高一数学教材分析—直线与方程
高中数学_直线的一般式方程高中数学邓慧教学设计学情分析教材分析课后反思

直线的一般式方程(教学设计)教学目标1、明确直线方程一般式的形式特征;2、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式,会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距;3、通过探究直线各种方程形式之间的转化,锻炼观察、归纳、抽象的能力,感受分类讨论的思想方法;4、通过从特殊到一般的数学探究过程,体会数学研究的一般方法,感受其中严谨的态度与钻研精神。
教学重点、难点:1、重点:掌握直线方程的一般式及其它形式之间的转化.2、难点:直线方程一般式的理解与应用.教材分析本节内容是必修第二册第三章第二节直线的方程的第三课时内容。
本节课是在学习直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的基础上,引导学生认识它们的实质,即都是二元一次方程。
从而对直线与二元一次方程的关系进行探究,进而得出直线的一般式方程,这也为下一节学习做好准备,更为我们以后学习曲线方程做了铺垫。
解析几何有两项根本性的任务:一是求曲线的方程,二是用方程研究曲线。
本节内容就是讨论直线的一般式方程,因此是非常重要的内容。
一方面引导学生由具体条件选择恰当形式求出直线方程,并统一到一般式,另一方面因为一般式方程中A,B,C的几何意义并不明显,因此常常转化为斜截式和截距式,所以各种形式应会相互转化。
学情分析1、学生在学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式之后,有了一定的知识基础和认知能力,但是由于学生接触直线方程的概念不是太长时间,因此对于直角坐标系中直线与x 和y的二元一次方程的对应关系理解有一定困难。
2、学生们信任老师,合作精神积极,富有团队精神,希望得到他人的肯定,但性格多样化,有的活泼外向,有的内向沉默,需要老师合理调配积极引导,大部分同学能在老师引导下自主学习,合作学习,探究学习,并善于探索,敢于质疑,敢于创新。
本节课型新授课教学准备多媒体课件,几何画板程序,三角尺教学方法讲授法、讨论法、直观演示法、练习法、自主学习法教学过程一、复习引入【师生活动】1、课前根据学生座次顺序,基础知识掌握程度及性格等因素将全班同学分为“四大门派”,分别是“点斜派”、“斜截派”、“两点派”、“截距派”,分区做好,准备一次别开生面的比武大会。
高中数学直线方程教案分析

高中数学直线方程教案分析
教学目标:
1. 理解直线方程的概念和性质
2. 能够通过给定条件求直线的方程
3. 能够利用直线方程解决实际问题
教学重点:
1. 直线方程的一般形式和斜截式
2. 确定直线上的任意一点后,求直线方程
3. 利用直线方程解决相关问题
教学难点:
1. 理解斜率的概念以及在求直线方程中的应用
2. 熟练掌握直线方程的推导和求解方法
教学过程:
一、导入
通过举例简单介绍什么是直线,引出直线方程的相关内容。
二、讲解
1. 直线方程的一般形式和斜截式的概念及推导方法
2. 如何通过已知条件求直线的方程
三、练习
1. 给出几道简单的题目,让学生通过计算求出直线的方程
2. 给学生几个实际问题,要求他们利用直线方程解决问题
四、拓展
进一步介绍直线与圆的关系,以及直线方程在几何问题中的应用。
五、总结
总结本节课的重点内容,并布置作业。
教学反馈:
布置作业并要求学生复习课堂所学内容,以便在下节课进行相关知识的延伸。
同时,及时对学生在本节课上的表现进行评价和反馈。
教学反思:
教师要及时总结本节课的教学效果,查漏补缺,为下一节课的教学做好充分准备。
同时,要根据学生的反馈和表现,不断调整教学方法和策略,以提高教学效果。
高一数学说课稿(多篇)

高一数学说课稿高一数学说课稿1一、教材分析1、教材中的地位与作用:“2.1直线与方程”是苏教版数学必修2的第二章的内容,是解析几何的开篇之作。
而“2.1.1直线的斜率”这一节是这一章的第一节,是用斜率与倾斜角来刻画直线方向的,它学习的内容是基础的,学习方法是重要的。
是为今后用代数的方法研究解析几何问题的的学习奠定基础,起到了启下的作用。
2、教学的重点与难点:根据课程标准的要求,本节教学的重点为:直线斜率的本质认识与直线斜率的坐标公式。
因为过定点的直线的倾斜程度就是用直线的斜率来刻画的,斜率的是通过直线上两点的纵坐标的差与横坐标的差的比来计算的,反映了用代数的方法来研究几何问题的核心思想。
教学的难点为:直线斜率、倾斜角的定义和本质的理解、斜率与倾斜角之间的关系。
因为倾斜角实际上是直线相对x轴的倾斜程度来反映直线的倾斜程度的,它与斜率一样,都是刻画直线的倾斜程度,但两者的角度不同,所以存在一定的联系,这一联系正是教学的难点所在。
二、教学目标的确定由于“2.1.1直线的斜率”是“直线与方程”的第一课时,又是解析几何的开始部分。
从学生原有的认知上分析,确定教学的目标为:1、知识目标:(1)理解直线的斜率,掌握过两点的直线的斜率公式(2)理解直线的倾斜角的定义,知道直线的倾斜角的范围(3)掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系(4)使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系,从而体会到要研究直线的方向的变化规律,只要研究直线的斜率的变化的规律2、能力目标:培养学生的主动探究知识、合作交流的意识,观测、探究、分析问题、解决问题的能力3、情感目标:通过课堂教学培养学生的数行结合的美感与严谨治学的生活态度三、教学与学法1、学法指导:学生原有对直线知识的掌握情况为:在坐标系中能画出直线的图形,而高中则要求学生能用几何量:斜率与倾斜角来刻画直线的倾斜程度,能用代数的方法研究斜率的问题,所以在学法上要指导学生:观测生活中的楼梯的坡度;探究坡度的大小与数学中的斜率有关系;领悟斜率的计算公式;理解斜率与倾斜角的关系。
高一直线与方程的知识点

高一直线与方程的知识点在高一的数学学习中,直线与方程是一个重要的知识点。
它是数学中的一个基础概念,也是应用广泛的数学工具之一。
本文将为大家介绍高一直线与方程的相关知识,并深入探讨其应用。
一、直线的定义和性质直线是数学中最简单的几何图形之一,具有以下特点:直线上的任意两点可以确定一条直线,直线是无限延伸的,没有弯曲。
直线的方程是表示直线上所有点坐标满足的关系式。
一般形式为Ax+By+C=0,其中A、B、C是常数,且A和B不同时为0。
直线的斜率是直线的一个重要性质。
斜率可以用来描述直线的方向和倾斜程度。
斜率的计算方法是根据直线上两点的坐标差来确定。
二、直线的方程直线有多种不同的方程形式,常见的有一般式、点斜式和斜截式。
一般式方程是最基本的直线方程形式。
通过使用一般式方程,可以描述直线在坐标系中的位置和性质。
点斜式方程是利用直线上一个已知点和直线的斜率来表示直线的方程形式。
给定一个点(x1, y1)和斜率k,点斜式方程可以表示为(y - y1) = k(x - x1)。
斜截式方程是以直线的斜率和截距来表示的方程形式。
斜截式方程的一般形式是y = kx + b,其中k是斜率,b是截距。
三、线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
线性方程组的求解是高一阶段数学学习的重点内容之一。
线性方程组的求解方法有多种,其中最常用的是代入法、消元法和矩阵法。
代入法是将一个方程的解代入另一个方程中,从而求解未知数的值;消元法是通过逐步消去未知数来求解方程组;矩阵法是通过线性方程组的矩阵表示,利用矩阵运算来求解。
线性方程组的解可以分为唯一解、无解和无穷解三种情况。
唯一解表示方程组有且只有一个解,无解表示方程组没有解,无穷解表示方程组有无限多个解。
四、应用举例直线与方程在实际生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例:1. 交通规划:城市的交通规划中,经常需要根据道路之间的关系和空间分布来确定道路的走向。
通过确定直线的方程,可以帮助规划人员更好地确定交通路线。
《直线的方程》说课稿

设计理念
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教学背景
教法学法
教学过程
2.学法分析 本节课所面对的是高二年级的 学生,这个年龄段的学生思维活 跃,求知欲强,但思维习惯还有 待教师引导。本节课从学生原有 的知识和能力出发,教师将带领 学生创设疑问,通过合作交流, 共同探索,寻求解决问题的方法。
板书设计
设计理念
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教学背景
(一)温故知新,启迪思维 教法学法
教法学法
教学过程
板书设计
3.教学目标分析 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有 的认知结构和心理特征 ,制定了如下教学目标: (1) 知识目标: ①理解直线点斜式、斜截式方程的推导; ②会利用点斜式、斜截式求直线的方程. (2) 能力目标: ①培养用代数方法研究几何问题的能力; ②培养从特殊到一般的思维能力. (3) 情感目标: ①培养严谨的思维习惯; ②培养主动探究、合作交流的意识; ③养成数与形结合的习惯.
通过小结,使学生 梳理了本节课的主 要内容和思想方法, 对本节课的知识有 一个整体地把握.
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作业布置
自主提升
必做题:习题7.2 :1(1)、 (2)、(3)、2、3.
选做题:已知三角形的顶点是 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这 个三角形的三条边所在直线的 方程.
通过分层作业,做到 因材施教,使不同的 学生得到不同的发展, 让每一个学生都得到 符合自身实践的感悟, 使不同层次的学生都 可以获得成功的喜悦, 看到自己的潜能,从 而激发学生饱满的学 习兴趣,促进学生自 主发展.
教学背景 2.学情分析 直线的方程是学生在初中学习了一 次函数的概念和图象及直线的斜率 教法学法 后进行研究的,这为本节课的学习 奠定了主要的知识基础,但由于学 生刚开始学习解析几何、第一次接 教学过程 触曲线的方程,在学习过程中,会 出现“数”与“形”相互转化的困 难. 板书设计
高一的直线与方程的知识点

高一的直线与方程的知识点在高中数学的课程中,直线与方程是一个非常重要且基础的知识点。
理解直线与方程的概念以及掌握相关的求解方法,对于学习整个数学课程都具有重要的价值。
本文将着重介绍高一学生需要掌握的直线与方程的知识点。
直线的基本概念是高一学生需要了解的首要内容。
直线是由无数个点连成的,它们的排列是沿着同一方向延伸的。
直线具有无限的长度,可以延伸到无穷远。
在坐标系中,直线可由其上的两个点唯一确定。
直线的特殊情况包括水平直线、竖直直线和倾斜直线等。
高一的学生还需要掌握直线的方程表示形式。
最常见的直线方程形式是一元一次方程,即y = kx + b。
在直线方程中,k表示直线的斜率,它决定了直线的倾斜程度;b表示直线的截距,它决定了直线与y轴的交点。
通过斜率和截距,我们可以快速了解直线的性质,比如斜率为正表示直线向右上方倾斜,斜率为负则表示向右下方倾斜。
此外,我们还可以通过直线方程快速绘制出直线所在的图像。
在解直线方程的过程中,高一的学生需要学会如何计算直线的斜率。
当已知直线上两个点的坐标时,我们可以利用斜率的定义式计算直线的斜率。
斜率(k)等于直线上两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
通常我们可以使用“Δy/Δx”的表示方法,其中Δy表示纵坐标之差,Δx表示横坐标之差。
除了斜率,高一的学生还需要学会如何求解直线与坐标轴的交点。
直线与x轴的交点叫做横截距,可以通过直线方程中令y=0求解得到;直线与y轴的交点叫做纵截距,可以通过直线方程中令x=0求解得到。
横截距和纵截距在求解直线方程时是非常有用的,它们可以帮助我们进一步了解直线的特性。
高一的学生还需要了解直线的中点公式。
在坐标系中,直线上两个点的中点坐标可以通过坐标的平均值计算得到。
中点公式为:M((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2),其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)是直线上任意两个点的坐标。
通过中点公式,我们可以方便地计算直线上任意两个点的中点坐标。
高一数学直线的方程讲解

高一数学直线的方程讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是以高一数学中的直线方程为核心,通过系统的讲解,使学生掌握直线方程的各种形式及其应用。
具体包括:线性方程的斜截式、两点式、一般式和点斜式;不同形式方程间的转换;以及如何利用直线方程解决实际问题。
此外,教学过程中还需强调数形结合的数学思想,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2、教学对象本节课的教学对象是高中一年级学生,他们在先前的数学学习中已经掌握了坐标系的基本知识、线性函数的基本概念以及简单的一次方程。
在此基础上,他们对于直线的图像有一定的认识,但对于直线方程的深入理解及实际应用可能还较为陌生。
因此,在教学过程中,需要针对学生的这一特点,通过生动的案例和实际操作,引导他们理解并掌握直线方程的内涵和应用。
二、教学目标1、知识与技能(1)理解直线方程的基本概念,掌握直线方程的四种形式:斜截式、两点式、一般式和点斜式;(2)学会不同形式直线方程之间的转换方法,提高解决问题的灵活性;(3)掌握利用直线方程解决实际问题的方法,例如:求两直线交点、判断点与直线位置关系等;(4)培养学生运用数形结合的数学思想,通过观察图像,分析问题,建立方程,培养空间想象能力和逻辑思维能力。
2、过程与方法(1)通过引导学生观察直线图像,启发他们发现直线方程的规律,培养学生自主探究和发现问题的能力;(2)采用问题驱动的教学方法,设置不同难度的问题,让学生在解决问题的过程中,逐步掌握直线方程的各种形式及其应用;(3)组织小组讨论和分享,让学生在合作学习中,互相启发,提高解决问题的能力;(4)设计实际案例,让学生将所学知识应用于解决实际问题,提高学生的实践能力。
3、情感,态度与价值观(1)激发学生对数学学习的兴趣,培养他们主动探究、积极思考的学习态度;(2)通过数学知识的学习,培养学生严谨、细心的学习习惯,提高他们的数学素养;(3)引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用,增强他们学以致用的意识;(4)培养学生面对困难时,勇于挑战、持之以恒的精神,使他们具备克服困难、解决问题的信心和决心。
高中数学 直线的方程教案 新人教版必修2-新人教版高一必修2数学教案

§3.2 直线的方程§3.2.1 直线的点斜式方程一、教材分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中,直线方程的点斜式是基本的,直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx +b(k≠0)引入,自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中,要让学生弄清直线与方程的一一对应关系,理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时,根据直线这一结论,先猜想确定一条直线的条件,再根据猜想得到的条件求出直线的方程.二、教学目标1.知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程;(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2.过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程,学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3.情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系?让学生边回答,教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即(1)直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kx+b的解.(2)(x1,y1)是方程y=kx+b的解 点P(x1,y1)在直线l上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中,我们已经学习过一次函数,并接触过一次函数的图象,现在,请同学们作一下回顾:一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说,这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).(二)推进新课、新知探究、提出问题①如果把直线当做结论,那么确定一条直线需要几个条件?如何根据所给条件求出直线的方程?②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1),如何求直线l 的方程?③方程导出的条件是什么?④若直线的斜率k 不存在,则直线方程怎样表示? ⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗?⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点(0,b),如何求直线l 的方程?讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可;b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ,y)为l 上任意一点,由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y -y 1=k(x -x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0;b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y -y 1=k(x -x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.(三)应用示例思路1例1 一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解:设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α,则tanα=-3,又∵α∈[0°,180°),∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例 2 如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论:(1)当l1∥l2时,两条直线在y轴上的截距明显不同,但哪些量是相等的?为什么?(2)l 1⊥l 2的条件是什么?活动:学生思考:如果α1=α2,则tanα1=tanα2一定成立吗?何时不成立?由此可知:如果l 1∥l 2,当其中一条直线的斜率不存在时,则另一条直线的斜率必定不存在.反之,问:如果b 1≠b 2且k 1=k 2,则l 1与l 2的位置关系是怎样的?由学生回答,重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:(1)当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时,直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2;(2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x. 答案:(1)平行;(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1:y=4x 和点P(6,4),过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ,与x 轴正半轴交于点R ,当△OQR 的面积最小时,求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6,4),所以只要求出点Q 的坐标,就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解:因为过点P(6,4)的直线方程为x=6和y -4=k(x -6),当l 的方程为x=6时,△OQR 的面积为S=72;当l 的方程为y -4=k(x -6)时,有R(k k 46-,0),Q (k k 46-,41624--k k ), 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S -72)k 2+(96-4S)k -32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0,所以得S≥40.当且仅当k=-1时,S 有最小值40.因此,直线l 的方程为y -4=-(x -6),即x +y -10=0. 点评:本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量,建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值,学生可能有困难,教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2,要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向),问如何设计才能使占地面积最大?并求出最大面积(精确到1 m 2)(单位:m ).图2解:建立如图直角坐标系,在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线,划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)[80-(20-32x )] =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30),当x=5时,y=350,即P (5,350)时,(S 矩形)max =6 017(m 2). 例2 设△ABC 的顶点A(1,3),边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x -2y +1=0,y=1,求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况,我们首先根据已知条件,画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ,AC 边上的中线BF :y=1.图3AB 边的中点为E ,AB 边上中线CE :x -2y +1=0.设C 点坐标为(m ,n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上,应当满足CE 的方程,则m -2n +1=0. ∴m=-3.∴C 点为(-3,-1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5,1).由两点式,得到AB ,AC 所在直线的方程AC :x -y +2=0,AB :x +2y -7=0.点评:此题思路较为复杂,应使同学们做完后从中领悟到两点:(1)中点分式要灵活应用;(2)如果一个点在直线上,则这点的坐标满足这条直线的方程,这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M (1,0),N (-1,0),点P 为直线2x-y-1=0上的动点,则|PM|2+|PN|2的最小值为何?解:∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P (x 0,2x 0-1).∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512. (四)知能训练课本本节练习1、2、3、4.(五)拓展提升已知直线y=kx +k +2与以A(0,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4,帮助我们找寻思路,仔细研究直线y=kx +k +2,我们发现它可以变为y -2=k(x +1),这就可以看出,这是过(-1,2)点的一组直线.设这个定点为P(-1,2).解:我们设PA 的倾斜角为α1,PC 的倾斜角为α,PB 的倾斜角为α2,且α1<α<α2.则k 1=tanα1<k <k 2=tanα2.又k 1=132-+=-5,k 2=312--=-21, 则实数k 的取值范围是-5<k <-21.(六)课堂小结通过本节学习,要求大家:1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式方程,了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.(七)作业习题3.2 A组2、3、5.§3.2.2 直线的两点式方程一、教材分析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点),则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.二、教学目标1.知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围;(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
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坐标法
代数 问题
代数 运算
三步曲
还原
几何结论 代数结论
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二、直线与方程
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学习解析几何为什么从学习“直线与方程”入手?
一方面,直线是最简单,而又可以体现解析 几何基本研究方法的几何图形; 另一方面,以直线为载体,既可以很好的研 究斜率、距离和中点等解析几何的基本方法工具, 又可以很好的体现曲线与方程的理念与思想。
动 点
连 续 地 运 动 平面曲线
有序变数对(x,y)
一 一对应 二元方程
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解析几何 核心概念
点在曲线上 点的坐标适用于此曲线方程
曲线上所有点的集合
曲线和方 曲线方程的解集 程的概念
研究方程 的 代数问题
研究曲线 的 几何问题
由对方程研究 得知曲线的几 何性质
16
解析几何解决问题的一般方法
几何 问题
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(四)自己开展教学的几点想法
1、关于直线的倾斜程度的认识 什么是直线的倾斜程度? 实际上就是直线的方向性,这一点与其它几个研究平 面问题的工具是一致的,它们分别是平面向量、复数和极坐 标。其中平面向量的内容学生已经学过了,所以刻画直线倾 斜程度的指标除了课本上提到的倾斜角、斜率、坡度之外, 还可以提一下方向向量。
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(三)考题示例
(2)直线的方程 3、 (2012 年理科)在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 y2 4 x 的焦点 F.且与该撇物线相 交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º.则△OAF 的面积为
x2 y 2 1 .过点(m,0)作圆 x2 y 2 1的切线 l 交椭圆 G 于 A, 4、 (2011 年)已知椭圆 G : 4
4
B.
2 2
C.
6
4 4
2 2 7、 (2012 年文科)直线 y x 被圆 x ( y 2) 4 截得的弦长为__________。
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(三)考题示例
(4)点与直线关系
x y 11 0 8、 (2010 年)设不等式组 3 x y 3 0 5 x 3 y 9 0
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条
平行直线间的距离。
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(二)高考说明
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从几何直观到代数表示 (建立直线的方程) 点 倾斜角 坐标 斜率 点斜式 两点式
直线
二元一次方程
一般式
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从代数表示到几何直观 (通过方程研究几何性质和度量)
两条直线 的位置关系 相交 平行 平行和垂直 的判定 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
由此估计,这个台风对相距厦门500km,北偏西30度的南昌是 否产生影响,如果有影响,估计影响时间为多久?
由实际需求所产生的学习动机,更加有效,更加持久!
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(一)课标要求
①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何 要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率 的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
11
(三)解析几何的主要思想方法
学习解析几何,主要是掌握它的基本思想、基 本方法,而不仅仅在于记住它的某些具体结论. 苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解 析几何》前言中说:“解析几何没有严格确定的内 容,对它来说,决定性的因素,不是研究对象,而 是方法.”
12
解析几何与欧氏几何研究方法之异同
B 两点.
(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.
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(三)考示例
(3)两点距离、点到直线的距离
0 x 2 6、 (2012 年文理科)设不等式组 表示的平面区域为 D。在区域 D 内随机取 0 y 2
一个点.则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( A. ) D.
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2、关于直线的方程与方程的直线
直线——>点——>坐标——>解——>方程 直线<——点<——坐标<——解<——方程
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3、直线的方程从哪儿开始研究? 通常有这样几种处理方法: (1)从两点间斜率公式入手,先研究点斜式方程; (2)从初中的一次函数入手,先研究斜截式方程; (3)从直线的方向向量入手,先研究点向式方程。 考虑到解决解析几何问题的方法模型: 几何问题——>代数问题 所以课本采取的是第(1)种处理方法。
精确表示出不同几何元和形之间的位置关系;
二是生活实践的需要。比如在信息技术高速发展的今天,大量图 形都通过计算机处理和存储。例如要存放一个红色虚细线描绘的三 角形,只要存储三个顶点的坐标,线型、色别码及连线顺序,计算 机根据这些信息,会算出连接这三点的直线方程,然后在计算机坐 标系内按要求的线型和色别,逐点描绘直线上的点,三角形就会再 现于显示屏上.这种存储方式相对于全息存储不但信息量少,而且
y y0 k ( x x0 )
斜截式的变式 (横纵角色)
x x0 m( y y0 )
y kx b
x my n
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5、关于直线方程的变式 两点式的变式 (对称整式)
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
)
5
笛卡尔创立解析几何有着深刻的背景.他于1637年发 表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理 的方法论》,该书有三个附录,解析几何的发明就包含 在其中之一的《几何学》中.
《几何学》这本书的内容不仅仅是几何,也有很多代 数的问题.它和现在的解析几何教科书有很大的差距.但 可贵的是它引入了革命性的思想,为开辟数学的新园地 作出了贡献.
x
表示的平面区域为 D,若指数函数
y= a 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]
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(三)考题示例
(5)直线与曲线的交点 9、 (2012 年理科)已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与 曲线 C 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线。
高一教材分析——直线与方程
1
通过我们的教,让我们的学生学会什么?
生存与生活:认识世界、适应社会、实现价值
理性地、科学地认识世界 合理地、充分地融入社会 有效地、全面地实现价值 而不是接受无用的结论和仅会做人为编造的题目!
2
我们为什么要学习解析几何?
一是数学学科本身的需要。它能把几何元或形之间的关系数字化,
19
如何入手,展开对“直线与方程”的学习?
(2005年北京市高中生数学应用知识竞赛)2005年第19号热 带风暴“龙王”于9月26日在西北太平洋洋面生成,27日上午加强 为台风,10月2日05:30在台湾省花莲市附近沿海登录,登陆时最 大风速50m/s,随后继续向西运动,向福建沿海靠近。 如果我们可以粗略地把这时台风影响区域看成是一个半径为 300km的圆。福建厦门在花莲市西340km。如果台风中心在福建 厦门登录后,将向西偏北45度方向运动,(并不断衰减,)运动速 度下降为18km/h,(它的影响半径1h平均减少4km)。
方 程 求 解
8
笛卡尔和费尔马都是对普适性方法的追求导致
了解析几何思想的产生.可以说解析几何具有浓厚的
“方法论”色彩.
9
(二)解析几何的科学价值
开创近现代数学的先河—— 将变量和坐标观念引入了数学;
开创机械化计算方法—— 提出一切问题都可以归结为解方程的“通用数学”方案; 科学方法论的突破—— 提出将数学作为一种方法科学的直观-演绎法的方法论.
6
《几何学》作为《方法论》的附录,意味着解析几何
及他的其它发明是在其方法论原理的指导下获得的.
笛卡尔方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法, 他在另一部较早的哲学著作《指导思维的法则》中称自己设 想的一般方法为“通用数学”.
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笛卡尔设想的“通用数学”方法
任 何 问 题
数 学 问 题
代 数 问 题
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4、直线的方程的几种形式之间的关系
点和倾斜角
特殊化
点和斜率
两个点
不变量
y kx b
y y0 k ( x x0 )
一般化
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
特殊化
Ax By C 0
x y 1 a b
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5、关于直线方程的变式 点斜式的变式 (横纵角色)
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18世纪法国著名数学家拉格朗日曾 说:“只要代数同几何分道扬镰,它 们的进展就缓慢,它们的应用就狭 窄.但是,当这两门科学结合成伴侣 时,它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后,就以快速的步伐走向完 善.”随着解析几何的诞生,历史掀 开了新的一页—近代数学的序幕拉 开了.
约瑟夫· 路易斯· 拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange 1735~1813)法 国数学家、物理学家。
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上述指标各有怎样的特点呢? 所有的直线都有倾斜角(几何角度),且是唯一的; 不是所有的直线都有斜率(代数角度),如果有斜率是 唯一的; 不是所有的直线都有坡度(代数角度),如果有坡度是 唯一的,但是不同方向的直线可能有相等的坡度; 所有的直线都有方向向量(代数角度),但方向向量不 唯一。