中考数学平行线与三角形测试

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2012年中考数学精选------相交线平行线三角形

2012年中考数学精选------相交线平行线三角形（最后的巩固练习）1. 分别在下图的直线l 上找一点M,使MA+MB 最小;再分别在下图的直线l 上找一点M, 使MB MA 最小2.当下面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_____会在与数字2所在的平面相对的平面上。

3. 用一个平面去截一个正方体，截面不可能是 A.梯形 B.五边形 C.六边形 D.圆4. 如图，在圆锥底面圆周B 点有一只蚂蚁，要从圆锥体侧面爬一圈后，再回到B 点，请你结合圆锥的展开图设计一条最短路径。

5.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大 .6.已知a,b,c 是△ABC 的三条边，a=6,b=8,求边c 的取值范围。

7.如果△ABC 的两边a=2,b=9，且它的周长为偶数，求c 边的长。

8. 时钟指向3时30分时，这时时针与分针所成的锐角是 .9. 如图④，AB ∥CD ，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC = 度.10.把一张长方形纸条按图⑤中，那样折叠后，若得到∠AOB ′= 70º，则∠B ′OG = .11.如图⑥中∠DAB 和∠B 是直线DE 和BC 被直线所截而成的，称它们为角.12.如图⑦，正方形ABCD 边长为8，M 在DC 上，且DM = 2，N 是AC 上一动点，则DN + MN 的最小值为 .如图已知在△ABC 中，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，BE 和CF 相交于点O ，若∠A ＝70°，求∠BOC 的度数。

B E FC O13.14. 如图，ABCD是一块釉面砖，居室装修时需要一块梯形APCD的釉面砖，且使∠APC＝120º.请在长方形AB边上找一点P，使∠APC＝120º.然后把多余部分割下来，试着叙述怎样选取P点及其选取P点的理由.15.如图已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E = 140º，求∠BFD的度数.16.有五根长度分别为3cm，6cm，8cm，10cm，13cm的木棒，欲从中任选取三根木棒钉成一个三角形木架，试问共有多少种可能情况？请说明理由。

中考数学专题复习全等三角形之辅助线做平行线

中考数学专题复习全等三角形（辅助线做平行线）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1B．1.8C．2D．2.52．如图，⊥ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5B．0.9C．1D．1.25评卷人得分二、填空题3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P 是⊥OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：⊥⊥CPD＝135°；⊥BA＝BP；⊥⊥P AC⊥⊥PDB；⊥S△ABP＝S△DCP；⊥PM＝12CD．其中正确的是___．（填序号）评卷人得分三、解答题4．如图，⊥ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，⊥CEF＝⊥A，连接DF．（1）在图1中找出与⊥ACE相等的角，并证明；（2）求证：⊥BDF＝⊥EFC；（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求DG DF的值（用含k的代数式表示）．5．如图所示：ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD CE=，连接DE交BC于点M．求让：MD ME=6．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．7．P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC 边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．8．如图，点P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．9．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．10．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且⊥BAE=⊥CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF⊥AB交DE的延长线于F.参考答案：1．C【解析】【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD⊥QCD，得FD CD=，再由APF 是等边三角形，即可得出12DE AC=．【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，Q FPD∴∠=∠，ABC是等边三角形，60APF B∴∠=∠=︒，60AFP ACB∠=∠=︒，APF∴△是等边三角形，AP PF∴=，⊥CQ＝P A，⊥PF CQ=在PFD中和QCD中，FPD QPDF QDCPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD∴⊥()QCD AAS，FD CD∴=，PE AC⊥于E，APF是等边三角形，AE EF∴=，=AE DC EF FD ED∴+=+，12DE AC∴=，4AC=，2DE∴=，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．C【解析】【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD≌QCD，得FD CD=，再由APF 是等边三角形，即可得出12DE AC=．【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，Q FPD∴∠=∠，ABC是等边三角形，60APF B∴∠=∠=︒，60AFP ACB∠=∠=︒，APF∴是等边三角形，AP PF∴=，在PFD中和QCD中，FPD QPDF QDCPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD∴≌()QCD AAS，FD CD∴=，PE AC⊥于E，APF是等边三角形，AE EF ∴=，AE DC EF FD ∴+=+，12DE AC ∴=， 2AC =， 1DE ∴=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．⊥⊥⊥⊥ 【解析】【分析】由角平分线的定义，可得⊥CDP +⊥DCP =12⊥CDO +12⊥DCO =45°，进而即可判断⊥；先证ACP DCP ≌，可得APD △是等腰直角三角形，进而得PAC PDB ≌，即可判断⊥；过点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，可得AMN BMP ≌，再证明APN PDC ≌，从而得PM ＝12CD ，即可判断⊥；由ABP APM BMP APM AMN APN S S S S S S +=+==，即可判断⊥．【详解】解：⊥AC ⊥BD ，点P 是⊥OCD 角平分线的交点，⊥⊥DOC =90°，⊥ODC +⊥OCD =90°，⊥CDP =12⊥CDO ，⊥DCP =12⊥DCO ， ⊥⊥CDP +⊥DCP =12⊥CDO +12⊥DCO =45°，⊥⊥CPD ＝180°-（⊥CDP +⊥DCP ）=135°，故⊥正确； ⊥CP ，DP 分别平分⊥DCO ，⊥CDO ， ⊥⊥DCP =⊥ACP ，⊥CDP =⊥BDP ， ⊥AC ＝CD ，PC =PC ， ⊥ACP DCP ≌，⊥AP =DP ，⊥CAP =⊥CDP =⊥BDP ，⊥APC =⊥DPC =135°， ⊥⊥DP A =360°-135°-135°=90°，⊥APD △是等腰直角三角形，又⊥AC =BD ，⊥CAP =⊥BDP，AP =DP ， ⊥PAC PDB ≌，故⊥正确； ⊥⊥DPB =⊥APC=135°，PB =PC ， ⊥⊥BPC =360°-135°-135°=90°，⊥BPC △是等腰直角三角形，找不到证明BA =BP 的条件，故⊥错误；过点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，⊥⊥N =⊥BPM ，⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥点M 是AB 的中点，即AM =BM ，又⊥⊥AMN =⊥BMP ， ⊥AMN BMP ≌，⊥MN =PM =12PN ，AN =PB =PC ，AMNBMPSS=，⊥⊥DP A =⊥BPC =90°， ⊥⊥APB +⊥DPC =180°，又⊥⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥⊥P AN =⊥DPC ，又⊥AP =DP ，AN =PC ， ⊥APN PDC ≌，⊥CD =PN =2PM ，即：PM ＝12CD ，故⊥正确； ⊥APNPDCSS=，AMNBMPSS=，⊥ABPAPMBMPAPMAMNAPNS SSSSS+=+==，⊥ABPDCPSS=，故⊥正确．故正确的是⊥⊥⊥⊥．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握中线倍长模型和旋转全等模型，是解题的关键． 4．（1）⊥DEF ＝⊥ACE ，证明见解析；（2）见解析；（3）k 【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案；（2）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥DEF ⊥⊥MEC （SAS ），由全等三角形的性质可得出⊥EDF ＝⊥EMC ，证出⊥EMD ＝⊥EFC ，则可得出结论；（3）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥EFG ⊥⊥ECD （ASA ），由全等三角形的性质可得出GF ＝DC ，证出GD ＝DM ，则根据平行线分线段成比例即可得出答案．【详解】解：（1）⊥DEF ＝⊥ACE ．证明：⊥⊥DEC 是⊥ACE 的外角， ⊥⊥DEC ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥DEC ＝⊥DEF +⊥CEF ， ⊥⊥DEC +⊥CEF ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥CEF ＝⊥A ， ⊥⊥DEF ＝⊥ACE ；（2）证明：连接CD ，过点E作AC 的平行线与CD 交于点M ，⊥AD ＝AC ，⊥⊥ADC＝⊥ACD，⊥EM⊥AC，⊥⊥EMD＝⊥ACD，⊥CEM＝⊥ACE，⊥⊥EDM＝⊥EMD，⊥DEF＝⊥CEM，⊥ED＝EM，又⊥EF＝EC，⊥⊥DEF⊥⊥MEC（SAS），⊥⊥EDF＝⊥EMC，⊥⊥BDF+⊥EDF＝⊥EMD+⊥EMC＝180°，⊥⊥BDF＝⊥EMC，⊥EM⊥AC，⊥⊥DEM＝⊥A，⊥⊥A＝⊥CEF，⊥⊥DEM＝⊥CEF，⊥⊥DEM中，⊥EMD＝1802DEM︒-∠，⊥FEC中，⊥EFC＝1802CEF︒-∠，⊥⊥EMD＝⊥EFC，⊥⊥BDF＝⊥EFC；（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，⊥EG＝AG，⊥⊥GAE＝⊥GEA，⊥⊥DAC+⊥GAE＝⊥GEA+⊥GED＝180°，⊥⊥DAC＝⊥GED，⊥⊥CEF＝⊥DAC，⊥⊥DEG＝⊥CEF，⊥⊥DEG+⊥DEF＝⊥CEF+⊥DEF，即⊥GEF＝⊥DEC，⊥⊥DEF⊥⊥MEC，⊥⊥EFG＝⊥ECD，DF＝MC，又⊥EF＝EC，⊥⊥EFG⊥⊥ECD（ASA），⊥GF＝DC，⊥DC﹣MC＝GF﹣DF，即GD＝DM，⊥EM⊥AC，⊥DM DEk MC AE==，⊥GD DMk DF MC==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．5．见详解【解析】【分析】过点D作DE⊥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得⊥MDE=⊥MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．【详解】过点D作DE⊥AC，交BC于点E，⊥ABC是等边三角形，⊥⊥B=⊥ACB=60°，⊥DE⊥AC，⊥⊥DEB=⊥ACB=60°，⊥MDE=⊥MEC，⊥BDE是等边三角形，⊥BD=DE，⊥DE=CE，又⊥⊥EMD=⊥CME，⊥∆EMD≅∆CME，⊥MDME =．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．⊥PF⊥BC，⊥⊥PFD=⊥DCQ．在△PDF和△QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．⊥PF⊥BC，△ABC是等边三角形，⊥⊥PFD=⊥QCD，△APF是等边三角形，⊥AP=PF=AF．⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．在△PFD和△QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），⊥FD=CD．⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，⊥AE+CD=DE12=AC．⊥AC=6，⊥DE=3．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．7．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出⊥APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明⊥PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明⊥PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．⊥PF⊥BC，⊥⊥PFD=⊥DCQ．在⊥PDF和⊥QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），⊥PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．⊥PF⊥BC，⊥ABC是等边三角形，⊥⊥PFD=⊥QCD，⊥APF是等边三角形，⊥AP=PF=AF．⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．在⊥PFD和⊥QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），⊥FD=CD．⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，⊥AE+CD=DE12=AC．⊥AC=6，⊥DE=3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．8．(1)详见解析(2)ED＝2【解析】【分析】（1）过P作PF⊥BQ，可得△APF为等边三角形，所以AP＝PF，再证△DCQ⊥⊥DFP，即可得PD＝DQ；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD ＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．(1)证明：如图，过点P作PF⊥BC，则⊥DPF=⊥Q，⊥⊥ABC为等边三角形，⊥⊥APF是等边三角形，⊥AP=PF，又⊥AP=CQ，⊥PF=CQ，在△DPF和△DQC中，DPF QPDF QDC PF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DPF⊥⊥DQC（AAS），⊥DP=DQ；(2)⊥⊥P AF为等边三角形，PE⊥AC，可得AE＝EF，由（1）知，⊥DPF⊥⊥DQC⊥FD＝CD，⊥AC＝AE＋EF＋FD＋CD，⊥AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，⊥AC＝BC＝4，⊥2ED＝4，⊥ED＝2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．9．(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=12ME．【解析】【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）MD=12ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM⊥⊥EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，⊥AB=AC，⊥⊥ABC=⊥C；又⊥EF//AB，⊥⊥ABC=⊥EFC，⊥⊥EFC=⊥C，⊥EF=EC．又⊥BD=EC，⊥EF=BD．又⊥EF//AB，⊥⊥ADM=⊥MEF．在△DBM和△EFM中BDM FEMBMD FMEBD EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DBM⊥⊥EFM，⊥DM=EM．(2)解：成立；证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，⊥AB=AC，⊥⊥ABC=⊥C；又⊥EF//AB，⊥⊥ABC=⊥EFC，⊥⊥EFC=⊥C，⊥EF=EC．又⊥BD=EC，⊥EF=BD．又⊥EF//AB，⊥⊥ADM=⊥MEF．在△DBM和△EFM中BDE FEM BMD FME BD EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ；⊥DM =EM ；(3)解：过点E 作EF //AB 交CB 的延长线于点F ，⊥⊥DBM =⊥EFM ，⊥DMB =⊥EMF⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ，⊥BD ：EF =DM ：ME ，⊥AB =AC ，⊥⊥ABC =⊥C ，⊥⊥F =⊥ABC ，⊥⊥F =⊥C ，⊥EF =EC ，⊥BD ：EC =DM ：ME =1：2，⊥MD =12ME ．【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．10．选择（1）（3）证明，证明见解析【解析】【分析】如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE,证明△DCE⊥⊥FBE,得到⊥CDE=⊥F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F,得到△ABE⊥⊥FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,【详解】如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE在△DCE 和△FBE 中,EF DE DEC FEB BE EC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩⊥△DCE⊥⊥ FBE （SAS)⊥⊥CDE=⊥F,BF=DC⊥⊥BAE=⊥CDE⊥BF=AB⊥AB= CD如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F在△ABE 和△FCE 中B ECF BE ECBAE F ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥△ABE⊥⊥ FCE(AAS),⊥AB=FC⊥⊥BAE=⊥CDE⊥⊥F=⊥CDE⊥CD=CF⊥AB=CD【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明。

2022年中考数学真题-专题11 平行线与三角形(1)(全国通用解析版)

专题11 平行线与三角形一．选择题（2022·湖北宜昌·中考真题）1. 如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（）A. 25B. 22C. 19D. 18【答案】C【解析】【分析】由垂直平分线的性质可得BD ＝CD ，由△ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋CD ＝AB ＋AC 得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵7AB =，12AC =，∴ △ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD＝AB ＋AD ＋CD＝AB ＋AC＝19．故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．（2022·浙江台州·中考真题）2. 如图，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在射线AD 上（不与点A ，D 重合），连接PB ，PC ．下列命题中，假命题是（）A. 若AB AC =，AD BC ⊥，则PB PC =B. 若PB PC =，AD BC ⊥，则AB AC =C. 若AB AC =，12∠=∠，则PB PC =D. 若PB PC =，12∠=∠，则AB AC =【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD 是否是BC 的垂直平分线，判断即可．【详解】因为AB=AC ，且AD ⊥BC ，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC ，则A 是真命题；因为PB=PC ，且AD ⊥BC ，得AP 是BC 的垂直平分线，所以AB=AC ，则B 是真命题；因为AB=AC ，且∠1=∠2，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC ，则C 是真命题；因为PB=PC ，△BCP 是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP 是BC 的垂直平分线，所以AB 和AC 不一定相等，则D 是假命题．故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．（2022·江苏宿迁·中考真题）3. 若等腰三角形的两边长分别是3cm 和5cm ，则这个等腰三角形的周长是（）A. 8cmB. 13cmC. 8cm 或13cmD. 11cm 或13cm 【答案】D【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．（2022·浙江杭州·中考真题）4. 如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A. 线段CD是ABC的AC边上的高线B. 线段CD是ABC的AB边上的高线C. 线段AD是ABC的BC边上的高线D. 线段AD是ABC的AC边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．（2022·湖南邵阳·中考真题）5. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，4cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 6cm，9cm，2cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．（2022·云南·中考真题）6. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE FOE，你认为要添加的那个条件是（）A. OD =OEB. OE =OFC. ∠ODE =∠OEDD. ∠ODE =∠OFE【答案】D【解析】【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确； D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中， DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．（2022·浙江湖州·中考真题）7. 如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，E C ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（）A. 12B. 9C. 6D. 【答案】B【解析】【分析】根据三线合一可得ED BC ⊥，根据垂直平分线的性质可得EB EC =，进而根据∠EBC ＝45°，可得BEC △为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得132DE BC ==，然后根据三角形面积公式即可求解．【详解】解： AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，,AD BD BD DC ∴⊥=，EB EC ∴=，∠EBC ＝45°，45ECB EBC ∠=∠=︒，∴BEC △为等腰直角三角形，6BC =， ∴132DE BC ==，则△EBC 的面积是13692⨯⨯=．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（2022·江苏扬州·中考真题）8. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A. ,,AB BC CAB. ,,AB BC B ∠C. ,,AB AC B ∠D. ,,∠∠A B BC【答案】C【解析】【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．【详解】A. ,,AB BC CA ．根据SSS 一定符合要求；B. ,,AB BC B ∠．根据SAS 一定符合要求；C. ,,AB AC B ∠．不一定符合要求；D. ,,∠∠A B BC ．根据ASA 一定符合要求．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS ，SAS ，ASA 三个判定定理．（2022·山东泰安·中考真题）9. 如图，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA OB 、上，且3,5OM ON ==，点P 、Q 分别在边OB OA 、上，则MP PQ QN ++的最小值是（）A. 2- 2-【答案】A【解析】【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值；证出△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，得出∠N ′OM ′=90°，由勾股定理求出M ′N ′即可．【详解】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，如图所示：连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：5ON ON '==，3OM OM '==，∠N ′OQ =∠M ′OB =30°， ∴∠NON ′=60°，'60MOM ∠=︒，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N=故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．（2022·浙江金华·中考真题）10. 如图，AC 与BD 相交于点O ，,OA OD OB OC ==，不添加辅助线，判定ABO DCO △≌△的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. HL【答案】B【解析】【分析】根据OA OD =，OB OC =，AOB COD ∠=∠正好是两边一夹角，即可得出答案．【详解】解：∵在△ABO 和△DCO 中，OA OD AOB COD OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABO DCO ≌△△，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．（2022·浙江金华·中考真题）11. 已知三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，则第三边的长可以是（）A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 13cm【答案】C【解析】【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．【详解】设第三边的长为x ，∵ 角形的两边长分别为5cm 和8cm ，∴3cm ＜x ＜13cm ,故选C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．（2022·安徽·中考真题） 12. 已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为0S ，1S ，2S ，3S ．若12302S S S S ++=，则线段OP 长的最小值是（）A. 2C.【答案】B【解析】【分析】根据12302S S S S ++=，可得1012S S =，根据等边三角形的性质可求得△ABC 中AB 边上的高1h 和△P AB 中AB 边上的高2h 的值，当P 在CO 的延长线时，OP 取得最小值，OP =CP -OC ，过O 作OE ⊥BC ，求得OC =【详解】解：如图，2PDB BDC S S S ，3PDA ADC S S S ， ∴1231()()PDB BDC PDA ADC S S S S SS S S ++=++++ =1()()PDB PDA BDC ADC S SS S S ++++ =1PAB ABC S S S ++=110S S S ++=102S S +=02S ， ∴1012S S =，设△ABC 中AB 边上的高为1h ，△P AB 中AB 边上的高为2h ，则0111116322S AB h h h ，1222116322S AB h h h ， ∴211332h h ，∴122h h =，∵△ABC 是等边三角形， ∴22166()332h ， 2113322h h ，∴点P 在平行于AB ，且到AB ∴当点P 在CO 的延长线上时，OP 取得最小值，过O 作OE ⊥BC 于E ， ∴12932CP h h ， ∵O 是等边△ABC 的中心，OE ⊥BC ∴∠OCE =30°，CE =132BC = ∴OC =2OE∵222OE CE OC +=，∴2223(2)OE OE ，解得OE∴OC =∴OP =CP -OC 52332．故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P 点的位置是解题的关键．（2022·四川南充·中考真题） 13. 如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（）A. 1BF =B. 3DC =C. 5AE =D. 9AC =【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的性质得到CD =DF =3，故B 正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE =DE =5，故C 正确；由此判断D 正确；再证明△BDF ≌△DEC ，求出BF =CD =3，故A 错误．【详解】解：在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DF AB ⊥，∴CD =DF =3，故B 正确；∵DE =5，△CE =4，∵DE //AB ，∴∠ADE =∠DAF ，∵∠CAD =∠BAD ，∴∠CAD =∠ADE ，∴AE =DE =5，故C 正确；∴AC =AE +CE =9，故D 正确；∵∠B =∠CDE ，∠BFD =∠C =90°，CD =DF ，∴△BDF ≌△DEC ，∴BF =CD =3，故A 错误；故选：A ．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．（2022·四川德阳·中考真题）14. 八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km ．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能．．．是（） A. 1kmB. 2kmC. 3kmD. 8km【答案】A【解析】【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a ，则根据题意有：5-353a +＜＜，即28a ＜＜，当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，538a =+=或者532a =-=，综上a 的取值范围为：28a ≤≤，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km ，故选：A ．【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．（2022·山东泰安·中考真题） 15. 如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】C【解析】【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠F AP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PF A 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PF A ≌Rt △PMA （HL ），∴∠F AP ＝∠P AC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．（2022·浙江绍兴·中考真题）16. 如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．（2022·安徽·中考真题）17. 两个矩形的位置如图所示，若1∠=α，则2∠=（）A. 90α-︒B. 45α-︒C. 180α︒-D. 270α︒-【答案】C【解析】【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义．（2022·浙江杭州·中考真题）18. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∵AB CD ∥，∴∠A ＝∠D=30°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．（2022·湖南娄底·中考真题）19. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2∠=（）A. 20︒B. 80︒C. 100︒D. 120︒【答案】C【解析】【分析】如图，由平行线的性质可得80,BCD ∠=︒ 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：,AB CD ∥ 180∠=︒，180,BCD218080100,故选C 【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．（2022·江苏苏州·中考真题）20. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，75AOC ∠=︒，125∠=︒，则2∠的度数是（）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】D【解析】【分析】根据对顶角相等可得75BOD ∠=︒，之后根据125∠=︒，即可求出2∠．【详解】解：由题可知75BOD AOC ∠=∠=︒，125∠=︒∵，217525BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=50︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．二．填空题（2022·湖南株洲·中考真题）21. 如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．【答案】15【解析】【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，△ OB 是ABC ∠的角平分线，△ 30ABC ∠=︒， △1152ABO ABC ∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．（2022·浙江嘉兴·中考真题）22. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．【答案】60A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加60A ∠=︒，理由如下： ABC 为等腰三角形，180602A B C ︒-∠∴∠=∠==︒， ABC ∴为等边三角形，故答案为：60A ∠=︒（答案不唯一）．【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．（2022·浙江绍兴·中考真题）23. 如图，在ABC 中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD ∠的度数是______．【答案】10°或100°【解析】【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC AD =，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：如图，点D 即为所求；在ABC ∆中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，180408060ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，由作图可知：AC AD =，1(18080)502ACD ADC ∴∠=∠=︒-︒=︒， 605010BCD ACB ACD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；由作图可知：AC AD ='，ACD AD C ∴∠'=∠'，80ACD AD C BAC ∠'+∠'=∠=︒，40AD C ∴∠'=︒，1801804040100BCD ABC AD C ∴∠'=︒-∠-∠'=︒-︒-︒=︒．综上所述：BCD ∠的度数是10︒或100︒．故答案为：10︒或100︒．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．（2022·云南·中考真题）24. 已知△ABC 是等腰三角形．若∠A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．【答案】40°或100°【解析】【分析】分∠A 为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当∠A 为三角形顶角时，则△ABC 的顶角度数是40°；当∠A 为三角形底角时，则△ABC 的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．（2022·山东滨州·中考真题）25. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB AC =，立柱AD BC ⊥，且顶角120BAC ∠=︒，则C ∠的大小为_______．【答案】30°##30度【解析】【分析】先由等边对等角得到B C ∠=∠，再根据三角形的内角和进行求解即可．【详解】AB AC =，B C ∴∠=∠，120BAC ∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，180120302C ︒-︒∴∠==︒，故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．（2022·山东泰安·中考真题）26. 如图，△ ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连 CE ，则线段 CE 的长等于_____【答案】75【解析】【详解】如图，过点A 作AH △BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O △△△ABC 中，△BAC =90°△AB =3△AC =4，点D 是BC 的中点，△BC 5=△AD =BD =2.5△ △12BC ·AH =12AC ·AB △即2.5AH =6△△AH =2.4△由折叠的性质可知，AE =AB △DE =DB =DC △△AD 是BE 的垂直平分线，△BCE 是直角三角形，△S △ADB =12AD ·OB =12BD ·AH △△OB =AH =2.4△△BE =4.8△△CE 75=．故答案为△75．【点睛】本题的解题要点有△△1△读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH △BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O ，利用面积法求出AH 和OB 的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角．（2022·湖北武汉·中考真题）27. 如图，沿AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB 上湖的另一边的D 处同时施工．取150ABC ∠=︒，1600m BC =，105BCD ∠=︒，则C ，D 两点的距离是_________m ．【答案】【解析】【分析】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，先求出800m CE =，再根据勾股定理即可求出CD 的长．【详解】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，则∠BEC =∠DEC =90°， 150ABC ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，∴∠BCE =90°-30°=60°，又105BCD ∠=︒，45CDB ∴∠=︒，∴∠ECD =45°=∠D ，∴CE DE =，1600m BC =，111600800m 22CE BC ∴==⨯=，22222CD CE DE CE ∴=+=，即CD ==．故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．（2022·湖北黄冈·中考真题）28. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m ≥3，m 为正整数），则其弦是________（结果用含m 的式子表示）．【答案】m 2+1【解析】【分析】2m 为偶数，设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m 为偶数，∴设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理得，（2m ）2+a 2=（a +2）2，解得a =m 2-1，∴弦长为m 2+1，故答案为：m 2+1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（2022·江苏苏州·中考真题）29. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．【答案】6【解析】【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，底边BC =3∴AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．（2022·江苏扬州·中考真题）30. 将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，∴45FAN B ∠=∠=︒，△△E =60°△△△F =30°△180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．（2022·湖北黄冈·中考真题）31. 如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 相交，若∠1＝54°，则∠3＝________度．【答案】54【解析】【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a△b ，所以23∠=∠，因为12∠∠，是对顶角，所以12∠=∠，所以31∠=∠，因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键．（2022·四川达州·中考真题）32. 如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则CAD ∠的度数为_____．【答案】50︒##50度【解析】【分析】根据作图可知DA DB =，20DAB B ∠=∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余，可得70CAB ∠=︒，根据CAD CAB DAB ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，∴70CAB ∠=︒，由作图可知MN 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，∴20DAB B ∠=∠=︒，∴CAD CAB DAB∠=∠-∠702050︒-︒=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出MN是AB的垂直平分线，是解题的关键．（2022·湖北黄冈·中考真题）33. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF．【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F【解析】【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可．【详解】解：添加BE=CF∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AB=DE（答案不唯一）．视频【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，根据判定的方法选择合适的方法，关键是要能熟练运用三角形的判定方法．三．解答题（2022·浙江温州·中考真题）∥，交AB于点E．34. 如图，BD是ABC的角平分线，DE BC（1）求证：EBD EDB ∠=∠．（2）当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）相等，见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得ADE AED ∠=∠，则AD= AE ，从而有CD = BE ，由(1) 得，EBD EDB ∠=∠，可知BE = DE ，等量代换即可．【小问1详解】证明：△BD 是ABC 的角平分线，△CBD EBD ∠=∠．△DE BC ∥，△CBD EDB ∠=∠，△EBD EDB ∠=∠．【小问2详解】CD ED =．理由如下：△AB AC =，△C ABC ∠=∠．△DE BC ∥，△,ADE C AED ABC ∠=∠∠=∠，△ADE AED ∠=∠，△AD AE =，△AC AD AB AE -=-，即CD BE =．由（1）得EBD EDB ∠=∠，△BE ED =，△CD ED =．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．（2022·四川乐山·中考真题）35. 如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE △≌△．【答案】证明过程见详解【解析】【分析】运行平行线的性质可证△A =△EBC ，△DBA =△C ，结论即可得证．【详解】证明△B 是AC 中点，△AB =BC ，△AD BE ∥，△△A =△EBC ，△BD EC ∥，△△DBA =△C ，在△ABD 和△BCE 中，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．（2022·浙江杭州·中考真题）36. 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM．（2）若AB=4，求线段FC的长．【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．【小问1详解】证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；【小问2详解】解：∵AB=4，∴CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE•cos30°=【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．（2022·陕西·中考真题）37. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．（2022·湖南衡阳·中考真题）38. 如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =．【答案】见解析【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明ABD ACE △≌△，从而得AD AE =．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．（2022·湖南怀化·中考真题）39. 如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．（1）求证：MP =NP ；（2）若AB ＝a ，求线段PH 的长（结果用含a 的代数式表示）．【答案】（1）见详解；（2）0.5a ．【解析】【分析】（1）过点M 作MQ ∥CN ，证明MQP NCP ≅△△即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH =HQ ，则PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）．【小问1详解】如下图所示，过点M 作MQ ∥CN ，△ABC 为等边三角形，MQ ∥CN ， △1AM AB AQ AC==，则AM =AQ ，且△A =60°，△AMQ △为等边三角形，则MQ =AM =CN ，又△MQ ∥CN ，△△QMP =△CNP ，在MQP NCP △与△中，MPQ NPC QMP CNP QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MQP NCP ≅△△，则MP =NP ；【小问2详解】△AMQ △为等边三角形，且MH △AC ，△AH =HQ ，又由（1）得，MQP NCP ≅△△，则PQ =PC ，△PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）=0.5AC =0.5a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．（2022·浙江丽水·中考真题）40. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．（1）求证：PDE CDF △≌△；（2）若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）163cm 【解析】【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；【小问2详解】如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴3GF ==,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+，解得，76x =， ∴BC =BG +GC =77163663++=cm ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．（2022·四川自贡·中考真题）41. 如图，△ABC 是等边三角形，,D E 在直线BC 上，DB EC =．求证：D E ∠=∠ ．【答案】详见解析【解析】【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB ≌△AEC ，由全等三角形的性质可得D E ∠=∠．【详解】证明：△△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABD =∠ACE ，在△ADB 和△AEC 中，AB AC ABD ACE DB EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ADB ≌△AEC (SAS )，∴D E ∠=∠．【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．（2022·重庆·中考真题）42. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a ，高为h 的三角形的面积公式为12S ah =．想法是：以BC 为边作矩形BCFE ，点A 在边FE 上，再过点A 作BC 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A 作BC 的垂线AD 交BC 于点D ．（只保留作图痕迹）在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，。

中考数学最新真题专项汇总—平行线与三角形(含解析)

中考数学最新真题专项汇总—平行线与三角形（含解析）一．选择题1．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM ，ON 反射后，反射光线CD 与AB 平行，当35ABM ∠=︒时，DCN ∠的度数为（）A ．55︒B ．70︒C ．60︒D ．35︒【答案】A 【分析】根据题意得：∠ABM =∠OBC ， ∠BCO =∠DCN ，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABM =∠OBC ， ∠BCO =∠DCN ，∠∠ABM =35°，∠∠OBC =35°，∠∠ABC =180°-∠ABM -∠OBC =180°-35°-35°=110°， ∠CD ∠AB ，∠∠ABC +∠BCD =180°，∠∠BCD =180°-∠ABC =70°，∠∠BCO +∠BCD +∠DCN =180°， ∠BCO =∠DCN ， ∠1(180)552DCN BCD ︒︒-∠=∠=．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．2．（2022·河北）要得知作业纸上两相交直线AB ，CD 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案∠、∠，说法正确的是（）A．∠可行、∠不可行B．∠不可行、∠可行C．∠、∠都可行D．∠、∠都不可行【答案】C【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案∠和∠的结果是否等于夹角，即可判断正误【详解】方案∠：如下图，BPD∠即为所要测量的角∠HEN CFG∥∠AEM BPD∠=∠∠MN PD∠=∠故方案∠可行方案∠：如下图，BPD∠即为所要测量的角在EPF中：180∠+∠+∠=︒BPD PEF PFE则：180∠=︒-∠-∠故方案∠可行故选：CBPD AEH CFG【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3．（2022·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO∠CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°【答案】B【分析】根据垂直的定义可得90∠=︒，根据平角的定义即可求解．COE【详解】解：EO∠CD，90∴∠=︒，COE12180∠+∠+∠=︒，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．COE【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．4．（2022·湖北鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B 【分析】由作图得ABC ∆为等腰三角形，可求出15ABC ∠=︒，由l 1∥l 2得1ABC ∠=∠，从而可得结论．【详解】解：由作图得，CA CB =，∠ABC ∆为等腰三角形，∠ABC CAB ∠=∠ ∠∠BCA ＝150°，∠11(180)(180150)1522ABC ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒∠l 1∥l 2∠115ABC ∠=∠=︒故选B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出15ABC ∠=︒是解答本题的关键． 5．（2022·湖南郴州）如图，直线a b ∥，且直线a ，b 被直线c ，d 所截，则下列条件不能．．判定直线c d ∥的是（）A ．34∠=∠B ．15180∠+∠=︒C ．12∠=∠D ．14∠=∠【答案】C 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．【详解】解：A 、当34∠=∠时，c d ∥；故A 不符合题意；B 、当15180∠+∠=︒时，c d ∥；故B 不符合题意；C 、当12∠=∠时，a b ∥；故C 符合题意；D 、∠a b ∥，则12∠=∠，∠14∠=∠，则24∠∠=，∠c d ∥；故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．6．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒【答案】C 【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，∠14010'∠=︒∠24010'∠=︒∠518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∠l //m ∠659940'∠=∠=︒ 故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．7．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．8．（2022·黑龙江）如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（）A．2.5B．2C．3.5D．3【答案】A【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD∠BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S∠EGD=3，然后证∠EGP∠∠FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∠AB=AC，AD平分BAC∠与BC相交于点D，∠AD∠BC，BD=CD，∠S∠ABD=112422ABCS=⨯=12，∠E是AB的中点，∠S∠AED=111222ABDS=⨯=6，∠G是AD的中点，∠S△EGD=11622AEDS=⨯=3，∠E是AB的中点，G是AD的中点，∠EG∥BC，EG=12BD=12CD，∠∠EGP=∠FDP=90°，∠F是CD的中点，∠DF=12CD，∠EG=DF，∠∠EPG=∠FPD，∠∠EGP∠∠FDP（AAS），∠GP=PD=1.5，∠GD=3，∠S△EGD=12GD EG⋅=3，即1332EG⨯=，∠EG=2，在Rt∠EGP中，由勾股定理，得PE=，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．9．（2022·贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若1AB BC==，30AOB∠=︒，则点B到OC的距离为（）A B C ．1 D ．2【答案】B【分析】根据题意求得2OB =，进而求得OC【详解】解：在Rt ,Rt ABO BOC 中，30AOB ∠=︒，1AB BC ==，2OB ∴=，OC ∴设B 到OC 的距离为h ，1122OC h BC BO ∴⋅=⋅，h ∴==，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（2022·广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知∠ABC 中，∠A ＝30°， AC ＝3，∠A 所对的边为满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的∠ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A．B ．3C ．D ．3【答案】C 【分析】分情况讨论，当∠ABC 是一个直角三角形时，当∠AB 1C 是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．【详解】如图，当∠ABC 是一个直角三角形时，即90C ∠=︒，30,A BC ∠=︒=2∴==AB BC如图，当∠AB 1C 是一个钝角三角形时，过点C 作CD ∠AB 1，90CDA CDB ∴∠=︒=∠，1CB CB =，1BD B D ∴=，30,3A AC ∠=︒=，1322CD AC ∴==， 3BC =1B D BD ∴===，1BB ∴11AB AB BB ∴=-综上，满足已知条件的三角形的第三边长为故选：C ．【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2022·山东烟台）如图，某海域中有A ，B ，C 三个小岛，其中A 在B 的南偏西40°方向，C 在B 的南偏东35°方向，且B ，C 到A 的距离相等，则小岛C 相对于小岛A 的方向是（）A ．北偏东70°B ．北偏东75°C ．南偏西70°D ．南偏西20°【答案】A 【分析】根据题意可得∠ABC ＝75°，AD ∠BE ，AB ＝AC ，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠C ＝75°，从而求出∠BAC 的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB ＝∠ABE ＝40°，从而求出∠DAC 的度数，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∠BE，AB＝AC，∠∠ABC＝∠C＝75°，∠∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∠AD∠BE，∠∠DAB＝∠ABE＝40°，∠∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∠小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（2022·河北）如图，将∠ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是∠ABC的（）A．中线B．中位线C．高线D．角平分线【答案】D【分析】根据折叠的性质可得CAD BAD∠=∠，作出选择即可．【详解】解：如图，∠由折叠的性质可知CAD BAD∠=∠，∠AD是BAC∠的角平分线，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．13．（2022·广西贺州）如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（）A．34︒B．44︒C．124︒D．134︒【答案】A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．【详解】解：∠Rt∠ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∠∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．（2022·湖南永州）如图，在Rt ABC∠=°，点D为边AC∠=︒，60C△中，90ABC的中点，2BD=，则BC的长为（）B．C．2D．4A【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∠∠ABC=90°，∠C=60°，∠∠A=30°，∠点D为边AC的中点，BD=2∠AC=2BD=4，∠BC=12AC=，2故选：C．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．16．（2022·广西玉林）请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是()A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示，过点A作AO∠BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故选：D．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．17．（2022·黑龙江大庆）下列说法不正确．．．的是()A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在∠ABC中，BE∠AC，CD∠AB，且BE=CD．∠BE ∠AC ，CD ∠AB ，∠∠CDB =∠BEC =90°，在Rt ∠BCD 与Rt ∠CBE 中，CD BE BC CB=⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠BCD ∠Rt ∠CBE （HL ），∠∠ABC =∠ACB ，∠AB =AC ，即∠ABC 是等腰三角形．，故B 选项正确，不符合题意；C 、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，，故C 选项正确，不符合题意；D 、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D 选项正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力．18．（2022·广西梧州）如图，在ABC 中，,AB AC AD =是ABC 的角平分线，过点D 分别作,DE AB DF AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误．．的是（）A ．90ADC ∠=B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =【答案】C【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．【详解】解：∠,AB AC AD =是ABC 的角平分线，∠,AD BC BD CD ， ∠90ADC ∠=，故选项A 、D 结论正确，不符合题意；又AD 是BAC ∠的角平分线，,DE AB DF AC ，∠DE DF =，故选项B 结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD BC =，故选项C 结论错误，符合题意；故选：C ．【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．19．（2022·四川乐山）如图，等腰∠ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∠BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（）AB ．3C ．D ．4【答案】D【分析】当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．求出CF 的长即可解决问题．【详解】解：过点A 作AD ∠BC 于点D ，连接CE ，∠AB =AC ，∠BD =DC =12BC =1，∠AE =12BC ，∠AE =DC =1，∠AE ∠BC ，∠四边形AECD 是矩形，∠S ∠ABC =12BC ×AD =12×2×AD∠ADCE =AD当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∠BC =2，CE由勾股定理得BE =4，cos∠EBC =BC BE BE BF =，即244BF =， ∠BF =8，∠点N 是CE 的中点，点M 是EF 的中点，∠MN =12BF =4，∠点M 的运动路径长为4，故选：D ．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M 的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．20．（2022·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A ．3，4，8B ．5，6，11C ．5，6，10D ．5，5，10 【答案】C【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】解：A 、3478+=<，不能组成三角形，此项不符题意；B 、5611+=，不能组成三角形，此项不符题意；C 、561110+=>，能组成三角形，此项符合题意；D 、5510+=，不能组成三角形，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．21．（2022·四川成都）如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF =，只添加一个条件，能判定ABC DEF △≌△的是（）A ．BC DE =B ．AE DB =C ．A DEF ∠=∠D ．ABC D ∠=∠【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．【详解】A 、BC DE =，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；B 、AE DB =，利用SAS 定理可以判断ABC DEF △≌△，选项符合题意； C 、A DEF ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；D 、ABC D ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS 、SAS 、ASA 、AAS 判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．22．（2022·山东聊城）如图，ABC 中，若80BAC ∠=︒，70ACB ∠=︒，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A ．40BAQ ∠=︒B ．12DE BD = C ．AF AC = D ．25EQF ∠=︒【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．【详解】∠80BAC ∠=︒，70ACB ∠=︒，∠∠B =180°-∠BAC -∠ACB =30°，A ．由作图可知，AQ 平分BAC ∠，∠1402BAP CAP BAC ∠=∠=∠=︒，故选项A 正确，不符合题意；B ．由作图可知，MQ 是BC 的垂直平分线，∠90DEB ∠=︒，∠30B ∠=︒，∠12DE BD =，故选项B 正确，不符合题意；C ．∠30B ∠=︒，40BAP ∠=︒，∠70AFC ∠=︒，∠70C ∠=︒，∠AF AC =，故选项C 正确，不符合题意；D ．∠70EFQ AFC ∠=∠=︒，90QEF ∠=︒，∠20EQF ∠=︒；故选项D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．23．（2022·海南）如图，直线m n∥，ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是（）A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒【答案】B【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∠ABC是等边三角形，∠∠A=60°，∠∠1=140°，∠∠AEF=∠1-∠A=80°，∠∠BEF=180°-∠AEF=100°，∠m n∥，∠∠2=∠BEF=100°．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．24．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图所示，直线a∠b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（）A ．57°B ．63°C ．67°D ．73°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求出30ABC ∠=︒，可得出+173ABC ∠∠=︒，再根据平行线的性质可得结论．【详解】解：∠AC =BC ，∠ABC ∆是等腰三角形，∠=120C ∠︒ ∠11(180)(180120)3022ABC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒∠1304373ABC ∠+∠=︒+︒=︒∠a ∠b ，∠2173ABC ∠=∠+∠=︒ 故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出173ABC ∠+∠=︒是解答本题的关键． 25．（2022·湖北恩施）已知直线12l l ∥，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若1120∠=︒，则2∠=（）A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：∠5=30°，∥，∠∠3=∠1=120°，∠∠4=∠3=120°，∠12l l∠∠2=∠4+∠5，∠∠2=120°+30°=150°．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．二．填空题26．（2022·辽宁锦州）如图，在ABC中，,30=∠=︒，点D为BC的中AB AC ABC点，将ABC绕点D逆时针旋转得到A B C'''，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若1AA'=，则BB D'△的面积是____________．【分析】先证明A AD ' 是等边三角形，再证明AO BC '⊥，再利用直角三角形30角对应的边是斜边的一般分别求出A B ''和A O '，再利用勾股定理求出OD ，从而求得BB D '△的面积．【详解】解：如下图所示，设A B ''与BD 交于点O ，连接A D '和AD ，∠点D 为BC 的中点，,30AB AC ABC =∠=︒，∠AD BC ⊥,A D B C '''⊥，A D '是B A C '''∠的角平分线，AD 是BAC ∠，∠120B A C ︒'''∠=，120BAC ︒∠=∠60BAD B A D ︒'∠'=∠=∠A D AD '=，∠A AD ' 是等边三角形，∠1A A AD A D ''===，∠18060BA B B A C ︒︒'''''∠=-∠=，∠BA B A AD '''∠=∠，∠//A B AD ''，∠AO BC '⊥， ∠1122A O A D ''==，∠OD ==∠22A B A D '''==∠30A BD A DO ︒''∠=∠=，∠BO OD = ∠13222OB '=-=，2BD OD ==∠113222BB D S BD B O ''=⨯⨯==．【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明A AD ' 是等边三角形是解本题的关键．27．（2022·湖南郴州）如图．在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =．以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AB ，AC 于D ，E 两点；分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 长为半径作弧，在BAC ∠内两弧相交于点P ；作射线AP 交BC 于点F ，过点F 作FG AB ⊥，垂足用G ．若8cm AB =，则BFG 的周长等于________cm ．【答案】8【分析】由角平分线的性质，得到CF GF=，然后求出BFG的周长即可．【详解】解：根据题意，在ABC中，90=，C∠=︒，AC BC由角平分线的性质，得CF GF=，∠BFG的周长为：()8++=-+=-+==；BG BF FG AB AG BC AB AC BC AB故答案为：8【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．28．（2022·江苏常州）如图，在ABC中，E是中线AD的中点．若AEC△的面积是1，则ABD△的面积是______．【答案】2【分析】根据ACE∆的面积DCE=∆的面积计算出各部=∆的面积，ABD∆的面积ACD分三角形的面积．【详解】解：AD是BC边上的中线，E为AD的中点，根据等底同高可知，ACE ∆的面积DCE =∆的面积1=，ABD ∆的面积ACD =∆的面积2AEC =∆的面积2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．29．（2022·黑龙江哈尔滨）在ABC 中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根据题意，由于ABC 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：∠高在三角形内部，如图所示：在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAD ∠=︒，602080BAC BAD CAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；∠高在三角形边上，如图所示：可知0CAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，故此种情况不存在，舍弃；∠高在三角形外部，如图所示：在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAD ∠=︒，602040BAC BAD CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；综上所述：80BAC ∠=︒或40︒，故答案为：40或80．【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．30．（2022·四川成都）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∠分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；∠作直线MN 交边AB 于点E ．若5AC =，4BE =，45B ∠=︒，则AB 的长为_________．【答案】7【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得EB EC=．由已知易得∠∠=︒＝，在Rt∠AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．BEC CEA90【详解】解：由已知作图方法可得，MN是线段BC的垂直平分线，连接EC，如图，所以BE CE=，所以45∠=∠=︒，ECB B所以∠BEC=∠CEA=90°，因为5AC=，4BE=，所以4CE=，在AEC△中，2222AE AC EC，543所以347AB AE BE=+=+=，因此AB的长为7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得AE 即可． 31．（2022·内蒙古通辽）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =，若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．【答案】92或9或3【分析】分∠ABC =60、∠ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当∠ABC =60°时，则∠BAC =30°， ∠132BC AB ==，∠AC =，当点P 在线段AB 上时，如图，∠30PCB ∠=︒，∠∠BPC =90°，即PC ∠AB ，∠9cos 2AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时，∠30PCB ∠=︒，∠PBC =∠PCB +∠CPB ，∠∠CPB =30°，∠∠CPB =∠PCB ，∠PB =BC =3，∠AP =AB +PB =9；当∠ABC =30°时，则∠BAC =60°，如图，∠132AC AB ==，∠30PCB ∠=︒，∠∠APC =60°，∠∠ACP =60°，∠∠APC =∠P AC =∠ACP ，∠∠APC 为等边三角形，∠P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3．故答案为：92或9或3【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．32．（2022·湖南岳阳）如图，在ABC中，AB AC=，AD BCBC=，⊥于点D，若6则CD=______．【答案】3【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【详解】解：∠AB AC=，AD BC⊥，∠CD BD=，∠6BC=，∠3CD=，故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．33．（2022·江苏无锡）∠ABC是边长为5的等边三角形，∠DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在∠ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将∠DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【答案】804##4【分析】利用SAS证明∠BDC∠∠AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD∠BF时，∠FBC最大，则∠FBA 最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∠∠ABC和∠DCE都是等边三角形，∠AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∠∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，在∠BCD和∠ACE中，CD CEBCD ACEBC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACE∠∠BCD（SAS），∠∠EAC=∠DBC，∠∠DBC=20°，∠∠EAC=20°，∠∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∠∠ACE ∠∠BCD∠AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∠∠AFB =∠ACB =60°，∠A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∠点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ∠BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∠此时线段AF 长度有最小值，在Rt ∠BCD 中，BC =5，CD =3，∠BD=4，即AE =4，∠∠FDE =180°-90°-60°=30°，∠∠AFB =60°，∠∠FDE =∠FED =30°，∠FD =FE ，过点F 作FG ∠DE 于点G ，∠DG =GE =32，∠FE =DF =cos30DG ︒∠AF=AE-FE=4故答案为：80；4【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．34．（2022·湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE=______．【答案】3【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．【详解】解：∠大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∠AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，则AE=x-1，在Rt∆AED中，222+=，AE ED AD即()222-+=，x x15解得：x =4（负值已经舍去），∠x -1=3，故答案为：3．【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．35．（2022·黑龙江齐齐哈尔）在∠ABC 中，AB =6AC =，45B ∠=，则BC =______________．【答案】3或3【分析】画出图形，分∠ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当∠ABC 为锐角三角形时，如图1所示：过A 点作AH ∠BC 于H ，∠∠B =45°，∠∠ABH 为等腰直角三角形， ∠363322ABAH BH ,在Rt∠ACH 中，由勾股定理可知：2236273CHAC AH ， ∠333BC BH CH ．情况二：当∠ABC 为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH ，2236273CH AC AH ， ∠333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将∠ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．36．（2022·贵州遵义）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，点M ，N分别为BC ，AC 上的动点，且AN CM =，AB 当AM BN +的值最小时，CM 的长为__________．【答案】2【分析】过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，证明AND CMA ≌△△，可得AM DN =，当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，证明AB BM =，即可求解．【详解】如图，过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，连接DN ，如图1所示， DAN ACM ∴∠=∠，又AN CM =，AND CMA ∴≌，AM DN ∴=，BN AM BN DN BD ∴+=+≥，当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =2BC ∴==，AND CMA ≌△△，ADN CAM ∴∠=∠，AD AC AB ==，ADN ABN ∴∠=∠，AD BC ∥，ADN MBN ∴∠=∠，ABN MBN ∴∠=∠，设MAC α∠=，90BAM BAC αα∴∠=∠-=︒-，245ABM ABN NBM α∴∠=∠+∠==︒，22.5α∴=︒，180180904567.5AMB BAM ABM α∴∠=︒-∠-∠=︒-︒+-︒=︒，9022.567.5BAM ∠=︒-︒=︒，AB BM ∴==2CM BC BM ∴=-=即BN AM +取得最小值为2 故答案为：2图1 图2【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键．37．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC 的大小为______【答案】135°##135度【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．38．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．【答案】4【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．39．（2022·贵州遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC OA∥，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π3≈，sin280.47︒≈，︒≈，cos280.88︒≈）tan280.53根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．【答案】33792【分析】根据平行线的性质可知28∠=∠=︒，在Rt BOD中，利用锐角三角B BOA函数求出BD ，即为以BC 为直径的圆的半径，求出周长即可．【详解】解：如图，过点O 作OD BC ，垂足为D ，根据题意6400OB OA ==，∠BC OA ∥，∠28B BOA ∠=∠=︒，∠在Rt BOD 中， 28B ∠=︒，∠cos28BD OB =︒，∠OD BC ，∠由垂径定理可知：12BD DC BC ==，∠以BC 为直径的圆的周长为22364000.8833792BD π⨯≈⨯⨯⨯=，故答案为：33792．【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．三．解答题40．（2022·广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．41．（2022·广西）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD ，其中 AB ＝CD ＝2米，AD ＝BC ＝3米，∠B ＝30(1)求证：∠ABC ∠∠CDA ；(2)求草坪造型的面积．【答案】(1)见解析(2)草坪造型的面积为23m【分析】（1）根据“SSS ”直接证明三角形全等即可；（2）过点A 作AE ∠BC 于点E ，利用含30°的直角三角形的性质求出AE 的长度，继而求出ABC 的面积，再由全等三角形面积相等得出32ABC CDASS ==，即可求出草坪造型的面积．(1)在ABC 和CDA 中，AB CD AC CA BC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SSS ∴≅；(2)过点A 作AE ∠BC 于点E ，90AEB ∴∠=︒，30,2m B AB ∠=︒=，11m 2AE AB ∴==， 3m BC =，211331m 222ABCS BC AE ∴=⋅=⨯⨯=， ABC CDA ≅，23m 2ABC CDA S S ∴==， ∴草坪造型的面积23m ABC CDA S S =+=，所以，草坪造型的面积为23m ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟。

中考数学三角形试题归类(含答案)

中考数学三角形试题归类(含答案) 以下是查字典数学网为您推荐的中考数学三角形试题归类(含答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学三角形试题归类(含答案)选择题1. (天津3分)sin45的值等于(A) (B) (C) (D) 1【答案】B。

【考点】特殊角三角函数。

【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。

2.(河北省3分)如图，在△ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为A、 B、2 C、3 D、4【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，EDA=EDA=90，AE=AE，△ACB∽△AED。

又∵A为CE的中点，AE=AE=AC。

ED=2。

故选B。

3.(山西省2分)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE=2cm，则AC的长为A. cmB.4cmC. cmD. cm【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。

【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE= ，即可得出AC=2 。

故选D。

4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知当6为腰，3为底时，6﹣36+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15;当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。

故选D。

5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，△ACB≌△A1CB1, BCB1=30，则ACA1的度数为A. 20B. 30C. 35D. 40【答案】B。

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。

2022年浙江各地数学中考真题(杭州温州金华嘉兴等)按知识点汇编专题09 平行线与三角形(原卷版)

专题09平行线与三角形一、单选题1．（2022·台州）如图，已知190∠=︒，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A ．290∠=︒B ．390∠=︒C ．490∠=︒D ．590∠=︒2．（2022·杭州）如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3．（2022·绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．（2022·台州）如图，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在射线AD 上（不与点A ，D 重合），连接PB ，PC ．下列命题中，假命题是（）A ．若AB AC =，AD BC ⊥，则PB PC = B ．若PB PC =，AD BC ⊥，则AB AC =C ．若AB AC =，12∠=∠，则PB PC =D ．若PB PC =，12∠=∠，则AB AC =5．（2022·杭州）如图，CD ⊥AB 于点D ，已知∠ABC 是钝角，则（）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线 D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线6．（2022·湖州）如图，将△ABC 沿BC 方向平移1cm 得到对应的△A ′B ′C ′．若B ′C =2cm ，则BC ′的长是（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm7．（2022·湖州）如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，E C ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（）A ．12B ．9C ．6D ．32 8．（2022·宁波）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD 上一点，F 为CE 中点．若AE AD =，2DF =，则BD 的长为（）A ．22B ．3C ．23D ．49．（2022·金华）如图，AC 与BD 相交于点O ，,OA OD OB OC ==，不添加辅助线，判定ABO DCO △≌△的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL10．（2022·金华·）已知三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，则第三边的长可以是（）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．13cm 二、填空题11．（2022·嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．12．（2022·台州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．13．（2022·杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，DE =2.47m ，则AB =_________m ．14．（2022·湖州）如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE BC ∥，13AD AB =．若DE ＝2，则BC 的长是______．15．（2022·嘉兴）如图，在ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB ，AC 于点D ，E ．点B ，C ，D ，E 处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为_________．16．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片,OA OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，测得8.5m,13m MC CD ==，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为2∶3，则点O ，M 之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．17．（2022·绍兴）如图，在ABC 中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD ∠的度数是______．18．（2022·金华）如图，在Rt ABC 中，90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=．把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，连结CC '，则四边形AB C C ''的周长为_____cm ．19．（2022·丽水）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是___________cm ．三、解答题20．（2022·温州）如图，BD是ABC的角平分线，DE BC∥，交AB于点E．(1)求证：EBD EDB∠=∠．(2)当AB AC=时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．21．（2022·杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DE1 BC4=．(1)若8AB=，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．22．（2022·杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．23．（2022·绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．24．（2022·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．(1)在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）(2)在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图25．（2022·丽水）如图，在66形．(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；(3)如图3，作一个与ABC相似的三角形，相似比不等于1．。

中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．2．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC ，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。

（1）求证：AB=DF；（2）若CE=1，AF=3，求DF的长。

3．如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D在同一直线上，且AB∥DE，连接AE.（1）求证：△ABC≌△DCE.（2）当BC=5，AC=12时，求AE的长.4．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是.（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使SΔDCF=SΔFDE，请直接写出相应的BF的长.5．如图, ∠1+∠2=180° , ∠DEF=∠A , ∠BED=70° .（1）求证: EF//AB :（2）求∠ACB的度数.6．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．7．在△ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得 AE=DE，DE交AC于点G，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，∠EAC=∠DEF．（1）当点E在BC的延长线上，D为AB的中点时，如图1所示．①求证：∠EGC=∠AEC；②若DF=3，求BE的长度；（2）当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图2所示，若CE=10，5EG=2DE，求AG的长度．8．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2√2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=12AB，连接DE .将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ .（1）（问题发现）①当θ=0°时，BECD =；②当θ=180°时，BECD=；（2）（拓展研究）试判断：当0°≤θ<360°时，BECD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题解决）在旋转过程中，求出BE的最大值.9．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，的值；①求BCAEEG最小值．②若点G为AE上一点，求OG+ 1210．如图，已知在菱形ABCD中，AB=5，cosB=3，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长5∠BAD．线交BC的延长线于点G，且∠EAF=12（1）求证：AE2=EC⋅EG；（2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值；（3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE的长．11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⌢=CE⌢，连接OA、OF．⊙O交BD于E，交AD于F，且AE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．，过点C作CD∥AB，点E在边AC上，AE=CD，联结12．在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC= 35AD，BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F、G．设CD=x，△CEF的面积为y．（1）求证：∠ABE=∠CAD．（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域．（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面积．13．在ΔABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s 的速度向点C运动（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs .（1）求证：ΔAMN∽ΔABC；（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？（3）把ΔAMN沿直线MN折叠得到ΔMNP，若ΔMNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？14．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD=OB .连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC=45∘ .（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线.（2）求EF的值.FG15．小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．16．在等腰△ABC中，AB=BC，点D，E在射线BA上，BD=DE，过点E作EF//BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC=CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DE=2AE=6，则CF=．参考答案与解析1．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，∴OE=OC，OC=OF，∴OE=OF（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO=CO，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF= 12∠BCD，∴∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形2．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中∴BC=AD AD∥BC，∠B=∠C=90°∴∠DAF=∠AEB∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°=∠B，AE=AD∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF（2）解：由(1)可得△ABE≌△DFA，∴AF=BE=3，DF=AB=CD∴∠DFE=∠DCE∴△DFE≌△DCE，∴CE=EF=1，AE=4在Rt△ABE中，AB= √42−32 = √73．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠BAC=∠D.在△ABC和△DCE中，{∠B=∠DCE∠BAC=∠DAC=DE∴△ABC≌△DCE（AAS）（2）解：由（1）可得△ABC≌△DCE，∴CE=BC=5，在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√122+52=13.4．【答案】（1）DE∥AC；S1＝S2（2）解：如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，{∠ACN=∠DCM∠CMD=∠N=90°AC=CD，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2（3）解：如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD= 12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB= 12×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，{DF1=DF2∠CDF1=∠CDF2CD=CD，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD= 12×60°=30°，又∵BD=4，∴BE= 12×4÷cos30°=2÷√32= 4√33，∴BF1= 4√33，BF2=BF1+F1F2= 4√33+ 4√33= 8√33，故BF的长为4√33或8√33．5．【答案】（1）解：∵∠1+∠DFE=180°，∴∠1+∠2=180°.∴∠DFE=∠2，∴EF//AB；（2）解：∵EF//AB ， ∴∠DEF=∠BDE. 又∵∠DEF=∠A ， ∴∠BDE=∠A ， ∴DE//AC ， ∴∠ACB=∠DEB. 又∵∠DEB=70°， ∴∠ACB=70°.6．【答案】（1）解：连接OF ；根据切线长定理得：BE=BF ，CF=CG ，∠OBF=∠OBE ，∠OCF=∠OCG ； ∵AB ∥CD ，∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠OBE+∠OCF=90°， ∴∠BOC=90°（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm ，OC=8cm ，∴由勾股定理得到：BC= √OB 2+OC 2 =10cm ，∴BE+CG=BC=10cm（3）解：∵OF ⊥BC ，∴∠BFO=∠OFC=90°∵∠BOC=90°∴∠BOF+∠COF=90°，∠COF+∠FCO=90°。

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平行线与三角形复习一、相关知识点复习：（一）平行线1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.判定：（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角相等，两直线平行。

（4）垂直于同一直线的两直线平行。

3.性质：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

(3)两直线平行，同位角相等。

(4)两直线平行，内错角相等。

(5)两直线平行，同旁内角互补。

（二）三角形4.一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：5. 几种特殊三角形的特殊性质(1) 等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。

(2) 等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60°；②等边三角形外心、内心合一。

(3) 直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（其逆命题也成立）；④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

6. 三角形的面积(1) 一般三角形：S △ = 21a h （ h 是a 边上的高） (2) 直角三角形：S △ = 21a b = 21c h （a 、b 是直角边，c 是斜边，h 是斜边上的高）(3) 等边三角形： S △ = 43a 2（ a 是边长） (4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。

7. 相似三角形(1) 相似三角形的判别方法：① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(2) 相似三角形的性质：① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ② 相似三角形的周长比等于相似比；③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 全等三角形两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。

判定两个三角形全等的公理或定理：①一般三角形有SAS 、ASA 、AAS 、SSS ；②直角三角形还有HL二、巩固练习：一、选择题：1．如图，若AB∥CD，∠C = 60º，则∠A＋∠E＝（）A．20ºB．30ºC．40ºD．60º2．如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（）A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4 3．如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（）A. 相等B. 互补C. 互余D. 不能确定4．如图，下列判断正确的是（）A．∠1和∠5是同位角；B．∠2和∠6是同位角；C．∠3和∠5是内错角；D．∠3和∠6是内错角．5．下列命题正确的是（）A．两直线与第三条直线相交，同位角相等；B．两直线与第三条直线相交，内错角相等；C．两直线平行，内错角相等；D．两直线平行，同旁内角相等。

6．如图，若AB∥CD，则（）A．∠1 = ∠4 B．∠3 = ∠5C．∠4 = ∠5 D．∠3 = ∠47．如图，l1∥l2，则α= （）A．50°B．80°C．85°D．95°8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cmB.5cm，6cm，11cmDAB CEC.5cm ，6cm ，10cmD.3cm ，8cm ，12cm9．等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A.150°B.80°C.50°或80°D.70°10．如图，点D 、E 、F 是线段BC 的四等分点，点A 在BC 外，连接AB 、AD 、AE 、AF 、AC ，若AB = AC ，则图中的全等三角形共有（）对A. 2B. 3C. 4D. 511．三角形的三边分别为 a 、b 、c ，下列哪个三角形是直角三角形？（）A. a = 3，b = 2，c = 4B. a = 15，b = 12，c = 9C. a = 9，b = 8，c = 11D. a = 7，b = 7，c = 412．如图，△AED ∽ △ABC ，AD = 4cm ，AE = 3cm ， AC = 8cm ，那么这两个三角形的相似比是（） A ．43B ．21C ．83D ．2 13．下列结论中，不正确的是（）A ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；B ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；C ．各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；D ．各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。

二、填空题：14．如图，直线a ∥b ，若∠1 = 50°，则∠2 = 。

15．如图，AB ∥CD ，∠1 = 40°，则∠2 = 。

16．如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠ADE = 80°，则∠1 = .17．如图，l1∥l2，∠1 = 105°，∠2 = 140°，则∠α = ．18．△ABC中，BC = 12cm，BC边上的高AD = 6cm，则△ABC的面积为。

19．如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是。

20．在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。

21．在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 。

22．已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是。

23．等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是。

24．在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于。

25．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为。

26．等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为。

27．如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长为15m，则A、B两点间的距离为__________.28．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E．要使△ABC≌△DEF，需要补充的是一个．．条件：。

29．太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为。

三、解答题：30．如图，已知△ABC 中，AB = AC ，AE = AF ，D 是BC 的中点求证： ∠1 = ∠231．如图，已知D 是BC 的中点，BE ⊥AE 于E ，CF ⊥AE 于F求证：BE = CF32．如图，CE 平分∠ACB 且CE ⊥BD ，∠DAB =∠DBA ，AC = 18，△CDB 的周长是28。

求BD 的长。

33．已知：如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AD ＝AE ，BD ＝EC ，求证：AB ＝ACE D CB34．*一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。

(1)根据题意，画出示意图；(2)求河宽。

练习答案：一、选择题1、D2、B3、C4、A5、C6、C7、C8、C9、C 10、C 11、B 12、B 13、B二、填空题14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm 2 19、1<x<5 20、50°、50° 21、8cm 22、5 23、124、6或 25、22或26 26、120° 27、30m 28、BC=EF 或∠A=∠D 或∠C=∠F 29、21.6m三、证明题30、BE=CF 、∠B=∠C 、BD=DC →△BED ≌△CFD →∠1=∠231、△BED ≌△CFD →BE=CF32、∠A=∠DBA →AD=BD →CD+BD=AC=18、△CDB 的周长是28→BC=1033、AD=AE →∠ADE=∠AED →∠ADB=∠AEC →△ABD ≌△AEC →AB=AC34、解：如图，根据题意，有AB ∥CD ，PM ⊥CD 于N 点，交AB 于M 点，且AB=20m ，CD=50m ， PM=25m ，AB ∥CD →△PAB ∽△PCD →→ →PN=62.5→MN=37.5 372N M D C B A P PM PN =AB CD 25PN =2050。