杨辉三角

研究性课题：杨辉三角●教学目标 (一)教学知识点1.理解杨辉三角的性质2.掌握有关杨辉三角的基本性质111C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n rn. (二)能力训练要求会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦.2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学.●教学重点杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的.●教学难点杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。

●教学方法由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与.●教具准备实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。

今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质.Ⅱ.讲授新课一般的杨辉三角如下表.其中)!(!!12)1()1()2)(1(C r n r n r r r n n n n rn-=⋅-+---=. 在杨辉三角的第2行，第3行，第5行，第7行中，除去两端的数学1以外，这些数学与各自的行数(2，3，5，7)之间有什么联系？(学生在自己的座位上，分别写出第2、3、5、7行的数字，并比较它们与各自行数的关系，有的学生开始与其他同学讨论，有的同学试图想推广到一般情形.课堂内的气氛是很活跃的，学生的主动探索、积极合作正是我们教学改革所追求的最高目标之一)［生］第2行数字(除两端1外)是2；第3行数字(除两端1外)是3，3；第5行数字(除两端1外)是5，10，10，5；第7行数字(除两端1外)是7，21，35，35，21，7，第2行的数2能被2整除，第3行的两个3都能被3整除；第5行的四个数都能被5整除；第7行的6个数都能被7整除.用文字语言概括为：这些数字都能被各自的行数整除.［师］总结概括地很好！你们能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数p 是一个什么样的数？(学生开始在杨辉三角中接着往下写他们排出第9、10、11、12、13、14、15、16、17等各行的数字，然后他们再找这种类似的规律)［生］我经过计算第11、13、17行中，除去两端的数字1以外，行数11、13、17整除所在行的其余的所有数.一般地规律我没有找到.［师］同学们，这位同学找的对吧？ ［众生］(齐声回答)：对！［师］你们能否找到一般规律呢？［生甲］奇数行中的数字都具有这种规律.［生乙］不对，第2行中的数字具有这种性质，但2是偶数，所以你的规律是不对的.由于2，3，5，7，11，13，17这些数字都是素数，所以，我可以猜想；如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1外，行数整除其余的所有的数.［师］你们能证明这个猜想吗？(稍等片刻，留给学生一定的思考时间和空间)［生丙］由rp C 的计算公式可知：12)1()1()2)(1(C ⋅-+---=r r r p p p p rp我们的目标是要证明p 能够整除rp C (r =1，2，3，4，…p －1)∵12)1()1()2)(1(C ⋅-+---⋅= r r r p p p p rp，将r =1，2，3，…，21-p 代入检验可知.12)1()1()2)(1(⋅-+--- r r r p p p 都是整数，所以p 能整除rp C .［生丁］你利用代入检验，必定是有限步骤，而不是一般的方法.我认为要用数论中的质因数分解定理，证明，11C 1--r p r是个整数. ［师］你的思路是正确的，请同学们课后去证明这一猜想：即杨辉三角的性质6：如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1外，行数p 整除其余的所有的数，即p |rp C (r =1，2，…，p －1).［师］如图(打出幻灯片)(幻灯片显示)我们从杨辉三角中一个确定的数开始(例如10)，根据杨辉三角的基本性质，它是它左右肩上的两数之和(10=4+6)；然后把左肩固定而考虑右肩，它又是它左右肩上的两数的和(6=3+3).这样进行下去，总是把左肩固定而对右肩运用这一规则，我们便可以得出：杨辉三角中，从一个数的“左肩”出发，向右上方作一条和左斜边平等的直线，位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+［3+(2+1)］，即1+2+3+4=10.你们能将这个规律推广吗？［生］将上面的规律推广，我们可以得到：在杨辉三角中，第m 条斜线(从右上到左下)上前n 个数字的和，等于第m +1条斜线上的第n 个数.［师］根据这一性质，请猜想下列数列的前n 项和： 1+1+1+…+1= ，1+2+3+…+11C -n = ， 1+3+6+…+21C -n = ， 1+4+10+…+31C -n = ，［生］第1个结果是n ， 第二个是1+2+3+…+(n －1)=2)1(-n n 第三个是：24342124233321242322C C C C C C C C C C +=++++=++++--n n 25C +6)2)(1(C C C C C C C 3213121253521--==+==+++=++----n n n n n n n n .第四个是++=++++=++++--35553135344431353433C C C C C C C C C C n n 4 24)3)(2)(1(C C C C C C C 4314131364631---==+==+++=+----n n n n n n n n n［师］上述四个和式是刚才我们推广结论的特例，你们能用和式写出上述等式吗？ ［生］一般地，我们有：)(C C C C C 1121m n m n m n m m m m mm>=+++++-++ . ［师］你们有哪些方法可以证明它呢？［生］我可以用数学归纳法证明它.［师］证明时，n 所取的第一个值n 0应该为多少？ ［生1］当n 0=1，这时m =0，于是有1C C ,1C 111===+m n .所以等式成立. ［生2］对于00C 没有定义，所以不能取n 0=1，而应该取n 0=2，m =1左边=1C C 11112==-， 右边=22112C C =+.所以等式成立. ［师］对！最好是取n 0=2才有意义，避免争议. ［生1］假设当n =k 时等式成立，即1121C C C C C +-++=++++m km k m m m m mm . 那么当n =k +1时，111121C C C C C C C C +++-++=+=+++++m k m k m k m k m k m m m m mm. ∴n =k +1时等式也成立.由(1)(2)可知，等式对于一切大于1的自然数n 都成立.［师］这样证明过程就完善了.这里主要是运用组合数性质或杨辉三角基本性质m n m n m n 11C C C +-=+来证明. ［生3］不用数学归纳法，就直接使用组合数的性质进行证明，对于任意的自然数n (n＞1)，m 是给定的且小于n 的正整数，只要经过有限步的变换就可以了.事实上，因为,C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 1111111131121321212111121+++--+--++++-++++-++++-++==+==+++=++++=++++=++++m n m n m n m n m n m m m m m n mm m m m m m n m m m m m m m n m m m m m m 故等式成立.由于n 是任意的大于1的自然数.所以猜想完全正确.［生4］我是构造二项式求和，比较系数可求证明它.事实上：(1+x )m +(1+x )m +1+(1+x )m +2+…+(1+x )n－1的展开式中x m 项的系数之和为mn m m m m m m 121C C C C -++++++ . 又因为：(1+x )m +(1+x )m +1+(1+x )m +2+…+(1+x )n －1=)1(1])1(1[)1(x x x mn m +-+-+-xx x m n )1()1(+-+=，展开式中x m 项的系数就是右式分子展开式中的x m +1项的系数1C +m n. 由比较法知：1121C C C C C +-++=++++m nm n m m m m mm. ［师］好！这个证明方法利用比较法和构造法，将二项式定理与杨辉三角再次联系在一起.这样，我们就探索了三种证明方法.［师］如图的斜线中，前几行数字的和已经在行末标出，请你在“?”处标出其余各行的和，仔细观察这些和，你能发现什么规律吗？［生］前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144.根据这些数的规律，任何一个数都等于它前面的两个数之和，即a n +2=a n +1+a n ，a 1=a 2=1，(n ∈N *).(幻灯片显示)［师］请大家回忆一下，这个数列是什么样数列？ ［生］这种数列是斐波那契数列. ［师］你能求出它的通项公式吗？［生］用特征方程根求出它的通项公式.事实上，因为a n +2=a n +1+a n 的特征方程是x 2－x －1=0，其根为x 1，2=251±. ∴{a n }的通项公式设为a n =c 1x 1n +c 2x 2n 即a n =c 1·(251+)n +c 2·(251-)n(c 1，c 2是待定系数) ∵a 1=1，a 2=1，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅++⋅=-⋅++⋅1)251()251(1251251222121c c c c ①×251-－②得：c 1［251+·251-－(251+)2］=251-－1∴2)15(2)15(51+-=+-c∴c 1=55. ∴52155125112512-=⋅+-=-⋅c ∴c 2=－51 ∴nn na )251(51)251(51-⋅-+⋅=(n ∈N *).∴斐波那契数列a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +a n +1， 它的通项公式为)251(51)251(51--+⋅=n na (n ∈N *)［师］完全正确.斐波那契数列所具有的性质都是杨辉三角中有蕴含的性质，请同学们课后接着研究.事实上，许多重要的数学公式都跟组合数有关，因此，适当记住杨辉三角的一部分，对于发现某些数学法则是不无帮助的.对于杨辉三角的构成，还有一种有趣的看法：(打出幻灯片或多媒体，显示如图).如图2—8，在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块，在它们中间留下一些通道，从① ②上面的漏斗直通到下面的长方形框子，前面用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面，以后，落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再以后，它又会落到下一层的三个通道之一里边去……依此类推，最终落到最下边的长方形框子里.假设我们总共在木板上做了n +1层通道，在顶上的漏斗里一共放了+++21C C 1n nr n C + +n n n21C 1=++-颗弹子，让它们自由落下，落到下边n +1个长方形框子里，那么落在每个长方形的框子中的弹子的数目(按照可能情形来计算)会是多少？你能用学过的排列、组合与概率的知识来解释这一现象吗？(以上都用幻灯片显示).(学生讨论，教师巡视并参与讨论，课堂气氛很活跃而高涨). ［生］把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六棱柱上面以后，落到第二层中间一个六棱柱的左边或右边两个竖直通道里去.再以后，它不会落到下一层的三个竖直通道之一里去.这时，如果要弹子落在最左边的通道里，那么它一定是从上一层左边的通道里落下来才行(1个可能情形)；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可(1个可能情形)；而要它落在中间的通道里，那么无论它从上一层的左边或右边落下来都行(2个可能情况).这样一来，弹子落在第三层的三个通道里就分别有1，2，1个可能情形，概率分别为41,42,41，不难看出，落到第四层的四个通道分别有1，3，3，1个可能情形，概率分别为333321,23,23,21，类推下去，很容易发现，弹子落到第n +1层各个框子里的概率分别为n n n nn n n n n 21,2C ,,2C ,2C ,21121- . 因此，如果在漏斗里放n n nn n21C C C 1121=+++++- 颗弹子，它们落在第n +1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n 行.［师］该同学解释地非常好，请同学们要多向他学习，要能灵活运用所学知识解决有关问题.Ⅲ.课堂练习1.如图2—9，将圆珠堆成三角垛，底层每边为n 个，向上逐层每边减小1个，顶层是1个.容易看出，当n =1，2，3，4，…时，三角垛中的圆珠总数分别为1，4，10，20，….根据前面的结论，这样的一个n 层的三角垛中的圆珠总数是1+3+6+…+!31C C 3221==++n n n ·(n +1)(n +2).用数学归纳法证明这一结论.图2—9提示：(1)当n =1时，左边=1，右边=!31×1×(1+1)×(1+2)=61×1×2×3=1即1C C 33312==+ ∴等式成立；(2)假设当n =k (k ≥1)时等式成立，即1+3+6+…+3221C C ++=k k . 当n =k +1时，1+3+6+…+32)1(312223221121C C C C C C +++++++++==+=+k k k k k k∴当n =k +1时，等式也成立.由(1)(2)可知，等式对一切n ∈N*都成立. 另法：∵2121242322C C ,C 6,C 3,C 1++====n n . ∴左边=212524233321242322C C C )C C (C C C C +++++++=++++n n 32213121253521252434C C C C C C C C C C +++++=+==+++=++++=n n n n n . (注：这里运用了mn m n mn11C C C +-=+). 2.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数rnn C )1(1+，就得到一个只由单位分数(分子为1的分数)组成的三角形.这个三角形最早是由德国数学家莱布尼茨(Leibniz)作出，所以叫做莱布尼茨单位分数三角形，或简称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形有许多跟杨辉三角类似的性质.例如，杨辉三角中，除1以外的每一个数，都等于它肩上的两个数字相加.在莱布尼茨三角形中，有什么类似性质？你能证明你的猜测吗？提示：莱布尼茨三角形中每一个数，等于其“脚下”两数的和，例如：1214131+=，5120141,4217161,1051421301+=+=+=等等.一般情况是：111C )2(1C )2(1C )1(1++++++=+r n r n r n n n n . 证明：右边=11])!11()!1()!1([)2(1])!1(!)!1([21----+++⋅++-++⋅+r n r n n r n r n n 左边=⋅+=+-=+++-=++++-+-=+-+⋅+++-+⋅+=rn n n r n r n n n r n r n n r r n r n r n r n r n n r n r n C )1(1)!1()!(!)!1)(2()2()!(!)!1)(2()]1()1[()!(!)!1()!()!1()2(1)!1()!1(!21.∴111C )2(1C )2(1C )1(1++++++=+r n r n r n n n n Ⅳ.课时小结［师］本节课主要是研究了杨辉三角的有关性质，请同学们总结一下：［生］(6)如果p 是素数，那么在杨辉三角的第p 行中，除去两端的数字1之外，行数p 整除其余的所有的数，即若p 是素数，则p |rp C (r =1，2，…，p －1).(7)1121C C C C C +-++=++++m nm n m m m m mm(n ＞m ). (8)a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +a n +1.斐波那契数列， 通项公式a n =nn )251(51)251(51-⋅-+.(9)如果在漏斗里放nn nn n21C C C 1121=+++++- 颗弹子，它们落在第n +1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n 行的数字，即21C ,C ,C n n n ，nnn n n n n n n n C ,C ,C ,C ,,C ,C 12343--- . Ⅴ.课后作业1.性质(8)中，计算，a 5，a 10，a 15，a 20的值，你能总结一般规律吗？并证明你的结论. 提示：斐波那契数列的前20项是，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，600，977，1577，2554，4131，6685.a 5=5，a 10=55，a 15=600，a 20=6685.这四个数都能被5整除，猜想：a 5n 都是5的倍数.(n ∈N *).证明方法有两种：一是数学归纳法；二是递推法. 2.研究莱布尼茨三角形中的有关性质. ●板书设计。