鲍建生数学课堂设计研究
中美初中数学教材习题的比较研究——以有理数为例
中美初中数学教材习题的比较研究——以有理数为例王晓丽【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)014【总页数】4页(P36-39)【作者】王晓丽【作者单位】河南大学数学与统计学院【正文语种】中文以在中国大陆、美国加州应用广泛的初中数学教科书中“有理数”章节的习题为研究对象，从数量、类型、综合难度三个方面对两国教材有理数章节的习题进行比较分析，了解两国教材习题配备的异同，发现我国教材存在问题背景创设等方面的不足，借鉴加州教材的优势，为我国数学教材有理数领域习题的编制与改革提供参考. 习题是中学数学教材的重要组成部分，习题配备的质量一定程度上影响着教师教学与学生学习的质量.因此，对教科书中习题的研究是一项重要且有意义的工作.由于美国数学教育在培养学生创造力和实际操作能力方面有很强的先进性，因此中美教材习题部分的对比对我国习题的编写具有一定的意义与价值.比较是为了知己知彼，学他人之长处，改自身之不足.结合中国实际，选取美国初中数学教材有理数章节的习题进行比较研究.有理数是学生在初中阶段所接触的第一个与负数有关的内容，不少学生在刚接触时对它的理解并不透彻.因此对有理数章节习题的类型、素材选取及难度等方面的研究十分有必要.它山之石，可以攻玉.结合鲍建生教授的数学课程综合难度模型，比较中美两国教材有理数部分习题配备的差异，找到中国教材在有理数部分习题配备的不足，吸收美国教材习题配备的优秀之处，为我国初中数学教材有理数领域习题的编写提供帮助.1.中国教材——人民教育出版社七年级上册数学教材.选取在国内应用广泛的人民教育出版社课程教材研究所及中学数学课程研究开发中心编著的七年级上册数学教科书.该教材中除概念、定理、例题外，还涉及“思考”“探究”“归纳”“阅读与思考”等模块，便于学生发散思维.本文所要研究的内容是该教材第一章“有理数”的所有习题.这里所提及的习题包括：“例题”“练习”“思考”“探究”“习题”“复习题”“数学活动”模块中所涉及的所有题目.2.美国加州教材——California mathematics 7教材.California mathematics 7教材由The McGraw—Hill公司在2008年出版，是在美国加州应用广泛的概念教科书.该教材设计独特，每节内容中设有核心概念（key concepts）、核心词汇（key vocabulary）.在教材每节内容的左侧设立旁白，提示学生易出错的知识点，并附有网络学习的链接，别具特色.本文所要研究的是该教材第二章——“有理数”的所有习题.这里所指的习题包括例题（Example）、效果检验（Check Your Progress）、现实世界举例（Real—Word Example）、练习（Exercises）、检验理解（Check Your Understanding）、中间章节测试（Mid—Chapter Quiz）、学习指导和回顾（Study Guide and Review）、练习测试（Practice Test）及加利福尼亚州标准测试题（California Standards Practice）.采用定量刻画与定性描述相结合的方法，选取鲍建生教授的综合难度模型从习题数量、类型、难度因素各方面对中美初中数学教材中“有理数”章节的习题进行比较研究.鲍教授建立的综合难度模型中包含五个难度因素，每个难度因素又分为几个水平（见表1）.首先，根据鲍教授提出的综合难度模型，统计各因素上每个水平层次中的习题数量及占总数量的百分比.其次，为了对数学课程的综合难度有一个整体把握，在因素分析的基础上，使用等级变量的自然赋值（即将每个因素的各个水平从低到高按自然数1、2、3、…进行赋值）并将其作为权重.利用下面的公式计算中美教材在每个难度因素上的加权平均值i=1、2、3、4、5，j=1、2、…），其中di（i=1、2、3、4、5）分别为“探究”“背景”“运算”“推理”“知识含量”五个难度因素上的取值.dij为第i个难度因素的第j个水平的权重（依次水平为1、2、3、…）.nij则表示这组题中属于第i个难度因素的第j个水平的题目个数.总和等于该组题目的总数n.1.习题数量比较.由表2统计出的数据可知中美两国教材有理数章节的习题数量差异较大，美国教材该章节的习题比中国教材的两倍还多.2.习题类型比较.由表3统计的数据可知，中国教材有理数章节习题中，填空题、判断题、解答题和作图题在总习题数量中所占比重大于美国教材.而美国教材有理数章节的习题中，选择题和主观题所占的比重远超中国教材.3.习题难度因素比较.（1）探究水平.图1表示两国教材“有理数”领域习题在探究水平上的差异.中国版教材和美国版教材中属于“识记”水平的习题分别占习题总量的50.56%和50%.两国教材中“理解”水平的习题分别占总量的44.38%和44.89%，而属于“探究”水平的习题分别占总量的5.06%和5.11%.由上述折线图可以看出，两国教材在探究难度因素下各水平习题所占百分比的差异不大.说明在有理数部分，中美两国教材都更加重视对基础知识的识记与理解，相对忽视对学生探究水平的培养. （2）背景水平.图2表示两国教材“有理数”领域习题在背景水平上的差异.中国版教材中不涉及实际背景的习题占习题总数的94.38%，比美版教材高13.73个百分点.中美教材中涉及“个人生活”的习题分别占总量的0.56%和12.90%，美版教材超过中版教材12.34个百分点.中美教材中涉及“公共常识”的习题分别占总量的2.81%和2.96%，涉及“科学情境”的习题分别占总量的2.25%和3.49%.由折线图知，中美两国教材有理数领域的习题中无背景知识的习题数量仍占习题总量的绝大部分，但相比美版教材而言，中版教材对习题背景的引入更加缺乏.尤其是与学生个人生活有关的习题背景素材的引入，更是少之又少.（3）运算水平.图3表示两国教材“有理数”领域习题在运算水平上的差异.中美两国教材在有理数章节中不含运算的习题分别占总量的34.27%和7.26%，我国教材在有理数领域不涉及运算的题目远超美国教材27.01个百分点.中美教材在有理数章节涉及“数值运算”的习题分别占总量的62.92%和84.68%，其中美版教材涉及数值运算的题目超中版教材21.76个百分点.中美教材有理数章节涉及“简单符号运算”的习题分别占总量的2.81%和8.06%，而两国教材在有理数领域均无“复杂符号运算”的习题.由折线图表明，相比中国而言，美国教材在有理数领域“无运算”的习题相对较少，中国教材在有理数领域涉及“数值运算”和“简单符号运算”的习题数目低于美国教材.（4）推理水平.图4表示两国教材“有理数”领域习题在推理水平上的差异.中美教材有理数领域的习题中一半以上为“无推理”水平的习题.中美两国教材中“简单推理”水平的习题分别占总量的30.34%和33.33%，而两国教材在有理数领域均未涉及“复杂推理”水平的习题.这表明中美两国教材在有理数领域均应该加强对习题推理水平的重视.（5）知识含量.图5 表示两国教材“有理数”领域习题在知识含量上的差异.中美两国教材有理数章节中涉及“单个知识点”的习题分别占总量的85.96%和89.78%，涉及“两个知识点”的习题分别占总量的11.24%和9.41%，涉及“3个及3个以上知识点”的习题分别占总量的2.80%和0.81%.由折线图表明两国教材在有理数领域都对单个知识点的考查更加重视.（6）综合难度.为了对两国教材有理数领域习题的综合难度有一个整体把握，在对难度因素的不同水平进行分析的基础之上，利用前面给出的加权平均值的计算公式计算出习题各因素的加权平均值（见表4）.由两国教材有理数领域习题各难度因素的加权平均值可以刻画出综合难度的五边形模型，如图6所示.由图6可知，我国教材有理数领域的习题在“知识含量”这一因素上高于美国教材，在“探究”和“推理”因素上与美国教材相差甚微.在“背景”和“运算”因素上则明显低于美国教材.依照上述对中美两国教材有理数章节习题的综合难度因素分析，对中国教材的习题编写提出以下几点思考建议.1.适当增加教科书习题的数量.不少学生认为我国教育更加侧重题海战术，因此误以为中国教科书中的习题数量要远多于其他国家的教科书.但实际上，学者翻阅外国的初中数学教材不难发现，中国初中数学教科书中的习题数量呈现量少的特点，远低于美国、澳大利亚等国家.从比较的视角来看，中国教科书需要适当增加习题数量.对此我国可以参照学习美国的习题编排，在教材左侧留白处设立math online小模块，其中包含有self-check quiz的网络链接（见图7），为那些在学习书本知识以外仍有精力学习更多知识的学生提供学习网站.此举可避免盲目扩增题量，仅在书本上列举有代表性的题目，减轻学生的学业压力的同时，又可以顾及不同水平学生的学习与进步.2.创设习题的实际背景，使数学知识生活化.中国版教材习题的背景方式单一，大部分题目是对概念定理的直接考查或直接的数值或符号运算.人教版教材有理数章节的习题中包含实际背景的习题仅占总数的5.62%，与美版教材相比差别较大，美版教材每章节都设有real-word examples 来列举与学生生活、工作职业、科学情境或公共常识有关的实际背景知识，并配有具体介绍该背景知识的网络链接.另外，美版教材习题注重对学生个人生活背景的引入（如图8）.与学生生活相关的习题背景可以营造一种数学就在身边的氛围，激发学生解决问题的兴趣.人教版教材可以借鉴美版教材对习题背景素材引入的手段，创设合理的问题情境，赋予数学生动的形象，使学生将书本知识与实际生活相联系，既可以从生活中捕捉数学信息，又能运用数学知识解决生活问题，意识到知识源于生活，并服务于生活.中国教材要努力创设多样化的习题呈现形式，使数学题变得有血有肉，不显空洞.3.在注重识记的基础上，加强对学生探究及推理能力的提升.基础知识是学好数学的根基，但是对学生探究及推理能力的提升是发散学生思维、培养学生创造力必不可少的要素.我国教材要在注重习题识记及理解的基础之上，提高探究和推理类习题的数量来提升学生的创造力，培养学生的逻辑思维能力. 4.增加实践、探究等开放性习题的比例，激发学生的学习兴趣.开放性习题注重考查学生对所学知识点的灵活运用程度，给予学生思维发散的空间.为了提升学生自主举例的能力，我国可以学习美版教材在每个小节的习题中都设有open ended习题模块的方法，增加开放性习题的数量，给予学生从生活中发现、列举数学问题的机会，发散学生思维，吸引学生学习数学的兴趣，使学生真正将数学知识与生活紧密相连.【相关文献】1.余元庆.谈谈习题的配备与处理：介绍几本外国中学数学课程中的习题配备［J］.数学通报，1980（3）.2.高文君，鲍建生.中美教材习题的数学认知水平比较——以二次方程及函数为例［J］.数学教育学报，2009（4）.3.人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学七年级（上册）［M］.北京：人民教育出版社，2013.4.Day，Frey，Howard，Hutchens，Luchin.GlencoeCalifornia mathematics 7［M］.The McGraw-Hill Companies，2008.5.鲍建生.中英初中数学课程综合难度的比较研究［M］.南宁：广西教育出版社，2008.6.吴立宝，王建波，曹一鸣.初中数学教科书习题国际比较研究［J］.课程·教材·教法，2014（2）.。
中小学“微课”学习资源的设计开发与应用研究微课课题开题报告
中小学“微课”学习资源的设计开发与应用研究1.课题来源、选题依据以及本课题的选题意义1.1课题来源来源中央电化教育馆关于信息技术化教育总课题。
属于理论研究与应用相结合的课题。
1.2选题依据随着当前社会互联网时代的蓬勃发展以及现代社会对教育的全新要求，教育在网络平台的实现成为一种新型的教育方式。
中小学“微课”学习资源的设计开发和应用就成为了这一新型教育方式下的一个重要尝试。
根据一部分一线老师的教学实践，我们可以发现在传统课堂教学中总是会存在一部分学生的掉队，而在当今小班化还无法完全实现的条件下，这部分待优生的学习困难就可以通过中小学“微课”学习资源平台来解决，当然同时也表明本课题研究的学校资源的受众是大多以待优生为主，这是本课题选题的现实依据。
同时在互联网到来的今天，相比较于传统教学所拘泥于教室这样一个固定的教学环境，民众有了更多的选择，那么网络平台就是其中最为重要的选择之一，通过教育多媒体在网络平台的发布是一种顺应社会发展的必然结果。
1.3研究现状及选题意义1.3.1国内研究现状述评微课，一词，最早见于佛山日报、南方日报、广州日报对此的报道，其全称是微型视频课例，简称微课。
（胡铁生，2011）指出微课是指按照新课程标准及教学实践要求，以教学视频为主要载体，反映教师在课堂教学过程中针对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的各种教学资源有机组合。
在“微课”一词诞生之前，国内常见的类似惯用表达有“教学视频案例”、“视频课例”等。
作为国内较早对教学视频案例进行研究者之一，苏州大学的鲍建生教授对视频案例的研究是比较系统的。
他对教学视频案例的定义是：指用计算机及超媒体编辑系统整合课堂教学视频片段及各种相关的教学素材，包括文字(文章)、图画、照片、投影片、幻灯片、音频、视频等，把大量的、多样性的数据采用可变的、非线性的、快速提取的方式链接，为案例教学研究提供复杂的、多元表征表1 中国期刊网的数据检索基于对以上文献的阅读，可知目前对教学视频案例、视频课例的研究主要集中于中小学的教学应用。
图说数学教育原理31：数学题的综合难度模型
图说数学教育原理31：数学题的综合难度模型
阅读提示
本期图说数学题的综合难度模型。
华东师范大学鲍建生(2002)借鉴Negara(2001)在向美国国家教育统计中心的工作报告中提出课程总体难度(Overall difficulty)的概念，结合数学学科的特征，以数学题的难度来衡量数学课程的难度，并建立了综合难度模型.如下图所示：
这个模型包含了背景、探究、知识含量、推理和运算等五个维度因素，对每个因素又进行了水平划分.根据等级权重，可以计算一组题目在每个因素上的加权平均，具体公式如下：
由此可以得到题目的综合难度的五边形直观模型，并以中英两套数学教材习题为例，对中英两国数学课程难度进行了比较研究.
这个模型有一定价值，它能够诊断数学课程的难度特征及其相应
的难度水平，可以作为课程比较或者评价的工具.模型所涉及的五个因素也比较合理，其中三个体现了我国数学课程的传统特征，另两个则反映了新课程的要求，因此，可以在一定程度上为课程编制提供平衡点.但这个模型也存在着一些问题，如对每个因素的难度水平的界定不够精细，用五边形的形态和面积来表示综合难度的特征与水平似乎也缺乏依据.
北师大出版社王建波博士认为，这个难度模型存在需要改进之处：一是以习题的难度代替整个教材的难度；二是教材习题的五个维度均获得一个数值，缺乏整合.
阅读链接：
图说数学教育原理1-25期目录
数学教育研究方法：
图说数学教育原理26：数学教育学体系
图说数学教育原理27：数学教育学研究的双逻辑起点
图说数学教育原理28：数学教育的双逻辑模型
图说数学教育原理29：数学教育研究方法
图说数学教育原理30：青浦实验的实践筛选法。
中马初中数学新教材综合难度的比较研究
［ 汪晓勤， ６ ］ 王苗． 法国数学教材中的勾股定 理 ［＿ Ｊ 中学数学教学参考 （ ］ 初中版）２１ （— ） ，０ １１ ２：
１ ８—１ ０ ２ ３ ．
图 ３ 背景水平的比较
解” 水平 的例题分别占 ４％和 ５ ％； ７ ０ 属于“ 究” 探 水平的习题分别占２ ％和３ 见 图２． ％（ ） 从图２ 可看出， 中马两 国新教材 中的例题在
探 究水平上 的分布非常相似．两国新教材 中的
从 图３ 以看到， 可 中国新教材的背景 的来源
程 的背景水平高于马来西亚的一个原 因． 在此次课程改革过程 中， 们强调背景在学 我 生学习和教师教学 中的作用， 在教材的编写过程 中， 注重 背景 的设置， 出现 了大家预期 的结果 也
一
行符号运算， 涉及运算的以数值运算为主， 们 我 的课程则相对 比较重视符号运 算．但我 国的新
复杂 符 ４步符 号运 算 ５ ５ ｌ 合 运 算 步符 号运 算 ５ ４ ．５００ ５ Ｏ１ ． ３ ６ 步符 号运 算 ３ ０
无 ２ ０８ ２０６ ．６ ３ １ ．２０ ７
简单 推理
ｌ 推理 ５ ７ 步 ６ １３ ２ 推理 ３ ５ ０２ ．１ 步 ３ ５ ．４０２
３ 推理 ２ ２ 步 ５ ８ ４ 推理 １ ７ 步 ７ ５ 推理 ７ ０ 步 ６ 推理 ０ ０ 步
推 理
复杂 推理
１ ８１３ ． ．７ ８
７ 推理 １ ０ ．４００ 步 ０１ ． ３ ８ 推理 ０ ０ 步 ９ 步推理 ０ ０ １ 步推 理 Ｏ ０ Ｏ １ 步推 理 ２ ０ １ １ 知识 点 个 ２ ３ ９ ８Ｏ ５ ． ０ ２ ．５ ０８ ６ ２ 知识 点 ９ Ｏ ．４ ０１ ０ １ ８０ ２ ． ０ 知识 ３ 知识 点 ４ ２ 个 ７ ８ 量 ：爪 ４ 知识 点 ２ １ 个 ０ ０ １ ９ １１ ． ．８ ７ 以上 ５ 知识 点 １ １ ． ｌ００ 个 ０ ０ ２ ． ４ ６个知识 点 ０ ０ ７ 知识 点 ２ ０ 个
《数学教育研究导引(二)》
出版物刊名： 上海中学数学
页码： 49-49页
年卷期： 2014年 第10期
主题词： 数学教育研究 课堂教学研究 国际数学教育 学习理论 理论与实践 江苏教育出版社研究方法 徐斌
摘要：<正>《数学教育研究导引(二)》由张奠宙先生担任学术总监,鲍建生、徐斌艳主编,江苏教育出版社出版。
此书的形式和体例基本沿袭了老版本《数学教育研究导引》的思路,选材的范围主要是这20年来国际上有一定影响的学术著作和论文。
其中,"进展综述"部分重点介绍近20年来国际数学教育的一些大事;"专著导读"部分筛选了一些经典著作,包括国际数学教育委员会(ICMI)的研究系列;"论文评介"部分是按照数学教育的研究领域排列的,如"数学课程的理论与实践"、"数学课堂教学研究"、"数学学习理论"、"数学教师教育"、"数学教育评价"等,希望通过这些论文,由点带面,在研究方法上起到示范的作用;最后一部分"课题推荐"根据。
数学课堂教学研究的分析框架
灵活性
1. 2.
3.
4.
思维的起点灵活，能从与题目相关的各种角度和方向去考虑问题； 心理转向比较容易，从正向思维转为反向思维，特别是对概念的正反 关系的认识，公式的正反运用，定理与逆定理的灵活使用，解题时分 析法与综合法的交替使用时表现自如； 思维转换较为迅速，可以不受先前解题方法的影响，克服思维定势的 消极作用及自我心理限制，能根据变化及时调整思路，从而可以有的 放矢地解决问题； 思维的过程中善于转化，可以很容易地化生为熟，把几个部分看成一 个整体，把一个整体分成几个部分，也就是化零为整，化整为零．
安德森（J.Anderson,1990)和加涅(E.Gagne et al.,1993)
技能训练的注意事项（1）
1. 训练初期将技能活动过程展开。当学生已熟练掌握某项数学 技能后，其完成该项技能的活动过程则大大简化，组成活动 的单个的操作步骤只在头脑中迅速进行而不记录下来。但在 技能训练初期，学习该技能及其过程时则必须充分展开其操 作过程，对组成该技能的所有基本的操作步骤一一进行训练 。否则、技能的掌握便不可能达到自动化熟练水平。 2. 技能训练的时间分配要适当。练习按时间的分配可分为两类 : 一类是分散练习，指将练习的时间分为若干段，一步步进 行; 另一类是集中练习，指将所学技能包含的各动作在一次 时间内完成，中间没有休息。这两种练习形式的效果存在差 异。一般认为分散练习效果优于集中练习。这是因为，如果 在一段长时间内练习同一技能容易使人疲劳，容易产生消极 态度，兴趣减退，从而导致练习的效果下降，而适当的分散 练习，则可使每次练习的效果都比较好。盖伊(I.R.Gay)曾经 实验证明:代数规则的分散练习比集中练习效果好。
教
教材教法
教学内容的理解 教学经验 焦点：老师如何教？
2022版新课标下小学数学教材习题难度的比较研究——以2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章
2022版新课标下小学数学教材习题难度的比较研究 ——以2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章为例发布时间：2023-01-28T06:54:07.457Z 来源：《时代教育》2022年18期作者：闫丽[导读] 以2022版新课标视域下2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题为研究对象，闫丽（内蒙古包头市九原区沙河第二小学 014010）摘要：以2022版新课标视域下2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题为研究对象，采用鲍建生提出的数学习题综合难度模型，从习题的“探究”、“背景”、“运算”、“推理”和“知识含量”五个因素对习题综合难度进行比较分析，得出2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题综合难度未发生显著变化。
建议教师设计习题时做到以下4点：1、增加探究类习题；2、增强习题背景的丰富性；3、增加习题推理的难度；4、提高习题综合难度。
关键词：新课标，圆，习题难度，人教版一、问题的提出2022年4月21日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）》，随后人教版教科书完成新一轮修订，通过审核验收后投入使用。
小学数学教材是小学生学习数学知识的主要载体，而习题又是小学数学教材的重要组成部分，习题的难度决定着教师的教学方法和学生对知识的掌握程度。
“圆”作为最基本的平面图形，在几何学中有着较广泛的应用，对“圆”内容进行比较研究有着十分重要的意义。
因此，本文对2013和2022人教版小学《数学》“圆”一章的习题综合难度比较分析，得出各自的难度特征，并运用公式测出其难度水平，从而更好地提升教师的教学质量和水平[1]。
二、研究设计（一）研究对象本研究以《义务教育数学课程标准（2022 年版）》[2]（以下简称《2022版新课标》）为指导依据，研究中国人民教育出版社2013年和2022年出版的小学数学教科书（以下简称“2013和2022人教版”）“圆”一章中“做一做”、练习十三至练习十七的习题。
数学高考运算能力考查研究
数学高考运算能力考查研究文/庄雅欣摘要：新课程的改革对高考数学产生了一定的影响，本文在鲍建生教授综合难度模型的基础上对近三年高考试卷试题难度进行总体分析，进而对难度变化较大的运算因素从试题数量和试题分值分布进行了剖析，在此基础上为高考试题命制及一线教师教学提出建议。
1 问题提出随着教育的改革，高考也发生了相应的变化，越来越重视学生核心素养的考查。
高中数学核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、几何直观、数据分析。
核心素养是高中数学教与学过程中主要的发展对象，所以作为高中生的必备技能的运算能力成为数学高考的重要考查内容。
笔者借助综合难度模型对近三年高考理科数学卷进行科学的统计分析，让读者更清楚高考数学试题对数学运算能力的考查。
这一研究能够帮助命题人员明确试题对学生数学运算能力的具体考查，正确把握命题的方向。
同时帮助一线的教育工作者更好地培养学生的运算能力，提高学生的运算思想，以便促进学生的全面发展。
2 研究工具鲍建生在比较研究中英两国初中数学课程综合难度时提出了综合难度模型，他将Noraha提出刻画试题难度的“扩展性问题”的百分比、“实际背景”的题目的百分比、“运算”的题目的百分比、“多步推理”的题目的百分比等四个因素扩展探究、推理、背景、运算和知识含量五个因素建立了综合难度模型。
该模型对五个因素进行了层次等级的划分，对每个层次等级进行赋值，用加权平均的方式对每个因素进行计算得出结果。
计算公式为：其中，分别表示五个难度因素的取值；其中表示第个难度因素的第个水平的题目数量，表示表示第个难度因素的第个水平的权重，他们的和就是题目总的数量。
其中鲍健生教授将运算难度划分为无运算、数值运算、简单符号运算和复杂符号运算四个水平。
高考试卷运算难度的研究能够帮助一线教师明确高考的命题动向，进而更好的培养学生的运算能力。
笔者将利用鲍建生教授在2014年修改后的综合难度模型对近三年高考试卷进行剖析。
3 试题分析根据鲍建生综合难度模型的公式计算出近三年全国Ⅰ卷在综合难度各因素上的加权平均，进而得出近三年全国Ⅰ卷试题综合难度五边形如图1所示。
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主题研究工作坊：高中数学十大难点概念的设计研究 阮晓明,王琴. 高中数学十大难点概念的调查研究. 《数学教育学报》, 2012年第5期
不同性别教师比较
不同职称教师比较
不同学校的学生的比较
二、数学学习的基本原理与策略
1. 良好的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移理论）； 2. 结构化的知识应按照知识的主干有层次的推进(教学层次论) 3. 典型例题是数学认知结构的重要成分（样例学习）； 4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径（认知冲突与心理挣扎） 5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡（四基） 6. 在较大的信息单元上工作（聚焦认知根源/核心概念和思想方法） 7. 多向思考与变式教学 8. 双基的精熟有助于解决复杂问题，练习是技能精熟的必要条件（精致练习）； 9. 数学高层次思维的专项教学（任务设计，思维品质）。
你同意上述观点吗？
F2 1
青浦实验的目标分类
分析
运用 领会 概念
计算
F1 0
1
问题聚焦
数学认知水平测试17年前后比较 （青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）
松江的研究计划
干预点的设计
保持高认知水平的七个教学要素
①给思维和推理搭“脚手架”； ②为学生提供元认知方法； ③示范高水平的操作行为； ④维持对证明、解释或意义的强调； ⑤任务建立在已有知识基础上； ⑥在概念间建立联系； ⑦适当的探索时间。
变化二 变化三
基本图形 变式①
变式② 变式④
变式⑤
4. 同化和顺应是改变认知结构的基本途径
•
认知冲突被视为心理学中认知改变理论的一个关键部分，例如，认知冲突的历程实际上就是皮亚杰图
式理论中的内在自我调节系统由不平衡达到平衡的历程。
•
专家通常都是在能力的边缘上工作（潜能开发）
•
在教学中如何有效地运用认知冲突是一个需要研究的问题。
增加信息的激活水平 ACT-R理论：基本的信息加工步骤是触发（firing）一系列用于提取某些陈述性知识并解决问题的产 生式规则。提取过程的成败与速度取决于被提取的信息块的激活水平和进行提取的产生式的强度，这 影响到操作的流畅性。
三种记忆的生理过程理论： (1) 信息乃物理性地被纪录在神经元中。 (2) 信息以电子信号方式被传导与储存。 (3) 信息改变了神经元的结构。
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长作业的运用
•
子曰：不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也（论语）
5. 保持概念理解、技能训练、问题解决之间的平衡
• 三个馒头的故事 • 数学解题属于知识丰富领域的问题解决（匈菲尔德的研究） • 美国加州的数学课程标准：这三个要素都重要，任何一个都不能缺少或者被小觑；然而，所谓的均衡
并不是把时间平均分配给这三要素。有时，学生可能在某些作业或任务中专注于某一要素；其它时候 则专注于两个或三个全部。
————《学记》
中学数学课程发展的九条主线
(Z. Usiskin)
1. 整数→有理数→实数→复数和向量 2. 数的表示→代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数 3. 个别图形的性质→某一类图形的一般性质 4. 归纳推理→演绎推理（局部的演绎）→数学系统内的演绎（整体的演绎） 5. 数的应用→运算的应用→建立函数模型 6. 对一次测量的估计→一组数的统计；描述性统计→推断性统计 7. 简单几何图形的全等与相似→所有图形全等与相似以及几何变换 8. 计算器→图形计算器→计算机代数系统 9. 把数学看作是对一堆事实的记忆→把数学看作是可以通过不同方式得到的一些相互关联的思想
3. 典型例题是数学认知结构的重要成分
• 数学思维的特征之一：划归； • 平面几何中的基本图形分析法； • 样例学习（Learning by sample）
问题解决的变式化归
化归 已知问题
化归 变式1 推出
化归
未知问题
变式2 推出
推出
基本图形分析法 乌鲁木齐市第十三中学 胡玉社
变化一
变式③
变式⑥
7. 多向思考与变式教学
1. 数学中的多元表征； 2. 变式教学； 3. 解题三部曲。
多元表征
数学教学中的各种变式
概念性变式 过程性变式
概念变式 非概念变式
标准变式 非标准变式
精致练习 铺垫教学 解题三部曲 问题解决的变式化归
变式三部曲
一题多解
一法多用
用多种方法解决同 一个问题
将解法应用于多种情 形
鲍建生数学课堂设计研究
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在线视频介绍（忻重义）： /magazine/math/1.htm
一、数学教育研究的学科特征 ？？
教育
数学
数学教育的实践与经验
数学教育是一门设计科学 (Lesh, R. & Sriraman, B. 2005)
概念理解：多角度的理解（悟）
认知性技能an)na1n(n 2 1)d
特征 (1)mnpq amanapaq
(2)SnSn1an
变式
Sn
n(ak
ank1) 2
d 2
n2
(a1
d)n 2
n
n1
a1 dk
k1
k1
活用
问题解决：变式化归（用）
变异空间大 多步化归 背景简单
2. 结构化的知识需要按照知识的主干有层次的推进
大学之法，禁于未发之谓豫，当其可之谓时，不陵节而施之谓孙，相观而善之谓摩。此四者，教 之所由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修；独学而 无友，则孤陋而寡闻；燕朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。
君子既知教之所由兴，又知教之所由废，然后可以为人师也。故君子之教喻也，道而弗牵，强而 弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思；和易以思，可谓善喻矣。
practice）才能导致真正的学习。他们把“精致的练习”界定为具有良好的动机、接受有意义的反馈、 及仔细的不断的指导与监督。
9：高层次数学思维的专项教学
影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个： 1. 学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动； 2. 针对高认知层次数学任务的教学策略(Quasar)。
价来建构理论
(Van den Akker, et al., 2006: 5)
数学课堂教学设计研究的论文体例
大体上可以分以下四节： 1. 问题的提出（阐明拟解决的问题及其教学意义。问题可大可小，应具备：现实性、普遍性和 深刻性） 2. 策略筛选与创意设计（收集与提炼已有的教学经验与策略，形成初步的设计原理和具体的教 学设计，设计方案应有创意） 3. 教学实施与效果评价（将设计用于课堂教学，并跟踪评价教学效果，发现设计与实施中的问 题） 4. 反思与改进（通过深度反思从三个方面提出改进意见：原有的设计策略/原理；具体的教学 设计；教师本身的教学行为）
提高工作记忆的效能
• 工作记忆（working memory）是一种对信息进行暂时性的加工和贮存的能量有限的记忆系统。大 量研究表明，工作记忆对于语言理解、学习、推理、思维等认知任务的完成起关键作用。
• 在十分之一秒的时间内，大脑可接收一千个信息单元 • 工作记忆的容量有限，一般为7 ± 2个信息单元。为扩大短时记忆的容量，可采用组块的方法，即将
一题多变 原始问题
通过改变条件或结论 得到多种变式问题
8. 精致练习
• ACT-R对教学的建议，那就是练习、练习、再练习。大量的研究都表明，高层次的能力只能通过高强度 的练习。特别地，研究表明，学生花在数学上的时间与他们的数学能力有很高的相关性。
• 但是，并不是练习的次数越多越好，研究表明有一个临界值，应该在达到这个临界值时“见好就收” • Ericsson等人的研究表明，不同的练习的效果是不一样的，而只有所谓的“精致的练习”（deliberate
走进课堂，解决学与教中的实际问题 课堂教学
.
• 目标定位
教 学
• •
任务设计 过程与行为
的 • 监控与调节
有
效
性
.
• 知能结构
• 发展阶段 • 研修方式
教 师
• 行为跟进
专
业
发
展
案例研究
教学实验
设计研究
数学课堂教学设计研究的基本问题
❖ 效率：事半功倍还是事倍功半？ ❖ 数学概念/原理学习的奠基性活动有哪些？（历史过程、逻辑过程与心理过程；本源性问题；现实模型等） ❖ 数学主干知识是什么？有哪些核心概念与思想方法？ ❖ 数学认知水平：发展层次，差异性 ❖ 数学学习中的困难、错误与障碍（阮晓明，傅琳） ❖ 超越双基：数学知识、技能与能力之间有什么关系？如何培养高层次的数学认知？ ❖ 建模与应用：类型、功能与价值（APEC项目） ❖ 情境的创设：什么样的问题情境是有效的？ ❖ 技术的介入：如何有效的运用技术？ ❖ 区分教学：学困生和资优生怎么办？
理论与经验的互动
经验
建构
理论
解释
源于实践 实用 个人化 嵌于特定的情境之中 比较模糊，不易表征、把握和传授 难以跨领域的交流。
支持预测 为研究提供分析框架 具有解释的能力 能应用于广泛的现象 有助于对复杂现象的思考 作为资料分析的工具 提供一种深层次交流的语言
1. 良好的认知结构在知识丰富领域的问题解决中有重要的作用（迁移理论） 数学思想方法 典型例题 数学双基
小的记忆单位组合成大的单位来记忆，这时较大的记忆单位就叫做块。 • 工作记忆系统中的信息加工可分为三个环节：
① 信息贮存（storage）过程，其中的信息一般很容易消退； ② 信息维持或复述（rehearsal）过程，能重新激活贮存器中正在消退的信息，即不断地重复所
贮存的信息； ③ 执行（executive)加工过程，负责工作记忆系统中信息的控制与协调。