最新高等数学习题详解-第7章-多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A (2，1,-6)，

B (0，2，0)，

C (-3，0,5)，

D (1，-1，-7).

解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则

(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).

(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).

同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).

3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即

(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.

解之得z =11，故所求的点为M (0，0，

149

). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2

12

14M M =，2

2

13236,6M M M M ==

所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.

解：所求平面方程为1235y x z

+

+=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为

Ay +Bz =0.

又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为

Ax +Cz +D =0.

又点M 1和M 2都在平面上，于是

A D C D +=⎧⎨

+=⎩ 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.

显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？

解：表示以点（1，-2，0

9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.

解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

1. 下列各函数表达式:

(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,

求(f x y -； (2)

已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).

解：（1

）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2

）2

222(()2f x y x y x y -=+=-+

所以22(,)2f x y x y =-

2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1

z x y =+-；

(2) z =

(3) (,))f x y x y =-；

(4) 22(,)f x y =

解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠

故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。 （2）由

2210

10x y ⎧-≥⎨-≥⎩

可得11

11x y y -≤≤⎧⎨≥≤-⎩

或

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。 （3）由

10

0x x y -≥⎧⎨->⎩

可得

1

x y x ≥⎧⎨<⎩

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐

标1x ≥的部分。 （4）由

222

131

0x y x y ⎧-≤--≤⎨-≥⎩

可得

222

24

x y y x ⎧≤+≤⎨≤⎩

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。 3. 说明下列极限不存在：

(1) 00

lim x y x y

x y

→→-+；

(2) 362

00

lim x y x y

x y →→+.

解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有

(,)(0,0)0 (1)1

lim lim (1)1x y x y kx

x y k x k x y k x k →→=---==+++。