江苏专版高考数学二轮复习6个解答题综合仿真练六
2020年三维(江苏版)高考二轮复习数学专题六应用题综合仿真练(八)Word版含答案
2020年三维(江苏版)高考二轮复习数学专题六应用题综合仿真练(八)Word 版含答案综合仿真练 (八 )zi ＝ 1，此中 i 为虚数单位， 则复数 z 的模为 ________．1．(2019 通·州中学 )若复数 z 知足 z － i分析： 由zii |i| 1 2z － i ＝ 1 得 zi ＝ z － i ，即 z ＝ 1－ i ，因此 |z|＝ |1－i| ＝2 ＝ 2 .2答案： 22．已知会合 M ＝ {0,1,3} ， N ＝ { x|x ＝ 3a ， a ∈ M} ，则 M ∩ N ＝ ________.分析： 由于 M ＝ {0,1,3} ， N ＝{ x|x ＝ 3a ，a ∈ M} ，因此 N ＝ {0,3,9} ，因此 M ∩ N ＝ {0,3} ． 答案： {0,3}3．在区间 (0,5)内任取一个实数 m ，则知足 3<m<4 的概率为 ________．分析： 依据几何概型的概率计算公式得，知足4－ 31 3<m<4 的概率为 P ＝ ＝5－ 0 5.答案 ：154．已知一组数据 x ， x ， ， x100 的方差是 2，则数据 3x 3x ， ， 3x的标准差为121,2100________．分析： 由 x 1， x 2， ， x 100 的方差是 2，则 3x 1,3x 2， ， 3x 100 的方差是 18，因此所求标 准差为 3 2.答案：3 25．在如下图的算法中，输出的i 的值是 ________．分析：当 i ＝1 时，S ＝ 2；当 i ＝ 3 时，S ＝ 6；当 i ＝ 5 时，S ＝ 30；当 i ＝ 7 时， S ＝ 210>200.因此输出的 i ＝7.答案： 76．双曲线x 2 y 2a 2－b 2＝ 1 的右焦点到渐近线的距离是其到左极点距离的一半，则双曲线的离心率 e ＝ ________.2020年三维(江苏版)高考二轮复习数学专题六应用题综合仿真练(八)Word 版含答案a ＋ c a ＋ c分析： 由双曲线的性质 “ 焦点到渐近线的距离等于 b ” ，则 b ＝2 ，即 a 2＋2 2＝c 2.整理得 3c 2－ 2ac －5a 2＝ 0，因此 3e 2－ 2e － 5＝ 0，解得 e ＝ 5. 3答案： 537．设正四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的底面 ABCD 的边长为 1，其表面积为 14，则 AA 1＝________.分析： 正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为 12，则 AA 1＝3.答案： 38．在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ＝ ln x 在 x ＝ e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 ax － y ＋3＝ 0 垂直，则实数 a 的值为 ________．分析： 由于 y ′ ＝1k ＝ y ′|x ＝e1x ，因此曲线 y ＝ ln x 在 x ＝ e 处的切线的斜率＝ e .又该切线与直线 ax －y ＋ 3＝ 0 垂直，因此1a ·＝－ 1，因此 a ＝－ e.e答案： － ey ≤ x ＋2，y ≥ x ， 表示的平面地区的面积为S ，则 S 的值为 ________．9．若不等式组0≤ y ≤4， x ≥ 0分析： 作出不等式组表示的平面地区如图暗影部分所示，得面积S ＝1222(4 －2 )＝6.答案 ：610．已知函数 f(x)＝ sin ωx－ 3cos ωx (ω>0) 在 (0， π)上有且只有两个零点，则实数 ω 的取值范围为 ________．ππ π π分析： 易得 f(x)＝ 2sin ωx－ 3 ，设 t ＝ ωx－3，由于 0<x<π，因此－ 3<t<ωπ－ 3.由于函数f(x)在 (0， π)上有且仅有两个零点，因此 ππ<ωπ－ ≤ 2π，34 7解得 3<ω≤3.47答案：，11．若两个非零向量 a ，b 的夹角为 60°，且 (a ＋2b )⊥ (a － 2b)，则向量 a ＋ b 与 a － b的夹角的余弦值是 ________．分析： 由 (a ＋ 2b )⊥ (a － 2b )，得 (a ＋ 2b ) ·(a － 2b) ＝0，即 |a|2－ 4|b |2＝ 0，则 |a|＝ 2|b |，a ＋b ·a － bcos 〈 a ＋ b ， a － b 〉＝|a ＋ b ||a － b | ＝a 2－b 2＝3b 221b 2a 2＋ 2a ·b ＋ b 2· a 2－ 2a ·b ＋ b 2 21 ＝ 7 .答案：21712．(2019 ·州中学模拟扬 )已知等差数列 { a } 前 n 项和为 S ，且 S ＝－ 9，S ＝ 4，若知足nn68不等式 n ·S n ≤ λ的正整数 n 有且仅有3 个，则实数 λ的取值范围为 ________．36A ＋ 6B ＝－ 9，A ＝ 1， 分析：不如设 S n2＋ Bn ，由 S 6＝ An8 ＝ 4，得 则 15＝－ 9，S64A ＋8B ＝ 4，B ＝－ 2 ，3152315 2因此 nS n ＝n － 2 n ，令 f(x)＝ x － 2x，则 f ′ (x)＝ 3x 2－ 15x ＝ 3x(x － 5)，易得数列 { nS n } 在 1≤ n ≤ 5， n ∈ N * 时单一递减；81125在 n>5，n ∈ N * 时单一递加． 令 nS n ＝ b n ，有 b 3＝－ 2 ，b 4＝－ 56，b 5＝－ 2 ，b 6 ＝－ 54，749n 只有3 个，则 n 只好为 4,5,6 ，故实数 λ的取值范围为b ＝－ 2 .若知足题意的正整数 81－54，－ 2 .答案： － 54，－812a b c13．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 2cos A ＝ 3cos B ＝ 6cos C，则cos Acos Bcos C ＝ ________.分析：由题意及正弦定理得 tan A tan B tan C2 ＝3 ＝6 ，可设 tan A ＝ 2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝ 6k ，11k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝ tan Atan Btan C ，于是 k ＝6 ，进而 cos Acos BcosC ＝ 3×2×1 1 201512＝ 10.答案：11014．已知函数 f(x)＝ 2x 3＋ 7x 2＋ 6x， x ∈ [0,4] ，则 f(x)最大值是 ________．x 2＋ 4x ＋3分析： 法一 ：当 x ＝ 0 时，原式值为 0；62x 3 ＋7x 2＋6x2x ＋ 7＋ x6当 x ≠ 0 时，由 f(x) ＝ x 2＋ 4x ＋3 ＝3 ，令 t ＝2x ＋7＋ x ，由 x ∈ (0,4] ，x ＋4＋ x2t2得 t ∈ [2＋ 3，＋ ∞) ，f(x)＝ g(t)＝ t 2＋ 1＝1.t ＋ t而 t ＋ 1≥ 4，当且仅当 t ＝ 2＋ 3时，获得等号，此时 x ＝ 3，因此 f(x)≤ 1.即 f(x)的最大t 21值为2.2x x 2＋ 4x ＋ 3 － x 2 法二 ： f(x)＝x 2＋4x ＋ 32xx2，＝x2＋ 4x ＋3－x 2＋ 4x ＋ 3x2t － t 2 .于是令 t＝x 2 ＋4x ＋ 3，所求的代数式为 y ＝13≤1 2－ 3 2－ 3 当 x ＝ 0 时， t ＝ 0；当 x ≠ 0 时，有 t ＝2 3＋4 ＝ 2 ，因此 t ∈ 0， 2 ，x ＋ 4＋ x2－ 32t － t 2有最大值 1，此时 x ＝ 3.当 t ＝ 时，22答案 ：12。
(江苏专版)18年高考数学二轮复习6个解答题综合仿真练(四)
6个解答题综合仿真练(四)1.如图，四棱锥P ABCD 中， 底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AC ，E 是PA 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)求证：AF ⊥平面BDE .证明：(1)连结OE ，因为O 为菱形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PA 的中点，所以OE ∥PC .又因为OE ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)因为PA ＝AC ，△PAC 是等腰三角形，又F 是PC 的中点，所以AF ⊥PC .又OE ∥PC ，所以AF ⊥OE .又因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ⊥BD .因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，因为AF ⊂平面PAC ，所以AF ⊥BD .因为OE ∩BD ＝O ，所以AF ⊥平面BDE .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2＋2ac ＝b 2，sin A ＝1010. (1)求sin C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由a 2＋c 2＋2ac ＝b 2， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－22， 又B ∈(0，π)，所以B ＝3π4. 因为sin A ＝1010，且B 为钝角，所以cos A ＝31010， 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋3π4＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋31010×22＝55.(2)由正弦定理得a sin A ＝csin C， 所以c ＝a sin C sin A ＝2×551010＝22， 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×22×22＝2. 3．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，一个焦点为F (－1,0)，点F 到相应准线的距离为3.经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．解：(1)由焦点F (－1,0)知c ＝1，又a 2c－c ＝3， 所以a 2＝4，从而b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，此时S 1＝S 2，|S 1－S 2|＝0； 若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，k ≠0，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2. 此时|S 1－S 2|＝12·AB ·||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2| ＝2|k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)|＝2|k ||(x 1＋x 2)＋2|＝2|k |⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k23＋4k 2＋2＝2|k |⎪⎪⎪⎪⎪⎪63＋4k 2＝12|k |3＋4k 2. 因为k ≠0，所以|S 1－S 2|＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝1243＝3， 当且仅当3|k |＝4|k |，即k ＝±32时取等号． 所以|S 1－S2|的最大值为 3.4.如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M ，N 在线段DE (含端点)上，且点M在点N 的右下方．经测量得知：AD ＝6米，AE ＝6米，AP ＝2米，∠MPN ＝π4.记∠EPM ＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．(1)求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；⎝⎛⎭⎪⎫参考数据：tan 54≈3 (2)求S 的最小值．解：(1)法一：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理得PM sin ∠PEM ＝PE sin ∠PME， 所以PM ＝PE ·sin∠PEM sin ∠PME ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝4sin θ＋cos θ， 在△PNE 中，由正弦定理得PN sin ∠PEN ＝PE sin ∠PNE， 所以PN ＝PE ·sin∠PEN sin ∠PNE ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝22cos θ， 所以△PMN 的面积S ＝12PM ·PN ·sin ∠MPN ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54，所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得，S ＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54. 法二：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ，由正弦定理得ME sin θ＝PE sin ∠PME， 所以ME ＝PE ·sin θsin ∠PME ＝4sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝42sin θsin θ＋cos θ， 在△PNE 中，由正弦定理得NE sin ∠EPN ＝PE sin ∠PNE， 所以NE ＝PE ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos θ ＝22θ＋cos θcos θ， 所以MN ＝NE －ME ＝22cos 2θ＋sin θcos θ， 又点P 到DE 的距离为d ＝4sin π4＝22， 所以△PMN 的面积S ＝12MN ·d ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54， 所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得，S ＝82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54. (2)当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4－54时，S 取得最小值为82＋1＝8(2－1). 所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2－1)平方米．5．设a >0且a ≠1，函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a －a .(1)当a ＝e 时，求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )的最小值；(3)指出函数f (x )的零点个数，并说明理由．解：(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x ＋x 2－x －e ，f ′(x )＝e x＋2x －1.设g (x )＝e x ＋2x －1，则g (0)＝0，且g ′(x )＝e x ＋2>0.所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，当x >0时，g (x )>g (0)＝0；当x <0时，g (x )<g (0)＝0.即当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0.综上，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．(2)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x ，①当a >1时，若x >0，则a x >1，ln a >0，所以f ′(x )>0，若x <0，则a x <1，ln a >0，所以f ′(x )<0.②当0<a <1时，若x >0，则a x <1，ln a <0，所以f ′(x )>0，若x <0，则a x >1，ln a <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增．所以f (x )min ＝f (0)＝1－a .(3)由(2)得，a >0，a ≠1，f (x )min ＝1－a .①若1－a >0，即0<a <1时，f (x )min ＝1－a >0，函数f (x )不存在零点．②若1－a <0，即a >1时，f (x )min ＝1－a <0. f (x )的图象在定义域内是不间断的曲线，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．f (a )＝a a ＋a 2－a ln a －a >a 2－a ln a －a ＝a (a －ln a －1)．令t (a )＝a －ln a －1(a >1)，t ′(a )＝1－1a>0，所以t (a )在(1，＋∞)上单调递增； 所以t (a )>t (1)＝0.所以f (a )>0.故f (x )在(0，a )上有一个零点．又f (－a )＝a －a ＋a 2＋a ln a －a >a 2－a ＝a (a －1)>0，故f (x )在(－a,0)上有一个零点．所以f (x )在(－∞，0)上和(0，＋∞)上各有一个零点，即f (x )有2个零点．综上，当0<a <1时，函数f (x )不存在零点；当a >1时，函数f (x )有2个零点．6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －(－1)n ，n ∈N *.设an 1，an 2，…，an i (其中n 1<n 2<…<n i ，i ∈N *)成等差数列．(1)若i ＝3.①当n 1，n 2，n 3为连续正整数时，求n 1的值；②当n1＝1时，求证：n3－n2为定值；(2)求i的最大值．解：(1)①依题意，an1，an1＋1，an1＋2成等差数列，即2an1＋1＝an1＋an1＋2，从而2[2n1＋1－(－1)n1＋1]＝2n1－(－1)n1＋2n1＋2－(－1)n1＋2，当n1为奇数时，解得2n1＝－4，不存在这样的正整数n1；当n1为偶数时，解得2n1＝4，所以n1＝2.②证明：依题意，a1，an2，an3成等差数列，即2an2＝a1＋an3，从而2[2n2－(－1)n2]＝3＋2n3－(－1)n3，当n2，n3均为奇数时，2n2－2n3－1＝1，左边为偶数，故矛盾；当n2，n3均为偶数时，2n2－1－2n3－2＝1，左边为偶数，故矛盾；当n2为偶数，n3奇数时，2n2－2n3－1＝3，左边为偶数，故矛盾；当n2为奇数，n3偶数时，2n2＋1－2n3＝0，即n3－n2＝1.(2)设a s，a r，a t(s<r<t)成等差数列，则2a r＝a s＋a t，即2[2r－(－1)r]＝2s－(－1)s＋2t－(－1)t，整理得，2s＋2t－2r＋1＝(－1)s＋(－1)t－2(－1)r，若t＝r＋1，则2s＝(－1)s－3(－1)r，因为2s≥2，所以(－1)s－3(－1)r只能为2或4，所以s只能为1或2；若t≥r＋2，则2s＋2t－2r＋1≥2s＋2r＋2－2r＋1≥2＋24－23＝10，(－1)s＋(－1)t－2(－1)r≤4，故矛盾，综上，只能a1，a r，a r＋1成等差数列或a2，a r，a r＋1成等差数列，其中r为奇数，从而i的最大值为3.。
2020年三维(江苏版)高考二轮复习数学专题六应用题综合仿真练(六)Word版含答案
综合仿真练 (六 )1．已知会合 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7} ， M ＝{ x|x 2－ 6x ＋ 5≤ 0， x ∈ Z} ，则 ?U M ＝ ________. 分析： 会合 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7} ， M ＝ { x|x 2 － 6x ＋ 5≤ 0， x ∈ Z} ＝ { x|1≤ x ≤ 5， x ∈ Z } ＝{1,2,3,4,5} ，则 ?U M ＝ {6,7} ．答案 ： {6,7}2＋ i2．已知复数 z ＝ 2－ i (i 为虚数单位 )，则 z 的模为 ________．2＋ i2＋ i 2 3 4分析： 法一： z ＝5 ＝ 5＋5i ，2－i＝则 |z|＝ 3 2 4 2 ＝ 1. 5 ＋52＋ i |2＋ i| 5＝ 1. 法二： |z|＝ ＝＝2－ i |2－ i| 5 答案： 13．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为 45 的样本，此中高一年级抽20人，高三年级抽 10 人，已知该校高二年级共有学生300 人，则该校学生总数为 ________．分析： 样本中高二年级抽 45－ 20－ 10＝ 15 人，设该校学生总数为 n 人，则4515n ＝300，所以 n ＝ 900.答案 ：9004．依据如下图的伪代码，输出S 的值为 ________．S ← 1 I ←1While I ≤ 8S ←S ＋I I ←I ＋2 End While Print S分析： 模拟履行程序，可得 S ＝ 1， I ＝ 1，知足条件 I ≤ 8； S ＝ 2， I ＝ 3，知足条件 I ≤ 8； S ＝ 5， I ＝ 5，知足条件 I ≤ 8； S ＝ 10， I ＝7，知足条件 I ≤ 8；S ＝ 17， I ＝9，不知足条件 I ≤ 8；退出循环，输出 S 的值为 17.答案：175．(2019 ·一中学模拟天)若过抛物线 x2＝ 2py(p>0)或 y2＝ 2px( p>0) 的焦点 F 的直线与该抛物线交于 A， B 两点，则称线段 AB 为该抛物线的焦点弦，此时有以下性质：1＋1 2 AF BF＝ .已p知抛物线 L ： x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与 y 轴交于点 A，过点 F 作直线交抛物线 L 于 B， C 两点，若以 AC 为直径的圆恰巧过点 B，且 CF ＝ BF＋8，则 p 的值为 ________ .分析：由于以AC 为直径的圆恰巧过点B，因此AB⊥ BC，如图，设 |BF|＝ m(m>0)，过点 B 作准线的垂线，垂足为D，易知△ABD ∽△FAB，则 AB2＝ AF ·BD ＝pm，又由于 AF2＝ AB2＋BF 2，因此 p2＝ m2＋ pm，即 m＝5－ 1p，由抛物线的焦点弦性质可得 1 ＋ 1 ＝2，因此 1 2 AF BF p CF3－ 5 3＋ 5＝2p，即 CF ＝ 2 p，因此 CF － BF＝ 2p，又由于 CF ＝BF＋ 8，因此 2p＝8，即 p＝ 4.答案： 46． 100 张卡片上分别写有 1,2,3，， 100 的数字．从中任取 1 张，则这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是 ________．分析：从 100 张卡片上分别写有 1,2,3，，100 中任取 1 张，基本领件总数n＝100，所取这张卡片上的数是 6 的倍数包括的基本领件有：1× 6,2× 6，， 16× 6，共有16 个，因此所取这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是 P＝16 ＝ 4 .100 25答案：4257．若一个圆锥的母线长为 2，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为 ________．分析：由圆锥母线长2，可求底面半径为 1，故高 h＝ 3，因此 V＝1× π× 12×3＝3π3 3.答案：3π38．已知等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且S6＝－19，a4－ a2＝－15，则 a3的值为 ________．3分析：法一：设等比数列 { a n 6 1－ q6S ＝＝1＋ q3＝－19，所} 的公比为 q，易知 q≠ 1，则S3 1－ q 3 83 27a 1 3a 1 15 9 以 q ＝－ ， a 4－ a 2＝ a 1q 3－ a 1q ＝－8 ＋2 ＝－8，因此 a 1＝ 1，则 a 3＝ a 1q 2＝ .24法二： 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6S 3a 1＋ a 2＋ a 3a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 1q 3＋ a 2q 3＋ a 3q 319＝a 1＋ a 2＋ a 3 ＝ 1＋ q 3＝－ 8，3因此 q ＝－ 2，a3a 2a315 933则 a 4－ a 2＝ a 3q － q ＝－ 2 ＋3 ＝－ 8 ，因此 a 3＝ 4答案：949．若函数 f(x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x)＝ xln x ，则不等式 f(x)<－ e 的解集为 ________．分析： f ′ (x)＝ ln x ＋ 1(x>0) ，令 f ′(x)＝ 0，得 x ＝1e ，当 x ∈1 0， e时， f ′ (x)<0，当x ∈1 e ，＋ ∞ 时， f ′ (x)>0，因此f(x) 在10， e上单一递减，在1 e ，＋ ∞ 上单一递加， 且f(e)＝ e ，f11 e ＝－ e ，由于 f(x)为奇函数， 因此f( －e)＝－ f(e)＝－ e ，故联合函数图象得f(x)<－ e 的解集为 ( －∞ ，－ e)．答案 ： (－∞，－ e)10．(2019 ·皋中学模拟如 )已知当 x ∈ [0,1] 时，函数 y ＝ (mx － 1)2 的图象与y ＝x ＋ m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 ________．分析： 在同向来角坐标系中，分别作出函数f(x)＝ (mx － 1)2＝ m 21x － m2 与g(x)＝x ＋ m的大概图象．分两种情况：(1)当 0＜ m ≤1 时， 1≥ 1，如图①，当 x ∈ [0,1] 时， f( x) 与 g(x)的图象有一个交点，切合m题意．1(2)当 m ＞1 时， 0＜ m ＜ 1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象在 [0,1] 上只有一个交点，只要g(1) ≤ f(1)，即 1＋m ≤ (m － 1)2，解得 m ≥ 3 或 m ≤ 0(舍去 )．综上所述， m ∈ (0,1] ∪ [3，＋ ∞)． 答案： (0,1] ∪[3，＋∞ )11．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x ＋cos2x ，若 f(x － φ)的图象对于 y 轴对称 0<φ<π，则 φ＝2 ________.ππ分析： 由于 f(x)＝ 3sin 2x ＋ cos 2x ＝2sin 2x ＋6 ，因此 f(x － φ)＝2sin 2x － 2φ＋ 6 .由 f(xπ ππ π －φ)的图象对于 y 轴对称得，－ 2φ＋ 6＝2＋ k π(k ∈ Z)，因此－ 2φ＝3＋ k π(k ∈ Z)．又 0<φ<2，π 因此 φ＝3.π答案： 312．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ： x 2＋ y 2＝2，直线 x ＋by － 2＝ 0 与圆 C 订交于 A ，B 两点，且―→ ―→ ―→ ―→| OA ＋ OB |≥ 3 | OA － OB | ， 则 b 的 取 值 范 围 为___________________________ ．分析：设 AB 的中点为―→ ―→―→ ―→M ，则 | OA ＋ OB |≥ 3| OA － OB |? 2|OM|≥ 3|2AM|? |OM |≥3266|OA |＝ 2 ，又直线 x ＋ by － 2＝ 0 与圆 C 订交于 A ，B两点，因此 2 ≤ |OM|< 2，而 |OM |＝2 ，因此 6≤2 < 2? 1<b 2≤5，解得 1< b ≤ 15或－ 15≤b<－ 1，即 b 的取值范1＋b 2 21＋ b 2333围为 －15，－ 1 ∪ 1， 15 .33答案：－15，－ 1 ∪15 31， 3ln x ， x ≥ 1，13．(2019 泰·州中学模拟 )已知函数 f(x)＝若 F( x)＝f[f(x)＋ 1]＋ m 有两个1－ x， x ＜ 1，2零点 x 1， x 2，则 x 1·x 2 的取值范围是 ________．分析：当 x ≥ 1 时， f(x) ＝ln x ≥ 0，∴f(x)＋ 1≥ 1，∴f[f(x)＋ 1]＝ ln[f(x)＋ 1]，当 x ＜ 1 时，f( x)x 1 3＝1－ 2＞ 2，f(x)＋ 1＞ 2，∴f[f(x)＋ 1]＝ ln[f(x)＋ 1]，综上可知， F(x)＝ ln[f(x)＋ 1]＋ m ＝0，则f(x)＋1＝ e－m， f( x)＝e －m － 1，有两个根x 1， x 2(不如设 x 1＜ x 2)．当 x ≥ 1 时， ln x 2 ＝e － m － 1，当 x ＜ 1 时， 1－ x 21＝ e －m －1，令 t ＝e －m － 1＞ 12，则 ln x 2＝ t ，1112t,x11 2t－ 2t)tx ＝ e 1－ 2 ＝ t ，x ＝ 2 － 2t ，∴x x ＝e (2 ，t ＞ 2，设 g( t)＝ e (2－ 2t)，t ＞2.求得 g ′( t)＝－ 2te t，t ∈ 1，＋ ∞ ，g ′ (t)＜ 0，函数 g(t)单一递减，∴ g( t)＜ g 1 ＝ e ，∴g(t)的值域为 (－ ∞ ，221 2e)，∴x x 取值范围为 (－ ∞ ， e)．答案： (－∞，e)1 1 414．在斜三角形 ABC 中，若 tan A ＋ tan B ＝tan C ，则 sin C 的最大值为 ________．分析：由11 4tan A＋tan B ＝ tan C，cos A cos B 4cos Csin A ＋ B 4cos C 得 sin A ＋ sin B ＝ sin C ，即 sin Asin B ＝ sin C ， 化简得 sin 2C ＝4sin Asin Bcos C.a 2＋b 2－c 2由正、余弦定理得c 2＝ 4ab · 2ab ＝ 2(a 2＋ b 2－ c 2)，2 2 2a 2＋b 2－c 2 a 2＋ b 2≥2ab 1即 3c ＝ 2(a ＋ b )，因此 cos C ＝ 2ab＝6ab 6ab ＝ 3，当且仅当 “ a ＝ b ”时等号建立．因此 cos C 的最小值为 13，2 2故 sin C 的最大值为 3.答案 ：23 2。
(江苏专)高考数学二轮复习6个解答题综合仿真练(五)
6个解答题综合仿真练(五)1.如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD .求证：(1)EF ＝12BC ；(2)平面EFD ⊥平面ABC .证明：(1)因为平面EFG ∥平面BCD,平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， 所以EG ∥BD . 又G 为AD 的中点， 故E 为AB 的中点． 同理可得，F 为AC 的中点， 所以EF ＝12BC .(2)因为AD ＝BD ， 由(1)知，E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE .又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ， 由(1)知，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF ，又DE ∩EF ＝E ，DE ⊂平面EFD ，EF ⊂平面EFD ， 所以AB ⊥平面EFD ， 又AB ⊂平面ABC ， 故平面EFD ⊥平面ABC .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin(2A ＋B )＝sin C －sin B . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求AB ―→·AC ―→的最大值． 解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，B ＝π－C －A ，所以sin(2A ＋B )＝sin(π－C ＋A )＝sin(C －A )，sin B ＝sin(C ＋A )， 由sin(2A ＋B )＝sin C －sin B ， 得sin(C －A )＋sin B ＝sin C ， 所以sin(C －A )＋sin(C ＋A )＝sin C ，即sin C cos A －cos C sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝sin C ， 所以2sin C cos A ＝sin C .在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，所以22＝b 2＋c 2－2bc ·12，即4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 当且仅当b ＝c ＝2时，bc 有最大值4.所以AB ―→·AC ―→＝bc cos A ≤2，此时a ＝b ＝c ＝2， 所以AB ―→·AC ―→的最大值是2.3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的焦点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1,0)，N (1,0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值．解：(1)因为0<b <2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上， 又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点， 所以椭圆的半焦距c ＝b ， 所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2.又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m，则k 1·k 2＝12m－k m ＋1·12m－k m－1＝14k 2－4m 2＝1－22m 2－2k2＝－12.法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式作差，得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， ∴x 0x 1－x 22＋y 0(y 1－y 2)＝0，∴x 02＋y 0y 1－y 2x 1－x 2＝0，又y 1－y 2x 1－x 2＝k ，∴x 0＋2ky 0＝0，①又T (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 0＝kx 0＋m ，② 由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m1＋2k2.因为2m 2－2k 2＝1，所以x 0＝－k m ，y 0＝12m.则k 1·k 2＝12m－k m ＋1·12m－k m－1＝14k 2－4m 2＝1－22m 2－2k2＝－12.4．某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2 km ，BC ＝1 km.现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．(1)如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； (2)如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度． 解：(1)因为AD ＝DC ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， 所以AB ＝3， 取AB 中点G ，连结EG ， 则四边形BCEF 的面积为12S 梯形ABCD ＝S 梯形BCEG ＋S △EFG ， 即12×12×3×(1＋2)＝12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋12GF ×32，解得GF ＝36， 所以EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362＝213(km)．故灌溉水管EF 的长度为213km. (2)连结AC ，设DE ＝a ，DF ＝b ，在△ABC 中，CA ＝ 12＋32＝2，所以在△ADC 中，AD ＝DC ＝CA ＝2， 所以∠ADC ＝60°，所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12ab sin 60°＝34ab ，又S 梯形ABCD ＝332，所以34ab ＝334，即ab ＝3.在△DEF 中，由余弦定理，得EF ＝a 2＋b 2－ab ≥ab ＝3， 当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”． 故灌溉水管EF 的最短长度为 3 km.5．设f k (n )为关于n 的k (k ∈N)次多项式．数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n .对于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝f k (n )恒成立．(1)若k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；(2)试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：(1)证明：若k ＝0，则f k (n )即f 0(n )为常数，不妨设f 0(n )＝c (c 为常数)． 因为a n ＋S n ＝f k (n )恒成立，所以a 1＋S 1＝c ，即c ＝2a 1＝2. 所以a n ＋S n ＝2，①当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝2，② ①－②得2a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．若a n ＝0，则a n －1＝0，…，a 1＝0，与已知矛盾， 所以a n ≠0(n ∈N *)．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列.(2)(ⅰ)若k ＝0，由(1)知，不符题意，舍去. (ⅱ)若k ＝1，设f 1(n )＝bn ＋c (b ≠0，b ，c 为常数)， 所以a n ＋S n ＝bn ＋c ，③当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝b (n －1)＋c ，④③－④得2a n －a n －1＝b (n ≥2，n ∈N *)．要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列， 必须有a n ＝b －d (常数)，而a 1＝1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n ＝1(n ∈N *)， 故当k ＝1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n ＝1(n ∈N *)， 此时f 1(n )＝n ＋1.(ⅲ)若k ＝2，设f 2(n )＝an 2＋bn ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)， 所以a n ＋S n ＝an 2＋bn ＋c ，⑤当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝a (n －1)2＋b (n －1)＋c ，⑥ ⑤－⑥得2a n －a n －1＝2an ＋b －a (n ≥2，n ∈N *)． 要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列， 必须有a n ＝2an ＋b －a －d ，且d ＝2a ， 考虑到a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)·2a ＝2an －2a ＋1(n ∈N *)． 故当k ＝2时，数列{a n }能成等差数列， 其通项公式为a n ＝2an －2a ＋1(n ∈N *)，此时f 2(n )＝an 2＋(a ＋1)n ＋1－2a (a 为非零常数).(ⅳ)当k ≥3时，若数列{a n }能成等差数列，则a n ＋S n 的表达式中n 的最高次数为2，故k ≥3时，数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k ＝1或2时，数列{a n }能成等差数列．6．已知λ∈R ，函数f (x )＝e x－e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． (1)求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； (3)若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值． 解：(1)因为f ′(x )＝e x－e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又f (1)＝0， 所以切线方程为y ＝0.(2)g (x )＝e x－e －λln x (x >0)，g ′(x )＝e x－λx.当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值.当λ＞0时，设h (x )＝e x－λx， 则h ′(x )＝e x＋λx2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增. ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫λe＝e λe－e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫λe ，1，使得h (x 0)＝0.②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0.综上，当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0.且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． (3)g (x )＝f ′(x )＝e x－e －λln x (x >0)，g ′(x )＝e x－λx. 若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x恒成立．设φ(x )＝x e x(x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1)e x＞0恒成立，所以φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e. 于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．当λ＞e 时，由(2)知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减， 即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0， 于是f (x )在[1，x 0)上单调递减， 所以f (x 0)＜f (1)＝0.这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾． 因此λ≤e，即λ的最大值为e.。
2020年三维(江苏版)高考二轮复习数学专题六应用题综合仿真练(十)Word版含答案
综合仿真练 (十 )1．已知命题 p ：“ ? x ∈ R ， x 2＋ 2x －3≥ 0”，则命题 p 的否认为 ________________ ． 答案： ? x ∈ R ， x 2＋ 2x － 3<02．已知一组数据 3,6,9,8,4，则该组数据的方差是 ________．分析： x ＝1 1 (3 ＋ 6＋ 9＋ 8＋ 4)＝ 6， s 2＝ [(3－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (9 －6)2＋ (8－ 6)2＋ (4－ 6)2]5526 ＝ 5 .26答案：51， 1，若 A ＝B ，则锐角 θ＝________.3．已知会合 A ＝ {1 ， cos θ}， B ＝ 21π 分析： 由题意得 cos θ＝ 2，又由于 θ为锐角，因此 θ＝ 3.答案： π34.如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 ________．分析： 依据流程图， S ， k 的数据挨次为 1,1；2,2； 6,3；15，结束 循环，因此输出的k 的值是 3.答案 ：35．已知 i 是虚数单位，则1－i2的实部为 ________．1＋ i分析： 由于 1－ i1－ i 1 11－ i 11＋ i 2＝ 2i ＝－ 2－ 2i ，因此2的实部为－ 2.1＋ i 1答案： －6． (2019 如·东中学模拟 )已知双曲线 x 2 y 2 F 1，F 2，a 2－b 2＝ 1(a>0， b>0) 的左、右焦点分别为过 F 1 作圆 x 2＋y 2＝ a 2 的切线，交双曲线右支于点 M ，若∠ F 1 MF 2＝ 45°，则双曲线的渐近线 方程为 ________．分析： 如图，作 OA ⊥ F 1M 于点 A ， F 2B ⊥ F 1M 于点 B.由于 F 1M 与圆 x 2＋ y 2＝ a 2 相切，∠ F 1MF 2＝ 45°，因此 |OA|＝ a ， |F 2B|＝ |BM |＝ 2a ， |F 2M|＝ 2 2a ， |F 1B|＝2b.又点 M 在双曲线上，因此 |F 1M|－ |F 2 M|＝ 2a ＋ 2b － 2 2a ＝ 2a.b整理，得 b ＝ 2a.因此 a ＝ 2.因此双曲线的渐近线方程为y ＝ ± 2x.答案： y ＝ ± 2x7．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择此中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性同样，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ________．分析： 由于某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择此中一个参加， 且每人参加每个兴趣小组的可能性同样，因此基本领件总数n ＝9，甲、乙不在同一兴趣小组的对峙事3 2 件是甲、乙在同一兴趣小组，因此甲、乙不在同一兴趣小组的概率P ＝ 1－9＝ 3. 答案 ：238．已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为 _________．分析： 由条件，易知正四棱锥的高 h ＝ 2× sin 60 °＝ 3，底面边长为 2，因此体积 V ＝13×( 2)2× 3＝2 33.答案 ：23 39．已知奇函数 f(x)在 (－∞，＋∞ )上为单一减函数，则不等式f(lg x)＋ f(1)>0 的解集为________．分析：由于 f(x)为奇函数， 且不等式 f(lg x)＋ f(1)>0 ，因此 f(lg x)> f(－ 1)，又由于 f(x)在 R1上为减函数，因此lg x<－1，解得 0<x<10.1答案： 0，1010．已知各项均为正数的数列{ a n } 知足 a n ＋ 2＝ qa n (q ≠ 1，n ∈ N * )，若 a 2＝ 3a 1 ，且 a 2＋ a 3，a 3＋ a 4，a 4＋ a 5 成等差数列，则q 的值为 ________．分析： 由条件， (a 2＋ a 3)＋ (a 4＋ a 5)＝ 2(a 3＋ a 4)，因此 (1＋ q)(a 2 ＋a 3 )＝2q(a 1 ＋a 2)，因此 (1＋q)(3 ＋q)a1＝ 8qa1，由于 a1>0， q≠ 1，因此 q＝3.答案：311． (2019 淮·阴中学模拟 )已知圆 C： (x－ 3)2＋ (y－ 4)2＝ 25，圆 C 上的点到直线l： 3x＋4y＋ m＝0(m<0) 的最短距离为1，若点 N(a，b)在直线 l 上位于第一象限的部分，则1＋1的最a b小值为 ________．分析：圆 C： (x－ 3)2＋ (y－ 4)2＝ 25，圆心坐标 (3,4)，半径为 5，由于圆 C 上的点到直线l ： 3x＋4y＋ m＝ 0(m<0) 的最短距离为1，则直线 l 与圆 C 相离，设圆心到直线的距离为d，则 d－ r ＝ 1，可得|9＋16＋ m|＝6，解得 m＝－ 55 或 m＝ 5(舍去 )．9＋ 16由于点 N(a， b)在直线 l 上位于第一象限的部分，因此 3a＋ 4b＝ 55， a>0， b>0.1 1 1 1 1(3a＋4b)＝17＋4b 3a 17＋ 24b 3a＝7＋4 3则＋＝＋b 55 a ＋≥55·，a b 55 a b a b 55110 3 55 3当且仅当 a＝－ 55＋ 3 ， b＝ 55－ 2 时取等号．答案：7＋4355x2＋ 3， x∈ [0， 1 ，12．(2019 锡·山中学模拟 ) 已知定义在 R 上的函数 f(x)知足 f( x)＝，3－ x2， x∈ [ － 1， 0且 f(x＋ 2)＝ f(x)，g(x)＝3x＋7，则方程 f(x)＝ g(x)在区间 [－5,1] 上的全部实根之和为________．x＋ 2分析：∵f(x＋ 2)＝ f(x) ，∴函数 f(x)的周期为 2.又 g(x)＝3x＋ 7＝ 3＋x＋ 21，x＋ 2∴函数 g(x)图象的对称中心为在同一个坐标系中画出函数(－ 2,3)．f(x)和 g(x)的图象，如下图．由图象可得两函数的图象交于A ，B ，C 三点，且点 A ， C 对于点 (－ 2,3)对称，∴点 A ，C 的横坐标之和为－ 4.又由图象可得点 B 的横坐标为－ 3，∴方程 f(x)＝ g(x) 在区间 [－5,1] 上的全部实根之和为－ 4－ 3＝－ 7.答案： －713．在△ ABC 中， D 为边 AC 上一点， AB ＝ AC ＝ 6， AD ＝ 4，若△ ABC 的外心恰在线段BD 上，则 BC ＝ ________.分析： 法一： 如图，设△ ABC 的外心为 O ，连接 AO ，则 AO 是∠BACBOAB3―→ ―→ ―→ ―→ 3―→―→的均分线， 因此 OD ＝ AD ＝2，因此 AO ＝ AB ＋ BO ＝ AB ＋5 BD ＝ AB ＋3 ―→ ―→ ―→ 2 ―→ 3 ―→ ―→ ―→ 2 ―→ 35(AD －AB )，即 AO ＝5 AB ＋5 AD ，因此 AO ·AB ＝ 5( AB )2 ＋ 5―→ ―→2×36＋3×6× 4cos ∠BAC ， 所 以 cos ∠BAC ＝1，则 BC ＝AB ·AD ，即 18＝55436＋36－ 2×62×1＝ 3 6.4法二： 如图，设∠ BAC ＝2α，外接圆的半径为 R ，由 S △ABO △ADO ＋ S1 1 1＝S △ABD ，得 2·6Rsin α＋2·4Rsin α＝ 2·6·4sin 2α，化简得 24cos α＝ 5R.在65Rt △AFO 中， Rcos α＝3，联立解得 R ＝5 10 ，cos α＝8，因此 sinα3 3 ＝8，因此 BC ＝2BE ＝ 2ABsin α＝ 12× 8＝ 36.答案：3 6x ＋ 2交于 A ，B 两14．在平面直角坐标系xOy 中，已知动直线 y ＝ kx ＋ 1－ k 与曲线 y ＝x － 1点，平面上的动点―→―→2，则 m2＋ n2的最大值为 ________．P(m， n) 知足 | PA ＋ PB |≤4分析：直线 y＝ kx＋ 1－ k 过定点M(1,1)恰为曲线 y＝x＋ 2的对称中x－ 1―→―→心，因此 M 为 AB 的中点，由 | PA ＋ PB |≤ 4 2，得 |PM―→ |≤ 2 2，因此动点 P(m， n)知足 (m－ 1)2＋ (n－ 1)2≤ 8，因此 m2＋ n2的最大值为18.答案：18。
江苏专版2018年高考数学二轮复习6个解答题综合仿真练一
6个解答题综合仿真练(一)1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b ＝3，c ＝2. (1)若2a ·cos C ＝3，求a 的值；(2)若c b ＝cos C 1＋cos B ，求cos C 的值．解：(1)由余弦定理得，2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝3，将b ＝3，c ＝2代入，解得a ＝2. (2)由正弦定理，得sin C sin B ＝cos C1＋cos B ，即sin C ＋sin C cos B ＝sin B cos C ，则sin C ＝sin B cos C －cos B sin C ＝sin(B －C )． 因为0<C <B <π，所以0<B －C <π， 所以C ＝B －C ，则B ＝2C .由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝b2sin C cos C ，将b ＝3，c ＝2代入，解得cos C ＝34.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .求证：(1)PA ∥平面BDE; (2)平面BDE ⊥平面PCD .证明：(1)连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PC 的中点， 所以OE ∥PA .又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以PA ∥平面BDE .(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC .又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ，所以OE ⊥平面PCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，求a ，b 的值； (2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB ―→＝12OC ―→，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆的离心率为23，所以a 2－b 2a ＝23，即b 2a 2＝59. ①又因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53在椭圆上，所以4a 2＋259b 2＝1. ②由①②解得a 2＝9，b 2＝5. 因为a >b >0，所以a ＝3，b ＝ 5.(2)法一：由(1)知，b 2a 2＝59，所以椭圆方程为x 2a 2＋9y 25a2＝1，即5x 2＋9y 2＝5a 2.设直线OC 的方程为x ＝my (m >0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 由{ x ＝my ，5x 2＋9y 2＝5a 2消去x ，得5m 2y 2＋9y 2＝5a 2，所以y 2＝5a 25m 2＋9.因为y 2>0，所以y 2＝5a5m 2＋9. 因为AB ―→＝12OC ―→，所以AB ∥OC .可设直线AB 的方程为x ＝my －a .由{ x ＝my －a ，x 2＋9y 2＝5a 2消去x ，得(5m 2＋9)y 2－10amy ＝0，所以y ＝0或y ＝10am 5m 2＋9，得y 1＝10am5m 2＋9.因为AB ―→＝12OC ―→，所以(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，于是y 2＝2y 1，即5a5m 2＋9＝20am 5m 2＋9(m >0)，所以m ＝35.所以直线AB 的斜率为1m ＝533.法二：由(1)可知，椭圆方程为5x 2＋9y 2＝5a 2， 则A (－a ，0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由AB ―→＝12OC ―→，得(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，所以x 1＝12x 2－a ，y 1＝12y 2.因为点B ，C 都在椭圆5x 2＋9y 2＝5a 2上，所以⎩⎨⎧5x 22＋9y 22＝5a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－a 2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222＝5a 2.解得x 2＝a 4，y 2＝5a43，所以直线AB 的斜率k ＝y 2x 2＝533.4.如图，半圆AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径OA 的长为10.管理部门在A ，B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y 与光强度I 成正比，与光源距离x 的平方成反比，即y ＝kIx2(k 为比例系数)．经测量，在弧AB 的中点C 处的照度为130.(C 处的照度为A ，B 两处光源的照度之和)(1)求比例系数k 的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB 上，照度最小处增设一个光源P ，试问新增光源P 安装在什么位置？解：(1)因为半径OA 的长为10，点C 是弧AB 的中点， 所以OC ⊥AB ，AC ＝BC ＝10 2. 所以C 处的照度为y ＝4k 22＋9k 22＝130，解得比例系数k ＝2 000.(2)设点P 在半圆弧AB 上，且P 距光源A 为x ， 则PA ⊥PB ，由AB ＝20，得PB ＝400－x 2(0＜x ＜20)． 所以点P 处的照度为y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2(0＜x ＜20)．所以y ′＝－16 000x3＋36 000x－x 22 ＝4 000×9x 4－－x22x 3－x22＝20 000×x 2－x 2＋x 3－x22.由y ′＝0，解得x ＝410. 当0＜x ＜410时，y ′＜0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x2为减函数； 当410＜x ＜20时，y ′＞0，y ＝8 000x 2＋18 000400－x 2为增函数．所以x ＝410时，y 取得极小值，也是最小值.所以新增光源P 安装在半圆弧AB 上且距A 为410(距B 为415)的位置． 5．已知函数f (x )＝(a －3)x －a －2ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a 的最小值；(2)已知不等式f (x )＋3x ≥0对任意x ∈(0,1]都成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)法一：因为f ′(x )＝a －3－2x(x >0),当a ≤3时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a ＞3时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2a －3，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a －3上单调递减，由f ′(x )＞0，得x ＞2a －3，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3，＋∞上单调递增.因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以a ＞3且2a －3≤1，所以a ≥5, 所以实数a 的最小值为5.法二：因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以f ′(x )＝a －3－2x≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥3＋2x在(1，＋∞)上恒成立，又当x ＞1时，3＋2x＜5,所以a ≥5，所以实数a 的最小值为5.(2)令g (x )＝f (x )＋3x ＝a (x －1)－2ln x ，x ∈(0,1]， 所以g ′(x )＝a －2x.①当a ≤2时，由于x ∈(0,1]，所以2x≥2，所以g ′(x )≤0，g (x )在(0,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝0，所以对任意x ∈(0,1]，g (x )≥g (1)＝0， 即对任意x ∈(0,1]不等式f (x )＋3x ≥0都成立，所以a ≤2;②当a ＞2时，由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减；由g ′(x )＞0，得x ＞2a，g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，1上单调递增．所以，存在2a∈(0,1)，使得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＜g (1)＝0，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记集合M ＝{n |n (n ＋1)≥λa n ，n ∈N *}，若M 中有3个元素，求λ的取值范围； (3)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由．解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得a 1＝1. 当n ≥2时，由S n ＝2a n －1，① 得S n －1＝2a n －1－1，② ①－②，得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)． 因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)由已知可得λ≤n n ＋2n －1，令f (n )＝n n ＋2n －1，则f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝3，f (4)＝52，f (5)＝158，下面研究f (n )＝n n ＋2n －1的单调性，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋n ＋2n－n n ＋2n －1＝n ＋－n2n，所以，当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )＜0，f (n ＋1)＜f (n )， 即f (n )单调递减. 因为M 中有3个元素， 所以不等式λ≤n n ＋2n －1解的个数为3，所以2＜λ≤52，即λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.(3)设存在等差数列{b n }使得条件成立，则当n ＝1时，有a 1b 1＝22－1－2＝1，所以b 1＝1. 当n ＝2时，有a 1b 2＋a 2b 1＝23－2－2＝4，所以b 2＝2. 所以等差数列{b n }的公差d ＝1，所以b n ＝n . 设S ＝a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1，S ＝1·n ＋2(n －1)＋22(n －2)＋…＋2n －2·2＋2n －1·1，③所以2S ＝2·n ＋22(n －1)＋23(n －2)＋…＋2n －1·2＋2n·1，④④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋－2n1－2＝2n＋1－n－2，所以存在等差数列{b n}，且b n＝n满足题意．。
(江苏专用)2021高考数学二轮复习 综合仿真练(六) 理
综合仿真练(六)(理独)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系． 解：(1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20， 即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离．C ．[选修4－5：不等式选讲](2020-2021·南师附中、天一中学四月联考)已知a ，b ，c 是正实数，且a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求证：a ＋b ＋c ≤11.证明：(a 2＋2b 2＋3c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝[a 2＋(2b )2＋(3c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332，由柯西不等式得[a 2＋(2b )2＋(3c )2]·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332≥(a ＋b ＋c )2，即11≥(a ＋b ＋c )2，因为a ，b ，c 是正实数，所以a ＋b ＋c ≤11，当且仅当a 1＝2b 22＝3c 33，即a ＝2b ＝3c ，即a ＝61111，b ＝31111，c ＝21111时等号成立．2.(2020-2021·南师附中等四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，过点P (m,0)(m ≠0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点Q ，设PA ―→＝λQA ―→，PB ―→＝μQB ―→(λ，μ∈R )．(1)当Q 为抛物线C 的焦点时，直线l 的方程为y ＝13x ＋1，求抛物线C 的标准方程；(2)求证：λ＋μ为定值．解：(1)当Q 为抛物线C 的焦点时，直线l 的方程为y ＝13x ＋1，令x ＝0，得y ＝1，即Q (0,1)，∴p2＝1，p ＝2， ∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y . (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由PA ―→＝λQA ―→，PB ―→＝μQB ―→(λ，μ∈R )，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－m ＝λx 1，x 2－m ＝μx 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x 1－mx 1，μ＝x 2－mx2，∴λ＋μ＝x 1－m x 1＋x 2－m x 2＝2x 1x 2－m x 1＋x 2x 1x 2， 易知直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB ：y ＝k (x －m )，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py p >0，y ＝k x －m ，得x 2－2pkx ＋2pkm ＝0，Δ>0，解得x ＝pk ±p 2k 2－2pkm ，x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝2pkm ，故λ＋μ＝2x 1x 2－mx 1＋x 2x 1x 2＝4pkm －2pkm2pkm＝1，故λ＋μ为定值1.3．(2020-2021.南师附中模拟)已知数列{a n }满足a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)对任意正整数n ，a n 小数点后第一位数字是多少？请说明理由． 解：(1)a 1＝12，a 2＝712，a 3＝3760(2)a 1，a 2小数点后第一位数字均为5，a 3小数点后第一位数字为6 下证：对任意正整数n (n ≥3)，均有0.6<a n <0.7，注意到a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋12n ＋2>0故对任意正整数n (n ≥3)，有a n ≥a 3>0.6下用数学归纳法证明：对任意正整数n (n ≥3)，有a n ≤0.7－14n①当n ＝3时，有a 3＝3760＝0.7－112＝0.7－14×3≤0.7－14×3，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥3)时，命题成立，即a k ≤0.7－14k则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12k ＋12k ＋2≤0.7－14k ＋12k ＋12k ＋2∵14k －12k ＋12k ＋2－14k ＋1＝14k k ＋1－14kk ＋1＋2k ＋2>0∴14k－12k ＋12k ＋2>14k ＋1∴a k＋1≤0.7－14k ＋12k＋12k＋2≤0.7－14k＋1∴n＝k＋1时，命题也成立；综合①②，任意正整数n(n≥3)，a n≤0.7－14n .由此，对正整数n(n≥3)，0.6<a n<0.7，此时a n小数点后第一位数字均为6.所以a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，n∈N*时，a n小数点后第一位数字均为6.。
2020年三维 (江苏版)高考二轮复习数学 专题六 应用题 综合仿真练(五) Word版含答案
综合仿真练(五)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∵集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{2,3}，A ∪(∁U B )＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4}2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R )，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________.解析：因为z 1z 2＝1＋i ，所以z 1＝(1＋i)z 2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，所以y ＝1.答案：13．某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人．解析：设高二女生人数为x 人，所以x2 000＝0.19，即x ＝380，所以高三人数为2 000－650－370－380＝600人．答案：6004．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是________．解析：根据算法流程图知，当n ＝30时，n ＞2，S ＝30，n ＝28；当n ＝28时，n ＞2，S ＝58，n ＝26；……；当n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋…＋2＝15(30＋2)2＝240，n ＝0.当n ＝0时，n ＜2，输出S ＝240.答案：2405．已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线x 2－y 23＝1的离心率，则sin ⎝⎛⎭⎫2 019π3－2α＝________.解析：因为双曲线的离心率e ＝2，所以tan α＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2 019π3－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45.答案：456．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f (x 2－2x )>0的解集为________．解析：根据偶函数的性质，可得－3<x 2－2x <3，从而可得－1<x <3，所以不等式的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)7．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 3a 9，即(20＋6d )2＝(20＋2d )(20＋8d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：1108．(2019·泰州中学模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，步骤如下：①先请高二级500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x ，y )(0<x <1,0<y <1)；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m ＝113，那么可以估计π的值约为________．解析：由题意，500对都小于1的正实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x ，y )，满足cos θ＝x 2＋y 2－12xy >0且⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，即x 2＋y 2>1，且⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，满足该条件的区域的面积为1－π4，因为统计两数能与1构成锐角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ＝113，所以113500≈1－π4，所以π≈387125.答案：3871259．函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：f (x )＝sin x ＋3cos x －a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－a ，函数在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a ＝ 3.令sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝32，所以x ＋π3＝2k π＋π3或x ＋π3＝2k π＋π－π3，所以x ＝2k π或x ＝2k π＋π3，所以x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，即x 1＋x 2＋x 3＝7π3.答案：7π310．(2019·常州期初)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l ：y ＝kx －2与圆O 无公共点，过l 上一点P 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，若P A ―→·PB ―→＝23，则k 的取值范围为________．解析：如图，连接OA ，OB ，OP ，易知∠APO ＝∠BPO ，PB ＝P A ，设∠APO ＝∠BPO ＝θ，则P A ―→·PB ―→＝|P A ―→|2cos 2θ＝(OP 2－1)(1－2sin 2θ)＝(OP 2－1)⎝⎛⎭⎫1－2×1OP 2＝OP 2－1－2＋2OP 2＝23，∴OP 2＋2OP 2－113＝0， ∴OP 2＝3或OP 2＝23.∵直线l 与圆O 无公共点，∴舍去OP 2＝23，则OP 2＝3，故P 点在圆x 2＋y 2＝3上，且在直线l ：y ＝kx －2上，∴直线l 与圆x 2＋y 2＝3有公共点．设圆x 2＋y 2＝3的圆心与直线l 的距离为d ′，则d ′＝2k 2＋1≤3，得k 2≥13.又直线l 与圆O 无公共点，∴2k 2＋1>1，得k 2<3.∴13≤k 2<3，∴k ∈⎝⎛⎦⎤－3，－33∪⎣⎡⎭⎫33，3. 答案：⎝⎛⎦⎤－3，－33∪⎣⎡⎭⎫33，3 11．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．解析：以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|＝λ(0≤λ≤1)，所以|BM ―→|＝λ，|CN ―→|＝2λ， 所以M ⎝⎛⎭⎫2＋λ2，32λ，N ⎝⎛⎭⎫52－2λ，32，所以AM ―→·AN ―→＝5－4λ＋54λ－λ2＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6，因为λ∈[0,1]，所以AM ―→·AN ―→∈[2,5]， 所以AM ―→·AN ―→的最大值为5. 答案：512．(2019·海安中学模拟)已知△ABC 的面积为3，∠BAC ＝120°，∠BAC 的平分线AE 交BC 于点E ，AF 为BC 边上的中线，D 是边BC 上一点且BD ―→＝2DC ―→，则当AD 的长度取最小值时，AE ―→·AF ―→＝________.解析：在△ABC 中，设∠BAC ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝12bc ×32＝3，∴bc ＝4.∵BD ―→＝2DC ―→，∴AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→，又AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos ∠BAC ＝bc cos 120°＝－12bc ，∴AD ―→2＝⎝⎛⎭⎫13 AB ―→＋23 AC ―→ 2＝19(AB ―→2＋4AC ―→2＋4AB ―→·AC ―→)＝19(c 2＋4b 2－2bc )≥19(2·c ·2b－2bc )＝89，当且仅当2b ＝c 时取等号，则由2b ＝c ，bc ＝4，得b ＝2，c ＝2 2. ∵AE 为∠BAC 的平分线，且BE sin ∠BAE ＝22sin ∠AEB ，2sin ∠AEC ＝ECsin ∠EAC，∴BE ＝2EC ，故点E 与点D 重合，则得AE ―→＝13AB ―→＋23AC ―→.又AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴AE ―→·AF ―→＝13(AB ―→＋2AC ―→)·12(AB ―→＋AC ―→)＝16(AB ―→2＋2AC ―→2＋3AB ―→·AC ―→)＝16×⎣⎡⎦⎤8＋2×2＋3×22×2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 答案：113．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由题意得当m ≥0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2≤0，且f (0)＝－1，所以此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上没有零点．所以m ≥0不符合题意．当m <0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2>0，且f (0)＝－1，所以，此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上至多有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧0<－m2≤1，2＋2m －1≥0，m ＋2>0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，0. 法二：由题意得x ＝0不是函数f (x )的零点．当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得m ＝12x －x ，此时函数y ＝12x －x 在(0,1]上单调递减，从而y ＝12x －x ≥－12，所以，当m ≥－12时，f (x )在(0,1]上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得m ＝－2x ，此时函数y ＝－2x 在(1，＋∞)上单调递增，从而y ＝－2x ∈(－2,0)，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，－2<m <0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，0. 答案：⎣⎡⎭⎫－12，0 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，则cos C 的最小值等于________．解析：利用正弦定理化简sin A ＋2sin B ＝2sin C ，得a ＋2b ＝2c ，两边平方得a 2＋2 2ab ＋2b 2＝4c 2，所以4a 2＋4b 2－4c 2＝3a 2＋2b 2－2 2ab ，即a 2＋b 2－c 2＝3a 2＋2b 2－22ab4，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ＝18⎝⎛⎭⎫3a b ＋2b a －22≥18(2 6－2 2)＝6－24，当且仅当3a b ＝2ba 时取等号，所以cos C 的最小值为6－24.答案：6－24。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(二)
6个解答题综合仿真练(二)1．已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 解：(1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α. 由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75. 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925. (2)因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14. 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237. 2.如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．求证：(1)AM ∥平面PBC ； (2)CD ⊥PA .证明：(1)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点，故AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，所以AM ∥BC .又BC ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM ∥平面PBC .(2)连结PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点， 所以CD ⊥PM ， 又AB ⊥BC ，所以平行四边形ABCM 是矩形，所以CD ⊥AM ， 又PM ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ， PM ∩MA ＝M ，所以CD ⊥平面PAM . 又PA ⊂平面PAM ，所以CD ⊥PA .3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . (1)求椭圆的标准方程；(2)过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．解：(1)由已知得c ＝1，又e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －2)－2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，又A (2，0)，所以k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2，由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－ 2 ]x 2＋[k (x 2－2)－ 2 ]x 1＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， 故k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间)，且∠MON ＝30°.(1)若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．解：(1)在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°. 在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277. 在△OMN 中，由MN sin 30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74.(2)法一：设AM ＝x,0＜x ＜3.在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9， 所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x 2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9.由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝3 3 x 2－3x ＋96－x. 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝12·x 2－3x ＋9·3 3 x 2－3x ＋96－x·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3.令6－x ＝t ，则x ＝6－t,3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334⎝⎛⎭⎫t －9＋27t ≥334·⎝⎛⎭⎫2t ·27t －9＝27(2－3) 4.当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4.所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)4km 2. 法二：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3，在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OAsin ∠OMA，得OM ＝332sin ()θ＋60°.在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OAsin ∠ONA，得ON ＝332sin ()θ＋90°＝332cos θ.所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝12·332sin ()θ＋60°·332cos θ·12 ＝2716sin ()θ＋60°cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin 2θ＋43cos 2θ＋43＝278sin ()2θ＋60°＋43，0＜θ＜π3.当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，S △OMN 的最小值为27(2－3)4. 所以应设计∠AOM ＝15°，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)4 km 2.5．已知数列{a i }共有m (m ≥3)项，该数列前i 项和为S i ，记r i ＝2S i －S m (i ≤m ，i ∈N *). (1)当m ＝10时，若数列{a i }的通项公式为a i ＝2i ＋1，求数列{r i }的通项公式； (2)若数列{r i }的通项公式为r i ＝2i (i ≤m ，i ∈N *)， ①求数列{a i }的通项公式；②数列{a i }中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由．解：(1)因为S i ＝3＋(2i ＋1)2·i ＝i 2＋2i, 所以由题意得r i ＝2S i －S 10＝2i 2＋4i －120(i ≤10，i ∈N *). (2)①因为r i ＝2S i －S m ＝2i ， r i ＋1＝2S i ＋1－S m ＝2i ＋1，两式相减得a i ＋1＝2i －1，所以数列{a i }从第2项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即a i ＝2i －2(2≤i ≤m ，i ∈N *)．又2a 1＝2＋S m ，即a 1＝2＋(a 2＋a 3＋…＋a m )＝2＋1－2m －11－2＝2m －1＋1.所以数列{a i }的通项公式为a i ＝{ 2m －1＋1，i ＝1，i －2，2≤i ≤m ，i ∈N *.②数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列，理由如下：因为数列{a i }从第2项开始是以2为公比的等比数列，所以若存在三项构成等差数列，不妨设为a p ，a q ，a r (2≤p <q <r ≤m ，p ，q ，r ∈N *)，则有2a q ＝a p ＋a r ，即2·2q －2＝2p －2＋2r－2,2q －p ＋1＝1＋2r －p .因为q －p ＋1∈N *，r －p ∈N *，所以上式左边为偶数，右边为奇数，此时无解． 所以数列{a i }从第2项至第m 项中不可能存在三项构成等差数列，所以若数列{a i }中存在三项构成等差数列，则只能是a 1和第2项至第m 项中的两项，不妨设为a p ，a q (2≤p <q ≤m ，p ∈N *，q ∈N *)．因为0<a p <a q ≤a m <a 1.所以a p ，a q ，a 1若构成等差数列，只能是a q 为等差中项， 故有2·2q －2＝2p －2＋(2m －1＋1)，因为左边＝2q －1≤2m －1，右边>2m －1，所以该情况下也无解．因此，数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列．6．设函数f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求b 的值；(2)当a ≤12时，求函数f (x )的单调区间；(3)若存在x ≥1使得f (x )<2aa －1成立，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax＋2(1－a )x －b ， 由题设知f ′(1)＝2a ＋2(1－a )－b ＝0，解得b ＝2. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－2x ，f ′(x )＝2(1－a )(x －1)⎝⎛⎭⎫x －a1－a x .由f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a1－a .因为a ≤12，所以1－a >0，a 1－a ≤1.①当a1－a≤0，即a ≤0时， x ∈(0,1]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减； x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ②当0<a 1－a<1，即0<a <12时，x ∈⎝⎛⎦⎤0，a1－a 时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；x ∈⎣⎡⎦⎤a1－a ，1时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减； x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③当a 1－a＝1，即a ＝12时，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0,1]，单调递增区间为[1，＋∞)； 当0<a <12时，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤a 1－a ，1，单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，a 1－a ，[1，＋∞)；当a ＝12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.(3)①若a ≤12，由(2)知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f (1)<2aa －1，即－a －1<2aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <2aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝2a ln a 1－a ＋a 21－a ＋2a a －1>2aa －1，所以不符合题意．③若a ＞1，因为存在x ＝1，即f (1)＝－a －1<2a a －1成立．所以a ＞1适合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。
江苏专版2018年高考数学二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(六)(含解析)
6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD为矩形，EA ⊥EB ，点M ，N 分别是AE ，CD 的中点．求证：(1)MN ∥平面EBC ； (2)EA ⊥平面EBC .证明：(1)取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点， 所以MF 綊12AB .又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以NC 綊12AB ，所以MF 綊NC ，所以四边形MNCF 是平行四边形，所以MN ∥CF . 又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ， 所以MN ∥平面EBC .(2)在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EAB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB .又EA ⊂平面EAB ，所以BC ⊥EA .又EA ⊥EB ，BC ∩EB ＝B ，EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，所以EA ⊥平面EBC . 2．△ABC 中，AB ―→·AC ―→＝27S △ABC (S △ABC 表示△ABC 的面积)．(1)若BC ＝2，求△ABC 外接圆的半径； (2)若B －C ＝π4，求sin B 的值．解：(1)因为AB ―→·AC ―→＝27S △ABC ，所以AB ·AC ·cos A ＝27·12AB ·AC ·sin A ，即cos A ＝17sin A ，又因为cos 2A ＋sin 2A ＝1，A ∈(0，π)， 解得sin A ＝7210，cos A ＝210. 设△ABC 外接圆的半径为R ， 则2R ＝BC sin A ＝27210＝1027，所以R ＝527，即△ABC 外接圆的半径为527. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝7210， cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ＝－210， 则cos 2B ＝cos[(B ＋C )＋(B －C )] ＝cos ⎣⎡⎦⎤(B ＋C )＋π4 ＝cos(B ＋C )cos π4－sin(B ＋C )sin π4＝－210×22－7210×22＝－45. 又cos 2B ＝1－2sin 2B ，所以sin 2B ＝1－cos 2B2＝1＋452＝910，又因为B ∈(0，π)， 所以sin B ＞0，所以sin B ＝31010. 3．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A ，E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B ，D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离H ＝6米，圆弧的弓高h ＝1米，圆弧所对的弦长BD ＝10米．(1)求BCD 所在圆的半径； (2)求桥底AE 的长.解：(1)设BCD 所在圆的半径为r (r >0)， 由题意得r 2＝52＋(r －1)2，∴r ＝13. 答：BCD 所在圆的半径为13米．(2)以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵H ＝6米，BD ＝10米，弓高h ＝1米，∴B (－5,5)，D (5,5)，C (0,6)，设BCD 所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ (6－b )2＝r 2，52＋(5－b )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，r ＝13.∴BCD 的方程为x 2＋(y ＋7)2＝169(5≤y ≤6)． 设曲线AB 所在抛物线的方程为y ＝a (x －m )2， ∵点B (－5,5)在曲线AB 上， ∴5＝a (5＋m )2，①又BCD 与曲线段AB 在接点B 处的切线相同，且BCD 在点B 处的切线的斜率为512，由y ＝a (x －m )2，得y ′＝2a (x －m )， ∴2a (－5－m )＝512， ∴2a (5＋m )＝－512，② 由①②得m ＝－29， ∴A (－29,0)，E (29,0).∴桥底AE ＝29－(－29)＝58米． 答：桥底AE 的长58米．4.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－2,0)，且点⎝⎛⎭⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△CF 1F 2为等腰三角形，求点B 的坐标； (3)若F 1C ⊥AB ，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，14＋94b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0， ∴点C 在x 轴下方，若F 1C ＝F 2C ，则C (0，－3)；若F 1F 2＝CF 2，则CF 2＝2，∴C (0，－3)；若F 1C ＝F 1F 2，则CF 1＝2，∴C (0，－3)， ∴C (0，－3)．∴直线BC 的方程y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 24＋y 23＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－3或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝335.∴B ⎝⎛⎭⎫85，335. (3)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k 2，∴x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，∴y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2. 若k ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫1，32， ∴C ⎝⎛⎭⎫1，－32， ∵F 1(－1,0)，∴kCF 1＝－34，∴F 1C 与AB 不垂直； ∴k ≠12，∵F 2(1,0)，kBF 2＝4k 1－4k2，kCF 1＝－1k ， ∴直线BF 2的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)， 直线CF 1的方程为y ＝－1k (x ＋1)，由⎩⎨⎧y ＝4k1－4k 2(x －1)，y ＝－1k (x ＋1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k .∴C (8k 2－1，－8k )．由点C 在椭圆上，得(8k 2－1)24＋(－8k )23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，即k 2＝124，∵k >0，∴k ＝612. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4－a n . (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求通项公式a n ； (2)是否存在自然数c 和k ，使得a k ＋1S k －c＞1成立？若存在，请求出c 和k 的值； 若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＋a 1＝4，得a 1＝2, 由S n ＝4－a n ，① 得S n ＋1＝4－a n ＋1，②②－①得，S n ＋1－S n ＝a n －a n ＋1，即a n ＋1＝12a n,所以a n ＋1a n ＝12，且a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，且a n ＝12n －2.(2)法一：因为a n ＝12n －2，所以a k ＋1＝12k －1，S k ＝4⎝⎛⎭⎫1－12k ， 要使a k ＋1S k －c ＝24(2k －1)－c ·2k >1成立，只要使(c －4)2k ＋6(c －4)2k ＋4<0(*)成立，当c ≥4时，不等式(*)不成立；(也可以根据S k ＝4⎝⎛⎭⎫1－12k >c ，且2≤S k ＜4，所以c 的可能取值为0,1,2,3) 当c ＝0时，1<2k <32，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝1时，43<2k <2，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝2时，2<2k <3，不存在自然数k 使(*)成立； 当c ＝3时，4<2k <6，不存在自然数k 使(*)成立． 综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c>1成立.法二：要使a k ＋1S k －c ＞1，只要S k ＋1－cS k －c>2，即只要c －⎝⎛⎭⎫32S k －2c －S k<0，因为S k ＝4⎝⎛⎭⎫1－12k <4， 所以S k －⎝⎛⎭⎫32S k －2＝2－12S k >0， 故只要32S k －2＜c ＜S k .①因为S k ＋1＞S k ， 所以32S k －2≥32S 1－2＝1.又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c ＝2时，因为S 1＝2，所以当k ＝1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 当k ≥2时，因为32S 2－2＝52>c ，由S k ＜S k ＋1，得32S k －2＜32S k ＋1－2，故当k ≥2时，32S k －2＞c ，从而①不成立.当c ＝3时，因为S 1＝2，S 2＝3，所以当k ＝1，k ＝2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 因为32S 3－2＝134>c ，又32S k －2＜32S k ＋1－2，所以当k ≥3时，32S k －2＞c ，从而①不成立.综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c>1成立． 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1，g (x )＝a 2x 2＋bx ＋1. (1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2，函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4. ①若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； ②若x 1＝x 3＜x 2，m ，n ，p ∈(－∞，x 1)，f ′(m )g (n )＝f ′(n )g (p )＝f ′(p )g (m )，求证：m ＝n ＝p . 解：(1)因为f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立， 所以ax 2≥a 2x 2对任意实数x 恒成立， 所以a 2－a ≤0，解得0≤a ≤1.又由题意可得a ≠0，所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)①因为函数g (x )的图象开口向上，且其零点为x 3，x 4， 故g (x )＜0，得x 3<x <x 4.因为x 1，x 2是f (x )的两个不同零点， 故f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为x 3＜x 1＜x 4，故g (x 1)＜0＝f (x 1)， 于是(a 2－a )x 21＜0.注意到x 1≠0，故a 2－a ＜0. 因为g (x 2)－f (x 2)＝(a 2－a )x 22＜0， 故g (x 2)＜f (x 2)＝0，从而x 3<x 2<x 4， 于是x 3＜x 2＜x 4.②证明：记x 1＝x 3＝t ，故f (t )＝at 2＋bt ＋1＝0，g (t )＝a 2t 2＋bt ＋1＝0，于是(a －a 2)t 2＝0. 因为a ≠0，且t ≠0，故a ＝1. 所以f (x )＝g (x )且函数图象开口向上.所以当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递减，f ′(x )单调递增且f ′(x )＜0，g (x )单调递减且g (x )＞0.若m ＞n ，则f ′(n )<f ′(m )＜0，于是1g (n )＞1g (p )＞0，从而g (p )＞g (n )＞0，故n ＞p .同上，当n ＞p 时，可推得p ＞m .所以p ＞m ＞n ＞p ，矛盾．所以m ＞n 不成立. 同理，n ＞m 亦不成立． 所以m ＝n .同理，n ＝p . 所以m ＝n ＝p .。
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6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EABL平面ABCD四边形ABC［为矩形，EAL EB点M N分别是AE CD的中点.求证：⑴MN/平面EBC(2) EAL平面EBC证明：⑴取BE中点F,连结CF, MF,又M是AE的中点，1所以MF綊q AB1又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊q AB,所以MF綊NC所以四边形MNC是平行四边形，所以MN/CF又MN平面EBC CF?平面EBC所以M/平面EBC⑵在矩形ABCD^ , BC L AB又平面EABL平面ABCD平面ABC D平面EAB= AB BC?平面ABCD所以BCL平面EAB又EA?平面EAB所以BC L EA又EAL EB B8 EB= B, EB?平面EBC BC?平面EBC 所以EAL平面EBC2 .△ ABC中 , AB • AC = 78^AB((S A ABC表示△ ABC的面积).(1)若BC= 2,求厶ABC外接圆的半径；n⑵若B- C=;,求sin B的值.4—> —> 2解：(1)因为AB • AC = ABC,2 1所以AB- AC- cos A= 7 • ^AB- AC- sin__ 2 2又因为cos A+ sin A= 1, A€ (0 , n ), A,1cos A= 7SS A,解得sin cos A=10设厶ABC外接圆的半径为R,小 r BC 2 10(2则 2R== ---- = —,sin A 7羽 7 '所以R= 572，即△ ABC 外卜接圆的半径为 竽.(2)因为 A + B + C =n,所以 sin( B + C ) = sin( n — A = sin A = ,cos( C = cos( n — A = — cos A = —〔'o ,则 cos 2 B = cos[( B + C + ( B — C )]n=cos B + C + Tn n =cos( B + C )cos — — sin( B+ C )sin —亚x^—哑应=—4 10 2 10 2 = 5'又 cos 2 B = 1 — 2sin 2B ,41 + —2 1 — COS 2 B5 9 所以 sin B= ------- --- ------ = —^ 又因为B € (0 ,n所以sin B >0,所以 sin B=彳讣。
.3•如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线 在路面A , E 的抛物线的一部分，曲线 BCD 是圆弧，已知它们在接点 B , D 处的切线相同，若 ⑵求桥底AE 的长.解：⑴ 设BCD 所在圆的半径为r (r >0),由题意得 r 2= 5 + (r — 1) I ： r = 13.答：BCD 所在圆的半径为13 米.⑵ 以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建10'AB 和曲线DE 分别是顶点 h = 1米，圆弧所对的弦长 BD= 10 米. (1)求BCD 所在圆的半径;桥的最咼点立如图所示的平面直角坐标系.T H= 6 米，BD)= 10 米，弓咼 h = 1 米，b =— 7,r = 13.BCD 的方程为 x 2 + (y + 7) 2= 169(5 < y < 6).设曲线AB 所在抛物线的方程为 y = a (x — m )2,•••点 耳—5,5)在曲线AB 上,2• 5= a (5 + m )，①5又BCD 与曲线段AB 在接点B 处的切线相同，且 BCD 在点B 处的切线的斜率为 乜 由 y = a (x — m )2，得 y '= 2a (x — m ),由①②得m= — 29,• A — 29,0),曰29,0).•桥底 AE= 29— ( — 29) = 58 米.答：桥底AE 的长58 米.2 2x y 4.如图，已知椭圆 E ：二+ 2= 1(a >b >0)的左顶点 A — 2,0)，且点 a b3 —1, 2在椭圆上，F,F 2分别是椭圆的左、右焦点.过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B,直线BF 2交椭圆E 于点C.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若厶CFF 2为等腰三角形，求点 B 的坐标;(3) 若RC 丄AB,求k 的值. 2 2 一 x y•椭圆E 的标准方程为；+了= 1. 4 3⑵•••△ CFF 2为等腰三角形，且 k >0,••• B( — 5,5) , D (5,5) , C (0,6) ，设BCD 所在圆的方程为 2 2 2“x + (y — b ) = r (r >0), 52+ 解：(1)由题意得a = 2,2 . 2 2 a = b + c ,1 9 ■ + 1 4 十 4b2 a = 2, 解得 b = ：'3, c = 1.•••点C在x轴下方,若Fig F2C 贝U C(0，- ,：3);若F1F2 = CF,贝U CF= 2,「. C(0,—护); 若FiC= FiH,贝U CF= 2,「. C0 ,—荊,••go, -⑶.•直线BC的方程y = ：3(x —1),y = ./3 x—12 2x y+ — = 14十3 ，5' 3,3 5(3)设直线AB的方程为y= k(x + 2),y = k x+ 22 2x y+ -= 14 3消去y,得(3 + 4k2) x2+ 16k2x+ 16k2—12= 0,• X A X B=—2X B=216k —122~ 3+ 4k ，• X B = —8k2+ 62~3+ 4k12k•y B= k(x B+ 2)= 3 + 4k2,2—8k + 6 12k•B 3 + 4 k2，3+ 4 k2.1 3若k = 2,贝V B1, ,3• C 1,- ,3 T F1( —1,0) , • kCF=- 4,• F1C与AB不垂直;••• F2(1,0) , kBR =4k1 —4k2,kCF = —•直线BE的方程为y=匸冷(x —1),x= 0,x=5,5.数列｛a n ｝的前n 项和为S,且满足 S= 4— a n .(1)求证：数列｛a n ｝为等比数列，并求通项公式 a n ；⑵ 是否存在自然数 c 和k ,使得S —C > 1成立？若存在，请求出 c 和k 的值;在，请说明理由.解：(1)证明：当 n = 1 时，S+ a 1= 4，得 a 1= 2, 由 S n = 4 — a n ，①得 S+1 = 4 一 & +1,②所以空=1且a 1= 2, a n 21 1所以数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列，且 a n = 2"21(2)法一：因为 a n = 2^-2,当c >4时，不等式(*)不成立；(也可以根据 S= 4 1 —1 >c ,且2< S V 4,所以c 的可能取值为0,1,2,3)当c =0时，1<2k <3，不存在自然数k 使(*)成立;4 k当c = 1时，3<2 <2,不存在自然数 k 使(*)成立；当c = 2时，2<2k <3,不存在自然数 k 使(*)成立；k1 1所以 a k +1= 2^, S k = 4 1 — 2 ,1直线CF 的方程为y = — k ( x + 1),4ky = 口k 2 x - 1， 由 1 y =-k x +1，2••• C(8k -1，— 8k). 8 由点C 在椭圆上，得一x = 8k —1,解得If 1,1即(2 4k —1)(8 k + 9) = 0,即卩 k = 24,若不存 ②一①得, S n + 1 — S n = a n — a n + 1 , 要使 a k +1 S — c 2k -12- C 成立，只要使 2k + 6<0(*)成立,即 a n + 1 =当C = 3时，4<2<6,不存在自然数k使(*)成立.a k+1 综上所述，不存在自然数c, k，使SW>1成立•a k+1S+1—c法一：要使 > 1，只要>2,S k—c S k—cc - js - 2即只要 - <0,c—S k1因为S<= 4 1 —2^ <4,3 1所以S— 2$— 2 = 2 —尹>0,3故只要2$— 2 v c v S.①因为S k+ 1 > S k,3 3所以^S k —2》g S —2= 1.又Sv 4,故要使①成立，c只能取2或3.当c = 2时，因为S1= 2,所以当k = 1时，c v S不成立，从而①不成立.3 5当k>2 时，因为2$—2= 2>c,3 3由S k v S k+1,得qS — 2 v qS+1—2,3故当k>2时，2>C,从而①不成立.当c = 3 时，因为S= 2, S>= 3,所以当k = 1, k= 2时，c v S<不成立，从而①不成立.3 13 3 3因为2$ — 2 = 7>c,又2$—2v2$+1 —2,3所以当k>3时，—2> C,从而①不成立.a k+1综上所述，不存在自然数c, k，使一>1成立.S<—c_ 2 2 26.已知二次函数f(x) = ax + bx+ 1, g(x) = ax + bx+ 1.(1)若f(x) > g(x)对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；⑵若函数f(x)有两个不同零点X i, X2，函数g(x)有两个不同零点X3, X4.①若X3< X i V X4,试比较X2, X3, X4的大小关系；②若X i = X3<X2, m n, p€ ( —a, X i), ，求证: m= n =P.解：(1)因为f (X) > g( X)对任意实数X恒成立，所以ax2> a2x2对任意实数x恒成立，2所以a —a w 0,解得0w a w 1.又由题意可得a^0,所以实数a的取值范围为(0,1].(2)①因为函数g(x)的图象开口向上，且其零点为X3, X4,故g(x) < 0，得X3<x<X4.因为X i, X2是f(X)的两个不同零点，故f (x i) = f (X2) = 0.因为X3<x i< X4,故g( x i) < 0 = f (x i),于是(a2—a)x i< 0.注意到X i工0,故a —a< 0.I i 2 2因为g(X2)—f (X2) = (a —a)x2<0,故g(X2) < f (X2) = 0,从而X3<X2<X4,于是X3< X2< X4.②证明：记x i = X3 = t ,故f (t) = at2+ bt + i = 0, g( t) = a2t2+ bt + i = 0,于是(a—a2) t2=0.因为a^0,且t丰0,故a= i.所以f(x) = g(x)且函数图象开口向上.所以当x€ ( —a, x i)时，f (x)单调递减，f'(x)单调递增且f '(x) <0, g(x)单调递减且g(x) > 0.i i若m> n,贝H f '( n)<f '( m < 0,于是------- > ---------- >0,从而g(p) >g( n) > 0，故ng n g p> P.同上，当n>p时，可推得p>m所以p> m> n>p,矛盾.所以m>n不成立.同理，n>m亦不成立.所以n= n.同理，n= p.所以m= n= p.。