高一数学导学案一

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高一数学必修一第一章导学案.doc

§1.2.1函数的概念（1） ©•学习目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.心'教学重难点重点：理解函数的模型化思想。

难贞：用集合与对应的语言来刻画函数。

心1学习过程一、课前准备（预习教材P15~P17，找出疑惑之处）复习1：放学后骑口行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量Z 间有什么关系？复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程屮，有两个变量X 和），，对于X 的每一个确定的值, y 都有唯一的值与之対应，此时y 是兀的函数，x 是自变量，y 是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图彖法.二、新课导学探学习探究探究任务一：函数模型思想及函数概念问题：研究下面三个实例：A. —枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度力（米）与时间 r （秒）的变化规律是"130—5/2.B. 近儿十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞而积的变化情况.C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额十总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量Z 间存在着这样的对应关系？三个实例冇什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集人小的每一个％,按照某种对应关系/, 在数集〃中都与唯一确定的y 和它对应，记作：£A T B ・年份 1991 19921993 1994 1995 • • • 恩格尔系数％ 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 • • •新知：函数定义.设人、B是____________ ,如果按照某种确定的 _____________ ,使对于集合A中的________ 一个数X,在集合B中都冇_______ 确定的数/(x)和它对应，那么称.f. A-B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作：y = f (x), XG A .其中，x叫______ ，兀的取值范围人叫作 _______ (domain),与x的值对应的y值叫___________ , 函数值的集合{f(x)\xeA}叫________ (range).试试：如下图可作为函数y = /(x)的图象的是()・函数的对应关系：每一个x与y的对•应可以为：一对一，多对一，不可以一•对多。

高一数学导学案电子版

高一数学导学案电子版一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高一数学导学案电子版”为主题，旨在通过电子导学案的形式，为高一学生提供数学学科的系统学习指导。

教学内容涵盖高中数学一年级的主要知识点，如集合、函数、三角学等，注重培养学生数学思维能力、问题解决能力和自主学习能力。

通过精心设计的互动问题和丰富多样的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高数学素养。

2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们对数学知识有一定的掌握，具备一定的逻辑思维能力和自主学习能力。

由于学生个体差异，教学过程中需关注不同学生的学习需求，充分调动他们的积极性，使他们在数学学习中找到适合自己的方法，提高学习效果。

同时，考虑到学生已适应电子产品的使用，采用电子版导学案有助于提高学生的学习兴趣和便捷性。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握集合、函数、三角学等基本数学概念、性质、定理和公式，形成完整的知识体系。

（2）能够运用所学知识解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力。

（3）掌握数学基本技能，如运算、推理、证明等，提高数学思维能力和逻辑推理能力。

（4）学会使用电子版导学案，掌握网络资源和电子设备在数学学习中的应用。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，培养学生主动发现问题、分析问题和解决问题的能力。

（2）运用比较、归纳、演绎等思维方法，提高学生的数学思维能力。

（3）注重学习过程中的反思与总结，培养学生自我评价和调整学习策略的能力。

（4）借助电子版导学案，引导学生进行个性化学习，提高学习效率。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发他们探索数学奥秘的欲望。

（2）树立正确的数学观念，认识到数学在自然科学、社会科学等领域的重要地位和作用。

（3）培养良好的学习态度，使学生具备勤奋、自律、合作的精神品质。

（4）通过数学学习，引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识对个人成长和社会发展的意义。

高中数学人教版必修1导学案：2.2.1对数的换底公式(无答案)

§2.2.1 第2课时对数的换底公式撰稿：修订：高一备课组学生姓名：__________第_____小组一、学习目标心中有数：1、了解换底公式的推导过程.2、能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数.3、能用对数运算解决一些简单的实际问题。

二．自主学习体验成功：（一）知识回顾，温故知新1、⇔=N a b 。

2、如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：⑴()log a M N ⋅=_________. ⑵log a M N=_________. ⑶log n a M =_________（n ∈R ）.⑷若M a log =N a log ，则M N ；若N M =，则 M a log N a log 。

（二）知识梳理形成体系问题1：已知=2lg 0.3010，=3lg 0.4771，你能求3log 2的值吗?问题2：（换底公式）)1,0(log log log ≠>=c c ab bc c a ，如何证明？换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子。

问题3：请用换底公式证明下列结论： ①1log log a b b a= ②b b a m a n log log =（三）课前热身自我检测1、23log 3log 2⋅=__________ 。

2、若a =2lg ，b =3lg ，则=4log 3 ；=12log 2 ；=23lg 。

三、合作探究，共同进步例1 、求下列各式的值。

（1）32log 9log 278⋅ （2）37254954log 31log 81log 2log ⋅⋅例2：⑴已知18log 9,185b a ==，用a 、b 表示36log 45.例3、一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半.（结果保留1个有效数字）四、过手训练，步步为营:（一）课堂训练，及时突破1、=⋅⋅⋅2log 5log 7log 3log 7352 。

人教版高中数学必修1：11 集合必修一导学案

1 / 9第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示（1课时）【学习目标】1. 学习重点：了解集合、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2. 学习难点：列举法、描述法.3. 学习意义：了解集合在现代数学中的基础作用，初步体会集合思想在数学中的应用.【预习导学】（一）新课导入：我们在初中接触了一些集合，请你尝试用合适的方法表示下列集合：1. 自然数的集合；2. 不等式73x -<的解的集合；3. 圆 .（二）自主预习（预习教材P2―P5）完成该下列问题，不明白的做记号.1.集合的含义与特性阅读下列几个例子，理解其含义，能否构成集合？（1）1到20以内的所有素数；（2）身材较高的人；（3）方程2320x x +-=所有的实数根；（4）广美附中高一所有的学生；一般地，我们把研究对象统称为；把一些元素组成的总体叫；集合具有三大特性：、、，这是判断语句是否确定一个集合的依据；构成两个集合的元素是一样的，我们称之为两个集合 .2.元素与集合的关系(1). 集合通常用大写字母,,,A B C 表示，元素通常用表示，如果a 是集合A 的元2 / 9素，就说a 属于集合A ，记作：；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作： .(2). 数的集合称之为；常用的数集的记法：自然数集（非负整数集）记作；正整数集记作；整数集记作；有理数集记作；实数集记作；3.集合的表示如何表示一个集合？上面我们表示数集可以采用自然语言描述一个集合，除此以外，还能用什么方法表示集合？(1). 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，这种表示集合的方法叫做 . 请用列举法表示方程2x x =的实数解；问题探究：你能不能用列举法表示不等式73x -<的解集？为什么？(2). 描述法如果集合中的元素无法列举，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为，一般形式为，其中x 代表元素，P 是确定条件. 用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如{|21,}x x k k Z =-∈； {|0}x x >. 请用描述法表示不等式73x -<的解集；【例题精析】题型一：集合的性质理解例1.下列语句是否能构成一个集合？如果是请指出集合的元素，不是说明理由.（1）全体实数组成的集合；（2）我国的小河流；（3）大于3小于11的偶数；（4）平方值等于1-的全体实数 .例2. 用符号∈或∉填空：0 N 0 R 3.7 +N 3.7 Z 3- Q题型二集合的表示方法例3. 试分别用列举法和描述法表示下列集合：3 / 9方程220x -=的所有实数根组成的集合；； .【变式训练】用合适的表示方法表示下列集合：1. 不等式50x -<中所有正整数：；2. 一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合 .方法总结：1. 列举法的特点是 .2. 描述法的特点是 .【堂上练习】1. 下列说法正确的是A ．高一年级中的高个子组成一个集合B ．所有小正数组成一个集合C ．{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D ．13611,0.5,,,2244能组成一个集合 2. 给出下列关系：① 12R =；② 2Q ；③3N +-∉；④3.Q -其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为A. {0,1}B. {(0,1)}C. 1{,0}2-D. 1{(,0)}2-4. 试选择适当的集合表示方法表示下列集合（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合 .（2）不等式453x -<的解集 .【课堂小结】1．表示集合的主要的方法有 .2. 注意∈与⊆区别 .3. 集合具有三个性质是： .1.1.2 集合间的基本关系（1课时）【学习目标】4 / 91. 学习重点：理解集合之间包含于、相等的含义，能识集合的子集；了解空集的含义；2. 学习难点：子集、真子集、集合相等、空集之间的含义；3. 学习意义：通过学习集合之间的关系，为后章集合运算打下良好的基础.【预习导学】（一）新课导入回顾：用合适的方法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合 .（2）由大于10小于20的所有实数组成的集合 .（二）自主预习：（预习教材P6-P7）完成该下列问题，不明白的做记号.实数之间有大小关系，两个集合之间有没有关系呢？如：集合{}1,23A =，，{}1,2,3,4,5B =，我们发现，集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说集合A 与集合B 有包含关系.1.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作：，读作：，或 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：图1-1 2. 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，记作 .如：集合{}{}1,2=(1)(2)0x R x x ∈--=3.真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集，记作： .4.空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作： .并规定：空集是任何集合的，是任何非空集合的 . 如：{}210x R x ∈+== . 问题探究：你能用合适的方法表示子集、真子集、集合相等，空集之间的关系吗？【例题精析】题型：两集合之间的关系理解B A5 / 9例1.已知集合}{}{12,01A x x B x x =-<<=<<，则A. B A > B . B A ⊆ C. AB D. B A 例2. 用适当的符号填空.（1）a {,,}a b c （2）∅ {}230x R x ∈+= （3）{0} 2{|0}x x x -=. 例3.写出集合{}1,2A =的所有子集：（1）不含元素的子集有 .（2）含1个元素的子集有 .（3）含2个元素的子集有 .（4）其中真子集有个；非空真子集有个. 【变式训练】写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.方法总结：两个集合之间的关系主要有 .【堂上练习】1. 集合}{Z x x x A ∈<≤=且30的真子集的个数为A . 5B . 6C . 7D . 82. 满足M a ⊆}{的集合},,,{d c b a M 共有A . 6个B . 7个C . 8个D . 15个3. 设集合}{{ax x x B x x A -==-=2,01}02=-，若B A ⊆，求a 的值. 【课后作业】（一）基础题1. 下列结论正确的是A. ∅∈AB. {0}∅∈C. {1,2}Z ⊆D. {0}{0,1}∈2. 比较下面例子，用合适的符号表示两个集合之间的关系：（1）{|(1)(2)0}E x x x x =--= {0,1,2}F = .6 / 9（2）{|(1)(2)0}E x x x x =--= {}1,2F = .（3）{}3E x x =>- {}2F x x => .3. 设{}2A x x =<，{}1B x x =<，则B A .4. 集合},02{2R x a x x x M ∈=-+=，且φM ，则实数a 的范围是 A . 1-≤a B . 1≤a C . 1-≥a D . 1≥a(二)能力提升1. 设{}2A x x =<，{}B x x a =<，B A ⊆,则a 的范围是 .2. 设{}2A x x =<，{}B x x a =<，B A ⊂≠,则a 的范围是 .3. 若集合{}{}2=1,1A x x B x ax ===，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.1.1.3 集合的基本运算(2课时)【学习目标】1. 学习重点：（1）会求两个简单集合的并集与交集、补集.（2）能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算.2. 学习难点：两个简单集合的交集、并集、补集.3. 学习意义：理解集合的运算，类比数的运算，深刻理解集合思想.【预习导学】（一）新课导入：用适当的符号填空：0 {0}； ∅ {x |210,x x R +=∈}； {}3x x >- {}2x x >. （二）自主预习：（预习教材P8-P11）完成该下列问题，不明白的做记号.1. 并集、交集、补集(1). 由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作：，读作：A 并B ，用描述法表示是： .并集的Venn 图如下表示.图1-2 (2). 由属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集，B A7 / 9记作，读“A 交B ”，用描述法表示是： ;交集的 Venn 图如下表示.图1-3 (3). 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 .(4). 设集合A ⊆U ，由U 中所有 A 的元素组成的集合，称这个集合为，记作：，读作：“A 在U 中补集”；用描述法表示是 .补集的Venn 图表示如右：图1-42. 两个集合的交、并、补的性质.A ∩A ＝；A ∩∅＝； A ∪A ＝；A ∪∅＝；问题探究1：若A ∩B=A ，则集合A ，B 的关系是什么？试用韦恩图表示出来.问题探究2：若A B= A ，则集合A ，B 的关系是什么？试用韦恩图表示出来.【例题精析】题型一：理解集合的交集、并集、补集运算例1. 设集合{}123456U =，，，，，,{}1,23A =，，{}34,5,6B =，.用Venn 图表示,A B 如下：则A B = ； A B = ；【变式训练】设集合{}12x x =-<<,集合{}13B x x =<<，在数轴上表示AB ，A B . 则A B = ； A B = ； R A = .方法总结：一般地说，集合之间的运算，除了可以用韦恩图表示外，若是数集，还可以采用数轴的方法直观表示，体现了数形结合的解题方法.题型二：集合思想的应用例2. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点 . （2）12L L =∅ . （3）1212L L L L == .A B A U U A 1, 2 3456BA8 / 9 【变式训练】设全集{}U x x =是三角形,{}A x x =是锐角三角形，{}B x x =是钝角三角形，求A B ，()U A B ,()()U U A B .方法总结：数学有很多的知识可以用集合的思想去理解，集合思想是数学的基本概念之一.【课堂练习】1. 已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有A . P M =B . P M ⊇C . M P M =D . P M ⊆2. 集合(){},0P x y x y =+=，(){},2Q x y x y =-= ，AB 3. 设集合{}{}=04,7A x x B x a x ≤<=<≤. （1）若AB φ=,求a 的取值范围；（2）若A B B =,求a 的取值范围.【课堂小结】1．用自己的语言总结：两个集合的交集，就是；并集是；补集是2. 我们在解题时，常采用图示法解题，一般的图示法有 .特别要注意分类讨论的方法解题.【课后作业】（一）基础题1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么A B 等于A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤ 2. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3. 若集合{}=0,1,2,3A ，{}=1,2,4B ，则集合A B =A ．{}01234，，，，B ．{}1234，，，C ．{}12，D ．{}04. 设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则ST =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-9 / 9 5. 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，在数轴上求A ∩B 、A ∪B .（二）能力提升1. 某校秋季运动会中，若集合A ={参加比赛的运动员}，集合B ={参加比赛的男运动员}，集合C ={参加比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A. A B ⊆B. B C ⊆C. B C = AD. A ∩B = C2. 集合{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为A ．4 B.3 C.2 D. 13. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若AB =∅，求实数a 的取值范围是 .4. 已知集合}023|{2=+-=x ax x A .(1) 若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 .(2) 若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是 .。

人教版高中数学必修一《集合》导学案(含答案)

第一章集合与函数概念§1.1 集合1．1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．45.符号____ ________ ____ 一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( )A ．著名的科学家B ．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可6．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2∈A ，则实数x 的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z .三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a ，b ，c 与由元素b ，a ，c 组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1 集合1．1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a ，b ，c ，… (2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A ，B ，C ，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a 是集合A a 不是集合A 5.N N *或N ＋ Z Q R作业设计1．C [选项A 、B 、D 都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C [由题意知A 中只有一个元素a ，∴0∉A ，a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不应用“＝”，故选C.]3．D [集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C [因A 中含有3个元素，即a 2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]6．A [方法一因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．方法二令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是()A．{2,3} B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6．方程组的解集不可表示为()A．B．C．{1,2} D．{(1,2)}6二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号) ①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法{x|x<10}{x∈Z|x＝2k，k∈Z}作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y)|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y)，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3. 所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x1＝x2＝1，故方程x2－2x ＋1＝0的解集为{1}．]5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x(x2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；②{x|x ＝2n ＋1，且x<1 000，n ∈N}；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x2＋3中y 的取值范围是y≥3，所以B ＝{y|y≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y)，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x2＋3上，所以C ＝{P|P 是抛物线y ＝x2＋3上的点}．12．C [由集合的含义知{x|x ＝1}＝{y|(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C.]13．A [M ＝{x|x ＝2k ＋14，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝k ＋24，k ∈Z}， ∵2k ＋1(k ∈Z)是一个奇数，k ＋2(k ∈Z)是一个整数，∴x0∈M 时，一定有x0∈N ，故选A.]。

高中高一数学导学案人教版必修1 学案

§1.1.1 集合的含义与表示（1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.一、课前准备（预习教材P 2~ P 3，找出疑惑之处）讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3：设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ，－1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0 R ，3.7 N ，3.7 Z ，.探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法. 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a }不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※ 典型例题例1 用列举法表示下列集合： ① 15以内质数的集合；② 方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合； ③ 一次函数y x =与21y x =-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x =的图象与二次函数2y x =的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※ 学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※ 知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A ．某个村子里的高个子组成一个集合B ．所有小正数组成一个集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D ．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系： ①12R=；②Q ；③3N +-∉；④.Q 其中正确的个数为（）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为（）. A. {0,1} B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合.2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.一、课前准备（预习教材P4~ P5，找出疑惑之处）复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备、、特征.集合与元素的关系有、 .复习2：集合2{21}A x x=++的元素是，若1∈A，则x= .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※学习探究思考：①你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？②你能用列举法表示不等式13x-<的解集吗？探究：比较如下表示法① {方程210x-=的根}；②{1,1}-；③2{|10}x R x∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P∈，其中x代表元素，P是确定条件.试试：方程230x-=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .※典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x+=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R∈、x Z∈明确时可省略，例如{|21,}x x k k Z=-∈,{|0}x x>.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x=-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x yx y+=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别.（1）2{(,)|1}x y y x=-；（2）2{|1}y y x=-；（3）2{|1}x y x=-.反思与小结：①描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x=-与2{|1}y y x=-不同.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x>，{|3,}x x k k Z=∈.③集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.④列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.练2. 已知集合{|33,}A x x x Z=-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A==+∈. 试用列举法分别表示集合A、B.三、总结提升※学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※ 知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x =+与集合2{|1}y y x =+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn 图.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x =∈≤<，则下列正确的是（）. A. 6A ∈ B. 0A ∈ C. 3A ∉ D. 3.5A ∉2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x -<的解集表示为{4}x <B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k =C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x -=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x =-与2y x =-的图象的交点组成的集合是（）. A. {1,2}- B. {1,2}x y ==- C. {(2,1)}- D. 3{(,)|}2y x x y y x =-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为.5.集合A ＝{x |x =2n 且n ∈N }， 2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空： 4 A ，4 B ，5 A ，5 B .1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N =+=∈∈ ，试用列举法表示集合A .（2）设A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N ，且n <10}，B ＝{3的倍数}，求属于A 且属于B 的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A =-，集合2{|0}B x x ax b =++=，且A B =，求实数a 、b .§1.1.2 集合间的基本关系1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.一、课前准备（预习教材P 6~ P 7，找出疑惑之处）复习1：集合的表示方法有、、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： {3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生；{|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B .② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B（或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.※ 典型例题例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.B A变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A与B的关系如何？变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B，A C，{2} C，2 C.练2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为 .三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有21n-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用Venn 图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用Venn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.一、课前准备（预习教材P 8~ P 9，找出疑惑之处）复习1：用适当符号填空.0 {0}； 0 ∅；∅ {x |x 2＋1＝0,x ∈R }； {0} {x |x <3且x >5}；{x |x >－3} {x |x >2}； {x |x >6} {x |x <－2或x >5}.复习2：已知A ={1,2,3}, S ={1,2,3,4,5}，则A S ， {x |x ∈S 且x ∉A }= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※ 学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A =，{3,5,7,8}B =.（1）试用Venn 图表示集合A 、B 后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.① 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B ，读“A 交B ”，即：{|,}.A B x x A x B =∈∈且Venn 图如右表示.② 类比说出并集的定义.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集（union set ），记作：AB ，读作：A 并B ，用描述法表示是：{|,}AB x x A x B =∈∈或.Venn 图如右表示.试试：（1）A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝；（2）设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝；（3）A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x <6}，则A ∪B ＝，A ∩B ＝ . （4）分别指出A 、B 两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.A反思：（1）A ∩B 与A 、B 、B ∩A 有什么关系？（2）A ∪B 与集合A 、B 、B ∪A 有什么关系？（3）A ∩A ＝；A ∪A ＝ . A ∩∅＝；A ∪∅＝ .※ 典型例题例1 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，求A ∩B 、A ∪B .变式：若A ＝{x |-5≤x ≤8}，{|45}B x x x =><-或，则A ∩B = ；A ∪B = .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究. 例2 设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，求A ∩B .变式：（1）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|43}B x y x y =+=，则A B = ；（2）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|8212}B x y x y =+=，则A B = .反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※ 动手试试练1. 设集合{|23},{|12}A x x B x x =-<<=<<.求A ∩B 、A ∪B .练2. 学校里开运动会，设A ={x |x 是参加跳高的同学}，B ={x |x 是参加跳远的同学}，C ={x |x 是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B 与B C的含义.三、总结提升※ 学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B C =（）（）， A B C A B C =（）（）， A A B A A A B A ==（），（）.你能结合Venn 图，分析出上述集合运算的性质吗？※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么A B 等于（）.A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（）. A. x =3, y =－1 B. (3，－1) C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C 等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则A B = .课后作业1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点；（2）12L L =∅；（3）1212L L L L ==.2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求AB .§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习过程一、课前准备（预习教材P 10~ P 11，找出疑惑之处）复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的，记作 .若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：A B = ；A B = .复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集.① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementaryset ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且. 补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则RA = ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B 、()()U U C A C B .※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =，(){4,6,8}I C A B =，{2}A B =. 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1）；（2）；（3）；（4） . 反思：结合Venn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A = ，()U A C A = ；（2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？（1）()()()U U U C A B C A C B =；（2）()()()U U U C A B C A C B =.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（）. A. {|02}x x x ≤≥或 B. {|02}x x x <>或 C. {|2}x x ≥ D. {|2}x x >3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =（）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.一、课前准备（复习教材P 2~ P 14，找出疑惑之处）复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？AB = ；A B = ；U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝；A ∩∅＝； A ∪A ＝；A ∪∅＝；()U A C A = ；()U A C A = ； ()U U C C A = .你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠∅，(){1,2}U A C B =，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。

山东省高密市第三中学人教版B版高一数学必修一 1.1.2集合表示法(导学案)

1．1．2集合表示法通过本节学习应达到如下目标:1．掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界．3．通过合作学习培养合作精神．学习重点：集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法,正确表示一些简单的集合学习难点：难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合学习过程（一)自主学习阅读课本,完成下列问题1。

集合的表示方法(1)列举法: 把一一列举出来，写在内,用逗号隔开。

（2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内，具体方法在大括号内先写上表示这个集合元素的.及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的。

｛x I | p（x）｝其中：1）x是集合中元素的代表形式，2）I是x的范围，3)p（x）是集合中元素的共同特征，4）竖线不可省略.思考？1、{x｜x=3｝与｛y｜y=3}是否是同一集合？2、｛y | y=x2}与{（x，y）| y=x2 }是否是同一集合？（二) 合作探讨1、用列举法表示下列集合:(1）小于10的所有自然数组成的集合；(2）方程x2=x的所有实数根组成的集合;(3）由1~20以内的所有素数组成的集合；（4）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；（5)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

2、试用描述法表示下列集合：1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；2) 所有的奇数；所有偶数；比3的倍数多一的整数3)不等式x—10〉0的解集4)一次函数y=2x+1图象上的所有的点。

思考？请你结合具体例子，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用对象。

自己举几个集合的例子，并分别用自然语言，列举法和描述法表示出来。

（三）巩固练习1、已知A=｛x∣x=3k-1，k∈Z｝，用“∈”或“∉”符号填空：(1 ) 5 A，(2 ) 7 A ，（3 ) —10 A.2、试选择适当的方法表示下列集合：1）由小于8的所有素数组成的集合2）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合；3）不等式4x—5〈3的解集4) 二次函数y= x2-4的函数值组成的集合；2的自变量的值组成的集合；5) 反比例函数y=x3、已知-3∈{m-1，3m，m2+1},求m的值。

导学案高一数学

导学案高一数学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计旨在针对高一学生，以导学案的形式进行数学教学。

教学内容将围绕高中数学的核心概念、原理和技能进行，强调学生的主动探索和问题解决能力的培养。

具体任务包括：培养学生的数学思维能力，提高解决实际问题的能力，通过自主与合作学习，使学生掌握数学基础知识，形成系统的数学知识体系。

2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中的数学学习，具备一定的数学基础。

然而，由于高中数学知识点的增多和难度加大，学生在学习过程中可能会遇到困难和挑战。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，引导他们克服困难，逐步提高数学素养。

此外，考虑到学生年龄特点，教学过程中应注重激发学生的兴趣，使他们能够主动参与到数学学习中，形成良好的学习习惯和态度。

二、教学目标1、知识与技能（1）掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，形成完整的知识结构。

（2）熟练运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。

（3）培养逻辑推理、空间想象、数据分析等数学思维能力。

（4）学会运用数学语言表达和交流，提高数学表达能力和解题技巧。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等学习方式，培养学生的问题发现和解决能力。

（2）引导学生运用类比、归纳、演绎等方法，掌握数学知识的学习规律。

（3）借助现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高学习效率。

（4）注重学习过程中的反思与总结，培养学生自我评价和调整学习策略的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，形成积极向上的学习态度。

（2）培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强自信心。

（3）通过数学学习，使学生认识到数学在科学、技术、经济等领域的重要地位和价值，提高社会责任感。

（4）培养学生良好的合作精神，学会尊重他人，善于倾听和表达自己的观点。

（5）引导学生形成正确的价值观，将数学知识应用于实际生活，为我国的社会发展做出贡献。

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3
高一数数学导学案一
因式分解
班级------------- 姓名-------------------
一、公式法
673ab a -）（
练习分解因式：（1）4a 2－9b 2 = (2)－25a 2y 4+16b 16
(3) m 2－2mn+4
1n 2 =
2. 提公因式后用公式
例2 分解因式：（1）5a b －ab （2）a 4(m+n)－b 4(m+n)
（3）－161 11-++m m a a 练习分解因式：
（1）76a ab - （2） x 3－6x 2+9x
（3）a －2a 2+a 3 （4）a 4x 2－4a 2x 2y+4x 2y 2
3. 化简后用公式例3
4. 整体用公式
例4 分解因式：(1)(x+2y)2－(x －2y)2 (2)－4(m+n)2+25(m －2n)2 练习分解因式：
（1）(2m －n)2－121(m+n)2 （2）(3a+2b)2－(2a+3b)2
33
(1) 8 (2) 12527x b +-
3
5. 连续用公式例5
练习分解因式：x 4－1=
6. 变换成公式的模型用公式
例
6
练习分解因式：
2
1（x 2－2y 2）2－2（x 2－2y 2）y 2+2y 4 二、分组分解法 1．分组后能提取公因式例：2105ax ay by bx -+-=
练习： 2222()()ab c d a b cd ---
2．分组后能直接运用公式例：a 2－b 2－2b －1=
练习：a 2+4b 2－4ab －c 2=
三、十字相乘法
1． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 例：把下列各式因式分解：
（1）276x x -+ （2）2524x x +-
（3） 226x xy y +-
练习：（1）21336x x ++ （2）2215x x -- （3）x 2+6ax+9a 2
3
2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解
大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．
反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
例：把下列各式因式分解：
(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-
练习：（1）2616x x +- （2
四、其它因式分解的方法
1．配方法例：分解因式2616x x +-
2．拆、添项法例：分解因式3234x x -+
3. 待定系数例：3529422x xy y x y +-++-
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：
(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；
(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
五、课后小测：（每小题10分，共100分）
1、 (1)
2、 9(a－b)2－(x－y)2；
3、(x－2)2＋12(x －2)＋36
4、
5、
6. 已知：a+b=3,x-y=1,求a+2ab+b-x+y的值.
7.求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。

9.设x+2z=3y,试判断x2－9y2+4z2+4xz的值是不是定值？
3。