1.3三角函数的诱导公式课件
由定义可以推导出同角关系:
怎么推导？
1.3三角函数的诱导公式
新授
诱导公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
(k∈z)
公式的作用 : 可以把任意角的正弦、余弦函数值, 分别化为0 到２的角的同一三角函数值.
cos 70 16 . 4 cos 70 6 ______
P27练习 1
(2)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系? 公式四
y
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
P(-x,y)
sin
11 sin 2 cos cos cos 2 2 . 例4 化简 9 cos sin 3 sin sin 2 sin cos sin cos 5 2 原式= cos sin sin sin 4 2 sin 2 cos cos 2 = cos sin sin sin 2
cos sin 原式= 1 sin cos
练习 1 sin 180 cos sin 180 化简 3 2 sin cos 2 tan
P28练习 7
小结
三角函数的诱导公式
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
sin cos , 2 cos sin . 2 sin cos , 2 cos sin . 2
引入
当任意角终边上一点P( x, y)满足单位圆时, 正弦 函数值, 余弦函数值, 会有什么样的结果?
y
B P
P
y
y
B
B
y
B
O
M A
x
M
O
Ax
M O P
Ax
O
M
Ax
P
y y x x sin y; cos x r 1 r 1
探究 给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? y 公式二
1 原式= sin cos sin sin cos
2
2 原式= sin cos tan sin
3 4
P27练习 3
(3)终边与角α的终边关于直线y=x对称的 角与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系? 公式五
sin cos , 2 cos sin . 2
α
O
π- α
α
P(x,y)
x
公式二
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
公式三
公式四
;
4 cos 2040
.
2 1 cos 225 cos 180 45 cos 45 2 11 3 sin 4 sin 2 sin 3 3 3 2
16 3 16 sin 5 sin 3 sin sin 3 3 3 2 3 4 cos 2040 cos 2040 cos 6 360 120
3 sin 1300 sin 140 sin 40 0.6428
5 3 79 4 cos cos cos 6 6 2 6
P27练习 2
例2 化简
解:sin - -180 sin 180
将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填 在题中横线上:
2 3 1 tan = tan 5 5 ______________________ 5 31 3 tan tan 36 _______________________ 36
tan 79 39 2 tan100 21 __________;
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
诱导公式:即 k (k Z ) 之间函数值变化关系, 2 其口诀是“奇变偶不变，符号看象限” ； 3 ) cos 如 sin(
2
“符号看象限”意义是:因为公式中的是对 任意角都成立的，所以记忆公式时把看成锐角， 那么右边的符号就只要看左边函数值符号即可。
sin = tan cos
填表:
α sinα cosα tanα
4 3 5 4 5 3 7 4 8 3 11 4
3 2 1 2
2 2 2 2
1
3 2 1 2
2 2 2 2
1
3 2 1 2
2 2 2 2
1
3
3
3
P28练习 4
P(x,y)
α
O
-α
x
P(x,-y)
练习
将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上
4 13 cos 1 cos ______; 9 9 sin 5 3 sin ______; 5
sin1 2 sin 1 ______;
sin cos 2
3 例3 证明 : 1 sin cos ; 2 3 2 cos sin . 2
3 2 cos cos 2 2 cos 2
tan 35 28 4 tan 324 32 _________;
P28练习 5
cos 化简 1 2 sin 2 cos 2 ; 5 sin 2 cos 2 sin cos 1 原式= sin 2
sin = sin cos cos
= sin 2
化简 2 cos
2
tan 360 sin
.
tan 原式=cos sin
2
=cos 2
1 cos
1 cos3 = cos
公式六
的正弦 2 (余弦)函数值,分 别等于α的余弦 (正弦)函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原函 数值的符号. 公式一～公式六 叫到诱导公式
3 例3 证明 : 1 sin cos ; 2 3 2 cos sin . 2 3 1 sin sin 2 2 sin 2
sin 180 cos 180
cos 180 sin 360
.
sin 180 sin sin cos 180 cos
cos 180 cos 180
同角三角函数的基本关系和诱导公式
三角函数定义:在 终边上任取一点 P( x, y)（与
2 2 r | OP | x y 原点不重合） ，记 ,则
y y x , , cos sin tan ， r r x r r x cot , sec x , csc y y
1 cos120 2
利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数 用公式 三或一 任意正角的 三角函数 用公式一 锐角三 角函数 用公式 二或四
0～2π的角 的三角函数
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 1 cos 420 cos 60 cos 60 2 7 sin 5 sin 1 2 sin 6 6 2 6
运用诱导公式可以把任意角的三角函数 值转化为锐角三角函数值来求！
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
π +α
O
P(x,y)
α
x
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间－α)=cosα tan(－α)=－tanα
y=x
y
P(x,y) P(y,x)
α
O
2
x
2 2
由公式四和公式五得
公式六
sin cos , 2 cos sin . 2
公式五
sin cos , 2 cos sin . 2 sin cos , 2 cos sin . 2
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1.3三角函数的诱导公式(一)2课件人教新课标
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型二 化简求值问题
【例 2】 (1)计算：cosπ7＋cos27π＋cos37π＋cos47π＋cos57π＋cos67π ＝________； 解析 原式＝cosπ7＋cos27π＋cos37π＋cos(π－37π)＋cos(π－27π) ＋cos(π－π7)＝cosπ7＋cos27π＋cos37π－cos37π－cos27π－cosπ7＝ 0． 答案 0
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角 α 是任意角．( ) (2)sin(α－π)＝sin α.( ) (3)cos43π＝－12.( ) 提示 (1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α 为任意角，但 是正切函数的诱导公式中，α 的取值必须使公式中角的正切 值有意义． (2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α． (3)√，cos43π＝cos(π＋π3)＝－cosπ3＝－12．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
(2)化简：cosπs＋inαπ＋coαsc3oπs－－ααta－nππ＋α．
解
原式＝－c－ossαin·α－－cocsoαs·αtan
α＝csoins
α sin α ·cos
αα＝1．
规律方法 三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的情势． ②根据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转 化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
公 sin(－α)＝__－__s_i_n_α___，cos(－α)＝___c_o_s_α____， 式 tan(－α)＝－tan α
1.3三角函数的诱导公式课件(公开课)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
1.3三角函数旳诱导公式
三角函数旳诱导公式（第一课时）
学习目的 :
（1）了解识记诱导公式（二、三、四）； （2）了解和掌握公式旳内涵及构造特征，会 初步利用诱导公式求三角函数旳值； （3）会进行简朴三角函数式旳化简和证明。
一.复习回忆
任意角三角函数旳定义
设α是一种任意角，它旳终边与单位圆交于点P(x，y)，
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
cos
5
6
cos
6
3 2
例2 化简
cos180 • sin 360 sin 180 • cos 180 .
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
2sin3 cos 2 tan
练习：利用定义和公式一求下列角旳三个三角
函数值：
(1)30 (2)750 （3）210
(4) - 30
360 2 30
180 30
观察所画旳图并思索： ①（１）与（２）旳角旳终边有什么关系？
②（１）与（３）旳角旳终边有什么关系？
③（１）与（４）旳角旳终边有什么关系？
问题探究
相等
1.终边相同旳角旳同一三角函数值有什么关系?
3
4
3
4
3
4
3
2
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
1.3三角函数旳诱导公式
三角函数旳诱导公式（第一课时）
学习目的 :
（1）了解识记诱导公式（二、三、四）； （2）了解和掌握公式旳内涵及构造特征，会 初步利用诱导公式求三角函数旳值； （3）会进行简朴三角函数式旳化简和证明。
一.复习回忆
任意角三角函数旳定义
设α是一种任意角，它旳终边与单位圆交于点P(x，y)，
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
cos
5
6
cos
6
3 2
例2 化简
cos180 • sin 360 sin 180 • cos 180 .
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
2sin3 cos 2 tan
练习：利用定义和公式一求下列角旳三个三角
函数值：
(1)30 (2)750 （3）210
(4) - 30
360 2 30
180 30
观察所画旳图并思索： ①（１）与（２）旳角旳终边有什么关系？
②（１）与（３）旳角旳终边有什么关系？
③（１）与（４）旳角旳终边有什么关系？
问题探究
相等
1.终边相同旳角旳同一三角函数值有什么关系?
3
4
3
4
3
4
3
2
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
3
3
3
32
例7：已知cos(π - α) = - 1，求sin(3π + α)的值。
4
2
解： ∵ cos(π - α) = - 1
4
∴ ∵
-cosα = - 1 4
sin( 3π + α)
即cosα
= -cosα
=
1 4
2
∴ sin( 3π + α) = - 1
2
4
课堂小结
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 我们可以用下面一段话来概括公式一～
y
(x, y)
p3 160
200 O
p1 (x, y)
sin 380
sin 20
y
a
2 0
P(x, y)
sin 200
y
a
20A (1,0) sin(20 ) y a
p2 (x, y)
sin160
y
a
利用诱导公式把任意角的三角函数转 化为锐角三角函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的 三角函数
线段为半径作一个圆。
已知任意角α的终边与
这个圆相交于点p(x,y）， 由于角 180°+α 的终边就
是角α的终边的反向延长线，
角180°+α的终边与单位圆 的交于点p'(-x,-y)，又因
p(x,y） -1
1
π
o
1
x
-1 p'(-x,-y）
单位圆的半径 r=1，由正弦
函数和余弦函数的定义得到：
sin y, cos x, tan y ;
设 0°≤α≤90°，对于任意一个 0°到360°的 角β，以下四种情形中有且仅有一种成立。
1.3 三角函数的诱导公式(二)课件(人教A版必修四)
【互动探究】本题1若改为cos21°+cos22°+cos23°+…+
cos288°+cos289°+cos290°，又如何求解呢？
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1进行计算.
【解析】cos21°+cos289°=cos21°+sin21°=1, cos22°+cos288°=cos22°+sin22°=1, 即cos2x°+cos2(90°－x°)=cos2x°+sin2x°=1(1≤x≤44, x∈N), 所以原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+… +(cos244°+cos246°)+cos290°+cos245°
2
式不变名,而后一套公式必须变名.
【变式训练】化简
tan 3－ 3 3 sin － sin( －) sin( )cos 2 2 2
sin 2－ cos(－
7 ) 2 .
【解析】tan(3π－α)=－tan α，sin(π－α)=sin α，
(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°-α及
-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.
(4)善于发现类似 －与 间的互余关系， －与 2
3 6 3 3
间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题.
【变式训练】(2013²广东高考)已知 sin( 5 ) 1 ， 那么
1.3 三角函数的诱导公式(二)
诱导公式五、六
1.公式的表达形式
cos
sin
1.3三角函数的诱导公式-课件(人教A版必修4)
堂互动探究
cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
菜单
第24页，共51页。
新课标 ·数学 必修4
学教法分析
思想方法
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化
为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360°，再利用诱
学方案设计
导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．若这时角是
●教学建议
思想方法
1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，
学方案设计因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线 y＝x、
原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利
当堂双基
用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐
前自主导学
标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)
菜单
新课标 ·数学 必修4
思想方法
第8页，共51页。
当堂双基 课时作
学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
菜单
新课标 ·数学 必修4
思想方法
第9页，共51页。
当堂双基 课时作
学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
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新课标 ·数学 必修4
思想方法
第10页，共51页。
当堂双基 课时作
90°到 180°间的角，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°～90°当堂双基
前自主导学间的角的三角函数；若这时角是 180°～270°间的角，则用 180° ＋α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是
270°～360°间的角，则利用 360°－α 的诱导公式化为 0°～90°
学教法分析
cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
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学教法分析
思想方法
1．对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化
为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360°，再利用诱
学方案设计
导公式一，化为 0°到 360°间的角的三角函数．若这时角是
●教学建议
思想方法
1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，
学方案设计因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线 y＝x、
原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利
当堂双基
用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐
前自主导学
标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)
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学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
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学教法分析 学方案设计 前自主导学 堂互动探究
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当堂双基 课时作
90°到 180°间的角，再利用 180°－α 的诱导公式化为 0°～90°当堂双基
前自主导学间的角的三角函数；若这时角是 180°～270°间的角，则用 180° ＋α 的诱导公式化为 0°～90°间的角的三角函数；若这时角是
270°～360°间的角，则利用 360°－α 的诱导公式化为 0°～90°
学教法分析
1.3《三角函数的诱导公式》课件
因 为s in 公 式4 s in 2 2
cos
公 式5 s in
2
sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
诱导公式（六）
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
α k 2π(k Z), α, α π 的三角函数值，等于α 的 同名函数值，前面加上 一 个把α看成锐角时原函 数 值的符号。
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan( 2k ) tan 。
2 2 3 3 cos( ) sin cos( ) sin 2 2 共同点：遇到 / 2 a 时候
函数名改变,函数名前面的+、-符号与前面的括号 里面角在第几象限来确定。
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇偶指的是
k
2 符号指的是前面三角函数的符号(由象限决定)
-1
• 如上图我观察到的东东是如下：
• 第一：ɑ和πɑ的角的终边关于y轴对称
• 第二：所以这两个角的终边与单位圆的焦点 p＇ 和p两个点关于y轴对称
• 第三：这个两个点的横坐标互为相反数，纵坐标 相同
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
三角函数的诱导公式精品PPT课件
(1)对应角终边之间的对称关系
在平面直角坐标系中，π－α的终边与角α的终边关于___y_轴___对称．
(2)诱导公式四
公式四：sin(π－α)＝___s_i_n_α____；cos(π－α)＝__－__c_o_s_α___； tan(π－α)＝__－__ta_n__α___．
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(3)公式一～四可以概括为：
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2．诱导公式三
(1)对应角终边之间的对称关系 在平面直角坐标系中，－α 的终边与角 α 的终边关于__x_轴__对称．
(2)诱导公式三 sin(－α)＝__－__s_in__α___；cos(－α)＝__co_s__α__；tan(－α)＝___－__t_a_n_α___．
3．诱导公式四
(4)在△ABC 中，sin(A＋B)＝sin C．( )
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【解析】 (1)由公式三可知该结论成立． (2)诱导公式中的角 α 是任意角，不一定是锐角． (3)由公式三知 cos[－(α－β)]＝cos(α－β)， 故 cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． (4)因为 A＋B＋C＝π，所以 A＋B＝π－C，
∴cos α＝－13，
sinπ2 ＋α＝cos α＝－13.
【答案】 －13
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ห้องสมุดไป่ตู้
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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给角求值问题
[小组合作型]
(1)求下列各三角函数值． ①sin－103π；②cos 269π； (2)求 sin2nπ＋2π 3 ·cosnπ＋4π 3 (n∈Z)的值． 【精彩点拨】 (1)先化负角为正角，再将大于 360°的角化为 0°到 360 °内的角，进而利用诱导公式求得结果．(2)分 n 为奇数、偶数两种情况讨论．
《三角函数的诱导公式(一)》课件
O
x
P 3 ( x, y)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式（四）
P 4 ( x, y)
y
P 1 ( x, y)
O
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin 5
2.利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
3 sin 1320
1 2
7 2 sin 6
1 2
3 2
79 3 4 cos 2 6
3.化简
1 sin 180 cos sin 180
解： sin 180 sin 180
sin 180 sin sin ,
cos 180 cos 180
cos 180 cos ,
解答：作用是把求任意角的三角函数值转化为0到 2
角的三角函数值.
思考2:
给定一个角α .
（1）角π -α 、π +α 的终边与角α 的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α 的的终边与角α 的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？
y
－ 的终边
r =1
α O
(1) cos 225
16 (3)sin 3
11 (2) sin 3
2 (1) cos 225 cos 180 45 cos 45 . 2
11 3 (2)sin sin 4 sin . 3 3 3 2
人教版必修四1.3三角函数的诱导公式课件
探究与归纳
角 与角的三角函数关系？
y
终边关系
关于原点对称
点的关系 P(x, y)
P(x, y)
O
P(x, y)
x
三角函数 定义
sin y
cos x
tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y
x
P(x, y)
三角函数 关系
(公式二）
sin( ) sin
cos( ) cos
（3）化为锐角的三角函数。 概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数
任意正角的三角函数
或公式三
公式一
用公式二
锐角三角函数
0~2的角的三角函数
或公式四
当堂检测
1、计算
(1) tan120 0 3
3／2 (2)sin(240 0 )
2、化简
sin( ) cos(2 sin(3 ) cos(
，
cos（-α）= cosα
符
tan（-α）= -tanα
号
看
公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα
象 限
tan（π-α）= -tanα
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐 角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式 记忆的方便，实际上α可以是任意角.
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学