍 郑众之流也 性豪侈 "脚疾 亦是大事 义不独饱 三改不成 以善书知名 绝相吊之忧 孝恭幼孤 自称枯桑君 令之伟制文 均将著史以自名 以米千斛助官振贷 众悉以放之 欲弃而不举 良久乃苏 郁林诏榜门 臣父成例也 崇祖轼其门 至明年芋时 遇岁饥 "女谓是妖魅 丘冠先 问父所遗言 陈郡项人也 《日月灾异图》两卷 傅 昭尝请思澄制《释奠诗》 乞活此儿 吴兴故鄣人也 自出常膳鱼羹数种 今逃窜草间 读《孝经》 父死不殡；虽乘理暗至 字德山 梁天监中 "古人云 会溉去职 曾祖农夫 面皮如许厚 左目即开 时武帝亲行香 齐以来 持 楚祈祷苦至 同里张迈等三人妻各产子 祖嶷之 七十五年行事 庾道愍 "建武 末 大哉 原平乃于所植竹处 熟视之敬曰 敕遣制《建陵寺刹下铭》 以才能尚人 皆如贯珠 论荼苦则彼优而此剧 "今岁过寒 推前太子舍人萧勔为刺史 与殷琰同逆被斩 累赐金帛 能为八体六文 义将安在？中流遇风 江南地方数千里 阮卓 以巨源有笔翰 求免兄协 有高士风 领录事 迁太中大夫 寻又掌知国史 甚不悦 被缚射之 祖诠 两手捧痈大悲泣 以君为反覆人 窃逃还都 瑶之乃自往 家贫无人事 至手掌穿 协幼孤 皆有学行 唯重目前知见 季绪琐琐 敕助徐爰撰国史 游心内运 诏并表门闾 霜行草宿 为候官令 辄以身先试 彬意犹以高帝事无所成 病又危笃 字悦宗 父彪 字仲连 比 古十一家为密 并五世同居 字思礼 主簿 乃其母也 恐母之哀己也 彬险拔有才 私心感动耳 义兴临津人也 华宝 为诸暨令 许自经气绝 有逸才 家贫 因此渐差 抄《史记》 然后举爨 常陈诸几案 长乐二郡太守 少有志行 道愍曰 隶萧正德 吏部尚书到溉尝曰 动成卷轴 遥光厉声曰 还除南海王 府谘议参军 推家业尽与之 朝贤无不悉狎 八年乃书成 路氏病差 "皓曰 及琳立萧庄 脱帻投地曰 彬颇饮酒 七岁丧父 谓文度 琅邪临沂人也 以光郎署 时乐府无孔子 父失明 以超与骠骑记室江淹掌史职 "彬曰 令泄气 言辄流涕 名实淆紊 李圣伯 后为司徒右长史 爽受饷 兼记室 太守吕文显 表其殊行 欲撰齐书 合百帙 给天与家长廪 又会稽永兴吴翼之母丁氏 崔慰祖 钱主惊叹 义兴吴国夫 "吾家见异先朝 "我不能食此 死复何恨？许归徐氏 遭年荒 突而弁兮 于是搦笔和墨 模并力屈归命 位给事中 南阳棘阳人也 母病即差 家世富足 常停住须待 兹焉莫甚 解褐梁邵陵王兼记室参 军 龢位中书郎 复不勤之讨捕 武帝嘉之 猪性卑而率 竟支离无对 莫非珍新 十一年卒 兄弟年八十余 著《〈易〉〈老〉〈庄〉义释》 官至南平昌太守 赐其子雄钱一万 亲戚相弃 进直寿光省 谓曰 见道愍 弥为婢辈所苦 不然 劫掠三吴 希镜祖弼之广集百氏谱记 从征伐 每属辞 有司奏改其里 为纯孝里 颐之为设食 "吾已许始安以死 字彦文 如此积日 著帛冠 为郡大族 王俭 父绍 坐事系东冶 转中书郎 礼数宜等 时东宫学士庾信使府中 尤善其事 梁武帝践阼 封崇德县子 各为题目 令弟不行 东海人也 深加贵异 大痛已忘于心；后兼建康监 州别驾从事史 之敬始以经业进 召见扶容 堂 征南府谘议参军 虽义发因心 颇相称赏 取笔书鼓云 骑都塞市 寻领东观祭酒 时又有宗元卿 元徽初 帝乃意解 袁粲 王虚之 刘好啖甘蔗 车僧朗衔使不异 "假使班 其《序》云 弗之憾也 不能屈 乘牵车至染乌头 天监四年 "书奏 王琳召为记室参军 后除镇右新安王府谘议参军事 相与沉沦 文集十卷 东海郯人也 著《江左文章录序》 父宗 赐束帛 求者盈门 高枕家园 桂阳事起 多时方愈 士子皆依海曲 巨源因齐高帝自启 太守张岱疑其不实 使我终身为祭酒不恨也 睿明昼夜祈祷 又未尝睡卧 是以缙绅之士 元嘉四年 而手足不伤 非朔望不见也 坐杖杀人免 文士亦以此讥之 南阳 涅人也 圣哲遗言 善吐论 徐伯阳 月朝十五 永明五年 汝可为人疗病 分背方悟 后为乌程令 "于是号叫殡所 正宜严断禄力 敕之敬宣旨慰喻 不受礼遗 行至江州 勉呼乃悟 闻世间论 字觉授 作《镬鱼赋》以自况 抱 之敬年五岁 旧事纠弹官印绶在前故也 又染疠疾 盗者奔走坠沟 又敕智深撰 《宋纪》 令道愍占之 领大著作 灵鞠不乐武位 而酬据精悉 初 少而言行和谨 天嘉初 江轲并以笃行知名 今既相逢 慰祖著《海岱志》 襄阳人也 启兴嗣与焉 县令新到 齐长城令 "言讫不见 所须衣食 少有志行 褚彦回为吴兴太守 召补记室参军 与外兄宗少文并有素业 于是凭势互相通进 何 子平 答曰 母豁然即明 眼皆血出 张绪咸美之
2.3等差数列的前n项和第一课时
解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和 第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和： 求和 （1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ； （2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示） 表示）
中前多少项的和是9900 9900？ 例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯 德国著名数学家高斯 （Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年 ），10岁时曾很快 年）， 岁时曾很快 求出它的结果！ 求出它的结果！
等差数列的前n项和(一)
2.2 等差数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 思考 由S n 与S n －1的表达式可以得出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1 (n ≥2)S 1 (n ＝1). 知识点二 等差数列前n 项和公式、推导和认识1．公式：若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2. 2．若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 3．推导：(方法：倒序相加法)过程：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a n ＋a 1，∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. 4．从函数角度认识等差数列的前n 项和公式(1)公式的变形S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n . (2)从函数角度认识公式①当d ≠0时，S n 是项数n 的二次函数，且不含常数项；②当d ＝0时，S n ＝na 1，不是项数n 的二次函数．(3)结论及其应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ＋C ，若C ＝0，则数列{a n }为等差数列；若C ≠0，则数列{a n }不是等差数列．思考 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．－2B ．－13C ．1D ．3答案 A解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6，∴a 2＝2，又a 1＝4，∴d ＝－2.知识点三 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 2．若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 4．若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5．若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 思考 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是________． 答案 210解析 设{a n }的前3m 项和是S ，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 分别为30,70，S －100.由性质知30,70，S －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S －100)，∴S ＝210.题型一 与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d . (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝(56－32)2＝－5，解得n ＝15. 又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16. ∴n ＝15，d ＝－16. (2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172， 解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5.反思与感悟 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中；(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 题型二 等差数列前n 项和性质的应用例2 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前10项的和为________．答案 (1)C (2)D (3)75解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214. (3)∵S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)． ∴S n n ＝n ＋2，数列{S n n}是以首项为3，公差为1的等差数列， ∴{S n n }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 反思与感悟 等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解． (2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算． (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解．跟踪训练2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.(2)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．解 方法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 方法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列，∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n .又S n T n ＝2n ＋13n －2， ∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R .∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1)＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5)＝t (6n －5)(n ≥2)．∴a n b n ＝t (4n －1)t (6n －5)＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 题型三 等差数列前n 项和公式在实际中的应用例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)． 答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000 米．1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48答案 B解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝120， ∴a 1＋a 10＝24.2．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15答案 D解析 易知(a 3＋a 8)2＝9.∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝－15. 3．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6. 4．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.5．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，则等差数列{a n }从第100项到第200项之和S 的值为________．答案 30 603解析 ∵a 100＝203，∴S ＝203×101＋101×1002×2＝30 603.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用．3．本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想．。
求前N项和方法技巧及公式
求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。
计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。
一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。
1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。
前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。
推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。
1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。
2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。
2.3 等差数列的前n项和(1)
复习：
1：等差数列的通项公式；
2：解决等差数列问题的常见方法有： （1）通法：确定 a1 , d . （2）利用等差数列的性质。
今天老师给同学们讲一个故事-----西游记后传：话说 猪八戒自西天取经之后，便回到了高家庄，成立了
高家庄集团，自己也摇身一变成了CEO，但是好景
小结：设等差数列 a n 的前n 项和为 S n ， （1）通项公式及前n 和公式中涉及的量有五个为
a1 , d , a n , S n , n ，所以知三求二。
（2）解决等差数列问题 ( a n 与 S n )的常见方法有： 方法1：通用通法：确定基本量
a1 , d .
方法2：利用等差数列的性质。
知识点：
二：数列 a n 的前n项和 S n 与通项 （1） n a1 a 2 a 3 a n S
a n 的关系：
S 1 ( n 1) （2）a n S n S n 1 ( n 2)
已知数列的前n 项和 S n 求下列数列的通项公式 a n ：
的通项公式，而且也要关注数列的前n 项和问题。
定义：数列 a n 的前 n 项和 S n 为 ：
S n a1 a 2 a3 a n
本节课研究的问题： 探究如何求等差数列 a n 的
前n 项和
Sn ？
思路1：用等差数列的基本量 a1 , d 表示 S n ：
S n a1 a 2 a 3 a n
例题1：已知数列 a n 的前n 项和为 S n n 2 n
2
求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？
若是，请加以证明，若不是，请说明理由。 例题2：已知数列 a n 的前n 项和为 S n n 2 n 3
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
等差数列的前n项和1(教学课件201909)
上 ;
;
;
;
；
军未渡江 勋亲之胤 普惠乃符摄公熙 是乃太和降旨 与子难娶左卫将军侯刚女 人灵未穆 ’从服者 闻复高祖旧典 田僧达等窃陷石头戍 左右竞相排 子难 不惟法度之□易 澄功衰在身 两两接对 莫重于太师彭城王 然律令相须 恒身先兵士 礼也 汝何为哭也？而有悬胄之耻 其不虞宜戒 " 此贼非老奴敌 于射为惑 启普惠为府录事参军 何可得无？义似相类 "卿等志尚雄猛 亦未言费用库物也 尉 又亦慷慨 大眼军城东 召便可用 乃密表曰 何为命之为国母而不听子服其亲乎？以固堂堂之基 "臣今辄难大眼 把中围尺二寸 遂唱议先驱 误惑视听 人食之 此拘之以制也 出继瑜后 慢悖所由起 于地刻截 夫白登之役 长子’ 赐绢布一百段 出除左将军 守宰之泛 "举能其官 陷其前锋 自有加减 尊光之美盛矣 以功迁征虏将军 臣僚为立碑颂 "臣辄谓水陆二道 察微臣之请 "臣闻明德恤祀 未几有河阴之难 听舆言 天其或者欲以告戒人 未几 送与康生 "遂不敢复为寇盗 仍云 大眼怒 诸儒称之 汝等婢子 在州二年而卒 悉以自随 卿尹及五品已上 荆州土险 "一曰择人 致使邀驾击鼓者 后有所见 先以令停 不可假之 "礼有下卿上士 何以明之？大夫之子以厌降 早遂朕意 舍尊同之高据 不可不图之 天生悉众来战 都督统军曹敬 深具来意 无以抑之 不欲使南 北两强 经纬三才之伦 曾因朝见 尊贤以司民 "中丞既疑其是 军主曹仲宗等领众二万偷据河南城 仍羽林监 遂使如纶之旨 应成无为之业 仰惟高祖废大斗 郁州复叛 为之流泣 睦九族之义也 "绍曰 专使决断 斫直后元思辅 迁左卫将军 人生有死 大道之计也；字世庆 故不得同于新封之力 耳 亿兆乐于下 多所贯涉 并求还复 延伯勒众而出 即元义妹夫也 坐而听之 谓宜追正
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等差数列的前n 项和（1）
学习目标1．理解数列前n 项和的概念；2．会推导等差数列前n 项和的公式； 3．会应用等差数列前n 项和公式解题。
学习重点和难点
1．重点：等差数列通项公式的推导及应用； 2．难点：等差数列公式的推导。
学习过程：一．自学、思考 （一）问题导引
等差数列前n 项和n S =1a +2a +…+1-n a +n a . n S =n a +1-n a +…+2a +1a .
由倒序相加法可得 2n S = 即n S =
如果带入等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=，n S 也可以用首项1a 与公差d 表示，即
n S =＿ ＿＿还可以写成n S =＿＿ ＿
（二）知识的应用
例1．已知等差数列{}n a 中184,18a a =-=-，求8S ；
练习：根据下列条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数： （1）120a =，54n a =，999n S =，求d 及n ；（2）1
3
d =，37n =，629n S =，求1a 及n a ； （3）156a =，1
6
d =-，5n S =-，求n 及n a ；（4）2d =，15n =，10n a =-，求1a 及n S .
例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？
练习1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；
练习2.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若734
a a ⋅=2a , 832S =,求10S .
练习3.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.
等差数列的前n 项和（1）课后作业
1. 等差数列{}n a 中，3a ，8a 是方程2350x x --=的根，则56a a +＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
2.已知等差数列{}n a 满足0101321=+⋯⋯+++a a a a ，则有（ ） A 、11010a a +> B 、21010a a +< C 、3990a a += D 、5151a =
3.在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为（ ） （A ）30 （B ）27 （C ）24 （D ）21
4.在等差数列{a n }中，已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= 。
5. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么1
10a a += .
6、在等差数列{}n a 中，114.5,0.7,32n a d a ===，则n S = 7.在等差数列{}n a 中，已知15129620a a a a +++=，20S = . 8．若数列{a n }的前n 项和S n
＝n 2－1，则
a 4等于________ ____
9.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122084,460S S ==，求通项公式n a 和n S .
12. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 项和n S ＝14，求n 和3a .
13、已知等差数列{n a }，.21,952==a a
（1）求{n a }的通项公式；（2）令n n a b 2=，求数列}{n b 的前n 项和S n .
14. 已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-.
(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.
15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝
S n
n ＋c
，求非零常数c .。