高斯小学奥数五年级上册含答案_公约数与公倍数进阶

第十五讲公约数与公倍数进阶
这一讲我们来继续学习有关约数与倍数更深入的知识．首先来看一下最大公约数、最小公倍数与原数之间的关系．
两个数，如果它们的最大公约数是k ．那么可以假设这两个数分别为、，其中a 、b 互质．
而它们的最小公倍数可以表示为．
通过观察，我们发现．由此可得： 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积
注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明．
性质虽然好用，但它要求给出最大公约数，最小公倍数和两数中的一个才行．如果只给出最大公约数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？
例题1．（1）两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216．这两个数是多少？
（2）若两个数的最大公约数是18，最小公倍数是1080．这两个数有哪几组？
「分析」最大公约数是18，说明两个数都是18的倍数，可以分别设为18a ⨯和18b ⨯，且a 、b 互质．接下来，我们讨论一下a 、b 的取值．
（1）两个互质的自然数的最小公倍数是432．求这两个数．
（2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900．求这两个数．
经过前面的例题，我们知道，如果知道两个数的最大公约数，就可以把这两个数表示出来．比如说两数的最大公约数是12，那么这两个数都是12的倍数，可以设为12a 和12b ，而且a 和b 互质．那么这两个数的最小公倍数、和、差以及乘积就都可以用a 和b 表示出来了．
例题2．两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数． 「分析」可以设两个数分别是13a ⨯和13b ⨯，且a 、b 互质．
()()()k a k b k k a b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ k a b ⨯⨯ k b ⨯a 和b 互质 k a
⨯k b ⨯ k a ⨯
两个自然数的乘积是288，它们的最大公约数是6，求这两个数．
例题3．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？
「分析」两个数的最大公约数是6，我们可以假设这两个数是6a
⨯，它们的最小公
⨯，6b
倍数是6a b
⨯⨯等于420．那a，b可以取哪些值呢？相差18又怎么保障⨯⨯，那么可知6a b
呢？
两个数的最大公约数是10，最小公倍数是300，如果这两个数相差70，那么较小的数是多少？
约数与倍数的问题，最重要的就是分析清楚数的构成，最常用的方法就是分解质因数，由此同学们可以看出分解质因数在数论问题中是多么的重要．
例题4．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126．请问：甲数是多少？
「分析」这道题只告诉了三个数中每两个数的最小公倍数，能否通过分解质因数，然后比较它们质因数的构成来求解呢？
三个正整数a、b、c，已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是525，28和300．那么a的值是多少？
例题5．有4个不同的自然数，它们的和是1111．它们的最大公约数最大是多少？
「分析」这4个数的最大公约数和1111有什么关系呢？根据前面的题目可知，几个数的和，一定是这几个数的最大公约数的倍数．那么最大公约数可能是多少？
之前在学习约数的时候，我们学习过如果知道约数个数怎么去反求原数．有些题目里面，利用约数个数反求原数和利用公约数公倍数反求原数都会用到．
例题6．甲、乙是两个不同的自然数．它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数．它们的最大公约数是12．请问：甲、乙两数之和是多少？
「分析」甲、乙只含有质因数2和3，且它们都是12的倍数，所以都是23a b ⨯的形式．并且它们都有12个约数，由约数个数公式可得()()1112a b +⨯+=．所以要把12拆成两个大于1的数相乘，这只能是26⨯或34⨯．我们可以把这样的数都写出来，从中选取符合题目要求的数．
亲和数
你能看出220和284之间有什么关系吗？
大数学家毕达哥拉斯的回答是：220的约数除本身外为1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和为284；而284的约数除本身外为1，2，4，71，142，它们的和为220。

这两个数，一个数的所有约数之和等于另一个数，我们称之为亲和数。

这对特殊的数还带着神秘的色彩。

很多人相信，刻着这两个数字的护身符能让佩带它的人们永葆完美的友情。

假如其中一个人受到了伤害，即使只是被针扎了一下，远在地球另一边的伙伴也能感觉。

在魔法、巫术、占星和算命等活动中，这对数扮演着重要的角色。

奇怪的是，以后再没发现新的亲和数。

直到1636年，伟大的法国数论专家费马才宣布17296与18416结成另一对亲和数。

两年后，法国数学家、哲学家笛卡儿发现了第三对。

1747年，瑞士数学家欧拉系统研究了亲和数，推出了30对，然后又扩充到60多对。

今天，我们已经知道900多对亲和数，这些数对都有相同的奇偶性。

如果它们是奇数对，就都是3的倍数；如果是偶数对，它们的数字总和都是9的倍数。

作业1.甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？
作业2.已知两个不成倍数关系的自然数的积为240，最小公倍数为60，那么这两个数分别是多少？
作业3.两个数不成倍数关系，它们的最大公约数是8，和是80．那么这两个数分别是多少？作业4.有3个不同的自然数，它们的和是105，它们的最大公约数最大是多少？
作业5.甲、乙两数的最小公倍数是60，乙、丙两数的最小公倍数是70，甲、丙两数的最小公倍数是84，那么甲数是多少？
第十五讲 公约数与公倍数进阶
例题1. 答案：（1）54和72；（2）18和1080，72和270，54和360，90和216
详解：（1）设两个自然数分别是18a 和18b ，那么a 和b 互质．这两个自然数的最小公倍数是18ab ，那么有18216ab =，12ab =．考虑到这两个数不成倍数关系，a 和b 应该是3和4，两个自然数分别是54和72．（2）设这两个自然数分别是18a 和18b ，然后按照第（1）中的方法来做即可．
例题2. 答案：39和52
详解：设这两个自然数分别是13a 和13b ，那么有13132028a b ⨯=．可解出a 和b 应该是3和4，两个自然数分别是39和52．
例题3. 答案：42
详解：设这两个自然数分别是6a 和6b ，那么有6420ab =，6618a b -=（不妨设a 比b 大）．可解出10a =，7b =，较小的数是42．
例题4. 答案：18
详解：290235=⨯⨯，105=357⨯⨯，
2126=237⨯⨯．首先可知这三个数的质因数只有2、3、5、7．而且甲中没有7，没有5；乙中没有2，没有7，3最多有1个；丙中没有2，没有5，3最多有1个．因为甲、乙的最小公倍数是90，而乙中没有2，最多有1个3，可以判断出甲中有1个2，2个3，甲是18．
例题5. 答案：101
详解：这四个数的和一定是它们最大公约数的倍数．那么它们的最大公约数一定是1111的约数，可能是1、11、101和1001．又因为这四个数两两不同，它们的和至少是最大公约数的123410+++=倍．最大公约数最大是101．
例题6. 答案：204
详解：最大公约数是12，则两数中质因数2和3的最低次方分别为2和1，又因为两数有12的约数，利用约数个数反求法可得两数分解质因数形式为2323108⨯=，52396⨯=．
练习1. 答案：（1）16和27；（2）180和225
详解：（1）可知两数乘积是432，只能是16和27；（2）设两个自然数分别是45a 和45b ，然后列方程即可．
练习2. 答案：6和48
详解：设这两个数分别是6a 和6b ，然后列方程即可．
练习3. 答案：30
详解：设两个数分别是10a 和10b ，然后列方程即可．
练习4. 答案：7
详解：参考例题4．
作业1. 答案：32
简答：乙数为42883632⨯÷=．
作业2. 答案：12和20
简答：最大公约数是240604÷=．然后设两个数为4a 和4b 求解即可．
作业3. 答案：24和56
简答：设两个数分别为8a 和8b ，则有8880a b +=，10a b +=．又因为这两个数不成倍数关系，只能是24和56．
作业4. 答案：15
简答：要使3个数都不一样，那么它们的和至少是最大公约数的1236++=倍，而105715=⨯，最大公约数最大只能是15．
作业5. 答案：12
简答：甲、乙两数的最小公倍数是2235⨯⨯，乙、丙两数的最小公倍数是257⨯⨯，甲、丙两数的最小公倍数是2237⨯⨯．对比三个条件，可知甲数为22312⨯=．。