强烈推荐【经典问题】牛顿定律中的临界问题
第15讲 牛顿运动定律中临界问题(解析版)
第15讲牛顿运动定律中的临界问题11、临界问题物体由某种物理状态转变为另种物理状态时，所要经历的种特殊的转折状态，称为临界状态.这种从种状态变成另种状态的分界点就是临界点，此时的条件就是临界条件。
2、临界问题的标志（1）题目中出现“恰好”“刚好”等关键词句，明显表明此过程即为临界点。
（2）题目中出现“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词句，表明题述过程存在着“起止点”，而这些“起止点”一般对应着临界状态。
（3）题目中出现“最大”最小”“至多”“至少”等词句，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
4、处理临界问题的方法（1）极限法如果在题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐含着临界问题。
处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而得到临界状态及临界条件，以达到快速求解问题的目的。
（2）假设法有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态。
解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，即可得出结论。
（3）数学方法将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件。
涉及三角函数、二次函数、不等式等数学知识。
5、临界问题解决步骤：（1）依据题中提示语言判定临界问题及分类；（2）确定临界状态下临界条件；（3）按照牛二定律做题步骤解决问题：①明确研究对象②受力分析③正交分解④分析各坐标系运动状态列方程：若为平衡状态列平衡方程；若为非平衡状态列牛顿第二定律。
一、利用极值法求解临界问题[例1]如图所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面质量为M=2kg，斜面与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。
【答案】推力F的取值范围为14.25N≤F≤33.53N.【解析】（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如下图所示，取加速度的方向为x轴正方向：对物块分析，在水平方向有F N sinθ﹣μF N cosθ=ma1，竖直方向有F N cosθ+μF N sinθ﹣mg=0，对整体有F1=（M+m）a1，代入数值得，F1=14.35N.（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块受力分析，在水平方向有F N sinθ+μF N cosθ=ma2，竖直方向有F N cosθ﹣μF N sinθ﹣mg=0，对整体有F2=（M+m）a2，代入数值得，F2=33.53N综上所述可知推力F的取值范围为：14.25N≤F≤33.53N.答：推力F的取值范围为14.25N≤F≤33.53N.二、利用假设法求解临界问题[例2]一物块在粗糙斜面上，在平行斜面向上的外力F作用下斜面和物块始终处于静止状态，当按图甲所示规律变化时.物体与斜面间的摩擦力大小变化规律可能是图乙中的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设t=0时刻F=F0，则F与t的关系式为F=F0-kt，k是图线斜率的大小.A、D若t=0时刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向上，由平衡条件得：摩擦力F f=mgsinα-F=mgsinα-（F0-kt）=kt+（mgsinα-F0），若mgsinα=F0，则有F f=kt，当F=0时，F f=mgsinα，保持不变.则A错误，D正确；B、C若t=0时刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件得知，摩擦力F f=F-mgsinα，当F减小时，摩擦力先减小，减小到零后，摩擦力反向增大，故BC错误；故选D.三、利用数学方法求解临界问题[例3]如图所示，一质量m＝0.4kg的小物块，以v0＝2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10m。
牛顿定律应用临界问题
ma
F=
5mg
θ
G
【小结】 相互接触的两个物体将要脱离的 临界条件是相互作用的弹力刚好为零。
例 题 分 析
拓展：上述问题中，若小车向左加速运动 ， 试求加速度a=g时的绳中张力。
简析： 则沿x轴方向 FNsinθ - Fcosθ =ma
沿y轴方向 将 a=g 代入 得 F=－0.2mg FN=1.4mg θ FN FNcosθ + Fsinθ=mg ya F x G
例 题 分 析
例 题 分 析
拓展：上述问题中，若小车向左加速运动 ， 试求加速度a=g时的绳中张力。
简析： 则沿x轴方向 FNsinθ - Fcosθ =ma
沿y轴方向 将 a=g 代入 得 F=－0.2mg FN=1.4mg F的负号表示绳已松弛，故 F=0 θ G FNcosθ + Fsinθ=mg ya F x
课 后 练 习
如图所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的 作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面 光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运 动时的水平力F的范围。
解：当水平力F为某一值时， 恰好使A沿AB面向上滑动， 即物体 A当水平推力 对地面的压力恰好为零，受力分析如图 分析： F很小时，A与B一起作匀加速 运动，当F F较大时， 对整体： ①A的弹力竖直向上的分力 2 Ma B对 N 等于 A 的重力时，地面对 A 的支持力为零，此后， 隔离A： N A 0 ② F 物体A将会相对 B滑动。显而易见，本题的临界 N cos 60 Mg 0 ③ 条件就是 水平力 F为某一值时，恰好使 A沿 AB 面 ﹚ 60° G F N sin 60 A Ma 向上滑动，即物体 对地面的压力恰好为零 . ④ 联立上式解得：F 2 3 Mg ∴ 水平力F的范围是：0＜F≤ 2 3 Mg
牛顿运动定律临界问题
牛顿定律的应用之一临界问题（一）临界问题1．临界状态：在物体的运动状态变化的过程中，相关的一些物理量也随之发生变化。
当物体的运动变化到某个特定状态时，有关的物理量将发生突变，该物理量的值叫临界值，这个特定状态称之为临界状态。
临界状态是发生量变和质变的转折点。
2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
3．解题关键：解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析。
4．常见类型：动力学中的常见临界问题主要有两类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离、绳子的绷紧与松弛问题；一是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。
（二）、解决临界值问题的两种基本方法1．以物理定理规律为依据，首先找出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析和讨论其特殊规律和特殊解。
2．直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，找出相应的物理规律和物理值1、如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力F B＝2 N，A受到的水平力F A＝(9－2t) N (t的单位是s)．从t＝0开始计时，则( )A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的倍B．t＞4 s后，B物体做匀加速直线运动C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零D．t＞4.5 s后，A、B的加速度方向相反2、一个弹簧秤放在水平地面上,Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为重物，已知P的质量M ="10.5" kg,Q 的质量 m ="1.5" kg,弹簧的质量不计,劲度系数 k ="800" N/m,系统处于静止.如图所示,现给P施加一个方向竖直向上的力F,使它从静止开始向上做匀加速运动,已知在前0.2 s内,F为变力,0.2 s 以后,F为恒力.求力F的最大值与最小值.(取g ="10" m/s2)3、如图所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑斜面体的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。
牛顿运动定律经典临界问题
牛顿运动定律得临界问题研究1.如图所示，质量为M 的木板上放着一质量为m 的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2，加在小板上的力F 为多大，才能将木板从木块下抽出?2.如图所示，小车上放着由轻弹簧连接的质量为mA ＝1kg ，mB ＝0.5kg 的A 、B 两物体，两物体与小车间的最大静摩擦力分别为4N 和1N ，弹簧的劲度系数k ＝0.2N/cm 。
①为保证两物体随车一起向右加速运动，弹簧的最大伸长是多少厘米？②为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动，弹簧的伸长是多少厘米？3.如图所示，把长方体切成质量分别为m 和M 的两部分，切面与底面的夹角为θ，长方体置于光滑的水平面上。
设切面是光滑的，要使m 和M 一起在水平面上滑动，作用在m 上的水平力F 满足什么条件？4.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m 的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。
如图5所示。
现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g ）匀加速向下移动。
求经过多长时间木板开始与物体分离。
5.如图6所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。
现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s 内F 是变力，在0.2s 以后F 是恒力，g=10m/s 2,则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。
6.一弹簧秤的秤盘质量m 1=1．5kg ，盘内放一质量为m 2=10．5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m ，系统处于静止状态，如图7所示。
现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s 内F 是变化的，在0．2s 后是恒定的，求F 的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s 2）图5图6图7牛顿运动定律临界问题经典题目参考答案2.(1) 为保证两物体随车一起向右加速运动，且弹簧的伸长量最大，A 、B 两物体所受静摩擦力应达到最大，方向分别向右、向左。
牛顿运动定律运用中的临界问题
图1—1 牛顿运动定律运用中的临界问题在应用牛顿定律解题时常遇到临界问题，它包括：1. 平衡物体（a=0）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间；2. 动态物体（a ≠0）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。
临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。
加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。
抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。
对于此类问题的解法一般有以下三种方法：一．极限法在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到尽快求解的目的。
例1.如图1—1所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求： （1）物体在水平面上运动时力F 的值； （2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。
例2．（和静摩擦力相联系的临界情况）如图，质量为m=1Kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg ，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F ，要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2）例3．（和弹力相联系的临界条件）如图2—1所示，质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A 与B 的接触面光滑，且与水平面的夹角为60° ，求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围。
图2—1例4 如图所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A ，槽的半径为R ，且OA 与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m ，木块的质量为M ，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。
牛顿第二定律临界状态问题
T θ
mg
30 说明绳与水平方向夹角为30
例2：水平地面上，放置倾角θ =37°三角形滑块， M=3Kg，斜面上放置质量m=1.0Kg的物体，三角 形滑块与地面间动摩擦因数µ =0.25,当用F=30N 1 的水平力推三角形滑块时，物块与m一起加速运 动，且没有相对滑动，求：（g=10m/s) (1)物块m所受摩擦力的大小和方向； （2）若物块m与斜面间的动摩擦因数µ =0.3，要使 2 m与M之间不发生相对滑动，求水平力F的大小。
(2)当Fmin时，使m和M 一起运动具有水平向左的最小加速度，此
N f 时刚好m相对M 恰好要下滑而未下滑，m受到沿斜面向上的f max
N1 sin 2 N1 cos mamin m M N1 cos 2 N1 sin mg sin 2 cos sin 37 2 cos 37 amin g g N m / s 2 3.58 mg cos 2 sin cos 37 2 sin 37
解：（1）当f 0时： Ncos =mg a0 g tan g tan 37 7.5m / s 2f Nsin =ma0 对m、M 作为一个整体则：
N m
f M mg F
F ( M m) g F-1 M m) g (m M )a a （ 5.0m / s 2 M m 因a a0 , 故M 对m的静摩擦力f 沿斜面向上 N sin 37 f cos 37 ma N cos 37 f sin 37 mg 解得：f 2 N , 沿斜面向上
F A
θ
B
牛顿第二定律临界状态问题
牛顿定律中的临界问题
牛顿运动定律中的临界问题在应用牛顿定律解题时常遇到临界问题，它包括：平衡物体（a=0）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间；动态物体（a≠0）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。
临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。
加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。
抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。
一、和绳子拉力相联系的临界情况例1. 小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30°角）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：（1）加速度；（2）加速度。
解析：小车处于平衡态（a=0）对小球受力分析如下图所示。
当加速度a由0逐渐增大的过程中，开始阶段，因m在竖直方向的加速度为0，角不变，不变，那么，加速度增大（即合外力增大），OA绳承受的拉力必减小。
当时，m存在一个加速度，物体所受的合外力是的水平分力。
当时，a增大，（OA绳处于松弛状态），在竖直方向的分量不变，而其水平方向的分量必增加（因合外力增大），角一定增大，设为a。
当时，。
当，有：（1）（2）解得当，有：。
点评：1. 通过受力分析和对运动过程的分析找到本题中弹力发生突变的临界状态是绳子OA拉力恰好为零；2. 弹力是被动力，其大小和方向应由物体的状态和物体所受的其他力来确定。
二、和静摩擦力相联系的临界情况例2. 质量为m=1kg的物体，放在=37°的斜面上如下图所示，物体与斜面的动摩擦因数，要是物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？解析：当物体恰不向下滑时，受力分析如下图所示，解得当物体恰不向上滑时，受力分析如下图所示，解得因此加速度的取值范围为：。
点评：本题讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：1. 抓住静摩擦力方向的可能性。
2. 最大静摩擦力是物体即将由相对静止变为相对滑动的临界条件。
《牛顿运动定律》 临界问题
3．解决临界问题的思路 解决临界问题必须从分析物理过程入手，寻找出现临 界状态的条件，求出临界状态对应的物理量，从而确定物 体所处的实际状态．临界问题涉及两个物理过程的转折 点，处理时，应抓住转折点(临界点)的受力特点和运动特 点．如：两物体相互分离的临界状态为：相互作用的压力 为零，加速度和速度相同．两物体产生相对运动的临界状 态为：摩擦力达到最大静摩擦力，加速度和速度相同．
【例题】如图所示，1、2 两细绳与水平车顶的夹角分 别为 30° 和 60° ， 物体质量为 m， 现让小车以 2g(g 为重力加 速度)的加速度向右做匀加速直线运动，当物体与车保持相 对静止时，求：绳 1 中弹力的大小 T1.
下面是一位同学的解法： 以物体 m 为研究对象，受力分析如图，由牛顿第二定 律得： x：T1cos 30° －T2cos 60° ＝ma y：T1sin 30° ＋T2sin 60° ＝mg 解得： 1 T1＝( 3＋ )mg 2 你认为该同学的解法正确吗？ 如有错误请写出正确的解界问题 在许多物理 过程中 ， 会出现 一种量变到 质变的现 象．随着某些物理量的变化，某种物理现象会变化为另一 种物理现象，或物体会从某种特性变化为另一种特性，这 类问题称为临界问题．
2．临界状态 在临界问题中，发生转折的状态称为临界状态．临界 状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现 象的状态．
[答案] A 解析：当木块所受的摩擦力最大时加速度最大，力 F 最大，对木块分析可得 2f－Mg＝Ma，对夹子和木块两个 物体的整体进行分析可得 F－(M＋m)g＝(M＋m)a，联立两 2fM＋m 式可求得 F＝ ，A 项正确． M
• ．如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑 楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度a=_________ 向左运 动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以a=2g的 加速度向左运动时，线中拉力T=__________。
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牛顿定律中的临界问题（一）有关弹力的临界问题——明确弹力变化的特点1.如图6所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。
现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,则F的最小值是，F的最大值是。
F图62.一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图7所示。
现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2）F图73. 如图A－3所示，在斜面体上用平行于斜面的轻绳挂一小球，小球质量为m，斜面体倾角为 ，置于光滑水平面上 (g取10m/s2)，求：（1）当斜面体向右匀速直线运动时，轻绳拉力为多大；（2）当斜面体向左加速运动时，使小球对斜面体的压力为零时，斜面体加速度为多大？（3）为使小球不相对斜面滑动，斜面体水平向右运动的加速度应不大于______．4.如图6－13所示，车厢内光滑的墙壁上，用线拴住一个重球．车静止时，线的拉力为T，墙对球的支持力为N．车向右作加速运动时，线的拉力为T′，墙对球的支持力为N′，则这四个力的关系应为：T′ T；N′ N．（填>、<或＝）若墙对球的支持力为0，则物体的运动状态可能是或5.一斜面体固定在水平放置的平板车上，斜面倾角为 ，质量为m的小球处于竖直挡板和斜面之间，当小车以加速度a向右加速度运动时，小球对斜面的压力和对竖直挡板的压力各是多少？（如下图所示）6.如图所示，光滑的圆球恰好放存木块的圆弧槽内，它们的左边接触点为A，槽半径为R，且OA与水平面成α角.球的质量为m，木块的质量为M，M所处的平面是水平的，各种摩擦及绳、滑轮的质量都不计.则释放悬挂物P后，要使球和木块保持相对静止，P物的质量的最大值是多少?【12】（二）有关斜面上摩擦力的临界问题——物体在斜面上滑动的条件7.如图所示，物体A放存固定的斜面B上，在A上施加一个竖直向下的恒力F，下列说法中正确的有( )(A)若A原来是静止的，则施加力F后，A仍保持静止(B)若A原来是静止的，则施加力F后，A将加速下滑(C)若A原来是加速下滑的，则施加力F后，A的加速度不变(D)若A原来是加速下滑的，则施加力F后，A的加速度将增大8.（09·北京·18）如图所示，将质量为m的滑块放在倾角为θ的固定斜面上。
滑块与斜面之间的动摩擦因数为μ。
若滑块与斜面之间的最大静摩擦力合滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g，则（）A．将滑块由静止释放，如果μ＞tanθ，滑块将下滑B．给滑块沿斜面向下的初速度，如果μ＜tanθ，滑块将减速下滑C．用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果μ=tanθ，拉力大小应是2mgsinθD．用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果μ=tanθ，拉力大小应是mgsinθ9.（08·全国Ⅱ·16）如右图,一固定斜面上两个质量相同的小物块A 和B 紧挨着匀速下滑,A 与B 的接触面光滑.已知A 与斜面之间的动摩擦因数是B 与斜面之间动摩擦因数的2倍,斜面倾角为α.B 与斜面之间的动摩擦因数是( )A.αtan 32 B.αcot 32C.αtanD.αcot（三）有关水平面上摩擦力的临界问题——注意产生加速度的原因10.长车上载有木箱，木箱与长车接触面间的静摩擦因数为0.25.如长车以v=36km ／h 的速度行驶，长车至少在多大一段距离内刹车，才能使木箱与长车间无滑动(g 取10m ／s 2)?11.(07江苏6)如图所示,光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块,其中两个质量为m 的木块间用可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是μmg.现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m 的最大拉力为 ( )A.53mg μ B. 43mgμ C. 23mg μ D. 3μmg12.如图所示，质量为M 的木板上放着一质量为m 的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2，加在小板上的力F 为多大，才能将木板从木块下抽出?13.如图所示，一条轻绳两端各系着质量为m 1和m 2的两个物体，通过定滑轮悬挂在车厢顶上，m 1>m 2，绳与滑轮的摩擦忽略不计.若车以加速度a 向右运动,m 1仍然与车厢地板相对静止，试问:(1)此时绳上的张力T.(2)m 1与地板之间的摩擦因数μ至少要多大?14.质量分别为m 1和m 2的木块重叠后放存光滑的水平面上，如图所示.m 1和m 2间的动摩擦因数为μ.现给m 2施加随时间t 增大的力F=kt ，式中k 是常数，试求m 1、m 2的加速度a 1、a 2与时间的关系，并绘出此关系的曲线图.15如图8－5所示，长方形盒子长为L ，放在水平地面上，盒内小物体A 与盒底之间的动摩擦因数为μ，初始二者均静止，且A 靠在盒子的右壁上．当盒子突然以水平加速度a 起动时， （1）此时加速度多大，物体A 才能相对于盒子滑动？（2）若物体A 已相对于盒子滑动，且盒子的加速度a 为定值，则需要多长时间物体A 与盒子左壁相撞？（四）经典试题赏析16．如图，质量为M 的长木板B 静止位于水平面上，另有一质量为m 的木块A 由木板左端以V 0初速度开始向右滑动．已知A 与B 间的动摩擦因素为μ1，B 与水平面间的动摩擦因数为μ2，木块A 的大小可不计．试求：（1）若木板B 足够长，木块A 与木板到相对静止时两者的共同速度多大？ （2）木块A 开始滑动经多长时间可与木板B 有共同速度？ （3）为使A 与B 达到共同速度，木板B 的长度至少为多大？ （4）为使B 能在水平面滑行，则1μ和2μ之间应满足什么条件？（5）为使物体A 与B 达到共同速度后，能以相同的加速度减速，则1μ和2μ之间应满足什么条件？ m 2 Fm 117.（09·山东·24）（15分）如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8m。
地面上紧靠轨道次排放两声完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。
货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ=0.2。
（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2）若货物滑上木板4时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ1应满足的条件。
（3）若μ1=0。
5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间。
18.如图3—51所示，把长方体切成质量分别为m和M的两部分，切面与底面的夹角为θ长方体置于光滑的水平地面，设切面亦光滑，问至少用多大的水平力推m，m才相对M滑动?6.解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P 离开秤盘。
此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。
在0_____0.2s 这段时间内P 向上运动的距离：x=mg/k=0.4m因为221at x =，所以P 在这段时间的加速度22/202s m txa == 当P 开始运动时拉力最小，此时对物体P 有N-mg+F min =ma,又因此时N=mg ，所以有F min =ma=240N.当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m(a+g)=360N.7.解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P 离开秤盘。
此时P 受到盘的支持力为零，由于盘的质量m 1=1．5kg ，所以此时弹簧不能处于原长，这与例2轻盘不同。
设在0_____0.2s 这段时间内P 向上运动的距离为x,对物体P 据牛顿第二定律可得： F+N-m 2g=m 2a对于盘和物体P 整体应用牛顿第二定律可得：a m m g m m x k g m m k F )()()(212121+=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++令N=0，并由述二式求得k a m g m x 12-=，而221at x =，所以求得a=6m/s 2. 当P 开始运动时拉力最小，此时对盘和物体P 整体有F min =(m 1+m 2)a=72N.当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m 2(a+g)=168N.1.θsin mg ；θgctg ．2. “＝”；“>” 向左的加速运动 向右的减速运动3解析：以小球为研究对象，小球匀加速运动时受到重力G 、斜面对小球的支持力1F 和竖直挡板对小球的支持力2F 的作用．如下图所示，将1F 正交分解，据牛顿第二定律列方程：ma F F =-θsin 12 …… ① mg F =θcos 1 …… ②由①、②解得：θcos 1mgF =θtan 2mg ma F += 根据牛顿第三定律，小球对斜面的压力θcos 11mg F F =='，对竖直挡板的压力大小θtan 22mg ma F F +=='．4答案:α≤45°时，不论P 多大，小球均不会翻出.α>45°时，ααcot 1cot )m M (m P -+=5答案:AD (提示:注意对物体A 正确的受力分析，然后根据牛顿第二定律求解)6.解析：对处于斜面上的物块受力分析，要使物块沿斜面下滑则mgsin θ>μmgcos θ，故μ<tan θ，故AB 错误；若要使物块在平行于斜面向上的拉力F 的作用下沿斜面匀速上滑，由平衡条件有：F-mgsin θ-μmgcos θ=0故F= mgsin θ+μmgcos θ，若μ=tan θ，则mgsin θ=μmgcos θ， 即F=2mgsin θ故C 项正确；若要使物块在平行于斜面向下的拉力F 作用下沿斜面向下匀速滑动，由平衡条件有：F+mgsin θ-μmgcos θ=0 则 F=μmgcos θ- mgsin θ 若μ=tan θ，则mgsin θ=μmgcos θ，即F=0，故D 项错误。
7答案A 解析：对于AB 做匀速直线运动,根据共点力的平衡条件有：2mgsin α-3μmgcos α=0 所以B 与斜面间的动摩擦因数为：μ=2tan α. 8答案:20m9答案B 解析 以四个木块为研究对象,由牛顿第二定律得:F=6ma,绳的拉力最大时,m 与2m 间的摩擦力刚好为最大静摩擦力μmg,以2m 为研究对象,则:F-μmg=2ma,对m 有:μmg- T =ma,联立以上三式得:T=43μmg.10答案:F>(μ1+μ2)(M+m)g 11答案:(1)222a g m T +=(2)22211ag m g m am +-≥μ12答案:当t ≤t 0时，)m m (kta a 2121+==；当t>t 0时，g )m kt (a ,m g m a 22121μμ-==， 13答案：g a μ>；)(2g a LT μ-=14．))((])[(310221μμμμμ-+--m M V M m ；g m M MV ))((210μμ-+；g m M MV ))((22120μμ-+；21μμmmM +>1μ＞2μ 15.解析：（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为0v ，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得，21012mgR m v =①设货物在轨道末端所受支持力的大小为N F , 根据牛顿第二定律得，2011N v F m g m R -=②联立以上两式代入数据得3000N F N=③根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N ，方向竖直向下。