第5讲数量场的方向导数与梯度

令ρ →0取极限，注意到此时有ω →0，则得到定理1.
例1：求函数 u
沿
解： u
x2 y2 z 2
在点M(1,0,1)处
l i 2 j 2k
x x
2 2
方向的方向导数。
2
x y z u z
u y z
2 2
y x y z
2 2 2
x y z
显然
l 为 l 方向上的单位矢量，因此函数u在 l 方向
0
上的方向导数等于G在
u 0 0 G l G cos( G, l ) l 0 因此当方向 l 与G 的方向一致时，即 cos(G, l ) 1 u G l
l
方向上的投影，如下式：
函数u的方向导数取得最大值为：
由此可见矢量G的方向就是函数u（M）变化率最大的方向，其模就是最大变化率的数值，我们把G称为函数u 在给定点处的梯度。
证毕!
函数沿曲线方向的方向导数：
定义：如图，从M点出发沿C之正向取一点M1,记弧
长 MM1 s ,若当M1→M时，比式：
u u ( M 1 ) u ( M ) s MM1
的极限存在，称之为函数u在点M处沿曲线（正向）的方向导数记为：
u s
定理3. 若曲线C光滑，在点M处函数u可微，则有：
4 cos 17
u u 2 6 xy M 36, (3x 2 y) 6. M x M y M
所求方向导数为：
u u u cos cos s x y 1 4 60 36 6 17 17 17
2.数量场的梯度
考察方向导数的公式：
就可以通过在该点的梯度表示为：
n
0
，
gradu n , gradu
0
符号由 n 的取向来确定。把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来就得到一个矢量场，成为此数量场产生的梯度场。
0
r x 2 y 2 z 2 为点M(x,y,z)的矢径r的模，例3：设
试证：
r 0 grad r r r
其周围空间的任一点M(x,y,z)处所产生电位为：
v
解：利用公式（6）得
q 4r
其中ε 为介电常数，r xi yj zj , r r . 试求电位v的梯度。
grad v grad
由例3知
q
4r r grad r r

q 4r
2
grad r
所以
grad v E
微，则函数u在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且
其数值由如下公式给出：
数，cos ，，为 l 方向的方向余弦。 cos cos
u u u u cos cos cos l M 0 x x z u u u 其中 x ， y ， z 是在点M0处的偏
2
2 3
在点M(1,2,-1)处沿平行于z轴方向上的方向导数取得最大值32.
解： u u u grad u i j k x y z
(ay2 3cz 2 x 2 )i (2axy bz) j (by 2czx3 )k
grad u M (4a 3c)i (4a b) j (2b 2c)k
定理2.若在有向曲线C上取定一点M0作为计算弧长s
的起点，并以C之正向作为s增大的方向；M为C上的一点，在点M处沿C之正向作一与C相切的射线l,如图，则当曲线C光滑，函数u在点M处可微时，函数u沿l方
向的方向导数就等于函数u对s的全导数，即：
u du l ds
证明：由于曲线C是光滑的，因此可用弧长s作为参数在描述其参数方程： x=x(s), y=y(s), z=z(s). 沿曲线C,函数表示为 u=u[x(s), y(s),z(s)]. 点M处，函数u可微，则u对s的全导数为：
2
点M(2,3)处沿x增大方向的切线方向导数即可。
将曲线方程改为矢量形式：
r xi yj xi ( x 1) j 其导矢： r i 2 xj
2
就是曲线沿x增大方向的切向矢量，代入点M（2,3）得
r M i 4 j
1 其方向余弦为： cos 17
函数u在点M处的偏导数为：
证明：M点的坐标为M(x0+Δ x, y0+Δ y, z0+Δ z)，由
于函数u在M0处可微，故
u u u u u ( M ) u ( M 0 ) x y z x y z
其中ω 在ρ →0时趋于零，上式两边除以ρ ，可得：
u
u x u y u z x y z u u u cos cos cos x y z
记：
q k grad u
u q cos( q, l ) 则热流强度： k l
只有当 l 的方向与q 的方向一致时,热流强度取得最大值|q|。即矢量q 的方向表达了热流强度最大的方向，其模表示最大热流强度的数值。称q 为热流
矢量。是传热学中的重要概念。
例8：设有位于坐标原点的点电荷q，由电学知道，在
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u u 1 (5) grad ( ) 2 (vgrad u u grad v ) v v
(6) grad f ( u ) f (u) grad u
f f (7) grad f ( u, v ) grad u grad v u u
证明：
r x x , x x2 y 2 z 2 r r y r z , , 同理 y r z r
于是
r r r grad r i j k x y z x y z r 0 i j k r r r r r
求数量场 u xy2 yz3在点M(2,-1,1)处的梯例4：
（1）梯度的定义：
在数量场u(M)中的一点M处，存在这样一个矢量G，
其方向为函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模也
正好是这个最大变化率的数值。则称矢量G为函数u(M)
在点M处的梯度，记作grad u,即：
grad u G
我们可以借助于方向导数的公式求出梯度在直角坐标系中的表达式为：
q 4r
q
3
3
r
由于电场强度：
4r
r
则有：
E -gradv
此式说明：电场中电场强度等于电位的负梯度。从
而可知，电场强度垂直于等位面，且指向电位减小的
一方。
Homework 4
作业 P48 习题3：1，2，4，6, 8
2
在点M(1,0,1)处有：
u 1 x 2
u 0 y
u 1 z 2
而l的方向余弦为：
1 cos 3
由定理1可得：
2 cos 3
2 cos 3
u u u u cos cos cos l x y z 1 1 2 1 2 2 0 3 2 2 3 2 3
du u dx u dy u dz ds x ds y ds z ds dx dx dx 注意到，，是曲线C的正向切线l的方向余弦， ds ds ds 即： dx dy dz cos cos cos ds ds ds
即有：
du u u u u cos cos cos ds x x z l
时)，
u
u(M ) u(M 0 ) M 0M
的极限存在，
方向导数的定义
则称此极限为函数 u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，
记为:
u(M ) u(M 0 ) u lim l M 0 M M 0 M0M
定理1. 若函数 u =u(x, y, z)在点 M0(x0, y0, z0)处可
第二章场论
第5讲数量场的方向导数和梯度
主要内容
1. 数量场的方向导数 2. 数量场的梯度
教材：第2章第2节
1.数量场的方向导数方向导数定义：
设M0是数量场u =u(M)中的一个已知点，从点M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上点M0的邻近取一动点M，记 M 0 M ，如图所示。若当M 趋于M0时(即ρ 趋于零
例7：设有一温度场u(M),由于场中各点的温度各不相同，因此就有热的流动，由温度高的点流向温度低的点，根据热传导理论：在场中任一点处，沿任一方向的热流强度与该方向的上的温度变化率成正比。则场中任一点处，沿 l 方向的热流强度为：
u k l
其中k称为内导热系数，负号表示热流方向与温度增大的方向相反
u u u gradu G i j k x y z
（2）梯度的性质：
性质1：函数u沿l方向的方向导数等于梯度在该方向
的投影。写作：
u grad l u l
性质2：数量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直与过该点的
等值面，且指向函数u(M)增大的一方。由性质2可知：在等值面上任一点处的单位法矢量
u u u u cos cos cos l x x z
可以看成是矢量G与矢量
u 0 0 G l G cos( G, l ) l
其中：
0
l 的数量积
0
u u u G i j k, x y z
l cosi cosj cosk
l 2 2 1 l i j k l 3 3 3
M点在l 方向的方向导数为（梯度在l方向的投影）
u l
gradl u M [ grad u l ]M
o M
2 2 1 1 (3) (3) ( ) 3 3 3 1 3

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[数学]方向导数与梯度

f x f y o( ) x y
cos
cos
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim 0 l
f f cos cos . x y
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例 1 求函数 z xe 2 y 在点 P (1,0) 处沿从点
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方向导数与偏导数
若偏导数 f , f 存在，则 x y f f 其中 l (1,0) i x l f f 其中 l (0,1) j y l
X轴正向
Y轴正向
f ( x0 cos , y0 cos ) f ( x0 , y0 ) f lim l 0
解
P (1,0) 到点Q( 2,1) 的方向的方向导数. 这里方向 l 即为 PQ {1,1}, 1 1 与 l 同向的单位向量为（） ,
z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, y ( 1 , 0 )
2 2
z e 2 y (1, 0 ) 1; x (1, 0 )
所求方向导数
1 1 z 2 1 2 ( ) . 2 2 2 l
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例 2 求函数 f ( x , y ) x 2 xy y 2 在点（1，1）沿与 x 轴方向夹角为的方向射线 l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？
f l
f x (1,1)cos f y (1,1)cos
(1,1)
2 sin( ), 4

2.2数量场的方向导数和梯度.

3）在球面坐标系中：
3、梯度的性质
1）标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
2）标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
5.
梯度的重要性质
0
证：
ˆ x x x ˆ y y y
标量场梯度的旋度恒等于零。
ˆ z z z
2 2 2 2 2 ˆ( ˆ( ˆ( x F F) y F F) z F F) yz zy zx xz xy yx
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数 1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
u u lim | l M l 0 l
l
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u u u u ex ey ez x y z u 1 u u u er e ez r r z u 1 u 1 u u er e e r r r sin
2）在柱面坐标系中：
=0
例题：
若 R r r ' ，R R
在处理相对坐标的函数的梯度运算时，算子与算子 ' 可以互换，但改变其前的正负号。
证明：
1 1 ( ) '( ) R R
ex ey ez 说明： x y z ' ex ey ez x ' y ' z '

2.2 方向导数与梯度

从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯一确定。
华北科技学院基础部 17
2014年5月11日星期日
2.2 数量场的方向导数和梯度 u u u u cos cos cos l x y z
在直角坐标系中，令
l cos i cos j cos k
2 cos 2 2 2 3 1 2 2
2014年5月11日星期日
2
华北科技学院基础部
11
2.2 数量场的方向导数和梯度
而
u 2 x u 2 y u ( x 2 y 2 ) , , x z y z z z2
数量场在l方向的方向导数为
u u u u cos cos cos l x y z 2 2 1 2x 2 2 y 2 x y 3 z 3 z 3 z2
当

趋于零时对上式取极限，可得
u u u u cos cos cos l x y z
实际应用：计算函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率（定点且定向）．
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
8
2.2 数量场的方向导数和梯度
若方向导数存在，则偏导数未必存在 . 方向导数与偏导数有什么关系 ? 2 2 例如，z x y 在O 0,0 处沿l i 方向的 z f 而偏导数 0 , 0 不存在 . 方向导数 1 ， 0 0， x l z f ( x , y ) f (0,0) ( 0 , 0 ) lim 原因： 0 l 方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限 . ( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y ) 函数可微是方向导数存在的充分条件，

§5.5方向导数与梯度

并指出z在该点沿哪个方向的方向导数最大？该最
大的方向导数是多少？z沿哪个方向减小得最快？
解
gradz(M0 )
z , z x y
M0 2x y, 2 y x (1,1)
(3, 3)
l 1 2, 1
l
5
z l
( 1,1)
gradf (M 0 )
l l
1 (6 3) 3
5
5

z在该点沿梯度方向，即 3，3的方向导数最大，
lim z
l
M0
t 0
f (x0 t cos, y0 t cos ) f (x0, y0 )
t
f x (x0, y0 ) cos f y (x0, y0 ) cos
z l
M0
z x
M0
cos
z y
M0 cos grad f (M 0 )
l l
grad f (M 0 ) cos 这里为grad f (M 0）与l 的夹角。
l l
证明：若 z f (x, y)在点M 0 (x0, y0 )可微,
z f (x0 t cos, y0 t cos ) f (x0, y0 )
fx (x0, y0 )t cos f y (x0, y0 )t cos o( (t cos )2 (t cos )2 )
f x (x0, y0 )t cos f y (x0, y0 )t cos o( t )
当 0，即 l 与grad f (M 0 )同方向时， z在M 0的方向
导数取最大值，且最大值 grad f (M 0 )
当
，即
l 与grad
f
2
(M 0 )垂直时， z在M 0的方向导数

0.20.5标量场的方向导数和梯度（论文资料）

F
P
lim L F dl
处沿S 方0 向en的S 环量面密度，即环量对
面积的变化率。
特点：其值与点 P处的方向 en有关。
2.2 旋度的定义
矢量场在 P点处的旋度为一矢量，它的方向沿着使环量面密度取得最大值的面元法线方向，大小等于该环量面
密度的最大值，记作
rotF
en
lim
S 0
F dl
§0.2 标量场的方向导数和梯度
1 标量场和矢量场如果某一确定空间区域上的每一点都有一个确定
的物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电势场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
x
ey
y
ez
z
) (exrx
e yry
ez rz
)
x
x x
ey y y y
ez z z z
ex
(z y
z)
(
y z
y)
ey
(
x z
x)
(z x
z)
ez
(
y x
y)
(x y
x)
0
其他： 1 r
r r3
，
r r3
0
，
r r3
0
§0.5 无旋场与无散场
2 矢量场的旋度
矢量场的环量给出了矢量场与闭合曲线所围曲面内涡旋源的
宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与涡旋源的关系，引入矢
量场的旋度。
2.1 环流面密度
过点 P作一微小曲面S，它的边界曲线记为 L， en

[微积分Ⅱ]8-5 场的方向导数与梯度

例讨论函数 z f ( x , y ) x y 在(0,0)
2 2
点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
解 z
f ( x ,0) f (0,0) ( 0 , 0 ) lim x 0 x x | x | lim . x 0 x
z 同理： y
设u, v可微, , 为常数, 梯度运算具有以下运算法则 :
(1) grad (u v ) grad u grad v ( 2) grad ( u.v ) u grad v v grad u ( 3) grad f ( u) f ' ( u) grad u
f f f gradf ( x , y , z ) i j k. x y z
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.
例
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
o
x
为 l 上的另一点且 P U ( p ). （如图）
| PP | ( x )2 ( y )2 ,
且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ),
考虑 z

,
当 P 沿着 l 趋于 P 时，
lim
0
f ( x x , y y ) f ( x , y )
3 7 （3）当和时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u f ( x , y , z ) ，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数，可定义为

数量场的方向导数与梯度

梯度的数学表达式为：grad f(x,y,z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
梯度的几何意义
01
在三维空间中，梯度表示函数值增长最快的方向，其方向与该方向导数的方向一致。
02
梯度的模长表示函数在该点的变化率，即函数值在该点增加或
减少的速度。
在等高线图上，梯度的方向与等高线切线的方向垂直，梯度的
数量场的方向导数与梯度
目录
• 数量场的基本概念 • 方向导数 • 梯度 • 方向导数与梯度的关系 • 数量场的应用
01
数量场的基本概念
数量场的定义
总结词
数量场是一个数学概念，它是一个函数，将点集映射到实数集，表示物理量在空间中的分布情况。
详细描述
数量场是一个定义在一定空间上的函数，其取值代表该空间位置上的物理量的大小。例如，温度场表示温度在空间中的分布，速度场表示速度在空间中的分布。
GDP分布等。
02 分析经济现象，如区域经济发展、人口流动等。
03
预测经济趋势，如经济发展趋势、市场变化趋势等。
感谢您的观看
THANKS
数量场的几何意义
总结词
数量场的几何意义可以理解为物理量在空间中的梯度变化。
详细描述
在几何上，数量场可以看作是空间中各点的物理量沿各个方向的变化情况。具体来说，如果一个点附近物理量的变化率大，则该点处的梯度也大。因此，梯度可以用来描述物理量在空间中的变化趋势。
数量场的分类
总结词
根据物理量的性质和变化规律，可以将数量场分为不同的类型。
几何图形表示
方向导数的几何意义可以通过函数图像在某一点的切线斜率来理解，切线斜率越大，表示函数在该方向上的变化率越大；切线斜率越小，表示函数在该方向上的变化率越小。

方向导数和梯度-PPT文档资料

体课件 PPT文档
二、梯度的概念
定义 2 若 f ( x , y , z ) 在点 P ( x , y , z ) 0 0 0 0
存在偏导数，则称向量 ( f ( P ), f ( P ), f ( P ) x 0 y 0 z 0
为函数 f在点 P 的梯度，记为 0
grad f ( f ( P ), f ( P ), f ( P )) x 0 y 0 z 0
x
0
y
P0
y
x
x
y
P
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l
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2 u x yz 在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向例1. 求函数
l : (2, -1, 3 ) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
2 co s , 2 2 2 14 2 ( 1 ) 3 2
o ( ) f ( P ) cos fy( P ) co s fz(P cos x 0 0 0)

令 ρ→0 取极限，得
f ( P ) f ( P ) cos f ( P ) cos f ( P ) co l 0 x 0 y 0 z 0
z
z

l
y
P0 x y
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体课件 PPT文档
f在数 P 点 ( x ,y , z ) 处可 , 微定理17.6: 若函 0 0 0 0
则函数在该点沿任意方向cos , cos , cos 为方向 l 的方向余弦 .

方向导数及梯度参考资料

1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
4/8/2020
27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
4/8/2020
14
而所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y

《矢量分析与场论》数量场的方向导数和梯度

u du l ds
l

M

M0
C
2.方向导数
以 s 为参数的参数方程为：证：设曲线
x x( s),
C
l

M
y y ( s),
z z ( s)

M0
C
则沿曲线C ，函数，
u u[ x( s), y( s), z ( s)]
根据复合函数的求导定理，有
du u dx u dy u dz ds x ds y ds z ds
u u lim s s 0 s
2.方向导数定理 3 ：若在点 M处函数 u 可微、曲线
光滑， C
则有：
u du s ds
u du 存在时，有 s ds
证：
du u 故当 lim s 0 s ds
。
2.方向导数推论：若在点 M 处函数 u 可微、曲线 C 光滑，则有：
2 2 2
令：
x y z cos a , cos , cos l l l
分别表示 l 在 x, y, z 轴上的方向余弦，于是得到：
l cosai cos j cosk
2 2 2
cos cos cos 1
2.方向导数
l
与 G 的方向一致时，即 cos(G, l ) 1 时，
的方向导数。
当方向
方向导数取最大值。
3.梯度最大值为：
u G l
矢量 G 的方向就是函数 u(M变化率最大的方向， )
其模正好是最大变化率的数值。
把 G 叫做函数 u(M )在给定点处的梯度。

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