13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第2课时)
13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)画法
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD； ∴ MN⊥AB ， A D B 2.垂直平分线的性质： ∵MN是AB的垂直平分线 N ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 （ 与一条线段两个端点距 离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ）
学习目标
1.掌握线段垂直平分线的画法． 2.会画两个成轴对称的图形(或一个轴对
称图形)的对称轴．
思考
两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴? 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了． 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?
自学指导1
认真看课本P62页例题，动手进行尺规
作图 思考导学案P41第三题
检查自学效果1
请用自己的语言叙述如何画一条线段的垂直 平分线
作线段的垂直平分线. 已知：线段AB. 求作：线段别以点A，B为圆心， 作法：
以大于 1 AB的长为半径作弧，
2
D
两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD即为所求.
的直线就是角的对称轴.
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
课堂小结
1．说说线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方 法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然 后画垂线．
初中数学同步训练人教8年级上册：第2课时 13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第十三章轴对称第2课时13.1.2线段的垂直平分线的性质一、课前小测——简约的导入1. 下列图形中一定是轴对称图形的是（）.A. 梯形B. 直角三角形C. 角D. 平行四边形2.以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）.二、典例探究——核心的知识例1 已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴．例2 如图1△ABC和△A´B´C´关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点;（2）连接A,A´，直线m与线段AA´有什么关系？（3）延长线段AC与A´C´,它们的交点与直线m 有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流．例3 如图2，在△ABC中，AB＝AC＝16cm，AB 的垂直平分线DE交AC于D，BC＝10cm，求△BCD 的周长. 三、平行练习——三基的巩固3. 画出下面各轴对称图形所有的对称轴．4.如图3，△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC 与DE的交点F在直线MN上．（1）指出两个三角形中的对称点；（2）指出图中相等的线段和角；（3）图中还有对称的三角形吗？5.如图4，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，求△ABC 的周长．四、变式练习——拓展的思维例4 如图5，点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA,OB 的对称点P 1,P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为.变式1 如图6，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C,D. （1）求证：∠PCD=∠PDC; （2）你认为OP 与CD 有什么关系？证明你的结论.POCBA图6变式2 如图7，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E.求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．五、课时作业——必要的再现6. 下列说法错误的是（ ）.A ．D,E 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD=BD ，AE=BEB ．若AD=BD,AE=BE,则直线DE 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA=PB,则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA=PB ，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线7. 画出下列图形的所有对称轴.8. 如图8,在△ABC 中,∠C =90°,DE 垂直平分斜边AB,分别交AB,BC 于点D,E.且CAB =B+30°,求∠AEB 的度数.9. 如图9，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F. 求证：BM=MN=NC.答案1. C.2. B.例1 略.例2 (1)与A′,B与B′,C与C′;(2)m⊥AA′；(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．例3 ∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD.又∵AC=16,∴BD+DC=16,即BC=10.∴△BDC的周长为BC+BD+CD=16+10=26cm.答：△BCD的周长26cm.3.画图略.4. (1)A与A，B与D，C与E是对称点；(2)AB=AD,AC=AE,BC=DE,BF=DF,EF=CF；(3)△AEF与△ACF.5. ∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD，AC=2AE=6cm.又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm,∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm.例415.变式1 (1)∵P点是∠AOB平分线上一点,PC⊥OA，PD⊥OB,∴PC=PD,∴∠PCD=∠PDC.(2) ∵PC⊥OA，PD⊥OB且∠PCD=∠PDC,∴∠CPO=∠DPO,∴OC=OD.∵PC=PD,∴点P,O在CD垂直平分线上,∴OP⊥CD.变式2 ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠ACB=90°，DE⊥AB,∴DE=DC且∠EDA=∠CDA,∴AE=AC，∴直线AD是CE的垂直平分线．6. D.7. 略.8．∵DE垂直平分斜边AB,∴AE=BE,∴∠EAB=∠EBA.∵∠CAB=∠B+30°,CAB=∠CAE+∠EAB, ∴∠CAE=30°.∵∠C= 90°,∴∠AEC=60°,∴∠AEB=12°.9. 连结AM,AN.如下图所示:∵AB=AC ,∠A=120°∴∠B=∠C=30°.∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴AM=BM,AN=CN,∠BAM=∠B=30°,∠NAC= ∠NCA=30°,∴∠MAN=60°.易证△ABM与△CAN全等，即AM=BM=AN=NC, 易证△MAN为等边三角形，即AM=AN=MN,∴BM=MN=NC.。
画轴对称图形
l
B′
A′
A (B ′) Bl
A′
B′ Bl
(图2)
(图3)
想一想：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形 关于这条直线对称的图形呢？
例3 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l 对称的图形.
B C
lA
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出 这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到 要画的图形.
问题1：如何画一个点的轴对称 图形？
画出点A关于直线l的对称点A′. 作法： （1）过点A作l的垂线，垂足为点O. （2）在垂线上截取OA′＝OA. 点A′就是点A关于直线l的对称点.
﹒A
O
l
﹒A′
问题2：如何画一条线段的对称图形？ 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.
A
A′ (图1)
B
A
分析：增设的公共汽车站要
满足到两个小区的路程一样
长，应在线段AB的垂直平 分线上，又要在公路边上，
A 所以找到AB垂直平分线与 公路的交点便是.
B 公共汽车站
典例精析
例1 如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝ PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证： ∠MAP＝∠NPB.
刻度的直尺作出它们的对称轴.
解：延长BC、B'C'交于点P，延长 A
AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直
线PQ即为所要求作的直线l.
B
l A′
B′ C PC′
Q
方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线） 相交，那么交点必定在对称轴上.
13.1.2线段垂直平分线的性质第2课时-人教版八年级数学上册课件
分析：到角两边距离相等的
点在角的平分线上，到两点
O
距离相等的点在两点连线的
垂直平分线上.
m B
P S
A
n
新知讲解
二、做图形的对称轴
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点 所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴
试一试：右图中的五角星有几条对称轴？如何作
出这些对称轴呢？
A
作法：（1）任意找到五角星的一对对
分析：超市在连接任意两点
的两条线段的垂直平分线的 交点处.
B C
A
学以致用
3、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm， △ABD的周长为13cm，求△ABD的周长
19cm
学以致用
4、如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE 求证：OE垂直平分BD
A
分析：先证△AOB≌△COD
A
B
M
Nl
例题精讲
解：(1)如图所示：
A
B
M PN
l
Hale Waihona Puke (2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
牛刀小试
如图，电信部门要在S区修建一信号发射塔。按要求发射塔到两城镇A、 B的距离必相等，到两条公路高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔 应建在什么位置？(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 作轴对称图形的对称轴
温故知新
1、垂直平分线的性质 2、点在垂直平分线上的判定 3、三角形的外心及其性质
新人教版八年级上册数学13.1.2_线段的垂直平分线的性质[2]
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聚焦中考
• △ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的 垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB 于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF
A
C
E
M
F
B
D
随堂练习
1、如图,已知AB是线段CD的垂直 平分线,E是AB上的一点,如果 EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 ∠ECD=600,那么∠EDC= 60 0.
C
AE
B D
A 2、如图所示，
在△ABC中，
AB=AC＝32， MN是AB的垂
M
直平分线，且
N
有BC=21，求
△BCN的周长。 B
C
已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称，
P与B关于OM对称。若AB长为15cm
求：PCD的周长.
解: P与A关于ON对称
N A
ON为PA的中垂线（
反过来，如果PA=PB，那麽点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？
通过探究可以得到：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 l
线段的垂直平分线上。
∵PA=PB
P
∴点P在线段AB的垂直平分线上
A
C
B
已知：PA=PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB,垂足为C
l
∴∠ACP=∠BCP= 90
13.1.2线段的垂直平分线的性质
A
A
M PP1 P2 P3
C
B
B
•已,MAN如 AA是知C上BB=左l :任B钉 ，的如C图在 P意,点，图1M一，一、N木⊥起分P点条2A，别、.BLL,量与PP垂3一木是直…量条于…点 求P证1、:PPA2=、PBP.3……到Ａ与
13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)
13．1.2 线段的垂直平分线2学习目标：1、进一步理解线段垂直平分线的性质，并能灵活运用。
2、理解并掌握线段垂直平分线的判定3、运用线段垂直平分线的判定解决问题重点：探索并理解线段垂直平分线的判定难点：运用线段垂直平分线的判定解决问题一、自主学习;、预习新知P611、用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去。
（1）（2）1)如图（1）要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？那么点C在_____________上。
2）如图（2），拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上。
3）由1），2），你得到什么猜想？4）用学过的知识证明你的猜想。
二、导学交流：知识点一理解并掌握线段垂直平分线的判定小帅同学为验证逆命题已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：已知：_______=_______求证：_____在AB的______________线上P证明：A B 判定定理：几何语言：∵∴总结：与一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的______________上三、随堂练习;知识点三3、运用线段垂直平分线的性质、判定解决问题1.点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（）A．PB=PC B. PA=PCC. PA=PBD. 点P到∠ABC的两边距离相等2．下列说法错误的是（）A. D.E是线段AB的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则线段DE是线段AB的垂直平分线BBC ． 若PA=PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D. 若PA=PB,则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线1、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A.在AC 、BC 两边高线的交点处B.在AC 、BC 两边中线的交点处C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D.在A 、B 两内角平分线的交点处3：如图，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB ，AC ，CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？四、小结：本节课学习你有什么收获？什么疑惑？五、课后作业1. △ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，垂足为E,交AB 于点D ， AE=5cm ，△CBD 的周长为24cm ，求△ABC 的周长。
全效学习八上数学13.1.2 第2课时 线段的垂直平分线的画法
数学
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类型之一
线段的垂直平分线的作法
如图13－1－24，某地有两 所大学和两条相交的公路，点M，N
表示大学，AO，BO表示公路．现计
划修建一座物资仓库，希望仓库到两 所大学的距离相等，到两条公路的距 离也相等．你能确定仓库P应该建在 什么位置吗？在所给的图形中画出你 图13－1－24
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3．如图13－1－26所示，线段AB、AC的垂 直平分线相交于点P，则PB与PC的关系
是
A．PB>PC C．PB<PC B．PB＝PC
(
B ) 图13－1－26
D．PB＝2PC
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4．如图13－1－27，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺， 准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹)．
【点悟】 作图与证明融为一体，是近年来中考命题的趋势， 体现了实验探索，证明说理的认识规律．
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1．[2014· 泉州]正方形的对称轴的条数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是
( (
D ) A )
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图13－1－27
第4题答图
解：如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴(解答不唯一)．
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人教版八年级数学上册13.1.2线段的垂直平分线的性质(第2课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册13.1.2《线段的垂直平分线的性质（2）》教学设计一、教材分析1、地位作用：本节教学内容是在学生了解线段的垂直平分线的性质和掌握了过直线外一点作已知直线的垂线后的一节课，主要是使学生掌握用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线。
同时还要求学生会根据一个平面图形的特点找出它的对称轴，为找线段的中点和正确判断一个平面图形是否是轴对称图形打下坚实的基础。
通过这节的学习还能使学生在处理到两地距离相等或寻找最短距离等问题寻到最优化的方法。
同时这节课对于培养学生的数学审美能力和动手能力，拓展学生的空间想象力也有十分重要的意义。
2、教学目标：①理解理解并且会运用垂直平分线的两个性质；②掌握画一条线段的垂直平分线和判断一图形是否是轴对称图形的方法；③经历操作、观察、分析，探究思考作图和找对称轴方法；④应用垂直平分线的性质和轴对称的性质解决简单的问题。
目标分析：由于学生对过直线外一点作已知直线的垂线有了一定得了解，对用尺规作图的方法有一定基础，因此学习本课时一般能达到水到渠成的效果。
但由于缺乏空间概念，学生在学习这部分内容时可能会遇到这样或那样的困难，尤其是一些学困生对基本作图的方法和找图形的对称轴图形会感到吃力。
因此，在教学过程中力求体现以下几方面的理念：为学生创设探究学习的情境；联系生活实际，让学生体会数学与生活的密切联系；改变学生的学习方式，运用合作学习，培养学生协作能力；运用电化教学手段增加教学的新颖性，引导学生以各种感官参与学习的全过程。
3、教学重、难点教学重点：画一条线段的垂直平分线教学难点：判断一图形是否是轴对称图形突破难点的方法：让学生在“观察----比较一操作一概括一检验一应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的有关内容。
二、教学准备：多媒体课件、圆规、三角板、导学案等三、教学过程轴对称的性质是什么？如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对称轴？五角星的对称轴有什么特点？三、拓展运用2如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？练习3如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？A BC D2题图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向。
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二、学习新知 如图，已知线段AB，用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线. 例1
C
⑴分别以点A、B为圆心，以大
1 于 AB的长为半径作弧，两弧 2
相交于C、D两点；
A B
折叠、用刻度尺等
⑵作直线CD . 还可以折叠、
用刻度尺等 CD即为所求的直线.
D
你还有其他的方法作一条线段的垂直平分线吗?
三、解决问题
第十三章
轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第2课时
案例作者：浙江省杭州文澜中学 王亚权 课件制作者：北京市团结湖第三中学 丁 一
一、提出问题 1．如果我们感觉两个平面图形是成轴对称 的，你准备用什么方法去验证?
2．两个成轴对称的图形，不经过折叠， 你用什么方法作出它的对称轴?
无数条
2.如图，角是轴对称图形吗?如果是， 画出它的对称轴.
3.如图，与图形A成轴对称的是哪个图形? 作出它们的对称轴.、课堂小结 本节课你学到了什么? 1．线段垂直平分线的作法.
2．作成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点， 然后作垂线． 3．有许多图形的对称轴不止一条．
六、作业
1．必做题：教材第65页第5题， 第65页第7、8题.
2．选做题：教材第66页第11题.
练习：见教材第63页例2.
例2 如图，△ABC和△AˊBˊCˊ是两个成轴 对称的图形，请作出它的对称轴．
三、解决问题 上述提到的都是两个成轴对称的图形， 如果是一个轴对称图形，你怎样作出它的 对称轴?如图所示的正五角星有几条对称轴?
四、实践和应用
1.作出下列图形的一条对称轴，和同学 比较一下，你们作的对称轴一样吗?