人教版数学高一教学设计2.5.2向量在物理中的应用举例
教学设计1：2.5.2 向量在物理中的应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例教学目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.教学重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程导入新课你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?解:图1不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道|F 1|＝|G |2cos θ2.通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 例2.如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m |v |=(M +m )|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M +m )v 02=(M +m )gh . ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .知能训练1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215kmB.6 kmC.84kmD.8 km【答案】B2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=___________.图4【答案】41(5,4)。
人教版数学高一学案2.5.2向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.知识点一向量的线性运算在物理中的应用思考1向量与力有什么相同点和不同点？思考2向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？梳理(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上.(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.知识点二向量的数量积在物理中的应用思考向量的数量积与功有什么联系？梳理物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.知识点三向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.类型一向量的线性运算在物理中的应用例1(1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.反思与感悟利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.跟踪训练1河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h，求小船的实际航行速度.类型二向量的数量积在物理中的应用例2已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.跟踪训练2一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为______N.2.已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.3.一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.答案精析问题导学知识点一思考1 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.思考2 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.知识点二思考 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.题型探究例1 (1)解 如图，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°，从而|OA →|＝|OC →|·cos30°＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|·sin30°＝150(N)，所以|OB →|＝|AC →|＝150(N).答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.(2)解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v 1|＝20(km /h)，水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2.由题意，可得向量v 1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,103)，向量v 2＝(20,0)，则帆船的行驶速度为v ＝v 1＋v 2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，所以|v |＝302＋(103)2＝203(km/h).因为tan α＝10330＝33(α为v 和v 2的夹角，且为锐角)， 所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203km/h.跟踪训练1 小船的实际航行速度为20km/h ，按北偏东30°的方向航行例2 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.∴合力F对质点所做的功为－102.跟踪训练2解以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3,33)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2,2＋43).又因为位移s＝(42，42)，所以合力F所做的功为W＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝42×63＝246(J).即合力F所做的功为246J.当堂训练1.102.3003.34.解如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a 的大小是3km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为23km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是3km/h.。
人教版高中数学必修4-2.5《向量在物理中的应用举例》参考教案
2.5.2 向量在物理中的应用举例
一、教学目标：
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题.
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用. 3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点：
重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题
难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题
三、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
教学内容安排：
四、教学内容安排：
怎样变化，为什么？。
高中数学 2.5.2向量在物理中的应用教案人教版必修4
速度：是矢量，但是此时还不涉及其运算问题，只是让学生知道：速度是矢量；
第五节速度变化快慢的描述——加速度
加速度：是矢量，但是此时仍不涉及其运算问题，只是让学生知道：加速度也是矢量；
实例1：从高出地面3m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5m后回落，最后到达地面（如图）。分别以地面和抛出点为原点建立坐标系，方向均以向上为正，填写以下表格。
（4）在探究问题解决方法的过程中，展示学生的思维过程，发展学生的思维能力和解决问题的能力
二、重点难点
（1）教学重点是利用向量方法解决与物理相关的实际问题
（2）教学难点是选择适当的物理题和恰当的方法——建立以向量为主题的数学模型，将物理问题转化为数学问题
三、教学内容安排
1．复习引入，
首先提出下列思考问题：回顾用向量法解决平面几何问题的基本思维过程（三步曲），为学习用向量法解决物理及生活中的问题，奠定理论和方法的基础；
四、教学资源建议
（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）
（2）电脑和几何画板软件（画图并演示物理现象和建模后的几何图形的性质）
（3）引导学生通过联系实际、网络等途径，进一步了解向量在物理方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野
（4）及时与相关学科保持联系，最好选用与其同期的例题。特别是物理，地理，生物等学科。不仅能培养学生应用数学解决问题的意识，使学生体会学以至用的乐趣，更有利于培养成学生自觉应用数学解决问题习惯，也能更好地为今后学好数学树立信心。
0
-3
5m
-8m
-3m
补充问题4：
第四章牛顿运动定律（高一上学期第一学段）
例题：一个滑雪人，质量m=75kg，以v0=2m/s的初速度沿山坡匀加速下滑，山坡的倾角=300，在t=5s时间内滑下的路程为X=60m，求：滑雪人受到的阻力（包括摩擦和空气阻力，重力加速度g的值取10）
数学2.5.2《向量在物理中的应用举例》教案(新人教A必修4).doc1
2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：让学生经历用向量方法解决物理问题的过程，体会向量在实际问题中的应 用，培养学习数学的举，发展运算能力和解决实际问题的能力。
教学重点：向量在物理问题中的应用。
教学难点：将物理问题转化为数学问题的建模过程。
教学过程一、复习提问评讲P125 习题1、2二、新课例3、在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大 越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。
你能从数学的角度解释 这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如下图所示的数学模型，只要分析清楚F 、G 、θ三 者之间的关系，就得到了问题的数学解释。
解：不妨设｜1F ｜＝｜2F ｜，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：｜1F ｜＝2cos ||θ 由上面的式子，我们发现当θ由0°－180°逐渐变大时，2ϑ由0°－90°逐渐变大，2cos ϑ的值由大逐渐变小，因此，｜1F ｜由小逐渐变大，即1F ，2F 之间的越大越费力，夹角越小越省力。
探究：（1）θ为何值时，｜1F ｜最小，最小值是多少？（2）｜1F ｜能等于｜｜吗？为什么？ θ例4、一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500m ，一艘船从A 处出发到河对岸， 已知船的速度｜1v ｜＝10km/h ，水流速度｜2v ｜＝2km/h ，问行驶航程最短时，所用 时间是多少？（精确到0.1min ）？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶行程 最短，所用时间最短。
考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水 流速度的合速v 必须垂直于对岸。
解：｜v ｜＝96（km/h ）所以，t (min)1.360965.0||≈⨯=v答：行程最短时，所用时间是3.1min 。
作业：P125 3、4 P131 6、7。
数学(2.5.2向量在物理中的应用举例)
向量的表示方法
总结词
向量可以用箭头表示，箭头的长度代 表大小，箭头的指向代表方向。
详细描述
在数学和物理中，向量通常用箭头表 示，箭头的长度代表向量的模长，箭 头的指向代表向量的方向。在坐标系 中，向量也可以用坐标表示。
向量的运算规则
总结词
向量具有加法、减法、数乘等基本运算规则，这些运算规则遵循平行四边形法 则或三角形法则。
04
向量在物理中的重要性
描述物理现象的数学工具
向量是描述物理现象的重要数 学工具，如力、速度、加速度 等物理量都可以用向量表示。
向量具有大小和方向两个要素， 能够准确地描述物理量的变化 和方向。
向量运算（加法、数乘、向量 的模等）能够描述物理量的合 成与分解。
解决物理问题的有效方法
向量在解决物理问题中具有高效性和准确性，通过向量的运算和变换可以简化问题。
向量在解决力学、电磁学、振动与波动等问题中具有广泛的应用，能够提供简洁明 了的解决方案。
向量方法可以避免复杂的解析过程，提高解题效率。
连接数学与物理的桥梁
向量作为数学和物理之间的桥梁，能 够将数学理论应用于实际物理问题。
向量的引入和发展推动了数学和物理 学的发展，促进了科学技术的进步。
通过向量的应用，能够将抽象的数学 概念与具体的物理现象联系起来，促 进数学与物理的相互理解和应用。
详细描述
在物理中，力的合成与分解是常见的运算。例如，当一个物体受到两个力的作用时，可 以通过向量的合成求出这两个力的合力；同样地，当需要将一个力分解为若干个分力时， 也可以通过向量的分解来实现。力的合成与分解在工程、力学等领域有着广泛的应用。
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通 过向量运算可以方便地描述它们的方向和大小。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案一、教学目标1. 让学生理解向量的概念及其表示方法。
2. 培养学生掌握向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生了解向量在物理中的应用，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 向量在物理中的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、表示方法以及向量的运算。
2. 教学难点：向量在物理中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解向量的概念、表示方法和运算。
2. 采用案例分析法讲解向量在物理中的应用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量在实际问题中的运用。
五、教学过程1. 引入新课：讲解向量的概念及其表示方法。
2. 讲解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 应用举例：分析向量在物理中的应用，如速度、加速度、力等。
4. 小组讨论：让学生结合生活实际，探讨向量在其他领域中的应用。
5. 总结与反馈：对本次课程的内容进行总结，收集学生的反馈意见。
6. 布置作业：让学生运用所学的向量知识解决实际问题。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对向量概念、表示方法和运算的理解程度，以及能否熟练运用向量解决物理问题。
2. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们的创新思维和问题解决能力。
3. 作业评估：检查学生作业中向量知识的应用情况，以及解题的准确性和完整性。
七、教学拓展1. 引入其他物理概念：如动量、角动量等，进一步展示向量在物理中的应用。
2. 探讨向量在其他学科的应用：如数学、工程、计算机科学等。
3. 组织学生进行小研究：深入研究向量在某一领域的应用，如流体力学、电磁学等。
八、教学资源1. 教材：提供相关教材，如《线性代数》、《物理学》等。
2. 多媒体课件：制作并向学生提供包含图像、动画和示例的课件。
3. 网络资源：提供在线学习资源，如学术文章、视频教程等。
九、教学反馈与改进1. 课堂反馈：在每节课结束后，收集学生的反馈意见，了解他们的学习需求和困难。
2.5.2向量在物理中的应用举例学案【人教版】高中数学必修
2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算. 教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例 3. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1) 为何值时，|1F |最小，最小值是多少? (2)| 1F |能等于|G |吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.例4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸.已知船的速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min ）？思考:1. “行驶最短航程”是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？.,0|,23|,231),2(,|,|,)2,1(),1,0(),0,1(.30000212102121021的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例t Q P PQ Q P t Q P e e e e Q Q e e e e P P e e ⊥=++--++-== 课堂练习1，在重300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．2，如图,用两根分别长的绳子将100N 的物体吊在水平屋顶上,平衡后G 点距屋顶的距离恰好为,求A 处受力的大小.3，河水从东向西流，流速为2，一轮船以2垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速（精确到0 .1）4，某人在静水中游泳,速度为⑴如果他径直游向河对岸,水流速度为,那么他实际上沿什么方向前进?速度大小为多少?⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?5，在很大的湖的岸边（可视湖岸为直线），停放着一艘例 10.在很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 角，速度为2.5km/h,同时岸上有一人，从同一地点开始追赶赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h ，问此人能否追上小船；若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:1, 150N 2, 200N3 sm 22,与水流成45度角 4,8与水流成30度角；与水流成233arcsin π+h km 245, 15度 5210m m 和5m /m s /m s /m s 43km/h 4km/h 43km/h AG。
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2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目标
1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.
教学重点难点
教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.
教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学过程
导入新课
你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.
应用示例
例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
解:
图1
不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
|F 1|＝|G |
2cos θ2.
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 例2.如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ,求子弹的速度v 的大小.
图3
解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m |v |=(M +m )|v 0|. ①
由于机械能守恒,所以
2
1(M +m )v 02=(M +m )gh . ② 联立①②解得|v |=.2gh m
m M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh m
M 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.
①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;
②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;
④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.
①力、速度、加速度、位移都是向量;
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;
③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;
④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .
知能训练
1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )
A.215km
B.6 km
C.84km
D.8 km
【答案】B
2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=___________.
图4
【答案】41(5,4)。