平面直角坐标系中的位似变换【公开课教案】
4.8课时2平面直角坐标系中的位似变教学设计2024-2025学年北师大版数学九年级上册

5. 位似变换的坐标系中的点的位置变化:在坐标系中,位似变换后的点的位置变化与比例k和平移向量(a, b)有关。如果比例k>1,点向右平移a个单位,向上平移b个单位;如果比例0<k<1,点向左平移a个单位,向下平移b个单位。
6. 位似变换的类型:位似变换可以分为两种类型,即顺时针位似和逆时针位似。顺时针位似是指将图形按照一定的比例顺时针旋转,而逆时针位似是指将图形按照一定的比例逆时针旋转。
7. 位似变换与相似变换的区别:位似变换是一种特殊的相似变换,相似变换不仅可以对图形进行缩放,还可以对图形进行旋转。而位似变换只对图形进行缩放,不改变图形的方向。
4. 例题4:已知点D(1,1)在平面直角坐标系中,求点D关于原点的位似变换后的坐标,且位似比为2。
解答:由位似变换的性质可知,点D关于原点的位似变换后的坐标为(-2,-2)。
5. 例题5:已知点E(2,3)在平面直角坐标系中,求点E关于x轴的位似变换后的坐标,且位似比为1/2。
解答:由位似变换的性质可知,点E关于x轴的位似变换后的坐标为(2,-3)。
6. 课堂小结(5分钟)
目标:回顾本节课的主要内容,强调位似变换的重要性和意义。
过程:
简要回顾本节课的学习内容,包括位似变换的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调位似变换在现实生活或学习中的价值和作用,鼓励学生进一步探索和应用位似变换。
布置课后作业:让学生撰写一篇关于位似变换的短文或报告,以巩固学习效果。
2. 例题2:已知点B(4,6)在平面直角坐标系中,求点B关于x轴的位似变换后的坐标。
平面直角坐标系中的位似变换 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)

北师版九年级上册数学4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换教学设计可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢?讲授新课如图,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(2,3)(1)将O,A,B的横、纵坐标都乘2,得到三个点,以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗?如果位似,指出位似中心和相似比.O'A'B'△O'A'B'与△OAB位似位似中心是原点相似比为2(2)如果将O,A,B的横、纵坐标都乘-2,得到三个点,以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗?如果位似,指出位似中心和相似比. 通过小组合作的形式完成前三个问题,给学生充分的思考、交流、展示的时间。
第四个问题让学生完全独立完成,加深理解,掌握作图方法,并进一步归纳出规律(学生用自己的语言描述即可)。
在坐标系将坐标按要求乘正值变换后.体会新图形与原图形的位似关系。
在坐标系将坐标按要求乘正值变换后.体会新图形与原图形的位似关系。
O1A1B1△O1A1B1与△OAB位似位似中心是原点相似比为2如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(4,2),B(8,6),C(6,10),D(-2,6),将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘12,得到四个点,以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗?将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘-12,得到四个点,以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗?【总结归纳】学生动手在直角坐标系中自己创作一个多边形,并将黄纵坐标都乘以一个数,得到新坐标,画出新多边形,判断两个多边形是否为位似图形,并求出位似中心和相似比。
学生在教师的学生很容易将一开始总结出来的方法用在这两个问题上。
课件展示作图的步骤及过程,不仅能吸引学生的注意力,同时,让学生学会听课,观察,对比。
通过仔细观察,对比自己的作图过程,掌握在直角坐标系中做多边形位似图形的方法,并能对作图方法进行初步归纳(用自己的语言描述)。
【教案】 平面直角坐标系中的位似

27.3.2 平面直角坐标系中的位似一、教学目标知识与技能1.巩固位似图形及其有关概念.2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律.过程与方法了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同,并能在复杂图形中找出这些变换.情感态度与价值观培养学生从特殊到一般地认识事物,获得数学的经验,激发学生探索知识的兴趣二、重、难点重点:用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换难点:一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律三、课堂引入1.如图,△三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),(1)将△向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1,写出A 1、B 1、C 1三点的坐标;(2)写出△关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标;(3)将△绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3,写出A 3、B 3、C 3三点的坐标.2.在前面几册教科书中,我们学习了在平面直角坐标系中,如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换,相似也是一种图形的变换,一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.3.探究:(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O 为位似中心,相似比为31,把线段缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?(2)如图,△三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以点O为位似中心,相似比为2,将△放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律:四、例题讲解例1(教材的例题)解:问:你还可以得到其他图形吗?请你自己试一试!解法二:点A的对应点A′′的坐标为(-6×) 2 1(-,6×) 2 1(-),即A′′(3,-3).类似地,可以确定其他顶点的坐标.(具体解法与作图略)例2(教材)在右图所示的图案中,你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗?分析:观察的角度不同,答案就不同.如:它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角,连续旋转八次得到的旋转图形;它还可以看作位似中心是图形的正中心,相似比是4∶3∶2∶1的位似图形,…….五、课堂练习1.△的定点坐标分别为A(-1,4),B(3,2),O(0,0),试将△放大为△,使△与△的相似比为2.5∶1,求点E和点F的坐标.2.如图,△缩小后得到△,观察变化前后的三角形顶点,坐标发生了什么变化,并求出其相似比和面积比.3.如图,将图中的△以A为位似中心,放大到1.5倍,请画出图形,并指出三个顶点的坐标所发生的变化.4.请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案(选择的变换不限).六、小结:以原点为位似中心位的似变换中对应点坐标间的关系.七、作业:必做:课本习题T3,5八、课后反思:。
4.8 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换教案1

第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律;(难点)2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.(重点)一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形,它们之间有什么联系?二、合作探究 探究点:平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中,已知点A(6,4),B (4,-2),以原点O 为位似中心,相似比为12,把△ABO 缩小,则点A 的对应点A ′的坐标是( )A.(3,2)B.(12,8)C.(12,8)或(-12,-8)D.(3,2)或(-3,-2)解析:根据题意画出相应的图形,找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图,△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形,可求得点A 的对应点的坐标为(3,2)或(-3,-2).故选D. 方法总结:位似图形与位似中心有两种情况:(1)位似图形在位似中心两侧;(2)位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系,应该分两种情况讨论,防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图,在平面直角坐标系中,A (1,2),B (2,4),C (4,5),D (3,1)围成四边形ABCD ,作出一个四边形ABCD 的位似图形,使得新图形与原图形对应线段的比为2:1,位似中心是坐标原点.解析:以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形,一种可能是位似图形在位似中心同侧,此时各顶点的坐标比为2;另一种可能是位似图形在位似中心的两侧,此时各顶点的坐标比为-2,此题作出一个即可.解:如图,利用位似变换中对应点的坐标的变化规律,分别取A′(2,4),B′(4,8),C′(8,10),D′(6,2),顺次连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结:画以原点为位似中心的位似图形的方法:将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k(或除以±k),可得新多边形各顶点的坐标,描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换:在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线,培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透,通过坐标变换,在平面坐标系中,让学生画图、观察、归纳、交流,得出结论.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作,体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.。
新湘教版九年级上册初中数学 课时2 平面直角坐标系中图形的位似变换 教案(教学设计)

第3章图形的相似3.6 位似课时2 平面直角坐标系中图形的位似变换【知识与技能】1.了解用坐标描述位似变换的基本原理,理解以原点为位似中心的坐标变化规律.2.能利用原点为位似中心的坐标变化规律找出对应点的坐标.3.能运用位似原理作出位似图形.【过程与方法】1.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.2.通过总结平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同,进一步理解图形变换的区别.3.让学生在应用位似知识解决问题的过程中,体验数形结合思想方法在解题中的应用.【情感态度与价值观】1.使学生亲身经历坐标系下位似变换的基本原理,感受数学学习的应用性和挑战性.2.经历坐标系下画位似图形的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.3.进一步体验合作互助及交流能力,感受数学创造的乐趣,增强学好数学的信心.运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形.把一个图形放大或缩小后,理解点的坐标变化的规律.多媒体课件.导入一:【复习提问】(1)什么是位似图形?位似图形有什么性质?(2)如何把一个图形放大或缩小?(3)作位似图形需要注意什么?【师生活动】学生思考回答,教师点拨并补充.导入二:完成下列作图.如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(5,1).(1)将△ABC向左平移3个单位长度得到△A1B1C1,写出A1,B1,C1的坐标;(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点A2,B2,C2的坐标;(3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出点A3,B3,C3的坐标.【师生活动】学生通过平移、对称、旋转的规律回答变化后的坐标,教师点评,导入新课.[过渡语]在平面直角坐标系中,可以用坐标表示平移、旋转、对称等变换,类似地,位似作为一种图形变换,也可以用图形坐标之间的关系来表示,这就是我们今天要探究的内容.[设计意图]通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换的坐标表示,体会数与形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似的兴趣.一、位似图形的坐标(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?(2)如图,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0).以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?思路一【师生活动】学生在课前准备的坐标系下动手画图,然后小组交流结果.教师在巡视过程中及时关注和提醒学生画出的位似图形是否有两种,对学生展示的结果点评.观察各对应顶点坐标之间的关系,小组合作交流,师生共同归纳结论.【问题】运用这个规律时有什么限制?一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).思路二教师引导思考、操作、演示.(1)在坐标系下画以原点为位似中心的图形,你能画出几个?如何画?(如图)(1)(2)(2)在课前准备的坐标系下分别画出位似图形.(3)图(1)中点A',B'的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?(利用相似可得点A',B'的横、纵坐标是点A,B的横、纵坐标的)(4)图(1)中点A″,B″的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?(利用相似可得点A″,B″的横、纵坐标的绝对值是点A,B的横、纵坐标的)(5)在图(2)中点A″,C'的横、纵坐标与点A,C的横、纵坐标之间有什么关系?(6)你能归纳关于原点对称的图形各对应顶点坐标之间的关系吗?【师生活动】学生在教师的引导下,画出图形,证明对应顶点之间的关系,最后归纳总结结论,教师引导学生思考,对画图及回答作出点评,然后课件展示图形变化过程中坐标之间的变化,最后师生共同归纳总结结论.【课件展示】一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).[设计意图]学生通过动手操作画出图形,通过观察、讨论,得出以原点为位似中心的图形的对应点之间的坐标规律,学生经历知识的形成过程,体验成功的快乐,增强学生学习数学的自信心,同时培养学生归纳总结能力,体会从特殊到一般及数形结合在数学中的应用.二、例题讲解如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0),以原点O为位似中心,画一个三角形,使它与△ABO的相似比为.【思考】(1)所要画的是三角形,所以解决问题的关键是确定哪些点的坐标?(2)确定这些点的坐标与已知点的坐标之间有什么关系?如何确定这些点的坐标?【师生活动】学生独立思考后,画出图形,小组交流答案,学生展示结果,教师点评.【追加提问】你能总结画一个图形以原点为位似中心的位似图形的步骤吗? 学生小组交流,教师补充,归纳画图步骤:(1)根据以原点为位似中心的图形坐标变化规律,求出各顶点的坐标;(2)在坐标系下根据各顶点坐标描出各点;(3)依次连接各顶点可得所求作的图形.如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形,点F的坐标为(-1,1),点C的坐标为(-4,2),求这两个正方形的位似中心的坐标.【教师引导分析】(1)两个位似图形的特征是什么?(每对对应点与位似中心共线;对应线段平行或在同一条直线上)(2)位似中心的位置有几种?哪几种?(两种,位似图形在位似中心的同侧或异侧)(3)观察图形,当位似中心在位似图形同侧时,位似中心是不是在特殊直线上? (DG,AO在x轴上,故位似中心在x轴上)(4)当位似中心在位似图形同侧时,位似中心还在哪条与已知有关的直线上? (过对应点C,F所在的直线上或过对应点B,E所在的直线上)(5)当位似中心在位似图形同侧时,如何求位似中心的坐标?(求直线CF(或BE)与x轴的交点坐标)(6)观察图形当位似中心在位似图形异侧时,位似中心在什么位置?(直线不唯一.直线OC,DE的交点)(7)当位似中心在位似图形异侧时,如何求位似中心的坐标?(求直线OC与直线DE的交点坐标,直线不唯一)解:①当两个位似图形在位似中心同侧时,位似中心就是CF与x轴的交点.设直线CF的解析式为y=kx+b,将C(-4,2),F(-1,1)的坐标分别代入,得解得即y=-x+,令y=0得x=2,∴位似中心的坐标是(2,0).②当位似中心在两个正方形之间时,可求直线OC的解析式为y=-x,直线DE的解析式为y=x+1,得解得即位似中心的坐标为.∴位似中心的坐标为(2,0)或.[设计意图]通过例题,巩固位似图形对应点的坐标之间的关系,让学生感受运用新知识解决问题的简捷性,从而获得成功感;例题2是用坐标描述位似图形的拓展,让学生体会位似中心不在坐标原点的有关计算,开阔了学生视野,加强学生对前后知识之间的联系,体会数形结合思想在数学中的应用.三、平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同[过渡语]我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式,你能在下图的图案中找到它们吗?四种变换有什么异同?【师生活动】学生小组合作交流后回答,教师对学生的回答点评,观察角度不同,学生的答案也不同.【四种变换的异同】图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的.[设计意图]设计开放性的题目让学生回顾思考各种图形变换,并归纳异同,将平移、旋转、轴对称和位似联系,完善认知结构,与课前导入首尾呼应,使教学过程通顺、流畅.[知识拓展](1)以原点为位似中心的位似变换,其对应点的坐标关系可表示为(新图形与原图形的相似比为k):与P(x,y)位于位似中心同侧的对应点P(kx,ky);与P(x,y)位于位似中心异侧的对应点P2(-kx,-ky).当k>1时,是将1图形扩大;当0<k<1时,是将图形缩小.(2)在直角坐标系中,把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换,其对应点的坐标都有各自的变化规律:①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.②轴对称变换,以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;以y轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.③在旋转变换中,一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形上的对应点的横坐标与纵坐标分别互为相反数.④位似变换中,当以原点为位似中心时,变换前后两个图形上的对应点的横(或纵)坐标之比的绝对值等于相似比.1.位似变换中对应点坐标的变化规律:一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky). 2.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同.第2课时1.位似图形的坐标2.例题讲解例1例23.平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化,其中属于位似变换的是()A.将各点的纵坐标乘2,横坐标不变B.将各点的横坐标乘2,纵坐标不变C.将各点的横坐标、纵坐标都乘2D.将各点的纵坐标都减2,横坐标都加22.如图,在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将△AOB扩大为原来的2倍,得到△OA'B'.若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是()A.(2,4)B.(-1,-2)C.(-2,-4)D.(-2,-1)3.如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为()A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)4.在平面直角坐标系中,已知E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是()A.(-2,1)B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)5.如图是△AOB和△COD,它们是位似图形,则△COD与△AOB的相似比是.6.△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),试将△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,则A'点的坐标为,B'点的坐标为.7.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为.【能力提升】8.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图),则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),则点B'的坐标为.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2;(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即∶=(不写解答过程,直接写出结果).【拓展探究】11.如图,在△ABC中,BC=1,AC=2,∠C=90°.(1)在图(1)中,画△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且相似比为2∶1;(2)若将(1)中△A'B'C'称为“基本图形”,请你利用“基本图形”,借助旋转、平移或轴对称变换,在图(2)中设计一个以点O为对称中心,并且以直线l为对称轴的图案.【答案与解析】1.C解析:将各点的纵坐标乘2,横坐标不变,是将图形竖直方向拉伸,将各点的横坐标乘2,纵坐标不变,是将图形水平方向拉伸,图形的形状发生变化,故A,B不属于位似变换;将各点的纵坐标都减2,横坐标都加2,是将图形平移,故D不属于位似变换;将各点的横坐标、纵坐标都乘2,是以坐标原点为位似中心的位似变换.故选C.2.C解析:根据以原点为位似中心的坐标变化规律,可得△AOB扩大为原来的2倍,对应点的坐标为(2,4)或(-2,-4).故选C.3.A解析:∵线段CD和线段AB关于原点位似,∴△ODC∽△OBA,∴==,即==,∴CD=1,OD=2,∴C(2,1).故选A.4.D解析:根据题意得点E的对应点E'的坐标是(-2,1)或(2,-1).故选D.5.3∶5解析:由图可知=,即为两三角形的相似比.6.解析:∵△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,∴A'点的坐标为,B'点的坐标为.7.(,)解析:∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴OA∶OD=1∶.∵点A的坐标为(1,0),即OA=1,∴OD=.∵四边形ODEF是正方形,∴DE=OD=.∴E点的坐标为(,).8.(-2a,-2b)解析:根据题意易得两个图形是以原点O为位似中心的位似图形,且大鱼与小鱼的相似比是2∶1,∴对应点的坐标是(-2a,-2b).9.解析:如图,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'F⊥x轴于点F.∵点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),∴==.由题知AE=1,EO=2,BE=3,∴==,∴=,解得AF=.∴EF=,∴FO=2-=.由=,解得B'F=4,则点B'的坐标为.10.解:(1)如图的△A1B1C1即为所求. (2)如图的△A2B2C2即为所求. (3)1∶411.解:答案不唯一.(1)如图(1). (2)如图(2).通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转等变换的坐标表示,体会数与形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似图形的兴趣.本节课的重点是探究位似图形坐标之间的规律,并能应用规律解决有关问题,通过学生动手操作、小组合作交流,共同归纳出结论,在学生探究过程中突出了学生是课堂的主体,让学生在课堂上展示自己,增强自信心.例题的设计把本节课的内容进行了拓展,即位似中心不是坐标原点的情况,联系了前后知识,开阔了学生的视野,拓展了学生的思维,提高数学思维能力.本节课是位似的第2课时,主要探究位似图形坐标的特征,并能应用探索的规律解决有关问题,在教学设计中关注学生的课堂参与,表面看课堂气氛活跃了,但是只有部分学生积极发言,调动学生的积极性的技巧还存在问题,另外例2的设计目的是把本节课知识进行拓展,但题的难度有点大,给予讨论的时间不够长,有些学生没有真正掌握,在以后的教学中,要注重难易程度的把握.。
2022年人教版《平面直角坐标系中的位似》公开课教案

第2课时 平面直角坐标系中的位似1.学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换;(重点)2.掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,对应点的坐标变化的规律.(难点)一、情境导入观察如以下图的坐标系.试着发现坐标系中几个图形间的联系,然后自己作出一个类似的图形.二、合作探究探究点一:平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标如图,线段AB 两个端点的坐标分别为A (6,6),B (8,2),以原点O 为位似中心,在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ,那么端点C 的坐标为( )A .(3,3)B .(4,3)C .(3,1)D .(4,1)解析:∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6,6),B (8,2),以原点O 为位似中心,在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ,∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半,∴端点C 的坐标为(3,3).应选A.方法总结:关于原点成位似的两个图形,假设位似比是k ,那么原图形上的点(x ,y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ,ky )或(-kx ,-ky ).变式训练:见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第3题【类型二】 在坐标系中画位似图形在13×13的网格图中,△ABC 和点M (1,2).(1)以点M 为位似中心,位似比为2,画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′;(2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标.解析:(1)利用位似图形的性质及位似比为2,可得出各对应点的位置;(2)利用所画图形得出对应点坐标即可.解:(1)如以下图,△A ′B ′C ′即为所求;(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3,6),B ′(5,2),C ′(11,4).方法总结:画一个图形的位似图形时,位似中心的选择是任意的,这个点可以在图形的内部或外部或在图形上,对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.变式训练:见《 》本课时练习“课堂达标训练〞 第7题 【类型三】 在坐标系中确定位似比 △ABC 三个顶点A (3,6)、B (6,2)、C (2,-1),以原点为位似中心,得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1,2),B ′(2,23),C ′(23,-13),那么△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________.解析:∵△ABC 三个顶点A (3,6)、B (6,2)、C (2,-1),以原点为位似中心,得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1,2),B ′(2,23),C ′(23,-13),∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3.方法总结:以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比.变式训练:见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第3题探究点二:位似在坐标系中的简单应用【类型一】 确定图形的面积如图,原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心,点A (1,0)与点A ′(-2,0)是对应点,△ABC 的面积是32,那么△A ′B ′C ′的面积是________.解析:∵点A (1,0)与点A ′(-2,0)是对应点,原点O 是位似中心,∴△ABC 和△A ′B ′C ′的位似比是1∶2,∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4,又∵△ABC 的面积是32,∴△A ′B ′C ′的面积是6.方法总结:位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其对应的面积比等于相似比的平方.变式训练:见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第6题 【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合如图,点A 的坐标为(3,4),点O 的坐标为(0,0),点B 的坐标为(4,0).(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1,那么点A 1的坐标为(________),△A 1O 1B 1的面积为________;(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2,那么点A 2的坐标为(________);(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3,那么点A 3的坐标为(________);(4)以O 为位似中心,按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4,假设点B 4在x 轴的负半轴上,那么点A 4的坐标为(________),△A 4O 4B 4的面积为________.解析:(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1,那么点A 1的坐标为(2,4),△A 1O 1B 1的面积为12×4×4=8;(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2,那么点A 2的坐标为(-3,-4);(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3,那么点A 3的坐标为(3,-4);(4)以O 为位似中心,按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4,假设点B 4在x 轴的负半轴上,那么点A 4的坐标为(-6,-8),△A 4O 4B 4的面积为12×8×8=32.故答案为(1)2,4;8;(2)-3,-4;(3)3,-4;(4)-6,-8;32.方法总结:此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识,得出对应点坐标是解题关键.三、板书设计位似变换的坐标特征:关于原点成位似的两个图形,假设位似比是k ,那么原图形上的点(x ,y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ,ky )或(-kx ,-ky ).这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化,教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活泼,这样才能真正激发学生学习数学的兴趣,提高课堂学习效率.第2课时百分率和配套问题 教学目标1.学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题;2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程。
人教版九年级数学教案-平面直角坐标系中的位似变换2

第2課時平面直角坐標系中的位似變換教學目標1、理解圖形在平面直角坐標系中的相似變換方法與性質;2、會在平面直角坐標系中的進行圖形的相似變換,掌握在平面直角坐標系中相似變換的座標關係;3、瞭解伸縮變換與反向位似圖形的概念;教學重點:圖形在平面直角坐標系中的相似變換方法與性質;教學難點:在平面直角坐標系中的進行圖形的相似變換,以及平面直角坐標系中相似變換的座標關係;教學過程一、回顧與反思1、幾何變換,相似變換,位似變換三者之間有何關係?相似變換是特殊的幾何變換,位似變換又是特殊的相似變換,位似變換是具有特殊位置關係的相似圖形。
2、如何作一個圖形的位似圖形?位似中心可以是平面內任意一點,該點可在圖形的同側,或在兩圖形之間,或在圖形內,或在邊上,也可是頂點。
二、圖形在平面直角坐標系中的相似變換圖形在平面直角坐標系中的相似變換時,它們的座標有何關係嗎?如圖,△ABC的頂點座標分別是A(1,1),B(3,2),C(4,1),以原點O為位似中心,相似比為k=3,作△ABC的位似圖形(學生在草稿本上完成),觀察對應頂點的座標變化,你能有什麼發現?A(1,1)→A’(3,3);B(3,2)→B’(9,6);C(4,1)→C’(12,3),你能證明所得到的結論嗎?由學生依據相似三角形的判定和性質加以證明;以原點O 為位似中心的同向位似變換性質:在平面直角坐標系中,如果位似變換是以原點O 為位似中心,相似比為k (k>0),原圖形上點的座標為(x ,y ),那麼同向位似圖形對應點的座標為(kx ,ky )。
三、應用舉例例1:△ABC 的頂點座標分別是A (1,1),B (3,2),C (4,1),按(x ,y )→(21x ,21y )的方式變換,求變換後所得圖形中對應點的座標,畫出變換後的圖形,並比較它與原圖形的關係?(讓學生通過實踐操作、觀察、發現並總結變化規律,加深對位似變換的認識) 思考:在上述圖形變換中,如果取相似比k=-3,對△ABC 進行變換,請動手操作,看看結果如何?它與k=3時的變換結果又有什麼不同?(關於原點成中心對稱)我們把相似比k<0時的變換得到的圖形稱為反向位似圖形。
平面直角坐标系中的位似-北师大版九年级数学上册教案

平面直角坐标系中的位似-北师大版九年级数学上册教
案
一、学习目标
•了解平面直角坐标系中的位似概念及性质;
•掌握计算位似比例及位似中心;
•能够解决位似图形的问题。
二、教学重点
•位似比例的计算;
•位似中心的求解。
三、教学难点
•实际问题中的位似变换。
四、教学内容及进度安排
1.位似的概念及性质(1课时)
–位似的定义;
–位似的性质。
2.位似比例及计算(2课时)
–位似比例的概念及计算方法;
–位似比例的性质。
3.位似中心的求解(2课时)
–位似中心的概念及求解方法;
–位似中心的性质。
4.实际问题中的位似变换(2课时)
–利用位似变换解决实际问题。
五、教学方法
1.板书+导引法
–设计示例,通过导引引导学生对问题进行思考和探究,引导学生感受单位长度的变化。
–联系实际,参考现实中的实例进行讲解。
2.讨论+演示法
–设计问题,在讨论中引导学生探究位似变换的计算方法;
–在演示中,讲解位似中心的求解方法。
六、教学评估
1.课上评估
–提问答题;
–练习题。
2.课后评估
–课后作业;
–综合练习。
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第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
1.理解位似图形的坐标变化规律;(难点)
2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.(重点) 一、情景导入 观察如图所示的坐标系中的几个图形,它们之间有什么联系?
二、合作探究 探究点:平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标
在平面直角坐标系中,已知点A
(6,4),B (4,-2),以原点O 为位似中心,相似比为1
2,把△ABO 缩小,则点A 的
对应点A ′的坐标是( )
A.(3,2)
B.(12,8)
C.(12,8)或(-12,-8)
D.(3,2)或(-3,-2)
解析:根据题意画出相应的图形,找出点A 的对应点A ′的坐标即可.
如图,△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形,可求得点A 的对应点的坐标为
(3,2)或(-3,-2).故选D. 方法总结:位似图形与位似中心有
两种情况:(1)位似图形在位似中心两侧;(2)位似图形在位似中心同侧.若题中未指
明位置关系,应该分两种情况讨论,防止漏解.
【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形
如图,在平面直角坐标系中,A (1,2),B (2,4),C (4,5),D (3,1)围成四边形ABCD ,作出一个四边形ABCD 的位
似图形,使得新图形与原图形对应线段的比为2:1,位似中心是坐标原点.
解析:以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形,一种可能是位似图形在位似中心同侧,此时各顶点的坐标比为2;另一种可能是位似图形在位似中心的两侧,此时各顶点的坐标比为-2,此题作出一个即可.
解:如图,利用位似变换中对应点的坐标的变化规律,分别取A ′(2,4),B ′(4,8),C ′(8,10),D ′(6,2),顺次连接A ′B ′,B ′C ′,C ′D ′,D ′A ′.
则四边形A ′B ′C ′D ′就是四边形ABCD 的一个位似图形.
方法总结:画以原点为位似中心的位似图形的方法:将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k (或除以±k ),可得新多边形各顶点的坐标,描出这些点并顺次连接这些点即可.
三、板书设计
平面直角坐标系中的位似变换:在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为|k|.
位似变换是特殊的相似变换.以学生
的自主探究为主线,培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透,通过坐标变换,在平面坐标系中,让学生画图、观察、归纳、交流,得出结论.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作,体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.。