固体中原子及分子的运动.
1.两端成分不受扩散影响的扩散偶（diffusion couple）－焊接过程
解微分方程 → 引入中间变量和误差函数 → 求通解
A1
0
exp
2
d
A2
→ 边界条件 t＝0
x>0 则＝ 1 x<0 则＝ 2
和初始条件 t＝0
x＝ 则＝ 1 x＝－ 则＝ 2
→ 求特解
x,t 1 2 1 2 erf x
2
2
2 Dt
x,t
2x Dt
1=0
2.一端成分不受扩散影响的扩散体－表面热处理过程 初始条件 t=0, x0, =0 边界条件 t>0, x=0, =s x=, =0 求解方法同上，特解为
x,
t
s
1
erf
2
x Dt
x A Dt x2 BDt
工业生产中经常采用渗碳（Carburizing）的方法来提高钢铁零件的表面 硬度，所谓渗碳就是使碳原子由零件表面向内部扩散，以提高钢的含碳量。 含碳量越高，钢的硬度越高。 例题:p133 思考：若想将渗碳厚度增加一倍，需增加多少渗碳时间？
应用：测定碳在-Fe中的扩散系数
2r2
l>>r l
1000C [C]
2r1
平视方向
2r2
2r1
俯视方向
稳态时: 单位时间内通过半径为r(r2<r<r1) 的圆柱管壁的碳量为常数: q/t
径向通量：
J= q D d
2 rlt
dr
由菲克第一定律得：
q
2 rlt
D d
d ln r
常数
结论： 1. 当lnr与呈直线关系时，D与碳浓度无关 2. 当lnr与为曲线关系时，D是碳浓度的函数
菲克第一定律 当固体中存在着成分差异时，原子将从浓度高处向浓度低处扩散。如何描
述原子的迁移速率，阿道夫·菲克（Adolf Fick）对此进行了研究，并在 1855年就得出：扩散中原子的通量与质量浓度梯度成正比，即
J D d
dx
该方程称为菲克第一定律或扩散第一定律。式中，J为扩散通量，表示单 位时间内通过垂直于扩散方向x的单位面积的扩散物质质量，其单位为 kg/(m2·s)；D为扩散系数，其单位为m2/s；而r是扩散物质的质量浓度，其 单位为kg/m3。式中的负号表示物质的扩散方向与质量浓度梯度。
固体中原子及分子的运动
1.表象理论 2.扩散的热力学分析 3.扩散的原子理论 4.扩散激活能 5.无规则行走与扩散距离
6. 影响扩散的因素 7. 反应扩散 8. 离子晶体中的扩散 9. 高分子的分子运动
概要
物质的迁移可通过对流和扩散两种方式进行。在气体和液体中物质的迁移 一般是通过对流和扩散来实现的。但在固体中不发生对流，扩散是唯一的物质迁 移方式，其原子或分子由于热运动不断地从一个位置迁移到另一个位置。扩散是 固体材料中的一个重要现象，诸如金属铸件的凝固及均匀化退火，冷变形金属的 回复和再结晶，陶瓷或粉末冶金的烧结，材料的固态相变，高温蠕变，以及各种 表面处理等等，都与扩散密切相关。要深入地了解和控制这些过程，就必须先掌 握有关扩散的基本规律。研究扩散一般有两种方法：
2 2 2
D( )
t
x2 y 2 z 2
菲克定律描述了固体中存在浓度梯度时发生的扩散，称为化学扩散；当 扩散不依赖于浓度梯度，仅由热振动而引起时，则称为自扩散。
定义：自扩散系数
J
Ds
lim
0 x
x
+
x1
x2
推A
J1
J2
导
过
程
质
dx
：
量
菲
浓
克
度
第
一
定
律
质
通
量
量
守
恒
J1 J2
非稳态扩散d/dt0 扩散通量为J1的物质 经过体积元后的变化
扩散(diffusion): 在一个相内因分子或原子的热激活运动导致成分混合 或均匀化的分子动力学过程。
水
加入染料
部分混合
时间
完全混合
碳的扩散方向 Fe-C合金
高碳含量区域
低碳含量区域
概要
物质的传输方式
气体： 扩散+对流
金属
固体： 扩散
离 子 键
陶瓷
液体： 扩散+对流
高分子
扩散机制不同
表象理论
x 0, =0 边界条件 t>0, x=, =0
高斯特解为
x,t
2
M
Dt
exp
x2 4Dt
4.枝晶成份偏析的均匀化
(1) 对于同一扩散系统、扩散系数D与扩散时间t的乘积为一常数。 例 题 1 ： 已 知 Cu 在 Al 中 扩 散 系 数 D ， 在 500℃ 和 600℃ 分 别 为 4.8×10-14m²s-1 和
5.3×10-13m²s-1，假如一个工件在600℃需要处理10h，若在500℃处理时，要达到同 样的效果，需要多少小时？（需110.4小时）
-lnr 实测的lnr与关系
(1>2)
dx
1
2
J
稳态扩散 (d 0)
dt
J D d
dx
J: 扩散通量(mass flux), kg/(m2•s) D: 扩散系数(diffusivity), m2/s : 质量浓度，kg/m3
d
dx:
浓度梯度
若D与浓度无关，则：
2
D
t
x 2
对三维各向同性的情况：
(2) 对于钢铁材料进行渗碳处理时，x与t的关系是t x²。 例题2：假设对－Wc=0.25%的钢件进行渗碳处理，要求渗层0.5㎜处的碳浓度为
0.8%，渗碳气体浓度为Wc=1.2%，在950℃进行渗碳，需要7小时，如果将层深厚 度提高到1.0㎜，需要多长时间？（需要28小时）
3.衰减薄膜源－表面沉积过程 初始条件 t=0, x＝0, =
浓度和距离的瞬时变化
通量和距离的瞬时关系
x
扩散方程的解－应用
第一定律—求解一阶微分方程
第 二 定 律 — 设 置 中 间 变 量 求 通 解 ( 高 斯 解 Gauss solution 、 误 差 函 数 解 error function solution、正玄解 sinusoidal solution) ，解微分方程初始条件，边界条 件求方程式。
①表象理论一根据所测量的参数描述物质传输的速率和数量等； ②原子理论一扩散过程中原子是如何迁移的。
概要
本章主要讨论固体材料中扩散的一般规律、扩散的影响因素和扩散机制等内 容
固体材料涉及金属、陶瓷和高分子化合物三类； 金属中的原子结合是以金属键方式； 陶瓷中的原子结合主要是以离子键结合方式为主； 而高分子化合物中的原子结合方式是共价键或氢键结合，并形成长链结构， 这就导致了三种类型固体中原子或分子扩散的方式不同，描述它们各自运动方式 的特征也是本章的主要目的之一。
固体中原子及分子的运动课件
• 固体中原子及分子的运动形式 • 原子及分子的热运动 • 固体中原子及分子的扩散现象 • 原子及分子的光吸收与发射 • 原子及分子的电子能级跃迁
01
原子与分子构
原子的基本结构
01
02
03
原子核
原子中心有一个带正电荷 的原子核，由质子和中子 组成。
电子
围绕原子核运动的带负电 荷的电子，数量与质子数 相等。
只不过
1
on,asiest
2
叨,
3
固体中原子及分子的运动形式
rest,发散
剩下的 st st零阿当然 the
固体中原子及分子的运动形式
叨
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固体中原子及分子的运动形式
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固体中原子及分子的运动形式
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固体中原子及分子的运动形式
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谱带组成。
分子的光吸收与发射
分子的振动与转动
分子具有特定的振动和转动模式，这些模式的能量变化会导致分 子对特定频率的光的吸收和发射。
4.2第四章 固体中原子及分子的运动
4.2 扩散的微观理论
4.2.1 随机行走与扩散
因为 所以
(H U V P)
代入D=d2P
可得：
令 则
扩散系数与温度之间的关系
式中Do称为扩散常数，只与扩散机制和材料有关； ΔU是间隙扩散时溶质原子跳跃所需额外的热力学 内能，该迁移能等于间隙原子的扩散激活能Q。
空位扩散机制
扩散机制：在置换固溶体中，由于晶格中存在空位，空位周围 的原子(包括溶剂和溶质原子)由热运动可能进入空位，即原子 利用空位最后达到迁移，当存在化学位梯度时，溶质原子就会 发生定向的扩散迁移，这是置换原子扩散的主要方式。 扩散进行有两个要求条件，一是有空位存在，二是空位周围的 原子从原来的平衡位置进入空位也要一定的激活能。
晶体缺陷对扩散起着快速通道的作用称为短 路扩散。在实际生产中这几种扩散同时进行， 并且在温度较低时，所起的作用更大。
4.3 扩散机制
1、交换机制
直接交换机制：相邻的两个原子互换 了位置。
然而由于这种正常位置上的原子对调 位置需要克服的能垒很高，引起附近 点阵原子的强烈畸变，因而无论在理 论上或是实验上，它都是失败的。
后来把这种扩散偶中由于扩散系数不同而引起对接面移动 的现象称为柯肯达尔效应。
发生柯肯达尔效应原因：溶质和溶剂原子扩散速率不同。
标记漂移产生的示意图
达肯方程
标志物
在柯肯达尔效应中，假定标记面的 移动速度计为vm，相对观察者，原 子的扩散可进行如下的分析。
10《材料科学基础》-第四章固体中原子及分子的运动01表象理论
若D与浓度无关，则： ∂ρ ∂ρ =D ∂t ∂x
2 2
对三维各向同性的情况：
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = D( + + ) ∂z ∂t ∂x ∂y
2 2 2 2 2 2
菲克定律描述了固体中存在浓度 梯度时发生的扩散，称为化学扩散 当扩散不依赖于浓度梯度，仅由 热振动而引起时，则称为自扩散
定义：自扩散系数 Ds= ∂ρ →0
4.2 扩散的热力学分析
4.2.1 扩散驱动力
菲克第一定律描述了物质从高浓度向低浓度扩散的现象， 菲克第一定律描述了物质从高浓度向低浓度扩散的现象， 扩 散的结果导致浓度梯度的减小，使成份趋于均匀。 散的结果导致浓度梯度的减小，使成份趋于均匀。
有些扩散是由低浓度处向高浓度处进行的， 有些扩散是由低浓度处向高浓度处进行的， 如固溶体中某些 偏聚，这种扩散被称为“上坡扩散” 偏聚，这种扩散被称为“上坡扩散”。
扩散是固体中原子迁移的唯一方式 物质的传输方式
气体： 扩散+对流
固体： 扩散
离 子 键
液体： + 扩散+对流
金属
陶瓷
高分子
扩散机制不同
本章内容
• 扩散的表象理论 • 扩散的原子机制 • 影响扩散的因素 • 陶瓷材料中扩散的主要特征 • 高分子材料中分子运动的规律
4. 1 表象理论
扩散(diffusion): 在一个相内因分子或原子的热激活运动导 致成分混合或均匀化的分子动力学过程
3．空位机制 ． 晶体中存在着空位，空位的存在使原子迁移更容易。 晶体中存在着空位，空位的存在使原子迁移更容易。通过 空位，原子从晶格中一个位置迁移到另一个位置实现交换。 空位，原子从晶格中一个位置迁移到另一个位置实现交换。
固体中原子及分子的运动
同理 式中
即互扩散系数的表达式
组元1和组元2的扩散系数D1和D2 x1(=ρ1/ρ)和x2(=ρ2/ρ)分别表示组元1和2 的摩尔 分数，且x1+x2=1
4.1.5 扩散系数D与浓度相关时的求解
对于无限长的扩散偶分析，经过变量代换法的数 学处理可得
ρ-x曲线上ρ= ρ1处斜率的倒数 扩散系数的浓度依存
Байду номын сангаас
令
所以
置换型扩散和自扩散的扩散系数
扩散激活能 置换扩散或自扩散所需能量比 间隙扩散的大，多空位形成能
阿累尼乌斯(Arrhenius)方程
4.4 扩散激活能——如何从实验角度测得激活能
取对数 即求斜率 -Q/R
4.5 无规则行走与扩散距离 原子跳跃具有随机性——无规行走——醉步模型
求模
得到跳跃距离
在固溶体中的置换扩散或纯金属中的自扩散，原子 的迁移主要是通过空位扩散机制。
置换扩散和自扩散能=迁移能+相邻空位形成能 ----------------------------------------------------------------------
空位周围原子所占的分数应为
具有跳跃条件的原子分数
2)按扩散方向分： 由高浓度向低浓度区的扩散叫顺扩散，又称下坡扩散 由低浓度向高浓度区的扩散叫逆扩散，又称上坡扩散
3)按扩散路径分： 在晶粒内部进行的扩散称为体扩散 在表面进行的扩散称为表面扩散 沿晶界进行的扩散称为晶界扩散 表面和晶界扩散比体扩散快得多，也称为短路扩散
在气体和液体中，除扩散外，物质的传递还可以通过 对流等方式进行 在固体中，扩散往往是物质传递的唯一方式。
三七黄铜与纯铜都是fcc晶体，晶格常数分别为0.368 nm 和0.361 nm Mo丝向黄铜一侧移动，且在Cu-Zn系的互扩散中“Zn原 子比Cu原子扩散得更快”
《材料科学基础》第四章习题
《材料科学基础》第四章 固体中原子即分子的运动1.名词:扩散 自扩散 互扩散 扩散系数 互扩散系数 扩散激活能 扩散通量 上坡扩散 间隙扩散 空位扩散 原子迁移 界面扩散 表面扩散 柯肯达尔效应 反应扩散 稳态扩散2. 设有一条内径为30mm 的厚壁管道，被厚度为的铁膜隔开，通过管子的一端向管内输入氮气，以保持膜片一侧氮气浓度为1200mol/m 3，而另一侧的氮气浓度为100 mol/m 3，如在700℃下测得通过管道的氮气流量为×10-8mol/s ，求此时氮气在铁中的扩散系数。
解：通过管道中铁膜的氮气通量为)/(104.4)03.0(4108.22424s m mol J ⋅⨯=⨯⨯=--π膜片两侧氮浓度梯度为：m mol x c /101.10001.010012007-⨯=-=∆∆- 据Fick ’s First Law ： s m xc J D x c D J /104/211-⨯=∆∆-=⇒∂∂-=3. 有一硅单晶片，厚，其一端面上每107个硅原子包含两个镓原子，另一个端面经处理后含镓的浓度增高。
试求在该面上每107个硅原子须包含几个镓原子，才能使浓度梯度成为2×1026 atoms/m 3，硅的点阵常数为。
4. 950℃下对纯铁进行渗碳，并希望在的深度得到w 1(C)=%的碳含量。
假设表面碳含量保持在w 2(C)=%，扩散系数 为D ɤ−Fe=10-10m 2/s ，计算为达到此要求至少要渗碳多少时间。
5. 在一个富碳的环境中对钢进行渗碳，可以硬化钢的表面。
已知在1000℃下进行这种渗碳热处理，距离钢的表面1-2mm 处，碳含量从x ＝ 5％减到x ＝4％。
估计在近表面区域进入钢的碳原子的流人量J （atoms/m 2s ）。
(γ-Fe 在1000℃的密度为cm3，碳在γ-Fe中的扩散系数D o＝×10-5 m2/s，激活能Q＝142kJ/mol)。
第四章 固体中原子及分子的运动
晶体中的原子以不同方式扩散，所需的扩散激活能不同
Q ln D ln D0 RT
上节内容回顾
1、置换型固溶体的扩散、柯肯达尔效应 2、扩散的热力学：扩散的驱动力是化学势梯度
3、扩散机制：交换机制、间隙机制、空位机制
4、扩散系数：阿累尼乌斯方程 5、扩散激活能：间隙固溶体与置换固溶体的区别
4.5 无规则行走与扩散距离
位最后达到迁移，当存在浓度梯度（化
学位梯度）时，溶质原子就会发生定向的 扩散迁移，这是置换原子扩散的主要方式。
4、晶界扩散及表面扩散
晶体内扩散（体扩散） DL 多晶材料 晶界扩散 样品自由表面扩散 由图可知
物质在双晶体中的扩散
DB DS
短 路 扩 散
固态金属扩散的条件
1、温度要足够高；
2、时间要足够长； 3、扩散原子要固溶；
二、菲克第二定律
扩散物质沿x方向通过横截面积为A(=ΔyΔz)、长度为Δx的微元体，假
设流入微元体（x处）和流出微元体（x+Δx处）的扩散通量分别为 J x
和 J x x ，则在Δt时间内微元体中累积的扩散物质量为 m ( J x A J xx A)t
C J t x
式中k是待定常数 边界条件：t=0 ρ =0
假定扩散物质的质量为M，棒的横截面积为单位面积，则
应用：测定纯金属的自扩散系数
上节内容回顾
1、扩散、扩散的本质（原子的无序跃迁）、扩散的分类 2、菲克第一定律：扩散中原子的通量与质量浓度梯度成正比 3、菲克第二定律 4、扩散方程的解----重点：一端成分不受扩散影响的扩散体
2）环形交换 3个原子同时交换
4个原子同时交换
受集体运动约束 交换机制的扩散原子等量交换
固体中原子及分子的运动
© meg/aol ‘02
7.1.4 柯肯达尔效应
柯肯达尔实验描述 •黄铜与铜构成扩散偶; •钼丝仅为参照物,不扩散; •黄铜熔点低于铜; •扩散组元为铜和锌; •铜和锌构成置换式固溶体; •扩散在785º C进行。 柯肯达尔实验结果
© meg/aol ‘02
实验结果的分析讨论
•假设铜、锌的扩散系数相等，相对钼丝进行等原子的交 换，由于锌的原子尺寸大于铜，扩散后外围的铜点阵常 数增大，而内部的黄铜点阵常数缩小，使钼丝向内移； •如果点阵常数的变化是钼丝移动的唯一原因，那么移动 的距离只应该有观察值的十分之一左右； •实验结果只能说明，扩散过程中锌的扩散流要比铜的扩 散流大得多，这个大小的差别是钼丝内移的主要原因； •而且还发现标志面移动的距离与时间的平方根成正比； •在Cu-Sn， Cu-Ni， Cu-Au， Ag-Au， Ag-Zn， Ni-Co， Ni-Cu，Ni-Au等置换式固溶体中都会发生这种现象； •标志物总是向着含低熔点组元较多的一方移动。相对而 言，低熔点组元扩散快，高熔点组元扩散慢。正是这种 不等量的原子交换造成了克根达耳效应。
所以有:
- U -Q D = D0 exp( ) = D0 exp( ) kT kT
式中D0为扩散常数；U是间隙扩散时溶质原子 跳跃所需额外的热力学内能，等于间隙原子的扩 散激活能Q。 上述式的扩散系数遵循阿累尼乌斯（Arrhenius） 方程：。
Q D = D0 exp( ) RT
© meg/aol ‘02
扩散过程的分类
•按浓度：互扩散，自扩散 •按方向：顺扩散，逆扩散 •按路径：体扩散，表面扩散，晶界扩散
© meg/aol ‘02
怎样研究扩散
•表象理论:
•原子理论:
材料科学基础复习题及答案
单项选择题：（每一道题1分）第1章原子结构与键合1.高分子材料中的C-H化学键属于。
（A）氢键（B）离子键（C）共价键2.属于物理键的是。
（A）共价键（B）范德华力（C）氢键3.化学键中通过共用电子对形成的是。
（A）共价键（B）离子键（C）金属键第2章固体结构4.面心立方晶体的致密度为 C 。
（A）100% （B）68% （C）74%5.体心立方晶体的致密度为 B 。
（A）100% （B）68% （C）74%6.密排六方晶体的致密度为 C 。
（A）100% （B）68% （C）74%7.以下不具有多晶型性的金属是。
（A）铜（B）锰（C）铁8.面心立方晶体的孪晶面是。
（A）{112} （B）{110} （C）{111}9.fcc、bcc、hcp三种单晶材料中，形变时各向异性行为最显著的是。
（A）fcc （B）bcc （C）hcp10.在纯铜基体中添加微细氧化铝颗粒不属于一下哪种强化方式？（A）复合强化（B）弥散强化（C）固溶强化11.与过渡金属最容易形成间隙化合物的元素是。
（A）氮（B）碳（C）硼12.以下属于正常价化合物的是。
（A）Mg2Pb （B）Cu5Sn （C）Fe3C第3章晶体缺陷13.刃型位错的滑移方向与位错线之间的几何关系？（A）垂直（B）平行（C）交叉14.能进行攀移的位错必然是。
（A）刃型位错（B）螺型位错（C）混合位错15.在晶体中形成空位的同时又产生间隙原子，这样的缺陷称为。
（A）肖特基缺陷（B）弗仑克尔缺陷（C）线缺陷16.原子迁移到间隙中形成空位-间隙对的点缺陷称为（A）肖脱基缺陷（B）Frank缺陷（C）堆垛层错17.以下材料中既存在晶界、又存在相界的是（A）孪晶铜（B）中碳钢（C）亚共晶铝硅合金18.大角度晶界具有____________个自由度。
（A）3 （B）4 （C）5第4章固体中原子及分子的运动19.菲克第一定律描述了稳态扩散的特征，即浓度不随变化。
（A）距离（B）时间（C）温度20.在置换型固溶体中，原子扩散的方式一般为。
固体中原子及分子的运动.
扩散的热力学分析
引起上坡扩散还可能有以下一些情况：
1.
弹性应力的作用。晶体中存在弹性应力梯度时，它促使较大半径的原子跑向 点阵伸长部分，较小半径原子跑向受压部分，造成固溶体中溶质原子的不均 匀分布。 晶界的内吸附。晶界能量比晶内高，原子规则排列较晶内差，如果溶质原子 位于晶界上可降低体系总能量，它们会优先向晶界扩散，富集于晶界上，此 时溶质在晶界上的浓度就高于在晶内的浓度。 大的电场或温度场也促使晶体中原子按一定方向扩散，造成扩散原子的不均 匀性。
扩散方程的解－应用
第一定律—求解一阶微分方程
第 二 定 律 — 设 置 中 间 变 量 求 通 解 ( 高 斯 解 Gauss solution 、 误 差 函 数 解 error function solution、正玄解 sinusoidal solution) ，解微分方程初始条件，边界条 件求方程式。
2．间隙机制（interstitial mechanism）
在间隙扩散机制中，原子从一个晶格中间隙位置迁移到另一个间隙位置。 置换型溶质原子间隙机制扩散有如下方式： a.推填机制（interstitialcy mechanism）(也叫篡位式) b. 挤列机制（crowdion configuration） c. 跃迁机制（jump migration） 3．空位机制 晶体中存在着空位。这些空位的存在使原子迁移更容易，故大多数情况下， 原子扩散是借助空位机制。空位机制产生Kirkendall效应。
1.两端成分不受扩散影响的扩散偶（diffusion couple）－焊接过程
解微分方程 → 引入中间变量和误差函数 → 求通解
A1 exp 2 d A2
0
x>0 则＝ 1
第四章固体中原子及分子的运动4.1表象理论4.1.1菲克第一定律当...
第四章 固体中原子及分子的运动4.1表象理论4.1.1菲克第一定律当固体中存在着成分差异时，原子将从浓度高处向浓度低处扩散。
如何描述原子的迁移速率，阿道夫·菲克（Adolf Fick ）对此进行了研究，并在1855年就得出：扩散中原子的通量与质量浓度梯度成正比，即dxd D J ρ-= 该方程称为菲克第一定律或扩散第一定律。
式中，J 为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x 的单位面积的扩散物质质量，其单位为kg/(m 2s)；D 为扩散系数，其单位为m 2/s ；而ρ是扩散物质的质量浓度，其单位为kg/m 3。
式中的负号表示物质的扩散方向与质量浓度梯度方向相反。
对扩散第一定律的理解：⑴扩散第一方程是被大量实验所证实的公理，是扩散理论的基础。
⑵浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描述原子扩散能力的基本物理量。
⑶在浓度均匀的系统中，尽管原子的微观运动仍在进行，但是不会产生宏观的扩散现象。
⑷扩散第一定律只适合于描述稳态扩散，即在扩散过程中系统各处的浓度不随时间变化。
⑸扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原子的扩散。
4.1.2菲克第二定律稳态扩散的情况很少见，有些扩散虽然不是稳态扩散，只要原子浓度随时间的变化很缓慢，就可以按稳态扩散处理。
但是，实际中的绝大部分扩散属于非稳态扩散，这时系统中的浓度不仅与扩散距离有关，也与扩散时间有关。
对于这种非稳态扩散可以通过扩散第一定律和物质平衡原理两个方面加以解决。
图4-1 原子通过微元体的情况)(x xD t ∂∂∂∂-=∂∂ρρ 扩散系数一般是浓度的函数，当它随浓度变化不大或者浓度很低时，可以视为常数，可简化为22x ∂∂-=∂∂ρρt 该方程称为菲克第二定律或扩散第二定律。
图原子通过微元体的情况4.1.3扩散方程的解1.两端成分不受扩散影响的扩散偶(无限长扩散偶的扩散)将两根质量浓度分别是ρ1和ρ2,横截面积和浓度均匀的金属棒沿着长度方向焊接在一起，形成无限长扩散偶，然后将扩散偶加热到一定温度保温，考察浓度沿长度方向随时间的变化。