【数学】数学旋转的专项培优练习题及答案
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
人教数学旋转的专项培优练习题(含答案)含详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S≤30334+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD=22AD AC-=4，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（34）30334-当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，303344-≤S≤303344+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH3；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH 3．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH 3．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.3．（10分）已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 中点，连结DF 、CF.（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF；（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF.同理得：∠CFE=2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.∴DF=CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．∵AD=DE，∴AD=GB.∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形.∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．（3）如图，延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°.∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB.∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4.∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3.在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=，∴DF=，∴CF=.∴线段CF的长为.考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理．4．如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起．（1）操作：固定△ABC，将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定△ABC，若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE 的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR，如图3．探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长．【答案】（1）BE=CD．理由见解析；（2）△CHQ是等腰三角形；（3）2-x．【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出∠ACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CHQ=30°，从而得到∠ACF=∠CHQ，判断出△CHQ是等腰三角形；（3）求出∠CGP=90°，然后利用∠ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CG-CH整理即可得解．试题解析：（1）BE=CD．理由如下：∵△ABC与△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD；（2）∵旋转角为30°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=60°-30°=30°，∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°，∴∠ACF=∠CHQ，∴△CHQ是等腰三角形；（3）∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°，∴CG=CP•cos30°=（x+4），∵△CHQ是等腰三角形，∴CH=2•CQcos30°=2x•=x，∴GH=CG-CH=（x+4）-x=2-x．考点：几何变换综合题．5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．6．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10的概率；（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】（1）13；（2）不公平．【解析】试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．试题解析：（1）共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种，所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为13．（2）不公平，因为小颖获胜的概率为；小亮获胜的概率为512．小亮获胜的可能性大，所以不公平．可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．7．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．8．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为. (3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.9．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+36226EHEB m+==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，10．在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图 1；（2）①连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点 P，Q，C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系为：．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②BP=AB．【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【详解】（1）解：补全图形如图 1：（2）①证明：连接 BD，如图 2，∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠2．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在 Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2，∴DP2+DQ2=2AB2．②解：结论：BP=AB．理由：如图 3 中，连接 AC，延长 CD 到 N，使得 DN=CD，连接 AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴。
初二数学培优专题 (2)——旋转求最值问题(含费马点问题)(答案详解)
②若①中菱形
的边长为 ，请直接写出当 PA PB PC 值最小时
的长。
5
初二培数学优专题（2）
【变式】如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对 角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连 接 EN、AM、CM.
（Ⅰ） 求证：△AMB≌△ENB； （Ⅱ） ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由； （Ⅲ） 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 3 1时，求正方形的边长.
初二培数学优专题（2）
旋转法求最值问题
（一）旋转法求最值问题的基本思路
要点：旋转，利用两点之间线段最短（三角形中，两边之和大 于第三边，两边之差小于第三边），共线时取最值
【例 1】阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC(其中∠BAC 是一个可以变化 的角)中，AB＝2，AC＝4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边△PBC，求 AP 的最大值.
∴tan∠ABC=
3 3
，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60°，
∴△A′O′B 如图所示；
8
初二培数学优专题（2）
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°， ∴AB=2AC=2， ∵△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60°，得到△A′O′B， ∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°， ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°， ∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在 Rt△A′BC 中，A′C= 7 ， ∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= 7 ． 故答案为：
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题05 旋转之线段问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题05 旋转之线段问题【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是_______；(2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________． 【解答】（1）如图，△AP 1 B 为所作；连接PP 1， △AP 1 P 为等边三角形理由如下：∵△APC 绕点A 顺时针旋转60°后得△AP 1 B ， ∴AP 1=AP ，∠PAP 1 = 60°， ∴△AP 1P 为等边三角形； （2）∵△AP 1P 为等边三角形；∴PP 1=AP =3，又根据旋转的性质得BP 1=PC =5，PP 12 + PB 2=32+42=25，BP 12=CP 2=52=25，∴PP 12 + PB 2=BP 12∴△BP 1P 为直角三角形，∠BPP 1 = 90°；（3）∵△APP 1为等边三角形，∴∠APP 1 = 60°，而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB = 90°+ 60°= 150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，P 是锐角ABC 内一动点，把APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP C ''，连接PP '，这样就可得出PA PB PC BP PP P C '''++=++，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（30B ∠=︒，90C ∠=︒），其中顶点A 、B 、C 为公园的出入口，20km AB =，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P ，使该凉亭到三个出入口的距离PA PB PC ++最小，求这个最小的距离．2．（1）如图1，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF BE FD =+，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒，那么线段EF 、DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB △绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积； 【类比应用】(3)如图③，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．4．问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．(1)延长FD 到点G 使DG ＝BE ，连接AG ，得到至△ADG ，从而可以证明EF ＝BE ＋FD ，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由． 5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD 的边长为8，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于点G ，求△EFC 的周长．6．在等边BCD △中，DF BC ⊥于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以点B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE ．(1)如图1，点A 在线段DF 上，连接CE ，求证：CE DA =；(2)如图2，点A 在线段FD 的延长线上，请在图中画出BE 并连接CE ，当45DEC ∠=︒时，连接AC ，求出BAC ∠的度数；(3)在点A 的运动过程中，若6BD =，求EF 的最小值7．（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA 、OB 、OC ，且OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ． 求：①旋转角的度数 ； ②线段OD 的长 ； ③求∠BDC 的度数．（2）如图2所示，O 是等腰直角△ABC （∠ABC ＝90°）内一点，连接OA 、OB 、OC ，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．当OA 、OB 、OC 满足什么条件时，∠ODC ＝90°？请给出证明．8．如图所示，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是边AD 、AB 、BC 的中点，连接EF ，FG ．（1）如图1，直接写出EF与FG的关系______；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．△；①求证：HFE≌PFG②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．10．[方法探索]如图1，在等边ABC 中，点P 在ABC 内，且2PA =，4PC =，150APC ∠=︒，求PB 的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，分别证明AP P '△和BP P '△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB 的长．解：把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到AP B '△，连接PP '． 接着写下去： 11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P 在等边ABC 外，且3PA PB ==，120APB ∠=︒，若33AB =PBC ∠度数． ②如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC =P 是ABC 外一点，连接PA 、PB 、PC ．已知45APB ∠=︒，2PB =．求PC 的长．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta ）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以AB ，AC 为边作Rt △ABE 和Rt △ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，则有下列结论：①图1中S △ABC ＝S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ；③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE ，若F 为BD 的中点，连接AF ，求证：2AF ＝CE ．13．数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是___________； (2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________．答案与解析【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是_______；(2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________． 【解答】（1）如图，△AP 1 B 为所作；连接PP 1， △AP 1 P 为等边三角形理由如下：∵△APC 绕点A 顺时针旋转60°后得△AP 1 B ， ∴AP 1=AP ，∠PAP 1 = 60°， ∴△AP 1P 为等边三角形；（2）∵△AP 1P 为等边三角形；∴PP 1=AP =3，又根据旋转的性质得BP 1=PC =5，PP 12 + PB 2=32+42=25，BP 12=CP 2=52=25，∴PP 12 + PB 2=BP 12∴△BP 1P 为直角三角形，∠BPP 1 = 90°；（3）∵△APP 1为等边三角形，∴∠APP 1 = 60°，而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB = 90°+ 60°= 150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，P 是锐角ABC 内一动点，把APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP C ''，连接PP '，这样就可得出PA PB PC BP PP P C '''++=++，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（30B ∠=︒，90C ∠=︒），其中顶点A 、B 、C 为公园的出入口，20km AB =，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P ，使该凉亭到三个出入口的距离PA PB PC ++最小，求这个最小的距离．【答案】（1）见解析；（2）107km【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论；（2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．【解答】（1）如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，∴△APP'是等边三角形，∴PP'=PA，∵PC=P'C，∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；（2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，∴AC=10，BC=103，如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，∴△BPP′是等边三角形，∴PP'=PB，∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，∴∠ABC'=90°，由勾股定理得：222220(103)107,AC AB C B ''=+=+= ∴PA +PB +PC =PA +PP '+P 'C '=AC '=107，则点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为107km ．【点评】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题．2．（1）如图1，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF BE FD =+，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒，那么线段EF 、DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）DF EF BE =+，理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；（2）把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，结合（1）中证明方法进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵AB AD =，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合， ∵90ADC B ∠=∠=︒，∴180FDG ∠=︒，即点F 、D 、G 共线， ∴DAG BAE ∠∠=，AE AG =，+904545FAG FAD GAD FAD EAE EAF =+==︒-︒=︒=∠∠∠∠∠∠，即EAF FAG ∠=∠．∵AF AF =，AE AG =∴AFG AFE ≌∴EF FG =．∴EF DF DG DF BE =+=+，即EF BE DF =+（2）DF EF BE =+．理由：如图2所示．∵AB AD =，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，∵90ADC ABE ∠=∠=︒∴点C 、D 、G 在一条直线上．∴EB DG =，AE AG =，EAB GAD ∠=∠．∵90BAG GAD ∠+∠=︒∴90EAG BAD ∠=∠=︒．∵45EAF ∠=︒∴904545FAG EAG EAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴EAF GAF ∠=∠．∴EAF GAF △≌△∴EF FG =∵FD FG DG =+∴DF EF BE =+．【点评】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB △绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积；【类比应用】(3)如图③，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长． 【答案】(1)等边三角形(2)934(3)4【分析】（1）由旋转的性质得出BD ＝DB ′，∠BDB ′＝60°，所以△BDB ′是等边三角形；（2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形BDB ′的面积即可；（3）将△BDM 绕点D 顺时针方向旋转120°，得到△DCP ，则△BDM ≌△CDP ，得出MD ＝PD ，∠MBD ＝∠DCP ，∠MDB ＝∠PDC ，证明△NMD ≌△NPD ，证得△AMN 的周长＝AB +AC ＝4．【解答】（1）解：∵将△DCB 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，∴BD ＝B ′D ，∠BDB ′＝60°，∴△BDB ′是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）解：由（1）知，△BCD ≌△B ′AD ，∴四边形ABCD 的面积＝等边三角形BDB ′的面积，∵BC ＝AB ′＝1，∴BB ′＝AB +AB ′＝2+1＝3，∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝133933224⨯⨯=；（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，∴∠DCN+∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．故△AMN的周长为4．【点评】本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．4．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD 到点G 使DG ＝BE ，连接AG ，得到至△ADG ，从而可以证明EF ＝BE ＋FD ，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)2BAD EAF ∠∠=，理由见解析【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△ADG ≌△ABE ，根据全等三角形的性质得到AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，∠ADG ＝∠ABE ＝90°，证明∠AFE ≌△AFG ，根据全等三角形的性质证明；（2）延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，证明△EAF ≌△EAM ，根据全等三角形的性质证明；(1)延长FD 到点G 使DG =BE ，连接AG ．如图（1），在正方形ABCD 中，AB =AD ，90,BAD ADC B ∠=∠=∠=︒在ABE ∆和ADG ∆中，AB AD ABE ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ∴∆≌ADG ∆(SAS ),BAE GAD AE AG ∴∠=∠=45GAD DAF BAE DAF ∴∠+∠=∠+∠=︒45EAF GAF ∴=∠=∠︒在AEF ∆和AGF ∆中，GA EA GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ∆≌AGF ∆EF GF GD DF BE DF ∴==+=+(2)2BAD EAF ∠∠=理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，180,180ABC D ABC ABM ∠+∠=︒∠+∠=︒D ABM ∠∠∴=在ABM ∆和ADF ∆中，AB AD ABM D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABM ∴∆≌ADF ∆,AF AM DAF BAM ∴=∠=∠2BAD EAF ∠∠=DAF BAE BAM BAE EAF ∴∠+∠=∠+∠=∠EAF EAM ∴∠=∠在EAF ∆和ΔEAM 中，AF AM EAF EAM AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EAF ∆≌ΔEAMEF EM BE BM BE DF ∴==+=+EF BE DF ∴=+【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见解析【分析】对于（1），先将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得△ADF≌△ABH，再根据全等三角形的性质得AF=AH，∠EAF=∠EAH，然后根据“SAS”证明△FAE≌△HAE，根据全等三角形的对应边相等得出答案；对于（2），先根据（1），得△FAE≌△HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明Rt△AEG≌Rt△ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．（1）EF=BE+DF．理由如下：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∴∠EAF=∠EAH=45°．∵AE=AE，∴△FAE≌△HAE，∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF；（2）由（1），得△FAE ≌△HAE ，AG ，AB 分别是△FAE 和△HAE 的高，∴AG=AB=AD=8．在Rt △AEG 和Rt △ABE 中，AE AE AG AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEG ≌Rt △ABE （HL ），∴EG=BE ，同理GF=DF ，∴△EFG 的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【点评】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等．6．在等边BCD △中，DF BC ⊥于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以点B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE ．(1)如图1，点A 在线段DF 上，连接CE ，求证：CE DA =；(2)如图2，点A 在线段FD 的延长线上，请在图中画出BE 并连接CE ，当45DEC ∠=︒时，连接AC ，求出BAC ∠的度数；(3)在点A 的运动过程中，若6BD =，求EF 的最小值 在DBA 与△BD BC DBA BA BE =∠=∠=DBA ≌△解：如图3，由（1）可知，DBA CBE ≌△△，∴DA CE =，BDA BCE ∠=∠，又∵BCD △是等边三角形，∴60BDC BCD ∠=∠=︒，DB DC =，∵DB DC =，∴△BCD 是等腰三角形，∵DF BC ⊥，∴1302BDF BDC ∠=∠=︒， ∴180150BDA BDF ∠=︒-∠=︒，∴150BCE ∠=︒，360150CDA BDA BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒，∵45DEC ∠=︒，∴45EDC ∠=︒，∴DEC EDC ∠=∠，∴CE CD =，∴DB DC DA ==，∴180152BDA BAD ︒-∠∠==︒，180152CDA CAD ︒-∠∠==︒， ∴30BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒．（3）解：∵由图1可知，当点A 在线段DF 上时，30BCE BDA ∠=∠=︒；由图3可知，当点A 在线段FD 的延长线上时，150BCE BDA ∠=∠=︒；由图4可知，当点A 在线段DF 的延长线上时，30BCE BDA ∠=∠=︒；∴综上所述，当点A 在直线DF 上运动时，直线CE 与直线BC 的夹角始终为30°，即点E 的运动轨迹为一条直线，过点F 作FE EC '⊥于点E '，则当点E 运动到点E '时，此时EF 的长度最短，∵6BD CD BC ===，DF BC ⊥，∴132CF BC ==，又∵FE EC '⊥，30BCE ∠=︒，∴1322FE CF '==， ∴EF 的最小值为32． 【点评】此考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和、等腰三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解决问题的关键．7．（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA 、OB 、OC ，且OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．求：①旋转角的度数 ；②线段OD 的长 ；③求∠BDC 的度数．（2）如图2所示，O 是等腰直角△ABC （∠ABC ＝90°）内一点，连接OA 、OB 、OC ，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．当OA 、OB 、OC 满足什么条件时，∠ODC ＝90°？请给出证明．【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝2OB，然后根据勾股定理的逆定理，当222＋＝时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．CD OD OC【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝2OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．8．如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EF，FG．（1）如图1，直接写出EF与FG的关系______；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．①求证：HFE≌PFG△；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；∴HFE≌△②解：22EF∵HFE≌△EH PG=AE AF==∴22EF AF BG==，∴22BG EF=，∵BG GP BP+=，∴22EF EH BP+=【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明△HFE≌△PFG是解题的关键．9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．【答案】（1）CD=BE．理由见解析；（2）△AMN是等边三角形．理由见解析．【分析】（1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE；（2）△AMN 是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE ≌△ACD ”的对应角相等、已知条件“M 、N 分别是BE 、CD 的中点”、等边△ABC 的性质证得△ABM ≌△ACN ；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM =AN 、∠NAM =∠NAC +∠CAM =∠MAB +∠CAM =∠BAC =60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．【解答】（1）CD =BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠EAD =60°，∵∠BAE =∠BAC ﹣∠EAC =60°﹣∠EAC ，∠DAC =∠DAE ﹣∠EAC =60°﹣∠EAC ，∴∠BAE =∠DAC ，在△ABE 和△ACD 中，=AB AC BAE DAC AE AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴CD =BE ；（2）△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ACD ．∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =CN ，∵AB =AC ，∠ABE =∠ACD ，在△ABM 和△ACN 中，=BM CN ABE ACD AB AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ACN （SAS ）．∴AM =AN ，∠MAB =∠NAC ．∴∠NAM =∠NAC +∠CAM =∠MAB +∠CAM =∠BAC =60°．∴△AMN 是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．[方法探索]如图1，在等边ABC 中，点P 在ABC 内，且2PA =，4PC =，150APC ∠=︒，求PB 的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，分别证明AP P '△和BP P '△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB 的长．解：把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到AP B '△，连接PP '．接着写下去：11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P 在等边ABC 外，且3PA PB ==，120APB ∠=︒，若33AB =PBC ∠度数． ②如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC =P 是ABC 外一点，连接PA 、PB 、PC ．已知45APB ∠=︒，2PB =．求PC 的长． 【答案】10．PB =25 11．PBC ∠=90°；PC =210【分析】（1）把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，易证明AP P '△是等边三角形，BP P '△是直角三角形，根据勾股定理即可求出BP ．（2）①把APB △绕着点A 逆时针旋转60︒得到'AP C ，连接'PP ，易证明AP P '△是等边三角形，BP P '△是等边，△BPC 是直角三角形，则可得到PBC ∠=90°．②将△APC 绕点A 逆时针旋转90°得到△'ABP ，连接'PP ，过B 点做BM 垂直于AP 于M 点，易证明△PBM 是等腰直角三角形，△'P PB 是直角三角形，用勾股定理即可求出PC ．10．AP B '△由△APC 旋转60°得到∴AP ='AP =2，PC ='BP =4，∠'PAP =60°∴△'PAP 为等边三角形∴ AP ='AP ='PP =2，'AP P ∠=60°150APC ∠=︒∴'BP P ∠=90°在Rt △'BP P 中，由勾股定理可得：BP =22''BP PP +=2224+=2511．把APB △绕着点B 顺时针旋转60︒得到'BP C ，连接'PP'BP C 由△APB 逆时针旋转60°得到∴AP ='P C =3，PB ='BP =3，∠'PBP =60°，'120APB BP C ∠=∠=︒∴△'PBP 为等边三角形,∴'PP =PB =3'BP C ∠=120°，∠'BP P =60°∴∠'CP P =180°，即'C P P 、、三点共线．∴PC ='CP +'PP =6在△PBC 中，PC =6，PB =3，BC =33223223(33)36PB BC PC +=+==∴△PBC 是直角三角形，故PBC ∠=90°．将△APC 绕点A 顺时针旋转90°得到△'ABP ，连接'PP ，过B 点做BM 垂直于AP 于M 点45APB ∠=︒，BM ⊥AP ，PB =2∴PM =BM =2AB =10在Rt △AMB 中，AM =2210222AB BM -=-=∴AP =PM +AM =32△'ABP 由△APC 旋转90°所得∴ AP ='AP =32，∠'PAP =90°，∠'PP A =45°在Rt △'PAP 中，'PP =22'6AP AP +=∠'PP A =45°，45APB ∠=︒∴'P PB =90°在Rt △'P PB 中，22''210P B P P PB =+=∴PC ='P B =210【点评】本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta ）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以AB ，AC 为边作Rt △ABE 和Rt △ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，则有下列结论： ①图1中S △ABC ＝S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ；③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE ，若F 为BD 的中点，连接AF ，求证：2AF ＝CE ．【答案】（1）①证明见解答；②证明见解答；③证明见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）①取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，先证△GEF ≌△ADF （AAS ），得出S △EAD =S △GEA ，再证△GEA ≌△CAB （SAS ）即可；②取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，先证△GEF ≌△ADF （AAS ），得出∠BAC =∠GEA ，再证△GEA ≌△CAB （SAS ），得出∠EAG =∠ABC ，AC =AG ，由AM 是边BC 上的中线，得出BM =CM =AF ，三证△EAF ≌△ABM （SAS ）即可；③过E 作EP ⊥MN 交MN 延长线于O ，过D 作DO ⊥MN 于O ，先证∠ABM =∠EAP ，∠MCA =∠OAD ，证明△EAP ≌△ABM （AAS ），再证△CAM ≌△ADO （AAS ），三证△EPN ≌△DON （AAS ）即可．（2）延长AF ，使FQ =AF ，连接DQ ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD ，由点F 为BD 中点，可得DF =BF ，先证△DQF ≌△BAF （SAS ），DQ =BA =AC ，∠FDQ =∠FBA ，可证DQ ∥BA ，根据△ACE 绕点A 逆时针旋转90°得△ARD ，可得AR =AC =AB =QD ，RD =CE ，证明R 、A 、B 三点共线，再证△DQA ≌△ARD （SAS ），即可．【解答】（1）①图1中S △ABC ＝S △ADE ；证明：取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，∵点F 为DE 中点，∴EF =DF ，∵EG ∥AD ，∴∠GEF =∠ADF ，∠GEA +∠EAD =180°，在△GEF 和△ADF 中，GFE AFD GEF ADF EF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEF ≌△ADF （AAS ），∴GE =AD ，∠G =∠DAF ，∴S △GEF =S △ADF ，∴S △EAD =S △GEA ，∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC +∠EAD =360°-∠BAE -∠CAD =180°∴∠BAC +∠EAD =∠GEA +∠EAD =180°∴∠BAC =∠GEA ，∴GE =AD =AC ，在△GEA 和△CAB 中，GE CA GEA CAB EA AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEA ≌△CAB （SAS ），∴S △ABC ＝S △GEA=S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ； 证明：取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ， ∵点F 为DE 中点，∴EF =DF ，∵EG ∥AD ，∴∠GEF =∠ADF ，∠GEA +∠EAD =180°，在△GEF 和△ADF 中，GFE AFD GEF ADF EF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEF ≌△ADF （AAS ），∴GE =AD ，GF =AF =12AG ∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC +∠EAD =360°-∠BAE -∠CAD =180°∴∠BAC +∠EAD =∠GEA +∠EAD =180°∴∠BAC =∠GEA ，∴GE =AD =AC ，在△GEA 和△CAB 中，GE CA GEA CAB EA AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠EAG =∠ABC ，AC =AG ，∵AM 是边BC 上的中线，∴BM =CM =1122BC AG AF ==， 在△EAF 和△ABM 中，EA AB EAF ABM AF BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△ABM （SAS ），∴EF =AM ，∵点F 为DE 中点，∴DE =2EF =2AM ，③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．证明：过E 作EP ⊥MN 交MN 延长线于O ，过D 作DO ⊥MN 于O ，∵∠BAE =90°，∠DAC =90°，∴∠BAM +∠EAP =90°，∠MAC +∠DAO =90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM +∠BAM =90°，∠MCA +∠MAC =90°∴∠ABM =∠EAP ，∠MCA =∠OAD ，∵EP ⊥MN ，∴∠EPA =90°在△EAP 和△ABM 中，90EPA AMB EAP ABMEA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EP =AM ，∵DO ⊥MN ，∴∠AOD =90°，在△CAM 和△ADO 中，CMA AOD MCA OAD AC DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAM ≌△ADO （AAS ）∴AM =DO ，∴EP =DO =AM ，在△EPN 和△DON 中，90EPN DON ENP DNOEP DO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPN ≌△DON （AAS ），∴EN =DN ，∴MA 的延长线平分ED 于点N ．（2）延长AF ，使FQ =AF ，连接DQ ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD∵点F 为BD 中点，∴DF =BF ，在△DQF 和△BAF 中，QF AF DFQ BFA DF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DQF ≌△BAF （SAS ），∴DQ =BA =AC ，∠FDQ =∠FBA ，∴DQ ∥BA ，∵△ACE 绕点A 逆时针旋转90°得△ARD∴△ACE ≌△ARD ，∠RAC =90°，∴AR =AC =AB =QD ，RD =CE ，∵∠CAB =90°，∴∠RAB =∠RAC +∠CAB =90°+90°=180°，∴R 、A 、B 三点共线，∵DQ ∥BA ，∴∠QDA =∠RAD ，在△DQA 和△ARD 中，DQ AR QDA RAD DA AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DQA ≌△ARD （SAS ），∴AQ =DR ，∴2AF =AG =DR =CE ，∴2AF =CE ．【点评】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键．。
人教【数学】数学旋转的专项培优练习题(含答案)含答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a ． 【解析】【分析】 ()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论； ()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC 2=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】 ()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，BED ACB 90∠∠∴==，由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴≌()BDE AASBC DE a ∴==，BCD 1SBC DE 2=⋅， 2BCD 1S a 2∴=； ()2BCD 的面积为21a 2， 理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，BED ACB 90∠∠∴==，线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，AB BD ∴=，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴≌()BDE AAS ，BC DE a ∴==，BCD 1SBC DE 2=⋅， 2BCD 1S a 2∴=； ()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22==， FAB ABF 90∠∠∴+=，ABD 90∠=，ABF DBE 90∠∠∴+=，FAB EBD ∠∠∴=，线段BD 是由线段AB 旋转得到的，AB BD ∴=，在AFB 和BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AFB ∴≌()BED AAS ，1BF DE a 2∴==， 2BCD 1111S BC DE a a a 2224=⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21a 4． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.2．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE ≌△OCN ．∴OE=ON ，AE=CN ．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ，∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ．∴MN=AM+CN ，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．考点：旋转的性质.3．如图1，菱形ABCD ，AB 4=，ADC 120∠=，连接对角线AC 、BD 交于点O ， ()1如图2，将AOD 沿DB 平移，使点D 与点O 重合，求平移后的A'BO 与菱形ABCD 重合部分的面积．()2如图3，将A'BO 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E'，交BC 于点F ， ①求证：BE'BF 2+=；②求出四边形OE'BF 的面积．【答案】() 13?2①证明见解析3【解析】【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形，进而判断出△EOB 是等边三角形，即可得出结论；(2)先判断出 ≌△OBF ，再利用等式的性质即可得出结论；(3)借助①的结论即可得出结论．【详解】()1四边形为菱形，ADC 120∠=，ADO 60∠∴=，ABD ∴为等边三角形，DAO 30∠∴=，ABO 60∠=，∵AD//A′O ，∴∠A′OB=60°，EOB ∴为等边三角形，边长OB 2=，∴重合部分的面积：3434⨯=，()2①在图3中，取AB中点E，由()1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°，∴∠EOE′=∠BOF，又∵EO=BO，∴∠OEE′=∠OBF=60°，∴△OE E′≌△OBF，∴EE′=BF，∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF，∴S△OEE′=S△OBF，∴S四边形OE′BF =OEBS3=.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.4．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．【答案】（1）15°；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．5．如图1，是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CD1E1叠放在一起．（1）操作：固定△ABC，将△CD1E1绕点C顺时针旋转得到△CDE，连接AD、BE，如图2．探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定△ABC，若将△CD1E1绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE 的延长线交AB于点F，在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的△CDE设为△PQR，如图3．探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3，在（2）的条件下，设CQ=x，用x代数式表示出GH的长．【答案】（1）BE=CD．理由见解析；（2）△CHQ是等腰三角形；（3）2-x．【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出∠ACF=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CHQ=30°，从而得到∠ACF=∠CHQ，判断出△CHQ是等腰三角形；（3）求出∠CGP=90°，然后利用∠ACF的余弦表示出CG，再根据等腰三角形的性质表示出CH，然后根据GH=CG-CH整理即可得解．试题解析：（1）BE=CD．理由如下：∵△ABC与△CDE是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD；（2）∵旋转角为30°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=60°-30°=30°，∴∠CHQ=∠RQP-∠ACF=60°-30°=30°，∴∠ACF=∠CHQ，∴△CHQ是等腰三角形；（3）∠CGP=180°-∠ACF-∠RPQ=180°-30°-60°=90°，∴CG=CP•cos30°=（x+4），∵△CHQ是等腰三角形，∴CH=2•CQcos30°=2x•=x，∴GH=CG-CH=（x+4）-x=2-x．考点：几何变换综合题．6．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE 交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD ⊥BE ，∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ， ∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2， 图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2， ∴22，即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D2，0），E（22 0），F（32 2，22-）．（1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转450得到△A1B1C．请你写出点A1，B1的坐标，并判断A1C和DF的位置关系；（2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转450，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线2y22x bx c=++上．请你求出符合条件的抛物线解析式；（3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线2y x=上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标．请你直接写出点P的所有坐标．【答案】解：（1）222222b c0{3232222c+=+=⎝⎭．A1C和DF的位置关系是平行．（2）∵△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF，∴①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：(222222b c0{2222b c0++=++=，解得b12{c82=-=∴2y2x12x82=-+②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：222222b c0{3232222c++=+=⎝⎭，解得b11{c72=-=∴2y2x11x2=-+③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得：(22c0{b c222++=⎛++=⎝⎭，解得b13{c=-=∴2y13x=-+（3）在旋转过程中，可能有以下情形：①顺时针旋转45°，点A、B落在抛物线上，如答图1所示，易求得点P坐标为（0）．②顺时针旋转45°，点B、C落在抛物线上，如答图2所示，设点B′，C′的横坐标分别为x1，x2，易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b．联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b，即2x x b0--=，∴1212x x1x x b+==-，．∵B′C′=1，∴根据题意易得：12x x2-=，∴()2121x x2-=，即()212121x x4x x2+-=．∴114b2+=，解得1b8=-．∴21x x08-+=，解得2x4+=x或2x4-=．∵点C′的横坐标较小，∴2x4=．当2x4=时，23y x8-==．∴P③顺时针旋转45°，点C、A落在抛物线上，如答图3所示，设点C′，A′的横坐标分别为x1，x2．易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y x b=-+．联立y=x2与y x b=-+得：2x x b=-+，即2x x b0+-=，∴1212x x1x x b+=-=-，．∵C′A′=1，∴根据题意易得：12x x2-=，∴()2121x x2-=，即()212121x x 4x x 2+-=． ∴114b 2+=，解得1b 8=-． ∴21x x 08++=，解得22x -+=x 或22x --=．∵点C′的横坐标较大，∴22x 4-+=． 当22x 4-+=时，2322y x 8-==． ∴P （22-+，322-）． ④逆时针旋转45°，点A 、B 落在抛物线上．因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y 轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在．⑤逆时针旋转45°，点B 、C 落在抛物线上，如答图4所示， 与③同理，可求得：P （22-+，322-）． ⑥逆时针旋转45°，点C 、A 落在抛物线上，如答图5所示， 与②同理，可求得：P （22+，322+）． 综上所述，点P 的坐标为：（0，122-），（224-，3228-），P （224-+，3228-，（224+，3228+）．【解析】（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解．（2）首先明确△ABC 绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF ，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解．（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A 和点B 、点B 和点C 、点C 和点D 三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解． 考点：旋转变换的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用．8．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，2+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.9．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值。
人教中考数学 旋转 培优练习(含答案)含答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在等边△AOB 中，将扇形COD 按图1摆放，使扇形的半径OC 、OD 分别与OA 、OB 重合，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，固定等边△AOB 不动，让扇形COD 绕点O 逆时针旋转，线段AC 、BD 也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°） （1）当OC ∥AB 时，旋转角α＝度；发现：（2）线段AC 与BD 有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A 、C 、D 三点共线时，求BD 的长．拓展：（4）P 是线段AB 上任意一点，在扇形COD 的旋转过程中，请直接写出线段PC 的最大值与最小值．【答案】（1）60或240；(2) AC=BD ，理由见解析；（3）13+12或1312；（4）PC 的最大值=3，PC 的最小值31． 【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC =BD ．只要证明△AOC ≌△BOD 即可． （3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C 在以O 为圆心，1为半径的⊙O 上运动，过点O 作OH ⊥AB 于H ，直线OH 交⊙O 于C ′、C ″，线段CB 的长即为PC 的最大值，线段C ″H 的长即为PC 的最小值．易知PC 的最大值=3，PC 的最小值31．详解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠AOB =∠COD =60°，∴当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°． 故答案为60或240；（2）结论：AC =BD ，理由如下：如图2中，∵∠COD =∠AOB =60°，∴∠COA =∠DOB ．在△AOC 和△BOD 中，OA OBCOA DOB CO OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC =BD ；（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=12，OH=32．在Rt△AOH中，AH=22OA OH-=132，∴BD=AC=CH+AH=1132+．如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．易知AC=BD=AH﹣CH=131-．综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为1312+或1312-；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．2．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=12AC，理由见解析.【解析】试题分析：（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=12 AC．试题解析：（1）BF=AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，∵DAC DBFADC BDF AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；（2）NE=12AC，理由是：如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE，由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD，∵∠DBA=∠BAD=45°，∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，∴∠ANE=∠NAE=45°，∴AE=EN，∴EN=12 AC．3．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s 时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s.试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD cm，∴△BDE的最小周长=CD；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s.综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.4．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP 的距离．【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）．【解析】试题分析：（1）①作CE⊥CD，并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的，再连接DE即可；②根据∠ADC和∠CDE是邻补角，所以∠ADC+∠CDE=180°．（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明△ACD≌△BCE，易得AE=BE+2CM．（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离．试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）；②∠ADC+∠CDE=180°．（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°．∴∠CDE=∠CED=45°．又∵∠ADC=135°，∴∠ADC+∠CDE=180°，∴A、D、E三点在同一条直线上．∴AE=AD+DE．又∵∠ACB=90°，∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．∴AE=BE+2CM．（3）点A到BP的距离为．考点：作图—旋转变换．5．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE 交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32. 【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ． 理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ， ∠ACB=∠ACD=90°， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD 延长BE 交AD 于点F ， ∵BC ⊥AD ， ∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF ， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ． ∴AD=BE ，AD ⊥BE ． 故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ． （2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE ， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ， ∴∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠OHB=90°， ∴AD ⊥BE ， ∴AD=BE ，AD ⊥BE ．（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ， ∴PC=BE ，图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2， 图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2， ∴22， 即22【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．【答案】（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.【解析】【分析】试题（1）由DE∥BC，得到DB ECAB AC=，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．【详解】（1）∵DE∥BC，∴DB ECAB AC=，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=22，在△PEA中，PE2=（22）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.7．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为2和22，点B在边AG上，点D在线段EA 的延长线上，连接BE．（1）如图1，求证：DG⊥BE；（2）如图2，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，当点B恰好落在线段DG上时，求线段BE的长．．【答案】（1）答案见解析；（2）26【解析】【分析】（1）由题意可证△ADG≌△ABE，可得∠AGD＝∠AEB，由∠ADG+∠AGD＝90°，可得∠ADG+∠AEB＝90°，即DG⊥BE；（2）过点A作AM⊥BD，垂足为M，根据勾股定理可求MG的长度，即可求DG的长度，由题意可证△DAG≌△BAE，可得BE＝DG．【详解】（1）如图，延长EB交GD于H∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAG＝∠BAE＝90°∴△ADG≌△ABE（SAS）∴∠AGD＝∠AEB∵∠ADG+∠AGD＝90°∴∠ADG+∠AEB＝90°∴DG⊥BE（2）如图，过点A作AM⊥BD，垂足为M∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为2和22，∴AM＝DM＝2，∠DAB＝∠GAE＝90°∴MG＝22-＝6，∠DAG＝∠BAEAG MA∴DG＝DM+MG＝2+6，由旋转可得：AD＝AB，AG＝AE，且∠DAG＝∠BAE∴△DAG≌△BAE（SAS）+∴BE＝DG＝26【点睛】考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．8．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB,求∠BAB′的度数．【答案】40°.【解析】【分析】先根据平行线的性质，由CC′∥AB得∠AC′C=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．【详解】∵CC′∥AB，∴∠A CC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠AC′C=70°，∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，∴∠BAB′=40°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．9．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPQ=45°．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）∵△A PP′是等腰直角三角形，∴22，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴10，在△PP′B中，2，2，10，∵（2）2+（22）2=（10）2，∴PP′2+PB 2=P′B 2，∴△PP′B 为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用，有一定难度，关键是明确旋转的不变性．10．如图，正方形ABCD ，点M 是线段CB 延长线一点，连结AM ，AB a ，AM b =（1）将线段AM 沿着射线AD 运动，使得点A 与点D 重合，用代数式表示线段AM 扫过的平面部分的面积.（2）将三角形ABM 绕着点A 旋转，使得AB 与AD 重合，点M 落在点N ，用代数式表示线段AM 扫过的平面部分的面积.（3）将三角形ABM 顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角【答案】（1）2a ；（2）214b π或234b π；（3）见解析【解析】【分析】 （1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可；（2）根据扇形的面积计算即可；（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可．【详解】解：（1）2AD DC a •=答：线段AM 扫过的平面部分的面积为2a（2）三角形ABM 绕着点A 旋转，使得AB 与AD 重合，则三角形ABM 旋转的角度是90°或270°∴°2°90360AMN b S π⨯=扇形或°2°270360AMN b S π⨯=扇形 ∴214AMN S b π=扇形或234b π答：扇形AMN 的面积为214b π或234b π（3）如图1，旋转中心：AB 边的中点为O ，顺时针180如图2，旋转中心：点B ，顺时针旋转90如图3，旋转中心：正方形对角线交点O ，顺时针旋转90【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答．。
《1.2.2数轴》培优专项练习 (原卷+解析) 2021-2022学年人教版数学七年级上册
2021年人教版七年级数学上册《1.2.2数轴》培优专项练习一．选择题（共12小题）1．在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数m，2，将点M向右平移1个单位长度，得到点P，若PO＝NO，则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣32．下列关于数轴的图示，画法不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（）A．﹣2B．1.3C．﹣0.4D．0.64．已知a，b，c三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是（）A．b＜a＜c B．﹣a＜b C．a+b＜0D．c﹣a＞05．如图，在数轴上，点A表示的数是﹣2，将点A沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点P，则点P表示的数是（）A．4B．3C．2D．﹣26．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，那么点B表示的数是（）A．3B．﹣3C．1D．﹣17．有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足﹣a＜b＜a，则b的值不可能是（）A．2B．0C．﹣1D．﹣38．数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P 表示的数是（）A．﹣3B．﹣3或5C．﹣2D．﹣2或49．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（）A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜b＜﹣a C．a﹣b＞0D．a+b＞010．如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，则其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④11．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣7，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（）A．﹣2B．﹣2.5C．﹣1D．112．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，则数2020对应的点为（）A．点A B．点BC．点C D．这题我真的不会二．填空题（共6小题）13．有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是．14．如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为．15．数轴上A、B两点间的距离为5，点A表示的数为3，则点B表示的数为．16．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为．17．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是．18．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上﹣1表示的点与7表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是．三．解答题（共8小题）19．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．（1）请直接写出原点在第几部分；（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；（3）若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．20．在数轴上，表示数0的点记作点O．点A，B是该数轴上不重合的两点，点B关于点A 的联动点定义如下：若射线AB上存在一点C，满足线段AB+AC＝2AO，则称点C是点B 关于点A的联动点．如图是点B关于点A的联动点的示意图．当点C与点A重合时，规定AC＝0．（1）当点A表示的数为1时，①点B表示的数为1.5，则其关于点A的联动点C表示的数为；②若点B与O重合，则其关于点A的联动点C表示的数为；③若点B关于点A存在联动点，则点B表示的数x的取值范围是．（2）当点A表示的数为a时，点B关于点A的联动点为C，点B表示的数为﹣1，点C 表示的数为1，则a的取值范围是．21．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．（1）若点C为图①中线段AB的“雅点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝；（2）若点D也是图①中线段AB的“雅点”（不同于点C），则AC BD；（填“＝”或“≠”）【解决问题】如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，求线段MN的长；（4）图②中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．22．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．23．如图，已知在纸面上有一条数轴．操作一：折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示的点重合．操作二：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示﹣2的点与表示的点重合；②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为，点B表示的数为24．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动．如图1，数轴上的点M，N所表示的数分别为0，12．将一枚棋子放置在点M处，让这枚棋子沿数轴在线段MN上往复运动（即棋子从点M出发沿数轴向右运动，当运动到点N处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M处，随即沿数轴向右运动，如此反复…）．并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M开始运动t个单位长度至点Q1处；第2步，从点Q1继续运动2t个单位长度至点Q2处；第3步，从点Q2继续运动3t个单位长度至点Q3处…．例如：当t＝3时，点Q1，Q2，Q3，的位置如图2所示．解决如下问题：（1）如果t＝4，那么线段Q1Q3＝；（2）如果t＜4，且点Q3表示的数为3，那么t＝；（3）如果t≤2，且线段Q2Q4＝2，那么请你求出t的值．25．如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15．（1）点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是，线段BC 的长＝；（2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？（3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD 中点，则线段MN的长为多少？26．阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，﹣2，+1，﹣5，﹣2，+9，﹣6．（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？（2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？（3）若汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？（4）若出租车起步价为5元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？2021年人教版七年级数学上册《1.2.2数轴》培优专项练习参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数m，2，将点M向右平移1个单位长度，得到点P，若PO＝NO，则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】M向右平移1个单位后，表示的数是m+1，根据PO＝NO列方程即可解得m的值．【解答】解：∵点M表示数m，将点M向右平移1个单位长度得到点P，∴平移后P表示的数是m+1，∵N表示数2，PO＝NO，∴m+1与2互为相反数，即m+1＝﹣2，∴m＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是用含m的代数式表示P表示的数．2．下列关于数轴的图示，画法不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】通过观察数轴上的原点，单位长度，正方向即可进行判断，从而选出答案．【解答】解：通过观察易知（1）数轴单位长度不一致故错误；（2）数轴没有原点，故错误；（3）数轴原点，单位长度，正方向都具有，故正确；（4）数轴没有正方向，故错误；故不正确的由（1）（2）（4）共三个，故选：B．【点评】本题考查数轴相关概念，熟练掌握数轴上原点，单位长度，正方向三要素是解题关键．3．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（）A．﹣2B．1.3C．﹣0.4D．0.6【分析】离原点最近的即是绝对值最小的数，依次求出绝对值进行比较即可选出正确答案．【解答】∵|﹣2|＝2，|1.3|＝1.3，|﹣0.4|＝0.4，|0.6|＝0.6，∴0.4＜0.6＜1.3＜2，又∵离原点最近的即是绝对值最小的数，∴离原点最近的是﹣0.4，故选：C．【点评】本题考查数轴相关知识，掌握数轴中绝对值的概念是解题关键．4．已知a，b，c三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是（）A．b＜a＜c B．﹣a＜b C．a+b＜0D．c﹣a＞0【分析】先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出b＜a＜c，再由相反数的定义、绝对值的性质以及有理数的加减法法则得出结果．【解答】解：根据数轴可得：b＜a＜0＜c，∴a+b＜0、c﹣a＞0．∴A、C、D选择正确．∵a＜0．∴﹣a＞0．∴﹣a＞b．∴B选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查学生数轴上的点的位置和数的关系．解题的关键是掌握有理数的大小的比较，有理数的加减法运算．5．如图，在数轴上，点A表示的数是﹣2，将点A沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点P，则点P表示的数是（）A．4B．3C．2D．﹣2【分析】根据右移加可求点P表示的数．【解答】解：点P表示的数是﹣2+4＝2．故选：C．【点评】本题考查的是数轴，关键是熟悉数轴上的点左减右加的知识点．6．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，那么点B表示的数是（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【分析】观察数轴易知点A到原点的距离大于点B到原点的距离，且B在原点左边，即可找到B点所表示的数．【解答】解：因为点A到原点的距离大于点B到原点的距离，且B在原点左边，故A、C错误；B选项为﹣3，大于A的绝对值，故B错误；故选：D．【点评】本题考查数轴相关知识，熟练掌握数轴上点的相关特征是解题关键．7．有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足﹣a＜b＜a，则b的值不可能是（）A．2B．0C．﹣1D．﹣3【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可．【解答】解：根据数轴上的位置得：2＜a＜3，∴﹣3＜﹣a＜﹣2，∵﹣a＜b＜a，∴﹣3＜b＜3，则b的值不可能为﹣3．故选：D．【点评】此题考查了数轴，弄清b的范围是解本题的关键．8．数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P 表示的数是（）A．﹣3B．﹣3或5C．﹣2D．﹣2或4【分析】根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边和点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵AB＝|3﹣（﹣1）|＝4，点P到A、B两点的距离之和为6，设点P表示的数为x，∴点P在点A的左边时，﹣1﹣x+3﹣x＝6，解得：x＝﹣2，点P在点B的右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝6，解得：x＝4，综上所述，点P表示的数是﹣2或4．故选：D．【点评】本题考查了数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示方法，读懂题目信息，理解两点间的距离的表示方法是解题的关键．9．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（）A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜b＜﹣a C．a﹣b＞0D．a+b＞0【分析】根据数轴上绝对值所表示的含义作答．【解答】解：由图象可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：B．【点评】本题考查数轴上绝对值的意义及有理数比较大小，解题关键是熟练掌握有理数及绝对值的意义．10．如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，则其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②③④D．①③④【分析】根据数轴，可得b＜0＜a＜c，|a|＜|b|，据此逐项判定即可．【解答】解：①∵b＜0＜a，|a|＜|b|，∴a+b＜0，∴①错误；②∵b＜0＜a＜c，∴abc＜0，∴②正确；③∵b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，∴③正确；④∵b＜0＜a，|a|＜|b|，∴﹣1＜＜0，∴④正确．∴正确的有②③④．故选：C．【点评】本题考查了数轴．解题的关键是熟练掌握数轴的特征和运用，以及有理数的运算．11．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣7，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（）A．﹣2B．﹣2.5C．﹣1D．1【分析】根据A与B表示的数求出AB的长，再由折叠后AB的长，求出BC的长，即可确定出C表示的数．【解答】解：∵A，B表示的数为﹣7，4，∴AB＝4﹣（﹣7）＝4+7＝11，∵折叠后AB＝1，∴BC＝＝5，∵点C在B的左侧，∴C点表示的数为﹣1．故选：C．【点评】此题考查了数轴，折叠的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．12．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，则数2020对应的点为（）A．点A B．点BC．点C D．这题我真的不会【分析】根据随着翻转点的变化，可找出点的变化周期为3，结合2020为3的整数倍余1，可得出数2020对应的点为B．【解答】解：∵翻转1次后，数1对应的点为B，翻转2次后，数2对应的点为C，翻转3次后，数3对应的点为A，翻转4次后，数4对应的点为B，…，∴点的变化周期为3．又∵2020÷3＝673…1，∴连续翻转2020次后，则数2020对应的点为B．故选：B．【点评】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．二．填空题（共6小题）13．有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是5或者﹣1．【分析】根据已知，表示出线段之间的距离，利用定义分类讨论即可求解．【解答】解：设M表示的数为x．∴MA＝x﹣（﹣4）＝x+4；BM＝8﹣x．∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．∴MA＝3BM或BM＝3MA∴x+4＝3（8﹣x）或8﹣x＝3（x+4）．解得：x＝5或x＝﹣1．故答案为：5或者﹣1．【点评】本题考查数轴上两点之间的距离知识，关键在于设立未知数，利用已知定义建立等式．14．如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5，则木棒MN的长度为6．【分析】设木棒MN长为x，根据“有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为17.5，当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为4.5”，结合数轴，得到关于x的一元一次方程，解之即可．【解答】解：设木棒MN长为x，根据题意得：x+x+（1﹣）x＝17.5﹣4.5，解得：x＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元一次方程在数轴问题中的应用，找到题目的等量关系是解题的关键．15．数轴上A、B两点间的距离为5，点A表示的数为3，则点B表示的数为8或﹣2．【分析】设B点表示的数为b，则|b﹣3|＝5，可求得b的值．【解答】解：设B点表示的数为b，则|b﹣3|＝5，∴b﹣3＝5或b﹣3＝﹣5，∴b＝8或b＝﹣2．故答案为：8或﹣2．【点评】本题考查了数轴上两点间距离的求法，绝对值的性质等内容；熟练掌握数轴上两点间距离的求法是解决本题的关键．本题也可画出数轴直接解答．16．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为6．【分析】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．【解答】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离．17．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是π﹣1或﹣π﹣1．【分析】先求出圆的周长为π，从A滚动先向右运动再向左运动，运动的路程为圆的周长，需要分类讨论．【解答】解：C圆＝πd＝π，向右滚动：设B点坐标为x，x﹣（﹣1）＝π，x＝π﹣1，∴B点表示的数为：π﹣1．向左运动：﹣1﹣x＝π，x＝﹣π﹣1，∴B点表示的数为：﹣π﹣1．∴B点表示数为π﹣1或﹣π﹣1．故答案为：π﹣1或﹣π﹣1．【点评】本题考查了数轴上两点之间的线段长如何用坐标来表示，即：右减左；圆的周长公式及分类讨论．18．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上﹣1表示的点与7表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是﹣505．【分析】根据数轴上两点间的距离为这两个数差的绝对值，若﹣1表示的点与7表示的点重合，则折痕经过3；若数轴上A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），则A、B 两个点分别距离中点3都是508个单位长度，进一步得到A点表示的数．【解答】解：依题意得：两数是关于﹣1和7的中点对称，即关于（﹣1+7）÷2＝3对称，∵A、B两点之间的距离为1016（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A、B关于3对称，1016÷2＝508．∴点A在表示3的点的左边508的单位长度，∴点A表示的数为：3﹣508＝﹣505．故答案为：﹣505．【点评】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数．三．解答题（共8小题）19．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．（1）请直接写出原点在第几部分；（2）若AC＝5，BC＝3，b＝﹣1，求a；（3）若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，当点C、原点、点D这三点中其中一点是另外两点的中点时，直接写出d的值．【分析】（1））因为bc＜0，所以b，c异号，所以原点在第③部分；（2）求出AB的值，然后根据点A在点B左边2个单位求出a的值；（3）由于不知道点D的位置，所以分三种情况分别计算即可．【解答】解：（1）∵bc＜0，∴b，c异号，∴原点在第③部分；（2）∵AC＝5，BC＝3，∴AB＝AC﹣BC＝5﹣3＝2，∵b＝﹣1，∴a＝﹣1﹣2＝﹣3；（3）当点C是OD的中点时，OD＝2OC＝2×3＝6，此时d＝6；当O是CD的中点时，OD＝OC＝3，此时d＝﹣3；当D是OC的中点时，OD＝OC＝×3＝，此时d＝．∴d＝6或﹣3或．【点评】本题考查了数轴，线段的中点，体现了分类讨论的数学思想，做到不重不漏是解题的关键．20．在数轴上，表示数0的点记作点O．点A，B是该数轴上不重合的两点，点B关于点A 的联动点定义如下：若射线AB上存在一点C，满足线段AB+AC＝2AO，则称点C是点B 关于点A的联动点．如图是点B关于点A的联动点的示意图．当点C与点A重合时，规定AC＝0．（1）当点A表示的数为1时，①点B表示的数为1.5，则其关于点A的联动点C表示的数为 2.5；②若点B与O重合，则其关于点A的联动点C表示的数为0；③若点B关于点A存在联动点，则点B表示的数x的取值范围是﹣1≤x＜1或1＜x≤3．（2）当点A表示的数为a时，点B关于点A的联动点为C，点B表示的数为﹣1，点C 表示的数为1，则a的取值范围是a＜﹣1或a≥1．【分析】（1）①根据点B关于点A的联动点的定义求解即可；②根据点B关于点A的联动点的定义求解即可；③根据点B关于点A的联动点的定义求解即可；（2）分a≥1，a＜﹣1，﹣1＜a＜1三种情况讨论求解即可．【解答】解：（1）①当点A表示的数为1，点B表示的数为1.5时，AB＝1.5﹣1＝0.5．设点C表示的数为x，则AC＝x﹣1．∵AB+AC＝2AO，∴0.5+x﹣1＝2×1，解得x＝2.5，∴点C表示的数为2.5．故答案为：2.5；②当点B与O重合时，OA＝AB＝1．设点C表示的数为y，则AC＝1﹣y．∵AB+AC＝2AO，∴1+1﹣y＝2×1，解得y＝0，∴点C表示的数为0．故答案为：0；③∵点B关于点A存在联动点，∴AC≥0，∵AO＝1，∴AB+AC＝2AO＝2，∴AC＝2﹣AB≥0，∴AB≤2，∵点A，B是该数轴上不重合的两点，∴点B表示的数x的取值范围是﹣1≤x＜1或1＜x≤3．故答案为：﹣1≤x＜1或1＜x≤3；（2）当点A表示的数为a时，点B表示的数为﹣1，点C表示的数为1，当a≥1时，AC＝a﹣1，AB＝a+1，AO＝a，满足AB+AC＝2AO，即当a≥1时，符合题意；当a＜﹣1时，AC＝1﹣a，AB＝﹣1﹣a，AO＝﹣a，也满足AB+AC＝2AO，即当a＜﹣1时，符合题意；当﹣1＜a＜1时，AB+AC＝BC＝2，OA＜1，∴AB+AC≠2AO，∴当﹣1＜a＜1时，不存在点B关于点A的联动点C．故a的取值范围是a＜﹣1或a≥1．故答案为：a＜﹣1或a≥1．【点评】本题考查了数轴，新定义，两点间的距离，掌握点B关于点A的联动点定义是解题的关键．21．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．（1）若点C为图①中线段AB的“雅点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝18；（2）若点D也是图①中线段AB的“雅点”（不同于点C），则AC＝BD；（填“＝”或“≠”）【解决问题】如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；（3）若M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，求线段MN的长；（4）图②中，若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．【分析】（1）由BC＝2AC即可得答案；（2）求出BD即可得答案；（3）画出图形分类讨论；（4）画出图形分情况讨论即可．【解答】解：（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），∴BC＝2AC，∵AC＝6，∴BC＝12，∴AB＝AC+BC＝18，故答案为：18；（2）∵点D也是线段AB的“雅点”（不同于点C），∴AD＝2BD，而AD+BD＝18，∴BD＝6，∵AC＝6，∴AC＝BD，故答案为：＝；（3）∵数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F，∴OF＝1+5＝6，M、N两点都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“雅点”，①M、N为线段OF的同一个“雅点”时，MN＝0，②M、N为线段OF的不同“雅点”，且MF＝2OM，ON＝2FN，如答图1：∵MF＝2OM，OM+FM＝6，∴OM＝2，∵ON＝2FN，ON+FN＝6，∴ON＝4，∴MN＝ON﹣OM＝2，③M、N为线段OF的不同“雅点”，且OM＝2FM，FN＝2ON，如答图2：∵OM＝2FM，OM+FM＝6，∴OM＝4，∵FN＝2ON，ON+FN＝6，∴ON＝2，∴MN＝OM﹣ON＝2，总上所述，MN的长为0或2；（4）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况：①G在线段EF上，EG＝2FG，如答图3：∵EG＝2FG，EG+FG＝5，∴EG＝，∵E表示的数为1，∴G点表示的数为1+＝，②G在线段EF上，且FG＝2EG，如答图4：∵FG＝2EG，EG+FG＝5，∴EG＝，∵E表示的数为1，∴G表示的数为1+＝，③G在线段EF外，且EF＝2FG，如答图5：∵EF＝2FG，EF＝5，∴FG＝2.5，∴G表示的数是1+5+2.5＝8.5，④G在EF外，且FG＝2EF，如答图6：∵FG＝2EF，EF＝5，∴FG＝10，∴G表示的数为1+5+10＝16，总上所述，G表示的数为：或或8.5或16．【点评】本题考查数轴相关知识，解答需要分类，解题的关键是读懂“雅点”、“雅点”伴侣线段的定义．22．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是1，4；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．【分析】根基题干提供新定义求解．（1）根据所提供四个数字求解．（2）分类讨论点P位置求解．【解答】解：（1）1，4．（2）①设点P对应的数为x．当点P在AB之间时，∵AB＝30+10＝40，∴BP＝AB时，BP＝10，即x＝30﹣10＝20．当BP＝AB时，BP＝30，即x＝30﹣30＝0．当点P在点B右侧，AP＝3BP．即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50．当点P在点A左侧，BP＝3AP．即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30．综上，x＝20，0，50，﹣30．②由①得点P是倍分点时，P表示的数为20，0，50，﹣30．当A为倍分点，点P在AB之间时，AB＝3AP，40＝3（x+10），解得x＝．P在点A左侧时，AP＝3AB，﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130．AB＝3AP，40＝3（﹣10﹣x），解得x＝．点P在点B右侧，AP＝3AB，x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110．当点B为倍分点时，同理可求x＝110，，，﹣90．综上，P点表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，，﹣90．【点评】本题考查数轴相关知识点，解题关键是根据题意分类讨论符合题干的情况．23．如图，已知在纸面上有一条数轴．操作一：折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示5的点重合．操作二：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示﹣2的点与表示6的点重合；②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为﹣1.5，点B表示的数为 5.5【分析】根据两个点对折重合，可求出对折点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，求出该点所对应的数．【解答】解：操作一：表示1的点与表示﹣1的点重合，即对折点所表示的数为＝0，设这个数为a，则有0﹣（﹣5）＝a﹣0，解得，a＝5，故答案为：5；操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为＝2，①设b与﹣2表示的点重合，则有＝2，解得，b＝6，故答案为：6；②设A点、B点所表示的数为x、y，则有，，解得，x＝﹣1.5，y＝5.5，故答案为：﹣1.5，5.5．【点评】考查数轴表示数的意义，求出对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键．24．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动．如图1，数轴上的点M，N所表示的数分别为0，12．将一枚棋子放置在点M处，让这枚棋子沿数轴在线段MN上往复运动（即棋子从点M出发沿数轴向右运动，当运动到点N处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M处，随即沿数轴向右运动，如此反复…）．并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M开始运动t个单位长度至点Q1处；第2步，从点Q1继续运动2t个单位长度至点Q2处；第3步，从点Q2继续运动3t个单位长度至点Q3处…．例如：当t＝3时，点Q1，Q2，Q3，的位置如图2所示．解决如下问题：（1）如果t＝4，那么线段Q1Q3＝4；（2）如果t＜4，且点Q3表示的数为3，那么t＝或；（3）如果t≤2，且线段Q2Q4＝2，那么请你求出t的值．【分析】（1）分别求出Q1、Q2、Q3所表示的数，进而求出Q1Q3的长；（2）分两种情况进行解答，①当Q3未到点N返回前，②当Q3点到达N返回再到表示3的位置，分别列方程解答即可；（3）分三种情况，①当Q4未到点N前，②当Q4到达点N返回且在Q2的右侧，③当Q4到达点N返回且在Q2的左侧，分别列方程解答即可．【解答】解：（1）当t＝4时，Q1表示的数为4，Q1Q2＝4×2＝8，Q2表示的数为4+8＝12，Q2Q3＝4×3＝12，Q3所表示的数为0，∴Q1Q3＝4，故答案为：4．（2）①当Q3未到点N返回前，有t+2t+3t＝3，解得：t＝，。
2019-2020人教版九上数学23.1图形的旋转培优专题(含答案)
2019-2020图形的旋转培优专题（含答案）一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB 边上，则点B'与点B 之间的距离为（ ）A ．12B ．6C ．62D ．632．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A.3B.23C.13D.153．如图，在ABC 中，65CAB ∠=，将ABC 在平面内绕点A 旋转到''AB C 的位置，使'//CC AB ，则旋转角的度数为（ ）A.35B.40C.50D.654．如图直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（ ）A.1B.2C.3D.不能确定5．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(2，0)D.(0，-2)6．点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A.3B.33C.332D.329．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）A．B．6 C．D．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A.AD=BDB.AC∥BDC.DF=EFD.∠CBD=∠E11．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．65°12．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，23）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．17．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为23，则B′E的长为__．19．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．20．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．21．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．22．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接E ，F ．给出下列五个结论：①AP=EF ；②PD=EC ；③∠PFE=∠BAP ；④△APD 一定是等腰三角形；⑤AP ⊥EF ．其中正确结论的序号是_____．三、解答题23．已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ 、QC ． （1）求证：PB ＝QC ；（2）若PA ＝3，PB ＝4，∠APB ＝150°，求PC 的长度．24．如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点，点D 与A ，B 不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（）求证：△ACD≌△BCE；1（）当AD BF2∠的度数．=时，求BEF25．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将BCE 绕点C 顺时针方向旋转90得到DCF ，连结EF ，若30EBC ∠=，求EFD ∠的度数．30．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．31．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON=；∠CON=．（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．32．四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE =BF ，连接AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）若BC =12，DE =5，求△AEF 的面积．33．已知正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、(DC 或它们的延长线于点M 、N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时如图1)，则()1线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系是______；()2当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；()3当MAN∠绕点A旋转到（如图3)的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．34．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．35．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且，将△绕点D逆时针旋转，得到△．求证：．当时，求EF的长．参考答案1．D【解析】【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．【详解】连接B'B，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，∴△AA'C是等边三角形，∴∠AA'C=60°，∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，∴△BCB'是等边三角形，∴∠CB'B=60°，∵∠CB'A'=30°，∴∠A'B'B=30°，∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=12，∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，∴B'B=63，故选D．【点睛】此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．2．C【解析】分析：连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可. 详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=22223213+=+=BC CM∴FE=13.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．3．C【解析】分析：根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.详解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°故选C.点睛：本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键. 4．A 【解析】【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG 与△DEF 全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF 的长，即△ADE 的高，然后得出三角形的面积． 【详解】如图所示，作EF ⊥AD 交AD 延长线于F ，作DG ⊥BC ，∵CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ， ∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD ， 又∵∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠CDG=∠EDF ，在△DCG 与△DEF 中，90CDG EDFEFD CGD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF （AAS ）， ∴EF=CG ， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC ﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1，∴△ADE 的面积是：12×AD×EF=12×2×1=1， 故选A ．【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．5．B【解析】试题分析：根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.考点：规律探究题.6．C【解析】【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，先利用AAS证明△ADP≌△PEF，根据全等三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°，∴∠ADP=∠EPF，在△APD和△FEP中∠ADP=∠FPE∠A=∠F=90°PD=EP，∴△APD≌△FEP（AAS），∴AP=EF，AD=PF，又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，∴AP=BF，∴BF=EF，又∠F=91°，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，则∠CBE=45°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．7．D【解析】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．考点：旋转的性质．8．B【解析】分析：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，根据旋转角的定义易得：∠BAB′=30°，根据HL易得△AB′M≌△ADM，所以公共部分面积等于△ADM面积的2倍；设DM=x，在△AMD中利用勾股定理求得DM，进而解答即可.详解：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，设DM=x，根据旋转的性质以及正方形的性质可得AB′=AD，AM=AM，∠BAB′=30°，∠B′=∠D=90°.∵AB′=AD，AM=AM，∴△AB′M≌△ADM.∵∠BAB′=30°，∴∠MAD=30°，AM=2x.∵x2+1=4x2，∴x=33，∴S ADM′=1331236⨯⨯=,∴重叠部分的面积S ADMB′=326⨯=33．故选B.点睛：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含30°三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△AB′M≌△ADM是解答本题的关键；9．A【解析】试题分析：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=，∴∠CAB′=90°，∴B′C==，故选A．考点：勾股定理．10．C【解析】【分析】由旋转的性质知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C=∠E，证AC∥BD得∠CBD=∠C，从而得出∠CBD=∠E．【详解】由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60°，∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD，∴AC∥BD，∴∠CBD=∠C，∴∠CBD=∠E，则A、B、D均正确，故选C．【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．11．C【解析】试题解析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，∴∠CAC′=∠BAB′=30°故选A．考点：旋转的性质．12．D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．13．32【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴AE=22AD DE+=32，∴AB=32，故答案为：32.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.14．2 3π【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=22，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22，∴S扇形ABD =()2302223603ππ⨯=，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=23π，故答案为：23π．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分=S扇形ABD是解题的关键. 15．（-23，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，AB=OC-23，则tan∠BOA=33 ABOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AOB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为：（-23，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．23 【解析】 【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE 的长． 【详解】 由题意可得，DE=DB=CD=12AB ， ∴∠DEC=∠DCE=∠DCB ，∵DE ∥AC ，∠DCE=∠DCB ，∠ACB=90°， ∴∠DEC=∠ACE ，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°， ∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=23，∴AE=23．故答案为23．【点睛】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．234+．【解析】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴BD BEBA BC=，即456BCBC-=，解得BC=234+（负值已舍去），即BC的长为234+．故答案为：234+．点睛：本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．18．23﹣2【解析】【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=3C′E，根据阴影部分面积为23得出12×C′E×3C′E=23，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．【详解】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AE=30°，∴AE=2C′E，AC′=3C′E，∵阴影部分面积为23，∴12×C′E×3C′E=23，C′E=2，∴AC=BC=C′B′=3C′E=23，∴B′E=23-2，故答案为：23-2．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．19．【解析】试题解析∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE 上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2cm．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．20．【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，∵，∠ABG=∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴，解得，CE=，故答案为：．点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．21．1.5【解析】试题解析：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB=22OA OB=5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=12AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．故答案为：1.5．22．①③⑤【解析】【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可. 【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤.【点睛】做辅助线证明全等是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠P AQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ ， 在△BAP 和△CAQ 中，∴△BAP ≌△CAQ （SAS ）， ∴PB=QC ；（2）解：∵由（1）得△APQ 是等边三角形， ∴AP=PQ=3，∠AQP=60°， ∵∠APB=150°，∴∠PQC=150°﹣60°=90°， ∵PB=QC ， ∴QC=4，∴△PQC 是直角三角形，∴PC===5．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明△BAP ≌△CAQ 是解（1）的关键，证明∠PQC =90°是解（2）的关键. 24．()1证明见解析；()2BEF 67.5∠=. 【解析】【分析】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，由于ACB 90∠=，从而可得ACD BCE ∠∠=，根据SAS 即可证明ACD ≌BCE ；()2由ACD ≌()BCE SAS 可知：A CBE 45∠∠==，BE BF =，从而可求出BEF ∠的度数．【详解】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，ACB 90∠=，ACD ACB DCB ∠∠∠∴=-，BCE DCE DCB ∠∠∠=-，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 与BCE 中，AC BCACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ACD ∴≌()BCE SAS ；()2ACB 90∠=，AC BC =，A 45∠∴=，由()1可知：A CBE 45∠∠==，AD BF =， BE BF ∴=，BEF 67.5∠∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．25．(1) 150°；(2)43+16【解析】试题分析：（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．试题解析：（1）连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×32=23，∴四边形ABCD的面积为：12AD•EB+12DB•CD=12×4×23+12×4×8=43+16．26．（1）45°；（2）12.5.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【详解】（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB=10，∴∠ABD=45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴AD AE AC AB，∵AB=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．27．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=BE﹣AD．【解析】【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE ，然后根据“AAS”可判断△ADC ≌△CEB ，所以CD=BE ，AD=CE ，再利用等量代换得到DE=AD+BE ；（2）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；（3）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CD ﹣CE=BE ﹣AD ． 【详解】(1)∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE ， 在△ADC 和△CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE+CD=AD+BE ；(2)与(1)一样可证明△ADC ≌△CEB ， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；(3)DE=BE﹣AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，根据实际情况选择合适的方法证明△ADC≌△CEB是解决问题的关键．28．（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．详解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，， ∴△FME ≌△BMH ， ∴HM=EM ，EF=BH ， ∵CD=BC ，∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ， ∴CM=ME ，CM ⊥EM ． （2）如图2，连接AE ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形， ∴∠FDE=45°，∠CBD=45°， ∴点B 、E 、D 在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，∴CM=12AF ，EM=12AF ， ∴CM=ME ， ∵∠EFD=45°， ∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME ，∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ， ∴∠MCF+∠MEF=135°， ∴∠CME=360°-135°-135°=90°， ∴CM ⊥ME ．（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，在△EDM 和△GDM 中，DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△EDM ≌△GDM ，∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ， ∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ， ∴GN=NC ，又MN ⊥CD ， ∴MC=MG ，∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ， ∵∠MGC+∠MGD=180°， ∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°， ∵∠CDE=90°， ∴∠CME=90°， ∴（1）中的结论成立．点睛：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．15° 【解析】 【分析】根据旋转性质可得：BEC DFC ∠=∠，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =，由等腰直角三角形三角形性质可得45CFE FEC ∠=∠=，所以EFD DFC EFC ∠=∠-∠. 【详解】 解：DCF 是BCE 旋转得到的图形，903060BEC DFC ∴∠=∠=-=，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =， 45CFE FEC ∴∠=∠=．604515EFD DFC EFC ∴∠=∠-∠=-=．【点睛】本题考核知识点：旋转性质，等腰直角三角形. 解题关键点：熟记旋转性质，等腰直角三角形性质.30．（1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【详解】（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，，∴MN最大=2+5=7∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2= ．【点睛】解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大31．25°40°25°【解析】【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MOC的度数；（2）根据OC平分∠MOB，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度数，由∠MON=90°，可得∠BON的度数，继而可得∠CON的度数；（3）由∠NOC=5°，∠BOC=65°，∠MON=90°结合平角的定义即可求得.【详解】（1）∠MOC=∠MON﹣∠BOC=90°﹣65°=25°，故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，∴旋转角∠BON=∠MOB﹣∠MON=130°﹣90°=40°，∠CON=∠BOC﹣∠BON=65°﹣40°=25°，故答案为：40°，25°；（3）∵∠NOC=5°，∠BOC=65°，∴∠BON=∠NOC+∠BOC=70°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB=180°，∵∠MON=90°，∴∠AOM=∠AOB﹣∠MON﹣∠BON=180°﹣90°﹣70°=20°.【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的定义等，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键.32．（1）见解析；（2）84.5．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，依据“SAS”即可证得；（2）根据勾股定理求得AE=13，再由旋转的性质得出AE=AF ，∠EAF=90°，从而由面积公式得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°， 而F 是CB 的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE 和△ABF 中，∵AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADE ≌△ABF （SAS ）； （2）∵BC=12，∴AD=12， 在Rt △ADE 中，DE=5，AD=12， ∴AE==13，(勾股定理)∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF ，∠EAF=90°，∴△AEF 的面积=12AE 2=12×169=84.5． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．33．（1）BM DN MN +=；（2）猜想：BM DN MN +=，详见解析；（3）DN BM MN -=，详见解析.【解析】【分析】（1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN﹣BM=MN．【详解】（1）如图1，连接AC，交MN于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵90B AGMBAM GAMAM AM∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．故答案为：BM+DN=MN；（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．在△ABE和△ADN中，∵AB ADABE DBE DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．在△AEM和△ANM中，∵AE ANEAM NAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．证明如下：如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．△ABM和△ADF中，∵AB ADABM DBM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠F AN=45°．在△MAN和△F AN中，∵AM AFMAN FANAN AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得AM=AN是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查了知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．34．（1）证明见解析；（2）∠BED=45°.【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，＝＝，＝∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．35．（1）证明见解析；（2）FC=3．【解析】试题分析：（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=2，正方形的边长为6，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF；（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=2，且BC=6，∴BM=BC+CM=6+2=8，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，则EF=5．点睛：熟练掌握旋转的性质，正方形的四个角都是直角，四条边相等，勾股定理，全等三角形的判定(SAS)，全等三角形的性质是解答本题的关键.。
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一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S≤30334+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD=22AD AC-=4，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（34）30334-当点D 在BA 的延长线上时，△D ′E ′K 的面积最大，最大面积=12×D ′E ′×KD ′=12×3×（5+342）=303344+． 综上所述，303344-≤S ≤303344+． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE()2探究2：如图2，在一般的RtABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a ． 【解析】 【分析】()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC 2=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，BED ACB 90∠∠∴==，由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AASBC DE a ∴==，BCD 1S BC DE 2=⋅，2BCD 1S a 2∴=；()2BCD的面积为21a2，理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，BED ACB90∠∠∴==，线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE ，AB BD∴=，ABD90∠=，ABC DBE90∠∠∴+=，A ABC90∠∠+=，A DBE∠∠∴=，在ABC和BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC∴≌()BDE AAS，BC DE a∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()3如图3，过点A作AF BC⊥与F，过点D作DE BC⊥的延长线于点E，AFB E90∠∠∴==，11BF BC a22==，FAB ABF90∠∠∴+=，ABD90∠=，ABF DBE90∠∠∴+=，FAB EBD ∠∠∴=，线段BD 是由线段AB 旋转得到的，AB BD ∴=，在AFB 和BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AFB ∴≌()BED AAS ，1BF DE a 2∴==， 2BCD1111SBC DE a a a 2224=⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21a 4．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.3．已知：如图1，将两块全等的含30º角的直角三角板按图所示的方式放置，∠BAC=∠B 1A 1C =30°，点B ，C ，B 1在同一条直线上． （1）求证：AB =2BC（2）如图２，将△ABC 绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB 与A 1C 、A 1B 1分别交于点D 、E ，AC 与A 1B 1交于点F ．当α等于多少度时，AB 与A 1B 1垂直？请说明理由．（3）如图3，当△ABC 绕点C 顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB ∥CB 1，AB 与A 1C 交于点D ，试说明A 1D=CD ．【答案】（1）证明见解析（2）当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直. （3）理由见解析 【解析】试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB =BB 1，又因为BB 1=2BC ，得出AB =2BC ; (2) 利用AB 与A 1B 1垂直得∠A 1ED=90°，则∠A 1DE=90°-∠A 1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A 1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA 1=90°-∠A 1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直； (3)由于AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=12AC ，再根据旋转的性质得AC=A 1C ，所以CD=12A 1C ，则A 1D=CD ． 试题解析：（1）∵△ABB 1是等边三角形； ∴ AB =BB 1 ∵ BB 1=2BC ∴AB =2BC（2）解：当AB 与A 1B 1垂直时，∠A 1ED=90°， ∴∠A 1DE=90°-∠A 1=90°-30°=60°， ∵∠B=60°，∴∠BCD=60°， ∴∠ACA 1=90°-60°=30°，即当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直. （3）∵AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°， ∴∠CDB=90°，即CD 是△ABC 的高，设BC=a ，AC=b ，则由（1）得AB=2a ，A 1C=b ， ∵1122ABC S BC AC AB CD ∆=⨯=⨯， 即11222ab a CD =⨯⨯ ∴12CD b =，即CD=12A 1C ， ∴A 1D=CD.【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．4．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为，且，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．【答案】（1）30°；（2）30°；（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°.【解析】试题分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小.（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，连结DF、BF．AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次证明△DCB≌△FCB，△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，求得答案．试题解析：（1）30°；（2）30°；（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA=40°．∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°．∴∠DCB=∠FCB=20°．①∵AC=CD，AC=FC，∴DC=FC．②∵BC=BC，③∴由①②③，得△DCB≌△FCB，∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，∴∠BAF=40°．∵∠ACD=20°，AC=CD，∴∠CAD=80°．∴∠DAF=20°．∴∠BAD=∠FAD=20°．④∵AB=AC，AC=AF，∴AB=AF．⑤∵AD=AD，⑥∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．∴FD=BD．∴FD=BD=FB．∴∠DBF=60°．∴∠CBD=30°．（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°．考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等边三角形的判定和性质．5．小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC ，△DEF 均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A （1，1），B （2，2），C （2，1），D （2，0），E（22， 0），F （322，22-）．（1）他们将△ABC 绕C 点按顺时针方向旋转450得到△A 1B 1C ．请你写出点A 1，B 1的坐标，并判断A 1C 和DF 的位置关系；（2）他们将△ABC 绕原点按顺时针方向旋转450，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线2y 22x bx c =++上．请你求出符合条件的抛物线解析式；（3）他们继续探究，发现将△ABC 绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线2y x =上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P 的坐标．请你直接写出点P 的所有坐标．【答案】解：（1）222222b c 0{3232222b c 222+=⎛++= ⎝⎭． A 1C 和DF 的位置关系是平行．（2）∵△ABC 绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF ，∴①当抛物线经过点D 、E 时，根据题意可得：(222222b c 0{2222b c 0++=++=，解得b 12{c 82=-= ∴2y 2x 12x 82=-+②当抛物线经过点D 、F 时，根据题意可得：222222b c 0{3232222b c 222++=⎛++= ⎝⎭，解得b 11{c =-=∴2y 11x =-+③当抛物线经过点E 、F时，根据题意可得：(22c 0{c ++=+=⎝⎭，解得b 13{c =-=∴2y 13x =-+ （3）在旋转过程中，可能有以下情形：①顺时针旋转45°，点A 、B 落在抛物线上，如答图1所示， 易求得点P 坐标为（0，12）． ②顺时针旋转45°，点B 、C 落在抛物线上，如答图2所示， 设点B′，C′的横坐标分别为x 1，x 2，易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b ． 联立y=x 2与y=x+b 得：x 2=x+b ，即2x x b 0--=，∴1212x x 1x x b +==-，． ∵B′C′=1，∴根据题意易得：12x x -=，∴()2121x x 2-=，即()212121x x 4x x 2+-=． ∴114b 2+=，解得1b 8=-． ∴21x x 08-+=，解得2x 4+=x或2x 4-=． ∵点C′的横坐标较小，∴2x 4=．当x =时，2y x ==∴P（2438-）． ③顺时针旋转45°，点C 、A 落在抛物线上，如答图3所示， 设点C′，A′的横坐标分别为x 1，x 2．易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y x b =-+． 联立y=x 2与y x b =-+得：2x x b =-+，即2x x b 0+-=，∴1212x x 1x x b +=-=-，．∵C′A′=1，∴根据题意易得：122x x 2-=，∴()2121x x 2-=，即()212121x x 4x x 2+-=． ∴114b 2+=，解得1b 8=-． ∴21x x 08++=，解得22x 4-+=x 或22x 4--=． ∵点C′的横坐标较大，∴22x 4-+=． 当22x 4-+=时，2322y x 8-==． ∴P （22-+，322-）． ④逆时针旋转45°，点A 、B 落在抛物线上．因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y 轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在．⑤逆时针旋转45°，点B 、C 落在抛物线上，如答图4所示，与③同理，可求得：P （22-+，322-）． ⑥逆时针旋转45°，点C 、A 落在抛物线上，如答图5所示， 与②同理，可求得：P （22+，322+）． 综上所述，点P 的坐标为：（0，122-），（224-，3228-），P （224-+，3228-，（224+，3228+）．【解析】（1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解．（2）首先明确△ABC 绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF ，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解．（3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解．考点：旋转变换的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用．6．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD m·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．【答案】（1）PE=PF；（2）①成立，理由参见解析；②；③PE=2PF，理由参见解析；PE=（m-1）·PF．【解析】试题分析：（1）可利用角平分线性质定理得到PE=PF；（2）①成立，可用角边角定理判定△AOF≌△DOE，从而得到PE=PF；②要想求出EF的长，关键要求出OE的长，由∠DOM15°可得∠AEO=45＋15=60º，作OH⊥AD于H，若正方形的边长为2，则OH=1，可算出EH==，∴OE=，∵△EOF是等腰直角三角形，∴EF即可求出；③构建相似三角形，过P点作PH⊥AB，PK⊥AD ，垂足为H、K，则四边形AHPK为矩形，△PHB和△PKD都是等腰直角三角形，是相似的，∵BD3BP，∴可算出HP:PK的值，然后通过△FHP∽△PKE得到PE与PF的关系．由前面的思路可得出当BD=m·BP时，BD:PD=（m-1）：1，∴PE:PF=（m-1）：1，从而确定PE与PF的数量关系．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAF=∠OAE=45º，又∵PM⊥AD、PN⊥AB，∴PE=PF；（2）①成立，PE仍等于PF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAF=∠ODE=45º，OA=OD，又∵∠AOF和∠DOE都是∠AOE的余角，∴∠AOF=∠DOE，∴△AOF≌△DOE（ASA），∴OE=OF，即PE=PF；②作OH⊥AD于H，由∠DOM15°可得∠AEO=45＋15=60º，∠HOE=30°，若正方形的边长为2，则OH=1，在Rt△HEO中，可算出EH==，∴OE=，∵△EOF是等腰直角三角形，∴EF=OE=×=；③构建相似三角形，过P点作PH⊥AB，PK⊥AD ，垂足为H、K，则四边形AHPK为矩形，∵∠PHB=∠PKD=90°∠PBH=∠PDK=45°，∴△PHB∽△PKD，∴，∵BD=3BP，∴=，∵∠HPF+∠FPK=90°∠KPE+∠FPK=90°，∴∠HPF=∠KPE，又∵∠PHF=∠PKE=90°，∴△PHF∽△PKE，∴=，即PE="2PF" ；当BD=m·BP时，BD:PD=（m-1）：1，△PHF∽△PKE，PE:PF=BD:PD=（m-1）：1，∴PE=（m-1）·PF．考点：1．正方形性质；2．三角形相似的判定；3．旋转性质；4．探索线段的数量关系规律．7．如图，在边长为1的正方形网格中，A（1，7）、B（5，5）、C（7，5）、D（5，1）．（1）将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE．当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；（2）线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．【答案】（1）见解析；5π；（2）旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．【解析】【分析】（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线，再运用弧长计算公式即可解答；（2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求.【详解】解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为229024180π⨯⨯+＝5π；（2）如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的关键.8．如图，四边形ABCD中，45ABC ADC∠=∠=，将BCD∆绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到ACE∆.（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若2AD =，3CD =，试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长.【答案】（1）ABC ∆是等腰直角三角形，理由详见解析；（222【解析】【分析】（1）利用旋转不变性证明A4BC 是等腰直角三角形.（2）证明ACDE 是等腰直角三角形，再在Rt △ADE 中，求出AE 即可解决问题.【详解】解：（1）ABC ∆是等腰直角三角形.理由：∵BC CA =，∴45CBA CAB ∠=∠=，∴90ACB ∠=，∴ACB ∆是等腰直角三角形.（2）如图：由旋转的性质可知：90DCE ACB ∠=∠=，3CD CE ==，BD AE =， ∴32DE =45CDE CED ∠=∠=，∵45ADC ∠=，∴454590ADE ∠=+=， ∴()222223222AE AD DE =+=+=∴22BD AE ==【点睛】本题考查旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。