运筹学第5课：LP模型案例分析
运筹学---案例分析
管理运筹学案例分析产品产量预测一、问题的提出2007年，山西潞安矿业集团与哈密煤业集团进行重组，成立了潞安新疆煤化工（集团）有限公司。
潞安新疆公司成立后，大力加快新项目建设。
通过技术改造和加强管理，使煤炭产量、销售收入、利润、职工收入等得到了大幅提高，2007年生产煤炭506万吨，2008年煤炭产量726万吨，2009年煤炭产量956万吨。
三年每月产量见下表，请预测2010年每月产量。
表1 2007—2009年每月产量表单位：万吨二、分析与建立模型1、根据2007—2009年的煤炭产量数据，可做出下图：表2 2007—2009年每月产量折线图由上图可看出，2007—2009年的煤炭产量数据具有明显的季节性因素和总体上升趋势。
因此，我们采取用体现时间序列的趋势和季节因素的预测方法。
（一）、用移动平均法来消除季节因素和不规则因素影响1、取n=12；2、将12个月的平均值作为消除季节和不规则因素影响后受趋势因素影响的数值；3、计算“中心移动平均值”；4、计算每月与不规则因素的指标值。
表3 平均值表5、计算月份指数；6、调整月份指数。
表4 调整（后）的月份指数（二）、去掉时间序列中的月份因素将原来的时间序列的每一个数据值除以相应的月份指数。
表5 消除月份因素后的时间序列表三、计算结果及分析确定消除季节因素后的时间序列的趋势。
求解趋势直线方程。
设直线方程为：T t =b0+b1 tT t为求每t 时期煤炭产量；b0为趋势直线纵轴上的截距；b1为趋势直线的斜率。
求得：四、一点思考新疆的煤矿生产企业产能只是企业要考虑的部分因素，因国家产业政策以及新疆距离内地需经河西走廊，因此，企业不仅要考虑产能，更多的要考虑运输问题，从某种意义上来说，东疆地区煤炭生产企业不是“以销定产”，而是“以运定产”，也就是说，物流运输方案是企业管理人员要认真思考的问题。
本案例可以结合物流运输远近及运输工具的选择作进一步的运筹分析，以使得煤炭生产企业真正实现科学合理决策。
线性规划的理论与实例分析
线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。
本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。
（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。
例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。
（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。
例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。
（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。
例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。
通常用不等式或等式形式表示。
二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。
三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。
（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。
单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。
单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。
运筹学PPT(LP)BaiDi剖析
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
Page 4
例1 窗户问题：三个工厂分别进行三种生产：工厂1 生产产品1是铝窗，工厂2生产产品2是木窗，工厂3做 组装产品的工作。具体数据如下表，应如何安排生产 计划，使总的利润最大？
线性规划问题的数学模型
Page 7
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
管理工程系核心课程
运筹学
( Operations Research )
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP问题的提出 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论 LP模型的应用举例
线性规划问题的数学模型
Page 3
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
图解法
例4 用图解法求解线性规划问题（窗户问题）
Max Z= 3x1+ 5x2
运筹学课程案例分析报告
《运筹学》课程案例分析报告课程编号:任课教师:讲课时间:完成人（学号）:提交日期:作业成绩:（1）以小组形式完成案例分析报告（小组成员不超过5人），并准备10分钟的ppt进行展示；（2）书面表达要求：准确：内容准确，遣词、语法准确；简明：叙述简明扼要，避免空话、废话、赘语、重复；易懂：遣词用语直截了当，避免用冷僻字和过长句子；严谨：所有数据、资料应注明出处；有可能引起误会的词语应加以定义；图文并茂：除文字外，应多采用表、图等方式表达，若色彩对内容表达有帮助，可加入色彩。
（3）格式要求：使用A4 幅面白色纸，电脑打印；正文页：字体与段落：正文标题采用四号（英文10号）宋体；正文采用小四号（英文12号）宋体，倍行距，段前段后间距行磅，段首缩进0.9厘米，标准字距；页码：在页脚右侧注明当前页码／总页数。
一、问题回顾在政府监控的条件下，考虑企业和核查中介是不是存在合谋行为，以下是本案例的条件和假设：（一）对政府而言政府的策略空间为A1=（a11，a12）,其中a11表示政府核查，a12表示政府不核查。
政府核查的本钱为c1,企业若与核查中介机构合谋，惩罚企业的罚金为n倍的碳价（p），与隐瞒的排放量有关。
惩罚核查中介机构的罚金为c2。
假设政府核查的概论为P1，不核查的概论为P2。
（二）对企业而言企业的策略空间为A2=（a21，a22），其中a21表示企业与中介合谋，a22表示企业与中介不合谋。
企业实际排放量为E1，申报的排放量为E2，政府给企业的配额为Q，企业支付给中介的核查费用为c3，企业若与中介合谋，支付的合谋费用为c4。
（三）对中介而言中介的策略空间为A3=（a31，a32），其中a31表示中介与企业合谋，a32表示中介与企业不合谋。
（四）需要解决的问题一、是不是存在混合策略下的Nash均衡？二、存在的条件是什么？3、Nash均衡与各决策变量的关系？二、对案例的分析①合谋不合谋（a1 , a2）（a3 , a4）②查不查（a5 , a6）（a7 , a8）上图中a1、a3、a5、a7别离表示企业在不同条件下博弈的得益，a2、a4、a6、a8别离表示核查中介机构在不同条件下的得益。
1-1一般LP问题的数学模型
一、 线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例1 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部
件分别在设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算 得到相关数据如表所示。应如何制定生产计划，使总利润为 最大。 产品 工时消耗 生产能力 h 设备 甲 乙 A 2 0 16 B 0 2 10 C 3 4 32
②小于等于约束条件转化为等号约束
③大于等于约束条件转化为等号约束
2x1+3x2-4x3≤5 引进松弛变量(Slack variable) x4≥0 2x1+3x2-4x3+x4=5 如果有一个以上小于等于约束，要引进不同的松弛变量。例如： 2x1+3x2-4x3≤5 3x1-2x2+5x3≤8 在两个约束中分别引进松弛变量x4，x5≥0 2x1+3x2-4x3+x4 =5 3x1-2x2+5x3 +x5=8
⑤变量小于等于0的的标准化
min z=x1+2x2-3x3 s.t. 2x1+3x2-4x3≤5 3x1-2x2+5x3≥8 x1≥0, x2≤0, x3≥0 max z’=-x1-2x2+3x3 s.t. 2x1+3x2-4x3+x4 =5 3x1-2x2+5x3 -x5=8 x1≥0, x2≤0, x3, x4, x5≥0 令 x2=-x’2，x’2≥0, 代入模型 max z’=-x1+2x’2+3x3 s.t. 2x1-3x’2-4x3+x4 =5 3x1+2x’2+5x3 -x5=8 x1≥0, x’2≥0, x3, x4, x5≥0
可行域：全部可行解的集合；
最优解：使目标函数(1.6)达到最大值的可行解
运筹学讲义LPILP
运筹学LPILP
运筹学模型（2）
【七桥问题】 在哥雷斯堡（Konigsberg）有一条名叫普雷尔（Pregel）的河流从城市中 间流过，普雷尔河的中央有一大一小两座岛屿，河岸和两座岛由七座桥相互连 接，如图 3-53 所示:
A
B
C
D
图 3-53 于是在居民们每天散步的时候就产生了一项有趣的消遣活动：从 A 岸、B 岛、C 岛、D 岸这四个地方任选一处出发，走过所有七座桥，最后回到出发的地方， 而且要求每座桥只能经过一次，不得重复。
x3+3x4 +x6+3x7+x8>=100
Xj>=0且为整数 j=1,2,3,……8
运筹学模型（4）
【排班问题】
某工厂的中心调度室，每昼夜 24 小时都要有人员值班，已知每 个时间段（每 4 小时为一个时间段）所需要的值班人员如表 1.6。又 知每一调度人员在任 1 时段开始上班后，要连续工作 8 小时（包括 轮流吃饭时间）才能满足调度值班工作需要。为使参加值班的总人 数最少，试列出数学模型
x1 x1
x2 1 2x2
0
x1,2 0
图解法（5）——无可行解
min s 2 x 1 2 x 2
s
.t
.
x
1
x1
x2 x2
1 2
x1,2 0
图解法（6）—— 结论
线性规划问题的解有四种情况 1．有唯一最优解 2．有无穷多最优解 3．有可行解，但无最优解（解无界） 4．无可行解
运筹学模型（3）
【合理下料问题】 某工地要求做 100 套钢筋，每套为 3 根，它们的长度分别为
2.9 米，2.1 米和 1.5 米；原材料长为 7.4 米，为应当怎样截割钢 筋，才能使所需的原材料根数为最少？
运筹学实例分析及lingo求解讲解
运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。
各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。
解：设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。
ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。
目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为：∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下：model : Sets :Wh/w1..w6/:ai; Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000 C( W1, V7) 5.000000 0.000000C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000 X( W1, V3) 0.000000 5.000000X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。
运筹学第5课：LP模型案例分析
期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增
长潜力不低于 10%。问在满足上述要求的前提下投资
者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？
作业：2.4, 2.5, 2.8
采用lindo求解
糖渣
案例3
要求每种饲料含量：
结粒 混合 筛粉
颗粒 饲料 粉状 饲料
燕麦 磨碎 玉米
原料 燕麦 玉米 糖渣
蛋白质 13.6 4.1 5
脂肪 7.1 2.4 0.3
纤维素 7 3.7 25
要求含量
>=9.5
原料 燕麦
>=2
<=6
可用量(千克) 11900 价格(欧元/千克) 0.13
玉米
糖渣
加工成本(欧元/千克)
工程（工地） 所需最少 监理师人数 1 2 3 4 5 6 7
5
4
4
3
3
2
2
为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人 员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经 验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作 用的前提下限定了范围。另经统计测算得知，全年平 均标准施工期占7个月，人年成本4万元；高峰施工期 占5个月，人年成本7万元。
整数问题能力不强。
运筹学
第5课：LP模型案例分析
案例2：北方食品公司投资方案规划
106个零售点日销售量在0.3~0.6吨，但大多数在0.4~0.5间。为简 化计算，设定每个点日销量为0.5吨； 将5公里内点设为A类点，10公里内点设为B类点，10公里以上设 为C类点。从工厂到A类点的时间为20分钟，到B类点的时间为40 分钟，到C类点的时间为60分钟。A类点间运输时间为5分钟，B 类点间运输时间为10分钟，C类点间运输时间为20分钟。不同类 型点间时间为20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟；A:50, B:36, C:20。 工厂从凌晨4点开始发货（过早无人接货），车辆发车先后时间 忽略不计。因7点后交通没有保障，故要求冷藏车必须在7点之前 到达零售点。故最迟送完货时间为7：30。全程允许时间为210分 钟。 已知4吨车每辆18万元，2吨车每辆12万元。请求出投资最少 的配车方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
23500
750
0.17
0.12
磨碎 0.25
混合 0.05
结粒 0.42
筛粉 0.17
每天至少需要9吨颗粒饲料和12吨粉状饲 料，则各种原材料应分别使用多少，并应 如何进行混合才能够使总成本最低？
运筹学
第5课：LP模型案例分析
附：案例3 Lindo语句
min 0.13x11+0.13x21+0.17x12+0.17x22+0.12x13+0.12x23 +0.25x11+0.25x12+0.25x21+0.25x22 +0.05x11+0.05x12+0.05x13+0.05x21+0.05x22+0.05x23 +0.42x11+0.42x12+0.42x13 +0.17x21+0.17x22+0.17x23 st x11+x21<=11900 x12+x22<=23500 x13+x23<=750 最优值: Z*=15086.79 x11+x12+x13>=9000 最优解： x21+x22+x23>=12000 x11 = 5089.56, x21 = 6798.07, x12 = 3719.53, 4.1x11-5.4x12-4.5x13>=0 x22 = 4959.37, x13 = 181.91, x23 = 242.55 5.1x11+0.4x12-1.7x13>=0 x11-2.3x12+19x13<=0 4.1x21-5.4x22-4.5x23>=0 5.1x21+0.4x22-1.7x23>=0 x21-2.3x22+19x23<=0 end
5*x11+4*x12+4*x13+3*x14+4*x21+3*x22+3*x23+2*x24+2*x25+2*x26+x27+x28 +x29+x210>=50; x12+2*x14+x22+2*x24+x25+3*x27+2*x28+x29+4*x211+3*x212+2*x213>=36; x13+x23+x25+2*x26+x28+2*x29+3*x210+x212+2*x213>=20;
运筹学
第5课：LP模型案例分析
另外在高峰施工期各工地所需监理工程师的数量要求： 第1和第2工地的总人数不少于14人； 第2和第3工地的总人数不少于13人； 第3和第4工地的总人数不少于11人；
第4和第5工地的总人数不少于10人；
第5和第6工地的总人数不少于9人；
第6和第7工地的总人数不少于7人；
第7和第1工地的总人数不少于14人； 求1999年： 高峰施工期公司最少配置多少名监理工程师？ 监理工程师年耗费的总成本是多少？
运筹学
第5课：LP模型案例分析
附：lindo求解语句
min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 st x1+x2>=14 x2+x3>=13 4x1: 表示4*x1 x3+x4>=11 gin 5: 表示前5个变量都是正整数 x4+x5>=10 gin x1: 表示变量x1是正整数 x5+x6>=9 x6+x7>=7 x1+x7>=14 测试版lindo可以求解50个变量和50 end 个约束条件之内的LP模型，但对于求解 gin 7
期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增
长潜力不低于 10%。问在满足上述要求的前提下投资
者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？
运筹学
第5课：LP模型案例分析
投 资 情 况 一 览
序 号 1 2 3 4
投资方式 国库券 公司债券 房地产 股票
投资期限 年收益率 增长潜力 风险系数 （年） （％） （％） 3 10 6 2 11 15 25 20 1 3 8 6 0 15 30 20
s. t. 3x1 +10x2 + 6x3 + 2x4 + x5 +5x6 ≤ 5 x1 +3x2 + 8x3 + 6x4 + x5 +2x6 ≤ 4 15x2 +30x3 + 20x4 + 5 x5 +10x6 ≥10 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 =1 xi ≥ 0 ( i = 1，2，3，4，5，6，7）
5
6 7
短期定期存款
长期保值储蓄 现金存款
1
5 0
10
12 3
1
2 0
5
10 0
运筹学
第5课：LP模型案例分析
解： 设 xi 为第 i ( i = 1～7 ) 种投资方式在总投资额中所占的比例。 则该问题的线性规划模型可写为：
max z = 11x1 +15x2 + 25x3 + 20x4 +10x5 +12x6 +3x7
工程（工地） 所需最少 监理师人数 1 2 3 4 5 6 7
5
4
4
3
3
2
2
为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人 员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经 验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作 用的前提下限定了范围。另经统计测算得知，全年平 均标准施工期占7个月，人年成本4万元；高峰施工期 占5个月，人年成本7万元。
运筹学
第5课：LP模型案例分析
附：lingo求解语句
min=18*x11+18*x12+18*x13+18*x14+12*x21+12*x22+12*x23+12*x24+12*x25+ 12*x26+12*x27+12*x28+12*x29+12*x210+12*x211+12*x212+12*x213;
糖渣
案例3
要求每种饲料含量：
结粒 混合 筛粉
颗粒 饲料 粉状 饲料
燕麦 磨碎 玉米
原料 燕麦 玉米 糖渣
蛋白质 13.6 4.1 5
脂肪 7.1 2.4 0.3
纤维素 7 3.7 25
要求含量
>=9.5
原料 燕麦
>=2
<=6
可用量(千克) 11900 价格(欧元/千克) 0.13
玉米
糖渣
加工成本(欧元/千克)
作业：2.4, 2.5, 2.8
采用lindo求解
最优值: 17 最优解： x1 = 0.5714, x3 = 0.4285, 其余xi = 0.
11x1 +15x2 + 25x3 + 20x4 + 10x5 +12x6 +3x7 ≥13
运筹学
第5课：LP模型案例分析
案例1：石华建设监理公司监理工程师配置问题
标准施工期所需监理工程师如下表所示：
整数问题能例分析
案例2：北方食品公司投资方案规划
106个零售点日销售量在0.3~0.6吨，但大多数在0.4~0.5间。为简 化计算，设定每个点日销量为0.5吨； 将5公里内点设为A类点，10公里内点设为B类点，10公里以上设 为C类点。从工厂到A类点的时间为20分钟，到B类点的时间为40 分钟，到C类点的时间为60分钟。A类点间运输时间为5分钟，B 类点间运输时间为10分钟，C类点间运输时间为20分钟。不同类 型点间时间为20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟；A:50, B:36, C:20。 工厂从凌晨4点开始发货（过早无人接货），车辆发车先后时间 忽略不计。因7点后交通没有保障，故要求冷藏车必须在7点之前 到达零售点。故最迟送完货时间为7：30。全程允许时间为210分 钟。 已知4吨车每辆18万元，2吨车每辆12万元。请求出投资最少 的配车方案。
第5课 LP模型案例分析
浙江工业大学经贸管理学院
曹柬
运筹学
第5课：LP模型案例分析
LP模型案例
习题2-11、某人有一笔1000万元的资金可用于长期
投资。可供选择的投资机会包括购买国库券、购买公司 债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等，不同 的投资方式的具体参数见下表。 投资者希望投资组合的平均年限不超过 5 年，平均的
@gin(x11); @gin(x12); @gin(x13); @gin(x14); @gin(x21); @gin(x22); @gin(x23); @gin(x24); @gin(x25); @gin(x26); @gin(x27); @gin(x28); @gin(x29); @gin(x210); @gin(x211); @gin(x212); @gin(x213);