第二节瞬时变化率
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
瞬时变化率——导数
以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝ v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为________．
[答案] v0－gt0
[解析] 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20) ＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2， 所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt， 所以当Δt无限趋近于0时，ΔΔst无限趋近于v0－gt0， 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.
第一章
1.1 导 数 第2课时 瞬时变化率与导数
复习 平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) y
x1 x2
x
平均速度
v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
二、瞬时变化率与导数
设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近的 改变量为 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0趋 近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化 率当．Δ记x→作0：时，fx0＋ΔΔxx－fx0→l.上述过程通常也记作 Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，这时，记作 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，也可记作 y′|x＝x0.
瞬时变化率ppt 苏教版
叫做函数 y f ( x)在点 x0处的 导数 , 记为y x x 0 y f ( x0 x) f ( x0 ) ' y x x0 f ( x0 ) ,当x 0 x x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(3) 求y x x0
y f ( x0 x ) f ( x0 ) ( 2) 算比值 ; x x
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
2 2
y .在x 0时 x
解： y [(1 x ) 2] (1 2) 2x ( x )
2
y 2 x ( x ) 2 2 x x x y 2 x,当x 0时 x ' 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y | x 1 2
结论:
设物体作直线运动所经过的路程 为 s=s(t). 以 t0 为起始时刻，物体在 t 时间内的平均速度为
(tt00 t) (t ss f f( t) f (ft 0 )0 ) v v 。。 tt tt
当t0时， v 常数 这个常数就是物体在t0时刻 的瞬时速度.
解 : 先计算t 3到t 3 t时间内 的平均速度 , 1 1 2 2 g (3 t ) g 3 s 2 1 2 v g (6 t ) t (3 t ) 3 2 当t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3g , 此即t 3秒时的瞬时时 速
例3.若f ( x) ( x 1) , 求f (2)和( f (2))
2
四、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
苏教版高中数学选修(2-2)课件02瞬时变化率——导数.pptx
即
f ' (x) y' y f (x x) f (x) ,当x 0时的值
x
x
f(x0)与f(x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f’(x)在点x0处的函数值
T 切线
P
o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
Байду номын сангаас
y
Q
o
P
x
kPQ
f (x x) f (x) (x x) x
f (x x) x
f (x)
(3)如何求切线的斜率? y=f(x)
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
f (x x) f (x)
例4:已知 y x , 求y ' ,并求出函数
在x 2处的切线方程. 解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
x
x
x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处可导， 并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的 导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' (x0 )
y f (x0 x) f (x0 ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x0 x) f ( x0 );
苏教版高中数学选修2-2《瞬时变化率—导数：导数》教学课件2
设切线的倾斜角为α,那 y 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切
Q割 线
切T
线线的斜率.P Nhomakorabeao
x
即:
y x
f
(x0
x) x
f
( x0 )
x0
f
'(x0 )
k切线
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例 1．（1）求函数 y=3x2 在 x=1 处 的导数.
y f (x x) f (x) x0 y f (x)
x
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数导函数
▲ 如何求函数y=f(x)的导数?
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
回顾
①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
Y=f(x)
②割线的斜率
y
k y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
（2）求函数 f(x)= x2 x 在 x 1 附
近的平均变化率，并求出在该点处
的导数．
例 2：已知函数 f (x) x ，求 f (x) 在 x 2 处的切线。
※求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：平均变化率与瞬时变化率课件
2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度
为( )
A．6.3
B．36.3
C．3.3
D．9.3
答案：A
解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89
∴vത＝s
3.3 −s 3.3−3
3
＝10.8.39＝6.3，故选A.
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
跟踪训练2 某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位： 个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正 确的是( )
A．甲的日生产量大于乙的日生产量 B．甲的日生产量小于乙的日生产量 C．甲的日生产量等于乙的日生产量 D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
答案：B
f x2 − f x1
即ΔΔyx＝____x_2 _−_x_1____．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化 的___快__慢___．
状元随笔
函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快 慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数
值变化得越快．
＝8.
题型探究·课堂解透
题型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f(x)＝2x2＋1， (1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解析：(1)由f(x)＝2x2＋1
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2
Δx＝2.01－2＝0.01
∴Δy＝2Δx+ Δx
Δx
Δx
2
＝2＋Δx.
故选C.
题型二 平均变化率的实际应用
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
第2课时瞬时变化率
第2课时 瞬时变化率学习目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度活动一 复习引入1 什么叫做平均变化率?2 曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数()f x 在区间[,A B x x ]上的平均变化率有何联系？3 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？活动二 求曲线上某点处的切线(阅读书本，体会局部以直代曲的思想，并回答下列问题) 问题1 ：何为曲线的割线和切线？试在同一图中作出，并说明它们的区别与联系?例1 已知2()f x x =，求曲线在2x =处切线的斜率变：已知2()f x x =的一条切线的斜率是4-，求切点的坐标小结：求曲线上某点处的切线斜率的步骤：例2 已知3()f x x =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程思考1：该函数在0x =处有切线吗？若有求出，没有则说明原因活动三 瞬时速度与瞬时加速度(阅读书本，体会逼近思想，并完成下列问题) 例3 一质点的运动方程为2()10s t t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3t s =时的瞬时速度例4 设一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，求1t s =时的瞬时加速度和t m =s 时的瞬时加速度小结：求瞬时速度和瞬时加速度的步骤：思考2：从形式上对比瞬时速度、瞬时加速度与求切线斜率，你能发现他们之间的联系吗？思考3：平均变化率与瞬时变化率有何联系区别？活动四 自我检测1.书本第10页练习1.2.3. 42.自由落体运动的位移()S m 与时间()t s 的关系为212S gt =，（g 为常数） （1）求0t t s =时的瞬时速度（2）分别求0,1,2t s =时的瞬时速度.3.若函数2()2f x x =+图像上一点(0,2)P 及邻近一点（2,2x x +），则y x=_________4.函数3()f x x ax b =-++的图像与x 轴相切于点（1,0），则_______,_______a b ==5.已知曲线2y x =上一点39(,)416P ，求(1) 点P 处的切线的斜率. (2) 点P 处的切线的方程.。
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班级 姓名 小组 编写：文科数学备课组
§1(2) 瞬时变化率
【学习目标】
1.复习理解函数平均变化率的意义；
2.理解函数的瞬时变化率的概念；
3.会求函数在某点的瞬时变化率. 【学习重难点】
函数的瞬时变化率 【学习难点】
求函数的瞬时变化率 【学习内容】 一.自主学习
1. 复习引入：什么叫做函数的平均变化率?它的作用是什么？
2．问题提出：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，物体的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求物体的瞬时速度呢？对应的，如何精确地刻画函数在某一点处的变化快慢呢？
例1．一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t(单位：
s)的函数关系为22
1
gt s =，./8.92）为重力加速度（s m g g =试完成下表并估计小球
在t=5s 这个时刻的瞬时速度.
解：
3．函数的瞬时变化率：
对于一般的函数y=f(x),在自变量x 从x 1变到x 2的过程中，若设Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1),则函数的平均变化率是 = . 当Δx →0时，平均变化率就趋于函数在x 1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 .
t 1/s
t 2/s
时间的改变量 （Δt ）/s 路程的改变量 (Δt)/m 平均速度（
t
s
∆∆）/(m/s) 4.9 5 4.99 5 4.999 5 4.9999 5 … … …
…
…
二.合作探究
1．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t(米)作直线运动．求：①该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒内的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度．
2.如图，一根质量分布不均匀的和金棒，长为10m ，x （单位：m ）表示OX 这段合金棒的长度，y(单位：kg)表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系，y=f(x)=2x .估计该合金棒在x=2m 处的线密度。
三． 课堂检测
1. 如果某物体运动时的路程s （单位：m ）与时间t(单位：s)的函数关系为22(1)s t =-，则在t=2秒时的瞬时速度是多少？
2.已知函数y=3x 2+6x,求函数在x=3处的瞬时变化率.
3．自由落体运动的位移S （单位m ）与时间t （单位s ）的关系为22
1
gt S =（g
为常数），（1）求0t t =s 时的瞬时速度；（2）分别求出时间t 为0，1，2秒时的瞬时速度。
四.课堂小结
求平均变化率和瞬时变化率的步骤：
（1）作差：Δx=x 2-x 1,Δy=f(x 2)-f(x 1)；
（2）作商并化简得平均变化率：x
x f x x f x x x f x f x
∆-∆+=--=∆∆)()()()(y 111
212.
（3）在上式中令Δx 趋于0时，得瞬时变化率.。