二次函数与菱形的专题

二次函数与菱形1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP =S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大最大值为多少（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF 交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN 为菱形时，求点N的坐标．7．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP 折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．8．如图，ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ 是直角三角形9．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B 作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形请说明理由．10．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大若存在，求出点Q 的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．（1）求抛物线的表达式；的面积；（2）如图2，当t=1时，求S△ACP（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．15.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．16.如图，已知抛物线C1：y=﹣x2，平移抛物线y=x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．抛物线与菱形的专题参考答案1.解：（1）将B、C两点的坐标代入得解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3）；S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABOC+QPOF+QPBF==（10分）当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．（3）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴y=；（6分）∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）2.解：（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），设直线BD解析式为y=kx+s，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD解析式为y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，当△BCD∽△BNA时，则有=，即=，解得x=，此时N点坐标为（，0）；当△BCD∽△BAN时，则有=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标为（﹣4，0）；②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，当△BCD∽△ABN时，则有=，即=，解得y=4，此时N点坐标为（0，4）；当△BCD∽△ANB时，则有=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标为（0，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；（3）∵点P在直线BD上，∴可设P（t，t﹣2），∴BP==|t﹣2|，PC==，∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，∴有BC为边或BC为对角线，当BC为边时，则有BP=BC，即|t﹣2|=2，解得t=2+或t=2﹣，此时P点坐标为（2+，）或（2﹣，）；当BC为对角线时，则有BP=PC，即|t﹣2|=，解得t=3，此时P点坐标为（3，1）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+，）或（2﹣，）或（3，1）．3.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=；设一次函数的解析式为y=kx+b，把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；（2）C点坐标为（0，6），∵DE∥y轴，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OCDE，设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是抛物线上OA段上一点，∴0＜a＜3，∴a=，∴点E坐标为（，）；（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，∵OC=OB=6，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF为等腰直角三角形，∴HO=HF，设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四边形OCMF不为菱形．4.解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2，3）又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上∴，解得：．∴设抛物线的解析式为．（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴，若S△ADP=S△ADC，∵，，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，1），∴OC=1，∴，即或，解得：．∴点P的坐标为．（3）结论：存在．∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1．∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=，∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t 3=4+，t4=．5.解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a≠0），∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a （x+1）2+4可求得a=﹣1∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．（2）由题意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC．∴==2，∴PE=DP=t．∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4．∴点G的纵坐标为﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t．如图1所示：连接BG．S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQAF+EG（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t．=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2．（3）存在．∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2．∴cos∠BDC=．∵BQ=DP=t，∴DE=t．如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=2﹣t，解得t=20﹣8．∴菱形BQEH的周长=80﹣32．如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．∵MB=cos∠QBMBQ，∴MB=t．∴BE=t．∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=．∴菱形BQEH的周长为．综上所述，菱形BQEH的周长为或80﹣32．6.解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DRcos45°=﹣t2+t．（3）如图3中，∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K．∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH==13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH===4k，∴QN=QH=2k，=NHDQ=DNHK，∵S△DNH∴DQ=3，∴tan∠QDH==，∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴=，解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，∴QN=1，∴N（1，）．7.解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0）．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P（，）．（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．∴点M的坐标为（﹣，）．当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．8.解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5．∴tan∠ACB==，∴．由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．∴，OB=OC=4，AD=BC=8．∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．∴解之得，∴抛物线的解析式为y=x2+x+5；（2）存在．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC=AB=CD．又∵AD≠CD，∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE．由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=x2+x+5上．∴存在点E的坐标为（4，6）；（3）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°．∵，∴．由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5．当∠APQ=90°时，，∴，解得．当∠AQP=90°时，，∴，解得．∵，∴或．9.解：（1）由抛物线的解析式知：A（0，1）；∵BC⊥x轴，且点C（﹣3，0）∴点B的横坐标为﹣3，将其代入抛物线的解析式中，得：﹣×9+×3+1=∴点B（﹣3，）；设直线AB的解析式为：y=kx+1，有：﹣3k+1=，k=﹣∴直线AB：y=﹣x+1．（2）由题意，OE=t，则点E（﹣t，0）；（0≤t≤3）当x=﹣t时，点F（﹣t，t+1），点G（﹣t，﹣t2+t+1）∴GF=|（﹣t2+t+1）﹣（t+1）|=﹣t2+t即：s=﹣t2+t（0≤t≤3）．（3）因为BC⊥x轴，GE⊥x轴，所以BC∥GF；若四边形BCFG是平行四边形，那么BC=FG，即：s=﹣t2+t=，解得：t=1或2．当t=1时，点F（﹣1，），CF==，即CF=BC，该平行四边形是菱形；当t=2时，点F（﹣2，2），CF==，即CF≠BC，该平行四边形不是菱形；综上，当t=1或2时，四边形BCFG是平行四边形，其中t=1时，该平行四边形是菱形．10.解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+1；（2）BF=BC．理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，∴BF=x2+1，∵BC⊥x轴，∴BC=x2+1，∴BF=BC；（3）如图1，m为自然数，当m=0时，易得四边形BCPF为正方形，此时P点在原点；当点P在F点上方，∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，∴CB=CF=PF，而CB=FB，∴BC=CF=BF，∴△BCF为等边三角形，∴∠BCF=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OCF中，CF=2OF=4，∴PF=CF=4，∴P（0，6），∴自然数m的值为0或6；（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，解方程组得或，则B（2+2，4+2），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，∴S△QBF =S△EQF+S△EQB=（2+2）EQ=（+1）（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2+2+2当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）．11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=；（3）存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=，∴N（，），同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，当N（，﹣）或（，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．12.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴，解得：．∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），∴BC==4．设直线BC的解析式为y=kx+4，∵点B的坐标为（4，0），∴0=4k+4，解得k=﹣1，∴直线BC 的解析式为y=﹣x+4．当t=1时，CP=，点A（﹣1，0）到直线BC的距离h===，S△ACP=CPh=××=．（3）①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，∴CP=t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．当t=﹣=2时，PF取最大值，最大值为4．②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，∴PC=P′C，PF=P′F，当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．∴t=﹣t2+4t，解得：t1=0（舍去），t2=4﹣．故当t=4﹣时，四边形PFP′C是菱形．13.解：（1）把点A（﹣4，0）、B（﹣1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3．（2）①如答图2﹣1，过点D作DH⊥x轴于点H．∵S ODAE=6，OA=4，=OADH=3，∴S△AOD∴DH=．因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，∴x2+x+3=﹣，解得：x1=﹣2，x2=﹣3．∴点D坐标为（﹣2，﹣）或（﹣3，﹣）．当点D为（﹣2，﹣）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为（﹣3，﹣）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．②假设存在．如答图2﹣2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=：2．设D（m，m2+m+3）（m＜0），则F（m，m+3）．∴CN=﹣m，NF=﹣m∴CF==﹣m．∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，∴△DMF∽△CNF，∴，∴DF=CF=﹣m．∴DN=NF+DF=﹣m﹣m=﹣m．又DN=3﹣（m2+m+3）=﹣m2﹣m，∴﹣m2﹣m=﹣m解得：m=﹣或m=0（舍去）∴m2+m+3=﹣∴D（﹣，﹣）．综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（﹣，﹣）．14.解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）．（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：①当直线l边AD相交与点M1时，则S=×10=3，∴×3×（﹣y）=3∴y=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．15.解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）．设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=，（2）如图1物线y=的对称轴为：x=，由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长最小时的点G，设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．，解得：，所以：y=x+2，当x=时，y=，所以此时点G（，）；（3）如图2使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），证明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M，由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此时点Q的坐标为：（，）；（4）存在点N的坐标为：（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（，2）．16.解：（1）由题意设D（a，﹣a2），假设抛物线C2的解析式为：y=（x﹣a）2﹣a2，∵点C在抛物线C2上，∴将C（0，2）代入上式，解得：a=±2，∵点D在y轴右侧，∴a=2，∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣2；（2）由题意，在y=（x﹣2）2﹣2中，令y=0，则x=2±，∵点B在点A的右侧，∴A（2﹣，0），B（2+，0），又∵过点A，B，C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，∴设E（2，m），且|CE|=|AE|，则22+（2﹣m）2=m2+（2﹣2+）2，解得：m=，∴圆心E的坐标为：（2，）；（3）假设存在点F（t，），使得四边形CEBF为菱形，则|BF|=|CF|=|CE|，∴（）2+（2+﹣t）2=（2﹣）2+t2，解得：t=，当t=时，F（2，），此时|EC|=，|FC|===，∴|CF|=|BF|=|BE|=|EC|，即存在点F（，），使得四边形CEBF为菱形．17.解：（1）直线解析式y=x﹣4，令x=0，得y=﹣4；令y=0，得x=4．∴A（4，0）、B（0，﹣4）．∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得，∴抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣4．令y=x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3或x=4，∴C（﹣3，0）．（2）∠MBA+∠CBO=45°，设M（x，y），①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示．∵∠ABO=45°，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E=x，OE=﹣y，∴BE=4+y．∵tan∠M1BE=tan∠BCO=，∴，∴直线BM1的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4，得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=，∴y1=﹣4，y2=﹣，∴M1（，﹣）；②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．过点M2作M2E⊥y轴于点E，则M2E=x，OE=y，∴BE=4+y．∵tan∠M2BE=tan∠CBO=，∴，∴直线BM2的解析式为：y=x﹣4．联立y=x﹣4与y=x2﹣x﹣4得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=5，∴y1=﹣4，y2=，∴M2（5，）．综上所述，满足条件的点M的坐标为：（，﹣）或（5，）．（3）设∠BCO=θ，则tanθ=，sinθ=，cosθ=．假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．①若以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ=t，菱形边长=t．∴CE=CQ=（5﹣t）．在Rt△PCE中，cosθ===，解得t=．∴CQ=5﹣t=．过点Q作QF⊥x轴于点F，则QF=CQsinθ=，CF=CQcosθ=，∴OF=3﹣CF=．∴Q（﹣，﹣）．∵点D1与点Q横坐标相差t个单位，∴D1（﹣，﹣）；②若以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ=t，菱形边长=t．∵BQ=CQ=t，∴t=，点Q为BC中点，∴Q（﹣，﹣2）．∵点D2与点Q横坐标相差t个单位，∴D2（1，﹣2）；③若以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ=t，菱形边长=5﹣t．在Rt△CEQ中，cosθ===，解得t=．∴OE=3﹣CE=3﹣t=，D3E=QE=CQsinθ=（5﹣）×=．∴D3（﹣，）．综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．。