指数与指数幂的运算练习题
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
指数与指数幂的运算 习题(含答案)
【方法点晴】本题考查指数函数的变换，形如 的图象的作法：先做出 的图象，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方. 的图象 的图象向下平移一个单位，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方得到，由于底数 不确定，故应分 和 两种情况分别作图，结合图形可得最后结果.
23．4
【解析】原式 ，故答案为4.
试题解析：
(1) 原式＝
(2)
.
27．（1） （2）
【解析】试题分析：
（1）根据分数指数幂的运算法则和对数的运算求解．（2）根据 求得 ，解方程组求出 后再求解．
试题解析：
（1）原式=3﹣3+（4﹣2）× = ．
（2）∵sinα+cosα= ，①
∴ 1+2sinαcosα= ，
∴2sinαcosα=﹣ ．
指数与指数幂的运算习题（含答案）
一、单选题
1．已知x，y为正实数，则
A．2lnx+lny=2lnx+2lnyB．2ln（x+y）=2lnx•2lny
C．2lnx•lny=2lnx+2lnyD．2ln（xy）=2lnx•2lny
2．化简 的结果为
A．−9B．7
C．−10D．9
3．若 ，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是
【解析】
【分析】
利用根式的运算法则运算即可.
【详解】
（1） ；
1) 中实数 的取值由 的奇偶性确定，只要 有意义，其值恒等于 ，即 ；
(2) 是一个恒有意义的式子，不受 的奇偶性限制， ，但 的值受 的奇偶性影响．
29．（1）89；（2） .
【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用.
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2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭指数与指数幂的运算 习题（含答案）一、单选题1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lnyD ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny12．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0的结果为A ． −9B ． 7C ． −10D ． 93. 若 > 0，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是A ． a m ÷ a n = anB ． a m ⋅ a n = a mnC ． () =+D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2，则 a b －a －b 的值为( )A ．B ． 2 或－2C ． －2D ． 25．3‒ 27的值为（）． A.9B. ‒ 9C.‒ 3D.3a 3x + a ‒ 3x26．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于B ． 2 ‒ 2 D ． + 1log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（ ）A ． 4B ． - 1 41C ． -4D ． 4 18．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（ ）3A ． a > b > cB ． a > c > bC ． c > a > b (1)9．设 y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 2 －1.5，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：D ． b > a > c2 2n a n 3 x4+ y 36 (-5)2m ‒ 2n4 163 x3 x 227 - - ① = a ；②若 a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；4③ = x 3+ y ；④ 35 = .其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2D ．311．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1B ． －1C ．a 2 -1a 2 +1a 2 +1D ．a 2 -112. 下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1B ． 21a 2·a 2＝a2 1 1 C ． 43＝8D ． a 3÷ a － 3= a 313. 已知a m ＝4，a n ＝3，则 的值为( )2A.33B. 6 C ． 2D ． 2二、填空题化简 ⋅(x > 0) 的结果是.14.x ⋅ 15. 设函数 f (x ) = a x + (k -1)a -x + k 2 （ a > 0, a ≠ 1 ）是定义域为 R 的奇函数.（1） 求 k 值；（2） 若 f (1) > 0 ，求使不等式 f (x 2 + x ) + f (t - 2x ) > 0 恒成立的t 的取值范围；（3）若 f (1) = 3 ，设 g (x ) = a 2x + a -2x - 2mf (x ) ， g (x ) 在[1, +∞) 上的最小值为-1，2求m 的值.12⎛ 1 ⎫ - 16．计算： 83 ÷ ⎪ = .⎝ 4 ⎭ ⎛ 8 ⎫- 13 - ⎛ - 3 ⎫0+ =17． log 3 +⎝ 125 ⎪⎭ ．⎝ 5 ⎪⎭2 518． (2a -3b 3 ) ⋅ (-3a -1b ) ÷ (4a -4b 3)(a > 0, b > 0) =.19．若2x + 2-x = 5 ，则8x + 8-x =.6 x23 a - 33 b- ⎛ 8 9 2 ( ‒ 8) （3） ；20． 0.064 13- - 1 ⎫0 + ⎡(-2)3 ⎤- 34 +16 ⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎭- 34 + 0.0112 =⎛ 1 ⎫0 21. 计算： lg4 + lg25 + - ⎪ ⎝ ⎭=．22. 直线y = 2a 与函数 y = a x -1 (a > 0且a ≠ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是.1 + log 12 - (0.7)0+ 0.25-1 ＝。
《幂的运算》练习题及答案
《幂的运算》练习题及答案幂的运算是数学中一个重要的概念，经常在代数和数论等领域出现。
本文将提供一些幂的练习题，并附上详细的答案，帮助读者加深对幂的运算规则的理解。
一、练习题1. 计算以下幂的结果：a) 2^3b) 5^2c) (-3)^4d) 10^0e) 1^1002. 化简以下幂的表达式：a) (2^3)^2b) 4^0c) (-2)^4d) (3^2)^3e) 5^13. 计算以下幂的结果，并写成最简形式：a) 2^(1/2)b) 10^(2/3)c) 8^(3/2)d) 27^(2/3)e) 16^(-1/2)二、答案解析1. 计算以下幂的结果：a) 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8b) 5^2 = 5 * 5 = 25c) (-3)^4 = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81d) 10^0 = 1 （任何数的0次幂都等于1）e) 1^100 = 1 （任何数的1次幂都等于自身）2. 化简以下幂的表达式：a) (2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6 = 64b) 4^0 = 1 （任何非零数的0次幂均等于1）c) (-2)^4 = 2^4 = 16d) (3^2)^3 = 3^(2*3) = 3^6e) 5^1 = 5 （任何数的1次幂都等于自身）3. 计算以下幂的结果，并写成最简形式：a) 2^(1/2) = √2b) 10^(2/3) ≈ 4.641 （保留三位小数）c) 8^(3/2) = (√8)^3 = 2^3 = 8d) 27^(2/3) = (∛27)^2 = 3^2 = 9e) 16^(-1/2) = 1/√16 = 1/4上述练习题和答案介绍了幂的运算规则，包括幂的计算、幂的化简和带分数指数的幂运算等内容。
通过对这些问题的分析和解答，读者可以更好地理解幂的性质和规律。
总结：幂的运算是数学中一个重要的概念，掌握幂的运算规则对于数学学习和解题非常重要。
指数与指数幂运算的练习题
指数与指数幂运算的练习题1. 计算下列指数的值：(a) 2^3(b) 4^2(c) 10^0(d) 5^-22. 化简下列表达式：(a) (2^3)^2(b) 5^3 / 5^2(c) (3^2) * (3^4)(d) 2^4 * 2^2 / 2^33. 计算下列混合指数的值：(a) 2^3 * 4^2(b) (2^3)^2 * (5^2)^3(c) 3^5 / (3^2 * 3^2)(d) (2^3 * 4^2)^-14. 计算下列指数幂的值：(a) (3^4)^2(b) (6^3)^-2(c) (10^2)^0(d) (4^-2)^35. 填写下列空格：(a) 2^4 = ____(b) 5^0 = ____(c) 1^2 = ____(d) 10^-3 = ____6. 解决下列问题：(a) 如果一个投资每年增长15%，在5年后，该投资的总增长是多少？(b) 假设一个人每天使用1升水，经过30天该人使用的水总量是多少立方米？(c) 如果一个房屋的基价为100,000元，每年以5%的速度增加，每年增加的金额是多少？7. 写出下列指数的平方和立方：(a) 2^2 = ____, 2^3 = ____(b) 3^2 = ____, 3^3 = ____(c) 4^2 = ____, 4^3 = ____(d) 5^2 = ____, 5^3 = ____8. 计算下列指数幂的值并判断其是否为奇数或偶数：(a) 2^3(b) 6^4(c) 10^6(d) 3^59. 解决下列问题：(a) 如果一辆车以每小时60千米的速度行驶，10小时后的总行程是多少千米？(b) 如果一台机器每分钟生产30个产品，8小时后的总生产数量是多少个？(c) 如果一件商品原价为200元，以每年10%的折扣出售，10年后其售价是多少？10. 解决下列问题：(a) 如果一件商品原价为500元，并以每年10%的速度增长，经过5年后该商品的价值是多少？(b) 假设某公司的市场份额从30%增长到40%，增长率是多少？(c) 如果一个房屋的价值为100万，以每年5%的速度增长，10年后该房屋的价值是多少？Note: The document consists of practice problems related to indices and exponentiation in the Chinese language. Each question involves either calculating the value of an exponent, simplifying an expression, or solving a problem related to various real-life scenarios.。
幂运算练习题大全
幂运算练习题大全幂运算，是数学领域中一种常见的运算方式。
它用于表示一个数的某个指数次幂，例如2的3次幂就是2×2×2，通常表示为2^3。
幂运算在数学、物理、计算机科学等领域有着重要的应用。
在本文中，我们将提供一系列幂运算的练习题，帮助读者更好地掌握幂运算的概念和运用。
1. 简化以下幂运算：a) 2^4b) 3^2c) 5^3d) 10^02. 计算以下幂运算的结果：a) 2^5b) 4^3c) 6^2d) 8^43. 给定以下幂运算，求未知数的值：a) 2^x = 16b) 3^x = 27c) 4^x = 256d) 5^x = 6254. 简化以下幂运算的结果，使用负指数：a) 2^-3b) 3^-2c) 5^-4d) 10^-15. 简化以下幂运算的结果，使用幂与根相互抵消的关系：a) √(4^3)b) ∛(8^2)c) ∜(16^2)d) ⁵√(32^3)6. 简化以下幂运算的结果，使用幂运算的运算法则：a) (2^3) × (2^4)b) (3^2) ÷ (3^5)c) (5^6)^2d) (10^4)^07. 计算以下复合幂运算的结果：a) (2^3)^2b) (4^2)^3c) (6^4)^2d) (8^5)^08. 解决以下问题，应用幂运算的概念：a) 一台计算机每秒钟可以执行10^9次运算，那么1分钟内可以执行多少次运算？b) 一辆汽车每小时行驶80公里，那么2小时内可以行驶多远？c) 一块土地的面积为5^2平方米，如果将其分割成边长为1米的小方块，可以得到多少个小方块？9. 解决以下问题，应用幂运算的运算法则：a) 简化表达式：(2^3 × 2^4) ÷ 2^2b) 简化表达式：(3^5)^2 ÷ (3^2)c) 简化表达式：(5^3 ÷ 5^2) × 5^4d) 简化表达式：(10^6)^2 ÷ 10^3通过以上的练习题，可以帮助读者巩固幂运算的知识点和运用技巧。
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)
+⎩ + 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念 ①如果 xn= a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1，且 n ∈ N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，a 的 n 次 方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 - na表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ．nnn n⎧a (a ≥ 0)③根式的性质：( a ) = a ；当 n 为奇数时， a = a ；当 n 为偶数时，=| a |= ⎨-a ．(a < 0)〔2〕分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幂的意义是： a n= n a m(a > 0, m , n ∈ N , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．②- m1 m1正数的负分数指数幂的意义是： an= ( ) n = n ( )m (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的负分数指a a数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 〔3〕分数指数幂的运算性质①a r ⋅ a s = a r +s (a > 0,r , s ∈ R )②(a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R )③(ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )2.1.2 指数函数及其性质〔4〕指数函数 函数名称 指数函数定义函数 y = a(a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数图象a > 10 < a < 1y = 1 yOy = ax(0, 1)xy = a xy = 1Oy( 0 , 1 )x定义域 R值域 〔0,+∞〕过定点 图象过定点〔0,1〕，即当 x=0 时，y=1．奇偶性 非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的变化情况y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0)y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0)a 变化对图象影响在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴．在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．n a n39 1 + 5 1 ± 5 12.1 指数函数练习1．以下各式中成立的一项〔〕A ． ( n )7 = n 7m 7mB ． 12(-3)4 =C ． 4x 3+ y 33(x + y )4D ．=2 11 1 1 1 52．化简(a 3 b 2)(-3a 2 b 3) ÷ ( 3a 6b 6 )的结果〔〕A ． 6aB ． - aC ． - 9aD ． 9a23．设指数函数 f (x ) = a x(a > 0, a ≠ 1) ，那么以下等式中不正确的选项是〔 〕A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ． f 〔x - y 〕=f (x )f ( y )C ． f (nx ) = [ f (x )]n(n ∈ Q )- 1D ． f (xy )n= [ f (x )]n·[ f ( y )]n(n ∈ N + )4．函数 y = (x - 5)0+ (x - 2)2A ．{x | x ≠ 5, x ≠ 2} C ．{x | x > 5}〔〕B ．{x | x > 2}D ．{x | 2 < x < 5或x > 5}5．假设指数函数 y = a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a 等于 〔〕A ．B ． 2 2C ．D ．2 26．当 a ≠ 0 时，函数 y = ax + b 和 y = b ax的图象只可能是〔〕7．函数 f (x ) = 2-|x |的值域是〔 〕A ． (0,1]B ． (0,1)⎧⎪2- x- 1, x ≤ 0 C ． (0,+∞)D ．R8．函数 f (x ) = ⎨ 1 ，满足 f (x ) > 1的 x 的取值范围⎪⎩x 2 , x > 0〔 〕A ． (-1,1)B ． (-1,+∞)C ．{x | x > 0或x < -2}D ．{x | x > 1或x < -1}9．函数 y = ( 1 ) 2- x 2 + x +2 得单调递增区间是〔 〕11A ． [-1, ]2B ． (-∞,-1]C ． [2,+∞)D ． [ 2,2]3 - 33 3- 1 + 5 5 ± 1⎩ x e x - e - x10． f (x ) =，那么以下正确的选项是 〔 〕2A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．函数 f (x )的定义域是〔1，2〕，那么函数 f (2 x) 的定义域是 .12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x )=a x －2－3 必过定点 .三、解答题：13．求函数 y = 1的定义域.5 x -1 - 114．假设a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．函数 f (x ) =a x - 1 a x + 1(a ＞1).〔1〕判断函数f (x )的奇偶性；〔2〕证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数 f(x)＝a x (a>0，且 a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 a，求 a 的值． 2参考答案一、DCDDDAAD D A二、11．(0,1)；12．(2，－2)；三、13． 解：要使函数有意义必须：⎧x - 1 ≠ 0⎧x ≠ 1⎪x ⇒⎨ ≠ 0 ⎩ x - 1⎨x ≠ 0∴定义域为： {x x ∈ R 且x ≠ 0, x ≠ 1}⎪1 a +1 a +12 14． 解： a r + br⎛ a ⎫r⎛ b ⎫r，其中 0 < a < 1,0 < b < 1.= ⎪ c rc + ⎪c ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 当r ＞1时，⎛ a ⎫ r ⎛ b ⎫r a b ，所以a r+b r ＜c r ；⎪ + ⎪ < + = 1⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c当 r ＜1 时，⎛ a ⎫r⎛ b ⎫ra b，所以 a r +b r ＞c r . ⎪ + ⎪ > + = 1 ⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c15．解：(1)是奇函数.(2) x ＜x ，a x 1 -1 a x2 -1 。
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1、有理数指数幂的分类
（1）正整数指数幂()n n
a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个
； （2）零指数幂)0(10
≠=a a ；
（3）负整数指数幂()10,n
n
a a n N a -*=≠∈
（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,m
n
m n
a a a a m n Q ==>∈
（2）()()0,,n
m mn a a a m n Q =>∈
（3）()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2：无理数指数幂
若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
知能点3：根式
1、根式的定义：一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*
∈>N n n ,1，n
a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。
2
（1）n N ∈，且
1n >；
（2）当n 是奇数，则a a
n
n
=；当n 是偶数，则
⎩⎨
⎧<-≥==0
0a a
a a
a a n
n
； （3）负数没有偶次方根；
（4）零的任何次方根都是零。
3、我们规定： （1）)
0,,,1m n
a a m n N n *=>∈>；
（2）)10,,,1m n
m n
a
a m n N n a
-*=
=
>∈>
一、填空
1、用根式的形式表示下列各式)0(>a
（1）51
a = （2）34a = （3）35
a -
= （4）32
a -
=
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）3
4y x = （2）)0(2
>=
m m
m （3
= ； （4）a
a a = ；
（5） =•a a 2 （6）=•3
2
3a a
（7）=a a
（8） =3
5
6q p 3、求下列各式的值
（1）2
38= ；（2）12
100-
= ； （3）3
1()4
-= ；
（4）3416()81-
= ；（5）3227= ； （6）23
)49
36(= ；
（7）23)4
25(-= ；（8）2325= ；（9
）1
2
2[(]-= ； （10）=3
264
4.化简 （1）=••12
74
33
1a
a a
（2）=÷•6
54
32
3a a a
（3）=÷-•a a a
9)(34
32
3 （4）
3
2
2
a
a a •=
（5）3
163)278(--b a = （6）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---32
31312212x x x = （7）()0,053542
15
65
8
≠≠÷⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
-b a b a b
a
=
（8）)3()6)(2(6
56
13
12
12
13
2b a b a b a -÷-=
5.计算 （1）43
512525÷-
(2) （3）2
1031
9
)4
1
()2(4)2
1(----+-⋅- （4）()
5
.02
1
2001.04122432-⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅+⎪
⎭⎫
⎝⎛-
-
6.已知112
2
3a a -+=，求下列各式的值（1）1
a a -+= ；（2）2
2
a a -+=
7.若0>a ，则43a 和5
3-
a 用根式形式表示分别为 和 ，
5
6b a 和
m
m
3
用分数指数幂形式表示分别为 和 。
8.使式子34
(12)x --有意义的x 的取值范围是 _.
9.若32a =，135b -=,则323a b
-的值= . 10.已知103,102m n
==，则32
10m n -的值为 . 二.选择题.
1、 R a ∈，下列各式一定有意义的是（ ）
A.2
-a B. 41a C. 3
2a D. 0
a
2、 R a ∈，下列各式一定有意义的是（ ）
A. a
)2(- B.2
-a C. 32
a D. 2
3a 3、 下列各式计算正确的是 （ ）
A. 1)1(0
=- B.a a a =⋅2
2
1 C.8432= D. 2113
33
a a a -
÷= 4、若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
A 、m m n
n
a a a ÷= B 、n m n m a a a ⨯=⋅ C 、()n
m m n
a a += D 、01n n
a a -÷=
5、下列运算结果中，正确的是（ ）
A ．6
32a a a =⋅ B ．()()2
332a a -=- C ．()110
=-a D ．()6
3
2a a -=-
6.下列各式中成立的是（ ）
A ．7
1
77m n m n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛ B ．()312433-=- C ．()43
433y x y x +=+
D ．3
3
39=
7.下列各式成立的是（ ）
A.()3
23
2
2
n m n m +=+ B.5
51
5
b a a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛ C.()()31
6233-=-
D.
3
13
2
4=
8.将2
35写为根式，则正确的是（ ）
A ．
3
2
5 B ．
3
5 C ．5
2
3 D ．
3
5
9、化简()4
33
2
5⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-的结果为（ ） A ．5 B ．5 C ．5-
D ．-5
11.与a
a 1
-的值相等是（ ）
A.
a B. a - C. a - D. a --
12、已知31=+a
a ，则21
2
1
-+a a 等于（
）
A ．2
B ．5
C ．5-
D ．5±
13、化简
x
x 3-的结果是（ ）
A ．x --
B ．x
C ．x -
D ．x -
14、下列各式正确的是（ ） A.35
a -=
B.
2
33
2
x
x =
C.111111()8
248
2
4
a
a a
a
-
⨯⨯-⋅⋅= D.1
1
23
33142(2)12x x x x
---=-
15、根式
a
a 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（ ）
A.3
4
-a B.3
4a C.4
3-a D.4
3a。