广西钦州市高三元月调考数学试卷(理科)
钦州市高三大联考(理科数学)
钦州市2022年高三毕业班第一次调研测试理科数学〔必修＋选修Ⅱ〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．第一卷1至2页,第二卷3至8页．测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回．共150分．测试时间120分钟．第一卷考前须知：1．做题前,考生在做题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上．3．本卷共12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的． 参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么 P 〔A ＋B 〕＝P 〔A 〕＋P 〔B 〕． 如果事件A 、B 相互独立,那么 P 〔A ·B 〕＝P 〔A 〕·P 〔B 〕．如果事件A 在1次试验中发生的概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C P P -=-．球的外表积公式 S 球＝4πR 2 其中R 表示球的半径．球的体积公式 V 球＝43πR 3 其中R 表示球的半径．一、选择题：1．如图,U 是全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,那么阴影局部所表示的集合是 〔A 〕〔M P 〕S 〔B 〕〔M P 〕S 〔C 〕〔M P 〕〔U S 〕 〔D 〕〔MP 〕〔U S 〕2．设函数f 〔x 〕＝sin 〔πx －π2〕,那么以下命题中正确的选项是 〔A 〕f 〔x 〕是周期为1的奇函数 〔B 〕f 〔x 〕是周期为2的偶函数 〔C 〕f 〔x 〕是周期为1的非奇非偶函数 〔D 〕f 〔x 〕是周期为2的非奇非偶函数MSPU3．有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕44．函数y ＝log〔x －1〕的反．函数的图象是〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5．设abc ≠0,“ac ＞0〞是“曲线ax 2＋by 2＝c 为椭圆〞的 〔A 〕充分非必要条件 〔B 〕必要非充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既非充分又非必要条件 6．向量a 、b 为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a ＋3b |的值是〔A 〔B 〔C〔D 〕47．用1,2,3,4,5这五个数字,组成比20 000大,而且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有 〔A 〕64个〔B 〕72个〔C 〕78个〔D 〕96个8．等差数列｛a n ｝中,如a 1＋a 2＋a 3＝6,a 10＋a 11＋a 12＝9,那么a 1＋a 2＋…＋a 12＝ 〔A 〕15〔B 〕30〔C 〕45〔D 〕609．椭圆2225x y t +＝１,两焦点间距离为6,那么t ＝ 〔A 〕16 〔B 〕34 〔C 〕16或34〔D 〕1110．双曲线的两个焦点为F 1〔－,0〕,F 2〔,0〕,P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|＝2,那么该双曲线的方程〔A 〕2223x y -＝1 〔B 〕2232x y -＝1 〔C 〕224y x -＝1 〔D 〕224x y -＝1 11．奇函数f 〔x 〕的定义域为：｛x ｜｜x ＋2－a ｜＜a ,a ＞0｝,那么a 的值为〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕312．函数f 〔x 〕在R 上是增函数,A 〔０,－2〕、B 〔4,2〕是其图象上的两点,那么不等式|f 〔x ＋2〕|＜2的解集是 〔A 〕〔－∞,－2〕∪〔2,＋∞〕 〔B 〕〔－2,2〕 〔C 〕〔－∞,0〕∪〔4,＋∞〕〔D 〕〔0,4〕钦州市2022年高三毕业班第一次调研测试理科数学〔必修＋选修Ⅱ〕第二卷考前须知：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的工程填写清楚． 3．本卷共10小题,共90分． 二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分．把答案填在题中横线上．13．222lim 23n n nn →∞+-＝ ．14．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称,那么k ＝． 15．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出两个,那么其中含红球个数的数学期望是_________________．16．如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,将该正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为 ．BA 1三、解做题：本大题共6小题,共74分．解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤． 17．〔本小题总分值12分〕一扇形的周长为c 〔c ＞0〕,当扇形的弧长为何值时,它有最大面积？并求出面积的最大值. 18．〔本小题总分值12分〕从6位女同学和4位男同学中随机选出3位同学进行体能测试,每位女同学能通过测试的概率均为45,每位男同学能通过测试的概率均为35,试求：〔1〕选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率；〔2〕10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测试的概率．有三个居民小区A、B、C构成△ABC,AB＝700m、BC ＝800m、AC＝300m．现方案在与A、B、C三个小区距离相等处建造一个工厂,为不影响小区居民的正常生活和休息,需在厂房的四周安装隔音窗或建造隔音墙．据测算,从厂房发出的噪音是85分贝,而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝．每安装一道隔音窗噪音降低3分贝,本钱3万元,隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙噪音降低15分贝,本钱10万元；距离厂房平均每25m噪音均匀降低1分贝．〔1〕求∠C的大小；〔2〕求加工厂与小区A的距离．〔精确到1m〕；〔3〕为了不影响小区居民的正常生活和休息且花费本钱最低,需要安装几道隔音窗,建造几堵隔音墙?〔计算时厂房和小区的大小忽略不计〕20．〔本小题总分值12分〕如图①所示的等腰梯形ABCD 中,上底和高均为2,下底边长为＋2,DE ⊥AB 于E ,CF ⊥AB 于F ,将△AED 、△BFC 分别沿DE 、CF 折起,使A 、B 重合于P 得图形②．在空间图形②中：〔1〕求证：FP ⊥平面PDE ；〔2〕求EF 与面PDF 所成的角的大小．ABCD EFDCEF(,)P A B ②①等比数列｛a n｝中,a1＝64,公比q≠1,a2、a3、a4又分别是某等差数列的第7项、第3项、第1项．〔1〕求等比数列｛a n｝的通项公式a n；〔2〕设b n＝log2a n,求数列｛|b n|｝的前n项和．如图,过点D 〔－2,0〕的直线l 与椭圆22x ＋y 2＝1交于不同的两点A 、B ,点M 是弦AB的中点．〔1〕假设OP ＝OA ＋OB ,求点P〔2〕求|MD ||MA |的取值范围．钦州市2022年高三毕业班第一次调研测试理科数学参考答案及评分标准说明：1、如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．2、对计算题,当考生的解答在某一步出错时,如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继局部的给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误,就不再给分．3、解答右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：〔每题5分,共60分〕二、填空题：〔每题4分,共16分〕13．1214．215．6516．〔4＋〕a 2三、解做题：17．解：设扇形的半径为R ,弧长为l ,面积为S ,∵c ＝2R ＋l ,∴R ＝2c l-,〔l ＜c 〕． ·························································· 2分 那么S ＝12Rl ＝12×2c l -·l ＝14〔cl －l 2〕 ·············································· 6分＝－14〔l 2－cl 〕＝－1422c l ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋216c , ············································· 8分 ∴当l ＝2c时,S max ＝216c ． ···································································· 11分答：当扇形的弧长为2c时,扇形有最大面积,面积的最大值是216c . ··················· 12分18．解：〔1〕易知选出的3位同学中,没有选到一位男同学的概率是36310C C , ··················· 4分∴选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率P ＝1－36310C C ＝56； ·········· 6分〔2〕除女同学甲和男同学乙同时被选中外还有另外的8个同学中有一位同学的概率是18310C C , ······················································································ 10分 ∵每位女同学能通过测试的概率均为45, 每位男同学能通过测试的概率均为35, ∴10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测试的概率P ＝18310C C ×45×35＝4125． ························································ 12分19．解：〔1〕由余弦定理得cos ∠C ＝12,∠C ＝60º； ·············································· 3分 〔2〕由题设知,所求距离为△ABC 外接圆半径R , ······································· 4分由正弦定理得R ＝7002sin C∠＝404． ·················································· 6分答：加工厂与小区A 的距离约为404m ； ········································· 7分 〔3〕设需要安装x 道隔音窗,建造y 堵隔音墙,总本钱为S 万元,由题意得：40485315150,2503,0,,N .x y x y x y *⎧---⨯≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≥⎪∈⎪⎩即5 6.28,03,0,,N .x y x y x y *+≥⎧⎪≤≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩ ·································· 9分 其中S ＝3x ＋10y ,当x ＝2,y ＝1时,S 最小值为16万元． ······················· 11分 答：需安装2道隔音窗,建造1堵隔音墙即可． ·································· 12分20．解法一：〔1〕在等腰梯形ABCD 中,EF ＝DC ＝2,AE ＝BF································· 1分而AE ＝PE ,BF ＝PF ,∴PE 2＋FP 2＝EF 2,∴PF ⊥EP ． ································ 2分 又∵AE ⊥DE 〔即PE ⊥DE 〕,EF ⊥DE ,∴DE ⊥面PEF , ····························· 4分 ∴DE ⊥FP ,∴FP ⊥面PDE ； ······························································· 6分 〔2〕由〔1〕得FP ⊥面PDE ,∴面FPD ⊥面PDE , ······················· 7分作EM ⊥DP 于M ,那么EM ⊥面PDF , ································· 8分 连结FM ,那么∠EFM 为EF 与面PDF 所成的角． ················ 9分 在Rt △PED 中,EM PE ＝DEPD,可得,EM ＝2×2 4＋2 ＝2 3 , ··························· 10分∴sin∠EFM ＝EMEF,∴∠EFM ＝． ···················· 11分故EF 与面PDF 所成的角的大小为． ····································· 12分 解法二：〔1〕以E 为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系E －xyz , ···························· 1分那么依题意得D 〔0,0,2〕,C 〔0,2,2〕,F 〔0,2,0〕,P 〔1,1,0〕, ························ 2分 ∴FP ＝〔1,－1,0〕,ED ＝〔0,0,2〕,PD ＝〔－1,－1,2〕． ······················· 3分 ∵FP ·ED ＝〔1,－1,0〕·〔0,0,2〕＝0 ·························· 4分 FP ·PD ＝〔1,－1,0〕·〔－1,－1,2〕 ＝－1＋1＋0＝0, ············································· 5分 ∴FP ⊥ED ,FP ⊥PD ,∴FP ⊥平面PDE ； ·························· 6分 〔2〕设面PDF 的法向量n ＝〔x ,y ,z 〕,那么0,0,FP PD n n ==⎧⎪⎨⎪⎩即(,,)(1,1,0)0,(,,)(1,1,2)0,x y z x y z -=⎧⎨--=⎩∴0,20.x y x y z -=⎧⎨+-=⎩ ····························· 8分 取y ＝2,那么n ＝〔2,2,2〕． ································································· 9分 设EF 与面PDF 所成的角为α,那么|EF n |＝|EF |·|n |sin α, ··············· 10分 ∴sin α＝|(0,2,0)·(2,2,2)| 2×4＋4＋4 ＝ 3 3 ,α＝． ························· 11分故EF 与面PDF 所成的角的大小为． ······································ 12分 DCE F(,)PA B M21．解：〔1〕∵2373a a --＝3431a a --,∴2(1)4a q -＝22()2a q q -, ···································· 2分2q 2－3q ＋1＝0,∴q ＝12, ································································· 4分 ∴a n ＝27n -； ··············································································· 6分 〔2〕b n ＝log 2a n ＝log 227n -＝7－n , ··························································· 8分∴当1≤n ≤7时,|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12〔13n －n 2〕; ···················· 10分 ∴当n ≥8时,|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝〔b 1＋b 2＋…＋b 7〕－〔b 8＋b 9＋…＋b n 〕 ········· 11分＝2〔b 1＋b 2＋…＋b 7〕－〔b 1＋b 2＋…＋b n 〕 ······· 12分 ＝42－12〔13n －n 2〕． ···································· 13分 22．解：〔1〕设直线l 的方程为y ＝k 〔x ＋2〕,P 〔x ,y 〕,A 〔x 1,y 1〕,B 〔x 2,y 2〕, ············ 1分由22(2),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：〔1＋2k 2〕x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0, ··························· 3分 ∴△＝64k 4－4〔1＋2k 2〕〔8k 2－2〕＞0,∴0≤k 2＜12 ． ························· 4分∵OP ＝OA ＋OB ,∴x ＝x 1＋x 2＝－22812k k +,y ＝y 1＋y 2＝k 〔x 1＋x 2＋4〕＝2412kk +, ············ 5分 消去k 得：x 2＋2y 2＋4x ＝0, ···························································· 6分 又x ＝－2284412k k +-+＝－4＋2412k +∈(2,0]-,∴点P 的轨迹方程为：x 2＋2y 2＋4x ＝0,〔－2＜x ≤0〕； ························ 7分 〔2〕|MD ||MA | ＝12M M x x x +-＝12214x x x x ++-························· 9分24······························· 11分∵0≤k 2＜12 ,∴|MD ||MA |∈)+∞． ··············································· 13分。
广西壮族自治区钦州市第四中学2023届高三上学期1月考试数学(理)试题(含答案解析)
广西壮族自治区钦州市第四中学2023届高三上学期1月考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知在平行四边形ABCD 中，AB m =，2AD =，120ADC ∠=︒，12BE BC =，18AB AE ⋅=，则m =（）A ．6B ．4C ．3D ．22．在ABC ∆中，0OA OB OC ++= ，2AE EB =，AB AC λ= ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则实数λ=A B C D ．623．在ABC 中，设222AC AB AM BC -=⋅，那么动点M 的轨迹必通过ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心4．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．85．如图，在△ABC 中,13AN NC = ,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为A ．B ．C ．19D ．6．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则()AC AB CD +⋅=（）A ．0B ．1C ．2-D ．1-7．设向量,i j 是互相垂直的单位向量，则与向量+i j 垂直的一个单位向量是（）A ．- i jB．()2- i j C)- i j D．)2-- i j8．已知a ，b 为非零向量，m a tb =+ ()t ∈R ，若1a = ，2b = ，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a ，b的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．在ABC 中，M 为边BC 的中点，若CM mAB nAC =+，则m n +=（）A ．1B ．1-C ．0D ．不确定10．已知向量1(1,)2a =- ，(2,)b m =- ，若a 与b 共线，则||b = （）ABCD．11．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A ．a 与a λ-的方向相反B ．a a λ-≥ C ．a 与2a λ的方向相同D ．a aλλ-= 二、填空题12．设1e ，2e 是两个不共线的空间向量，若122A e e B -= ，1233BC e e =+ ，12CD e ke =+uu u r u r u r，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为______.13．已知平面向量a ，b满足a b =a 与b 夹角的大小为___________.14．已知向量,a b满足()5a a b ⋅+= ，且2= a ，1= b ，则向量a 与b 的夹角为___________.15．若ABC 是边长为1的等边三角形，则AB BC ⋅=______.三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量(),m a c →=，()cos ,cos n C A →=.(1)若//m n →→，c =，求A .(2)若3sin m n b B →→⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值.17．已知向量 1()()()0a cos sin b cos sin c ααββ＝，，＝，，＝-，．(1)求向量b c +r r的模的最大值；(2)若4πα=，且()a b c ⊥+，求cos β的值．18．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，△ABC 为等边三角形，E是CD 的中点.设AB a = ，AD b =.(1)用a ，b表示AC ，A E ；(2)求∠BAE 的余弦值.19．已知平面向量()1,a x =，()23,b x x =+- ，x R ∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）若//a b，求2a b + .20．已知向量()1,2a =r，()3,4b =- .(1)求a b + 与a b -的夹角：(2)若c 满足()c a b ⊥+ ，()//c a b + ，求c 的坐标.21．如图，四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 上的点，且AE BE =，2CF DF =，设DA a = ，DB b = ，DC c = (1)以{},,a b c为基底表示FE ；(2)若60ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，且4DA = ，3DB = ，3DC = ，求FE .参考答案：1．B【分析】利用向量加减法运算，对AB AE ⋅进行分解，再利用数量积公式即可求解.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以AB DC = ，BC AD =，又12BE BC= 则()1122AB AE DC AB BE DC DC BC DC DC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21122DC DC DA DC DC DA ⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭，又因为AB m =，2AD =，120ADC ∠=︒，则2221112cos12018222DC DC DA m m m m -⋅=-⨯⨯⨯=+= ，因为0m >，解得4m =.故选：B 2．D【解析】将AO 、EC 用AB 、AC表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅ 中计算即可.【详解】由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+= ()AB AC + ，又2AE EB = ，所以23EC AC AE AC AB =-=- ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅ 2()3AC AB -2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅ ，所以2223AB AC = ，||2||AB AC λ===.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3．C【分析】设BC 的中点是O ，根据题意化简可得0MO BC ⋅=，即可确定M 的轨迹.【详解】设BC 的中点是O ，()()2222AC AB AC AB AC AB AO BC AM BC -=+⋅-=⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，即()0AO AM BC MO BC -⋅=⋅= ，所以MO BC ⊥ ，所以动点M 在线段BC 的中垂线上，故动点M 的轨迹必通过ABC 的外心，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.4．D【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)M N ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(0,2),(3,4)FM FN ==，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+，与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680，解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ，所以(0,2),(3,4)FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)M N ，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.5．C【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m 的值.【详解】如下图，∵,,B P N三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.6．D【分析】由题可得()()()1,0,2,1,1,2AC AB CD ===-，即求.【详解】由题把图形看作平面直角坐标系的一部分则()()()1,0,2,1,1,2AC AB CD ===-，∴()()()3,11,2321AC AB CD +⋅=⋅-=-+=-.故选：D.7．B【分析】由已知得1,0==⋅= i j i j ，分别计算四个选项的模长、且与+ i j 的数量积逐项判断可得答案.【详解】向量,i j是互相垂直的单位向量，所以1,0==⋅= i j i j ，1-=i j ，故A 错误；)12-= i j ，且()())11022-+=-= i j i j ，故B 正确；)21-=≠i j ，故C 错误；)1--= i j ，但是()2-- i j ()⋅+ i j =()222-+⋅= i j D 错误.故选：B.8．C【分析】由已知可得2244cos 1m t t θ=++ ，根据已知以及二次函数的性质可得4cos 1244θ-=⨯，解得1cos 2θ=-，即可求出结果.【详解】设向量a ，b的夹角为θ，[]0,πθ∈.由m a tb =+可得()222222m a tba tb ta b =+=++⋅ 2222cos a t b t a b θ=++⋅ 244cos 1t t θ=++.由已知可得，4cos 1244θ-=⨯，所以1cos 2θ=-，因为[]0,πθ∈，所以2π3θ=.故选：C.9．C【分析】结合已知条件，利用向量,AB AC 表示CM，根据平面向量基本定理求,m n 即可.【详解】因为M 为边BC 的中点，所以12CM CB =，所以()12CM AB AC =- ，因为CM mAB nAC =+ ，,AB AC不共线，由平面向量基本定理可得11,22m n ==-，所以0m n +=，故选：C.10．B【分析】先依据向量平行充要条件求得参数m ，再去求||b即可解决.【详解】由a 与b 共线，可得1(2)(02m --⨯-=，解之得1m =，则(2,1)b =-，||b =故选：B 11．C【详解】由于0λ≠,所以20λ>,因此a 与2a λ方向相同.选C12．25##0.4【分析】由向量加法得1252AC e e =+，由A ，C ，D 三点共线得250k -=，即可求【详解】∵122A e e B -= ，1233BC e e =+ ，12CD e ke =+uu u r u r u r，∴1252AC AB BC e e =+=+ ，又∵A ，C ，D 三点共线，∴//AC CD ，∴250k -=，∴25k =.故答案为：25.13．π2##90 【分析】将等式两边平方，利用向量的数量积和夹角公式即可求解.【详解】知平面向量a ，b满足a b ==，则a 与b夹角的大小由=a 22222++⋅= a b a ba ，即222=+⋅ a b a b ，因为a b = ，所以20⋅=a b ，所以cos ,0⋅==⨯a ba b a b，得π,2a b = .故答案为：2π.14．3π【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可.【详解】设向量a 与b的夹角为θ，因为向量,a b满足()5a a b ⋅+= ，且2= a ，1= b ，所以22215cos θ+⨯⨯=，解得1cos 2θ=，因为[]0,θπ∈所以3πθ=.故答案为：3π.15．12-【分析】根据数量积的定义可求数量积.【详解】因为ABC 为边长为1的等边三角形，所以1AB BC ==uu u r uu u r，=60B ∠︒，而向量AB 和BC的夹角为B ∠的补角，所以11cos1201122AB BC AB BC ⎛⎫⋅⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭⋅= .故答案为：12-.16．(1)6π；【分析】（1）由向量共线得cos cos a A c C =，进而根据正弦定理边角互化整理得sin 2sin 2A C =，进一步得2A C π+=，再求解tan 3a A c ==即可得答案；（2）由向量数量积运算得cos cos 3sin a C c A b B +=，再根据正弦定理边角互化并整理得1sin 3B =，进一步根据sin sin A B >得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos =B 最后根据()cos cosC A B =-+并结合余弦的和角公式计算即可.【详解】（1）解：因为(),m a c →=，()cos ,cos n C A →=，//m n →→，所以cos cos a A c C =，所以有正弦定理边角互化得sin cos sin cos A A C C =，即sin 2sin 2A C =，因为(),0,A C π∈，所以A C =或2A C π+=,因为c =，所以2A C π+=，2B π=，所以在Rt ABC △中，tan a A c ==所以6A π=.（2）解：因为(),m a c →=，()cos ,cos n C A →=，3sin m n b B→→⋅=所以cos cos 3sin a C c A b B +=，所以由正弦定理得()()sin cos sin cos sin sin sin 3sin sin A C C A A C B B B B π+=+=-==，因为()0,,sin 0B B π∈≠，所以1sin 3B =，因为()4cos 0,0,5A A π=>∈，所以30,,sin 25A A π⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，因为sin sin A B >，所以A B >，即0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos =B ，所以()134cos cos sin sin cos cos 355C A B A B A B =-+=-=⨯-=17．（1）2（2）见解析【详解】试题分析（1）根据向量加法坐标表示以及向量模的坐标表示可得22||(1) b c cos β +＝-，再根据三角函数有界性可得模的最值（2）由向量垂直可得数量积为零，根据向量数量积坐标表示可得关于β的方程，解得β值，即得cos β的值．试题解析：解：(1) 1() b c cos sin ββ +＝－，，则222||() 2(1 )1b c cos sin cos βββ +＝-+＝-．∵1 1cos β≤≤－，2 04||b c ∴≤≤ ＋，即02||b c ≤≤ ＋.当 1cos β＝－时，||b c ＋取最大值2，∴向量b c ＋的模的最大值为2.(2)∵b c ＋＝(cos β－1，sin β)，) ( a b c cos cos cos sin sin αβααβ∴⋅ ＋＝－＋( )cos cos αβα＝－－.()a b c ⊥ ＋，(0)a b c ∴⋅ ＋＝，即() cos cos αβα－＝.又,cos cos ,2()44444k k Z πππππαββπ⎛⎫=∴-=-=±⋅∈ ⎪⎝⎭，22k πβπ∴=+ 或2,k k Z βπ=∈，cos 0β∴=或 1cos β＝.点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．(1)13AC a b =+ ，1223AE a =+(2)13【分析】（1）根据平面向量基本定理及平面向量的线性运算，结合图像即可得出答案；（2）易求得120BAD ∠=︒，求出AE AB ⋅ 及AE uu u r ，再根据cos ||||AE AB BAE AE AB ⋅∠=即可得解.【详解】（1）解：由图可知1133AC AB BC AB AD a b =+=+=+ ，因为E 是CD 的中点，所以11112()22323AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭ ，（2）解：因为//BC AD ，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =，所以13||||cos 1322a b a b BAD ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以212121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，||AE ==== .则12cos 13||||AE AB BAE AE AB -⋅∠==- ，所以∠BAE的余弦值为13-.19．（1）x 的值为1-或3；（2）25a b +=【分析】（1）根据向量垂直，数量积为0，得到一个关于x 的方程，解此方程，即可得解；（2）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标公式，可求出x 的值，进而得到2a b +，利用向量模的坐标运算即可得解.【详解】（1）a b ⊥ ，则()()()()1,23,1230a b x x x x x x ⋅=⋅+-=⨯++-= ，即2230x x --=，解得=1x -或3x =.所以，x 的值为1-或3.（2）若a b ，则()()1230x x x ⨯--+=，即()240x x +=，解得0x =或2x =-，当0x =时，()1,0a = ，()3,0b = ，()25,0a b += ，25a b += ，当2x =-时，()1,2a =-r ，()1,2b =-r ，()21,2a b +=- ，2a b += .故25a b +=【点睛】本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，(),a x y =r，则||a = ；（2）利用性质进a = ，结合向量数量积进行求解.20．(1)3π4；(2)22,3c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .【分析】（1）根据向量的坐标运算得出a b + 、a b - ，进而得到它们的模，根据数量积运算公式即可得出夹角的余弦值；（2）设(),c x y = ，表示出()1,2a c x y +=++ .根据向量垂直以及平行的坐标表示可得出26043100x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解方程组即可得出结果.【详解】（1）解：设a b + 与a b - 的夹角为θ.由已知可得()26a b +=- ,，()4,2a b -=- ，则a b +=a b -= ()()()246220a b a b +⋅-=-⨯+⨯-=- ，所以()()cos a b a b a b a b θ+⋅-=+-==又[]0,πθ∈，所以3π4θ=，所以a b + 与a b - 的夹角为3π4.（2）解：设(),c x y = ，则()1,2a c x y +=++ .由（1）知()26a b +=- ，，又()c a b ⊥+ ，所以()260c a b x y ⋅+=-+= .又()//c a b + ，所以()()()413243100x y x y +--+=++=.联立26043100x y x y -+=⎧⎨++=⎩可得，223x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以22,3c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .21．(1)111223FE a b =+-(2)FE =uur 【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接计算；（2）利用基底法，结合向量数量积的运算律求模长.【详解】（1）由已知2CF DF =得3DC DF = ，则()11113232FE FD DE DA AB DC DA DB DA =+=-++=-++- 111112123223DA DB DC b c =+-=+- ；（2）由（1）得111223FE a c =+- ，所以22222111111112234914233FE a b c a b c a b a c b c =+-=+++⋅-⋅-⋅ 222111111111274334343334492232324=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以FE =uur。
广西柳州市、贵港市、钦州市、河池市高三月份模拟数学理试题含答案
柳州市、贵港市、钦州市、河池市2013届高中毕业班一月份模拟考试数学（理）试题一、选择题（每题5分，共12小题，满分60分）1．若集合{11},{0,2}A B =-=，,则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中元素的个数为 A ． 5B ． 4C ． 3D ． 22．已知4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->,则sin 2θ= A ．2425-B ．1225- C ．45- D ．24253．已知等差数列{a }n满足：11231010,...0,aa a a a >++++=则使前n 项和ns 取得最大值的n 值为A ．50B ．51C ．50或51D ．51或524．复数21+i的平方等于 A ．2i - B ．2i C ．1i - D ．1i +5．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则m 的值为 A ．1 B ．-1 C ．4 D ．—46．已知函数()f x 的导函数'()fx 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是7．(1)1lim 2n a n n a→∞++=+，则a =A ．1B ．2C ．0D ．2-8．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有一名女生的选法共有A ．36种B ．30种C ．42种D ．60种9．函数2sin cos y x x x =-A ．3x π=B ．6x π=C ．12x π=D ．4x π=10．一个四面体A-BCD 中，AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为A ．50πB ．25πC ．253πD ．503π11．已知椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>，O为原点，F 为右焦点，点M是椭圆右准线l 上(除去与x 轴的交点）的动点，过F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆相较于点N ，则线段ON 的长为A ．cB ．bC ．aD ．不确定 12．已知函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把方程()0f x x -=的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为Ks5uA ．(1)2nn n a n N *-=∈）（ B ．(1)()nan n n N *=-∈ C ．1()nan n N *=-∈ D ．22()n nan N *=-∈二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．函数1()ln(1)1f x x =--的定义域是 。
2021届广西钦州市、崇左市高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试题
保密★启用前钦州市、崇左市 20 21 届高三第一次教学质量监测理科数学注意事项：1. 本卷共 150 分，考试时间120 分钟．答卷前，考生务必将自己的 姓名 、考生号等填写在答题 卡和试卷指定位置上．2. 回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上 ，写在本试卷上无效．3. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1. 已知全集 U = R , 集合A = {x | x (x -1) >0}, 那么集合C U AA. (-∞,0] U [l , +∞)B.(-∞,0) U (1,+∞)C.(0,1) D .[0,1]2. 在复平面内，复数z = ( i -2 ) (1 + i) 对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a , b ∈R , 则“a >｜b ｜”是“a ｜ a ｜> b ｜ b ｜”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为 A.2 B.1 C.116 D. 125. 若,||1OA AB OA ⊥=，则()OA OA OB ⋅+＝A. 2 B . 1 C . -1 D.06. 图 1 所示是某年第一季度五省 GDP 情况图，则下列说法中不正确．．．的是A.该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B.该年第一季度浙江省的 GDP 总量最低C.该年第一季度 GDP 总量讯和增速由高到低排位均居同一位次的省份有 2 个D.与去年同期相比，该年第一季度的 GDP 总量实现了增长 7. 某四棱锥的三视图如图 2 所示，则该四棱锥的体积为A.2B.2 2C.2 3D.48. 已 知 实 数 x , y 满足不等式 组11,3260,530,x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数 x - 2y 的最小值为 （A. -4B. 145-C. -6D.-7 9. 设113332,log 2,3a b c ===,则A. c > b > aB. a > c > b C . c > a > b D.a >b >c 10. 如图 3 是求数列123457,,,,,,234568…前 6 项和的程序框图，则① 处应 填入的内容为 A. 1i S S i =-+ B. 1i S S i =-- C. 1i S S i =++ D. 1i S S i =+- 11. 在△ABC 中，∠ A = π4，a 2+b 2 - c 2 = ab , c = 3 , 则 a = A.2 B.5C. 6D.312. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的 左 、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心 a 为半径的圆与 PF 1相切于点 M ，且PM = F 1M ， 则该双曲线的渐近线为A.y =±2xB.y =±xC. y=±3xD.y =±3x二、填空题：本 题 共 4 小 题 ，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 a π3π4(,),sin 225α∈=，则πtan()4α+＝ . 14. 二项式25()ax x +展开式中的常数项为 5 , 则实数a = . 15. 直 线 2a .x 十 by - l =0 (a > 0 ,b > 0) 过函数111y x =+-图象的对称中心，则11a b +的最小值为 .16. 对任意两实数 a , b , 定义运算“*”：2,,2,,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩则函数 f ( x ) = sin x *cos x 的值域为 .三、解答题：共 70 分 解答应写出 文字说明 、证明过程或 演算 步骤．第1 7~21 题为必考题 ，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题 ，考生根 据要求作答．（ 一）必考题：共 60 分．17. ( 本小 题 满分 12 分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2116,34n n a S a +==-.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若2log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前2020项和T 2020.18. ( 本小题满分 12 分）某单位共有员工 45人，其中男员工 27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的 方法抽取 5 名员工进行 考核．(1 ) 求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； ( 2) 考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人 进行访谈．设选出的 3人中女员工人数为 X , 求随机变量 X 的分布列和数学期望；( 3 ) 考核分笔试和答辩两项．5 名员工的笔试成绩分别为78 , 85 , 89 , 92 , 96 ; 结合答辩情况，他们的考核成绩分别为 95 , 88 , 102, 106 , 99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记2212,s s ，试比较21s 与 22s 的大小．（只需写出结论）19. (本小题满分12分）如图4,在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，四边形 BCC 1B 1是边长为2的正方形，AB ⊥平面BCC 1B 1，AB = 1, 点 E 为棱 AA 1 的中点．(1 ) 求证 ，BC 1⊥平面 A 1B 1C 1;(2 ) 求直线 BC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值．20. ( 本小题 满分 12 分）如图 5 , 已知焦点在x 轴上的 椭圆 C 的长轴长为4, 离心率为12. (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设O 为原点，椭圆 C 的左、右两个顶点分别为 A 、B ，点 P 是椭圆上与A ,B 不重合的任意一点 ，点 Q 和点 P 关于x 轴对称，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M , 求证： P , M 两点的横坐标 之积为定 值．21. ( 本小题 满分 12 分）已知函数 21()ln 2f x x x =+. (1 ) 求函数f (.x ) 在区间[1 ,e] 上的最大值和最小值；(2 ) 若 f ( x ) > (l -a ) x 2有解，求实数a 的取值范围．(二）选考题:共10分．请考生在第22、23 题中任选一 题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．22. ( 本小题 满分 10 分）［选修 4-4 : 坐标系与参数方程］在平面直角 坐标系内，直线 l 过点 P ( 3 , 2) , 且倾斜角 a = π6,以坐标原点 O 为极点 ，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方 程为=4sin ρθ..(1) 求圆 C 的直角坐标方程1(2) 设直线l 与圆C 交于A , B 两点，求| PA |+| PB |的值．23. (本小题 满分10 分）［选修 4- 5 , 不等式选讲］已知函数()|23|f x x =+.(1 ) 求不等式()3|1|f x x ≤+-的解集 ，( 2) 若不等式()2|22|f x a x >--对任意x ∈R 恒成 立，求实数a 的取值范围．。
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试(数学试题理)试题
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试（数学试题理）试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）A 1BCD2．已知集合{lgsin A x y x ==+，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．22⎛⎫⎪⎪⎝⎭3．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 5．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．6．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．33C ．22D ．327．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-8．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．139．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 10．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．211．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-12．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西柳州市、北海市、钦州市2015届高中毕业班1月份模拟考试理科数学试卷
广西柳州市、北海市、钦州市2015届高中毕业班1月份模拟考试理科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}20x x x M =-≤，函数()()22log 1f x x =-的定义域为N ，则MN =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1D ．(]1,0- 2、若复数31a iz i+=-（R a ∈，为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．6- D ．63、某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ ）A ．分层抽样法、系统抽样法B ．分层抽样法、简单随机抽样法C ．系统抽样法、分层抽样法D ．简单随机抽样法、分层抽样法 4、已知向量a 与b 的夹角为30，且1a =，21a b -=，则b =（）AB ．CD5、由曲线y =与3y x =所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．1112 B ．512 C ．23 D ．146、若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．12-B ．12C ．34D ．34-7、设变量x 、y 满足约束条件4020340x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则124yx z ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．188、在每条棱长都相等的底面是菱形的直棱柱1111CD C D AB -A B 中，C 3π∠AB =，侧棱1AA 与对角线1D B 所成的角为θ，则θ为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9、一个袋子中有号码为、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（ ） A ．35 B ．45C ．320D ．31010、阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，那么输入实数x 的取值范围是（ ）A ．[]2,1--B ．(],1-∞-C ．[]1,2-D ．[)2,+∞11、已知P 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12F F 0P ⋅P =，若12F F ∆P 的面积为9，则a b +的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 12、若()()111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知73ax⎛+ ⎝的展开式中，常数项为14，则a = （用数字填写答案）．14、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，若C 0AB⋅A =，a =，6b c +=，则cos A = ．15、设经过点()4,0-的直线与抛物线212y x =的两个交点为A 、B ，经过A 、B 两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线的斜率等于 ．角为120的等16、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知递增的等比数列{}n a 前三项之积为8，且这三项分别加上、2、2后又成等差数列．()1求等比数列{}n a 的通项公式；()2若不等式220n n n a a k +-≥对一切n *∈N 恒成立，求实数k 的取值范围．18、（本小题满分12分）9台发动机分别安装在甲、乙、丙3个车间内，每个车间3台，每台发动机正常工作的概率为12．若一个车间内至少有一台发动机正常工作，则这个车间不需要停产维修，否则需要停产维修．()1求甲车间不需要停产维修的概率；()2若每个车间维修一次需万元（每月至多维修一次），用ξ表示每月维修的费用，求ξ的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11C C AA ⊥底面C AB ，11C C 2AA =A =A =，C AB =B 且C AB ⊥B ，O 为C A 中点．()1设E 为1C B 中点，连接OE ，证明：//OE 平面1A AB ；()2求二面角11C A -A B -的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>，过椭圆顶点(),0a ，()0,b 的直线与圆2223x y +=相切．()1求椭圆C 的方程；()2若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足t OA +OB =OP （O 为坐标原点），当25PA -PB <21、（本小题满分12分）已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数． ()1若()()ln f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间； ()2若()()ln g x x x ϕ=+，且对任意1x ，(]20,2x ∈，12x x ≠，都有()()21211g x g x x x -<--，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AB 是O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交C A 的延长线于点E ，交D A 的延长线于点F ，过G 作O 的切线，切点为H ． 求证：()1C ，D ，F ，E 四点共圆；()22G G GF H =E ⋅．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）．曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．直线与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ．()1求曲线C 的直角坐标方程；()2求11+PA PB的值． 24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =-+-．()1当1a =-时，解不等式()3f x ≥；()2如果R x ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．柳州市、北海市、钦州市2015届高中毕业班1月份模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCBABCDACD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.１３．２ １４．53 １５．81１６．π3520三、解答题：本大题共6小题，共70分。
广西钦州市2024届高三年级第三次教学质量监测 数学【含答案】
广西钦州市2024届高三年级第三次教学质量监测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足2i 1i z -=+，则z =（）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+2．已知集合{}Z 10A x x =∈+>，{}B x x a =≤，若A B ⋂中有2个元素，则a 的取值范围是（）A ．[)2,4B ．[)1,2C ．[]2,4D ．[]1,23．某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：5588605487999851990110111110291120712634129011300113092131271326813562136211376113801141011417214191142921442614468145621462115061156011590119972估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（）A ．14292B ．14359C ．14426D ．144684．若函数()1y f x =-是定义在R 上的奇函数，则()()()101f f f -++=（）A ．3B ．2C ．2-D ．3-5．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．166．已知1F ，2F 分别是双曲线()222:104x yC b b-=>的左、右焦点，是M 双曲线C 右支上的一个动点，且“2212MF MF -”的最小值是C 的渐近线方程为（）A ．12y x=±B ．y =C ．22y x =±D ．32y x =7．已知点P 是边长为1的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，若直线AP 与平面ABCD 所成的角大小为π4，则点P 的轨迹长度为（）A ．B ．πC ．()24π2+D ．π28．已知n S 是公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，则“263,,S S S 成等差数列”是“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数()()sin 1f x x =+，则下列命题正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线=1x -对称C ．若()01f x =，则()022f x =D ．将()f x 的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数sin y x =的图象10．如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，EF AB ⊥，22CF EF DF ===，3AE =，4EB =，将四边形AEFD 沿EF 进行折叠，使AD 到达A D ''位置，且平面A D FE ''⊥平面BCFE ，连接A B '，D C '，如图2，则（）A ．BE A D ''⊥B ．平面//A EB '平面D FC'C ．多面体A EBCD F ''为三棱台D ．直线A D ''与平面BCFE 所成的角为π411．已知函数()ex kf x +=，函数()21e 2kx g x -=，且0k <，定义运算,,,,b a b a b a a b >⎧⊗=⎨≤⎩设函数()()()h x f x g x =⊗，则下列命题正确的是（）A ．()h x 的最小值为12B ．若()h x 在[]0,ln2上单调递增，则k 的取值范围为(],2ln 2-∞-C ．若()h x m =有4个不同的解，则m 的取值范围为31ln2221,e k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．若()h x m =有3个不同的解1x ，2x ，3,x 则1230x x x ++=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点()1,2P -在抛物线上C ，直线PF 与抛物线C 的另一个交点为A ，则AF =.13．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin 6sin c A C =，()2218a c b +=+，则ABC 的面积为.14．已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为12高为100，2实心球，则该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A =“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B =“抽取的学生建立了个性化错题本”，且2(|)3P A B =，5(|6P B A =，()23P B =.(1)求()P A 和()P A B .(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值0.005α=的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格不及格建立未建立合计参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.010.0050.001ax 6.6357.87910.82816．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA BC ==24CD AB ==.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足2PE ED =，求二面角P EF B --的正弦值.17．已知函数()sin cos f x a x x x =+.(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1a >-，证明：()f x 在()π,π-上有3个零点.18．平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.19．对于平面向量()(),,,0,1,2,k k k k k a x y x y k =∈=N，定义“F 变换”：()1k k a F a += ，其中{}{}{}11,max ,2min ,,max ,k k k k k k k k k k x x y y x y x y x y ++=-=-表示,k k x y 中较大的一个数，{}min ,k k x y 表示,k k x y 中较小的一个数.若k k x y =，则{}{}max ,min ,k k k k k k x y x y x y ===.记,k k k k k k a x y a x y ==+.(1)若()01,9a =，求2a 及2a ；(2)已知112024,2025a a == ，将1a经过m 次F 变换后，1m a + 最小，求m 的最小值；(3)证明：对任意0a u u r，经过若干次F 变换后，必存在k +∈N ，使得0k a = .1．A【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】因为2i 1i z -=+，所以()21i ii i 1i 1i z -+-+===----.故选：A 2．B【分析】根据{}0,1A B = 即可求解.【详解】{}{}Z 10Z 1A x x x x =∈+>=∈>-，因为A B ⋂中只有2个元素，则{}0,1A B = ，所以12a ≤<.故选：B 3．C【分析】根据给定数据，利用第75百分位数的意义求解即得.【详解】由3075%22.5⨯=，得样本的第75百分位数为第23个数据，据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426.故选：C 4．A【分析】根据奇函数的性质可得()()2f x f x +-=，进而可得()()112f f +-=，()01f =，即可求解.【详解】设()()1F x f x =-，则()()0F x F x +-=，即()()110f x f x -+--=，即()()2f x f x +-=，所以()()112f f +-=.因为()()0010F f =-=，所以()01f =，()()()101213f f f -++=+=.故选：A 5．B【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.【详解】将4个盒子按顺序拆开有44A 24=种方法，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，有22222222A 8A A A +=种情况，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为81243P ==.故选：B 6．C【分析】法一：根据条件，利用点到点的距离公式得到221204MF MF cx -=，再利用02x ≥，即可求出结果；法二：利用双曲线的定义，得到()22122442MF MF MF -=+，再利用2MF的取值范围，即可求出结果.【详解】解法一：不妨设()1,0F c -，()2,0F c ，()00,M x y ，且02x ≥，则()()222222120000048MF MF x c y x c y cx c ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以8c =，解得c b ，故双曲线C 的渐近线方程为2y x =.解法二：()()()22121212124MF MF MF MF MFMF MF MF -=-+=+()()244244228MF c c ⎡⎤=+≥+-=⎣⎦，所以8c =，解得c b ，故双曲线C 的渐近线方程为y x =.故选：C.7．D【分析】由题意，分析可得点P 的轨迹，分别计算各段轨迹的长度即可.【详解】若点P 在正方形1111D C B A 内，过点P 作PP '⊥平面ABCD 于P '，连接1,AP A P '.则PAP '∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，则π4PAP '∠=，又1PP '=，则PA =，得11PA =，则点P 的轨迹为以1A 为圆心半径为1的圆（落在正方形内的部分），若点P 在正方形11ABB A 内或11ADD A 内，轨迹分别为线段1AB 和1AD ，因为点P 不可能落在其他三个正方形内，所以点P 的轨迹如图所示：故点P 的轨迹长度为1π2π42⨯=.故选：D 8．A【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】因为n S 是公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和，所以若263,,S S S 成等差数列，则6232S S S =+，从而()()()6231112111111a q a q a q qq q---=+---，结合1q ≠化简得421qq =+，若,,m mn n a a a 成等差数列，则2mn m n a a a =+，即2mn m n q q q =+，所以()121n m m n q q --=+，故当()141n m m n ⎧-=⎨-=⎩时，有23n m =⎧⎨=⎩，即“263,,S S S 成等差数列”能推出“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”；反之，满足()121n m m n q q --=+不一定是421q q =+，如1n =，3m =，1q =-，满足()121n m m n q q --=+，但不满足421q q =+，即“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”推不出“263,,S S S 成等差数列”；所以“263,,S S S 成等差数列”是“存在不相等的正整数,m n ，使得,,m mn n a a a 成等差数列”的充分不必要条件.故选：A 9．AD【分析】对于A ，利用周期公式直接计算判断，对于B ，将=1x -代入函数验证，对于C ，由()01f x =求出0x ，再将02x 代入函数计算，对于D ，根据三角函数图象变换规律分析判断.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期为2π,A 正确.对于B ，因为()101f -=≠±，所以()f x 的图象不关于直线=1x -对称，B 错误.对于C ，由()()00sin 11f x x =+=，得0π12π,2x k k =-+∈Z ，所以()()()002sin 21sin π14πsin1f x x k =+=-+=，C 错误.对于D ，将()f x 的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数sin y x =的图象，D 正确.故选：AD 10．ABD【分析】求得,BE A D ''位置关系判断选项A ；求得平面A EB '与平面D FC '位置关系判断选项B ；利用三棱台定义判断选项C ；求得直线A D ''与平面BCFE 所成的角判断选项D.【详解】对于A ，因为平面A D FE ''⊥平面BCFE ，平面A D FE '' 平面BCFE EF =，BE EF ⊥，BE ⊂平面BCFE ，所以BE ⊥平面A D FE ''，所以BE A D ''⊥，A 正确.对于B ，因为//A E D F ''，'A E ⊄平面D FC '，D F '⊂平面D FC '，则//A E '平面D FC '，又//BE CF ，BE ⊄平面D FC '，CF ⊂平面D FC '，则//BE 平面D FC '，又A E BE E '⋂=，,A E BE '⊂平面A EB '，所以平面//A EB '平面D FC '，B 正确.对于C ，因为13D F A E =''，24FC EB =，则D F FC A E EB≠''，所以多面体A EBCD F ''不是三棱台，C 错误.对于D ，延长A D ''，EF 相交于点G ，因为平面A D FE ''⊥平面BCFE ，平面A D FE '' 平面BCFE EF =，A E '⊂平面A D FE ''，A E EF '⊥，所以A E '⊥平面BCFE ，则'∠A GE 为直线A D ''与平面BCFE 所成的角.因为//A E D F ''，所以D F GFA E GF FE''=+，解得1GF =，3GE =，tan 1A EA GE GE''∠==，则π4A GE ∠'=，D 正确.故选：ABD 11．AC【分析】对A ，对k 分类讨论，并作出分段函数的图象求出最小值即可；对B ，令0021ee 2kx x k---=，求出0x ，根据其单调性得到不等式，解出即可；对C 和D 结合图象转化为直线y m =与函数图象交点个数，并结合函数对称性即可判断.【详解】对A ，()e ,,ee ,,x k x kx k x k f x x k ++--⎧≥-==⎨<-⎩()2221e ,,122e21e ,.22k x kx kx kx g x k x ---+⎧≥⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩令21e e 2kx x k-+≥，解得2ln23k ≥-.当2ln203k -≤<时，作出函数()f x 和()g x 的图象，如图1所示.此时，()()h x g x =，显然当2k x =时，()min 122k g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2ln23k <-时，作出函数()h x 的图象，如图2所示.()()min 1f x f k =-=，()min 122k g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()h x 的最小值为12，综上()h x 的最小值为12，A 正确.对B ，令0021e e 2k x x k---=，解得01ln222k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013ln 222e e k x k ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭=.若()h x 在[]0,ln 2上单调递增，则01ln 2ln 222k x ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，解得2ln 2k ≤-.因为当2ln 203k -≤<时，()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以k 的取值范围为(]2ln 2,2ln 2,03∞⎡⎫--⋃-⎪⎢⎣⎭，B 错误.对CD ，若()h x m =有3个不同的解1x ，2x ，3x ，则结合图象可得()12301322ln2222k k x x x k x ⎛⎫++=⨯+--=-+ ⎪⎝⎭或123202kx x x k ++=⨯-=，D 错误.若()h x m =有4个不同的解，则13ln 2221,e k m ⎛⎫-+ ⎝⎭⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，C 正确.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题B 选项的关键是结合图象找到临界位置，从而得到不等式，CD 选项应结合函数图象，转化为直线与函数图象交点个数问题.12．2【分析】将()1,2P -代入抛物线方程，再根据直线PF 与x 轴垂直求解即可.【详解】由题意可得()2221p -=⨯，解得2p =，则()1,0F .所以直线PF 与x 轴垂直，()1,2A ，2AF =.故答案为：213【分析】由正弦定理角化边可得6ac =，再结合余弦定理可得cos B ，根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求解.【详解】解：因为2sin 6sin c A C =，由正弦定理可得：26ac c =，即6ac =，又()22 18a c b +=+，所以2221826a c b ac +-=-=，由2221cos 22a c b B ac +-==⇒sin B =所以133sin 22ABC S ac B ==，故答案为：332.14．49【分析】分析第1个实心球1O 上的点与第2个实心球2O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离，依次叠放，找出规律得到每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2，即可得到答案.【详解】如图，将第1个实心球1O 靠近该圆柱形容器侧面放置，球1O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为将第2个实心球2O 也靠近该圆柱形容器侧面放置，过点1O 作1O A 垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为A ，过点2O 作2O B 垂直于该圆柱形容器下底面，垂足为B ，设12O A O B C = .AC BC ==12CO =，22CO =，球2O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为2+.同理可得球3O 上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为4+.由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2.因为4821004922⨯+<⨯+，所以该圆柱形容器内最多可以放入49个这种实心球.故答案为：49【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2，从而得解.15．(1)()13P A =，()16P A B =(2)表格见解析，有关；【分析】（1）根据条件概率计算出结果；（2）利用独立性检验步骤进行计算得出结果；【详解】（1）因为2(|3P A B =，5(|6P B A =，所以1(|)1(|)3P A B P A B =-=，1(|1(|6P B A P B A =-=，由于(|)()(|)()P A B P B P B A P A ⋅=⋅，解得()23P A =，所以()13P A =.()()(|)((|)P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅，解得()16P A B =.（2）个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格不及格建立20424未建立4812合计241236零假设为0;H 期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.根据列联表中的数据，经计算得到()220.005362084497.87924121224x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯.根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.16．(1)证明见解析；【分析】（1）根据条件，利用线面平行的判定定理，得到//AB 平面PCD ，再线面平行的性质定理，得到//AB CD ，再利用条件得到4AC =，结合2AB =，BC =即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD 和平面ABE 的法向量，利用面面角的向量法，即可解决问题.【详解】（1）因为//AB EF ，EF ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，所以//AB CD ，连接AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PCA ∠是PC 与平面ABCD 的夹角，则tan 2PA PCA AC AC ∠==，解得4AC =.因为2AB =，BC =222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥.又AB CD ≠，所以四边形ABCD 是直角梯形.（2）取CD 的中点M ，连接AM ，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,P ，()2,0D -，()2,0C ，()0,2,0B ，()0,2,0AB =，(2,PC =- ，(2,PD =--，由2PE ED =，得4,,333E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则10,333BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则2020n PC y n PD y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1x =，得到0,1y z ==，即()1,0,1n = ，设平面ABE 的一个法向量为(),,m x y z =，则由00m AB m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到20100333y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，到1x =，得到0,2y z ==-，所以平面ABE 的一个法向量为()1,0,2m =-设二面角P EF B --的平面角为θ，则cos cos ,n m n m n m θ⋅==sin θ==故二面角P EF B --.17．(1)y x =(2)证明见解析【分析】（1）当0a =时求出()0f 、()0f '，再由直线的点斜式方程可得答案；（2）()00f =得0是()f x 的一个零点，再判断出()f x 为奇函数，只需要证明()f x 在()0,π上有1个零点即可，利用导数判断出()f x 在()0,π上的单调性，结合()()00,π0f f =<可得答案.【详解】（1）当0a =时，()()cos ,00f x x x f ==，()()cos sin ,01f x x x x f =''-=，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）因为()00f =，所以0是()f x 的一个零点，x ∈R 时，()()sin cos f x a x x x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，要证()f x 在()π,π-上有3个零点，只需要证明()f x 在()0,π上有1个零点，()()()1cos sin ,01f x a x x x f a =+'='-+，令函数()()()()()1cos sin ,2sin cos g x f x a x x x g x a x x x ==+--'+'=-，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以函数()()g x f x ='在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.因为()ππ010,022f a f ⎛⎫=+>=⎪⎭'- '<⎝，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '>，当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，因为()()()000,0,ππ0f f x f =>=-<，所以()f x 在()0,π上有1个零点，故()f x 在()π,π-上有3个零点.18．(1)()5,6B -(2)证明见解析【分析】（1）根据垂心以及外心满足的等量关系即可根据BE AE =，222BF EF AE +=，求解，（2）根据共线以及2AD EF =可得132s m =-，进而根据,AB CD 满足的垂直关系可得()()231313n m m =-+，联立直线与椭圆方程，得判别式，化简可得()()213313.b m m =--即可求解.【详解】（1）因为()3,0E ，所以()3,0D -.设BC 与x 轴的交点为(),0F m -，由题意可得2AD EF =，即()13323m +=+，解得5m =.设()5,B n -，因为BE AE =，所以222BF EF AE +=，则()()22235133n ++=-，解得6n =.所以()5,6B -.（2）证明：因为D 和E 关于原点O 对称，且A ，D ，E 三点共线，所以A ，D ，E ，O 四点共线，即点A ，D ，E ，O 都在x 轴上.因为AD 是ABC 的高，所以AD BC ⊥，即BC x ⊥轴.因为ABC 的外心为E ，所以BE CE =，所以点B 与点C 关于x 轴对称.设BC 与x 轴的交点为(),0F m -，(),B m n -，(),C m n --，(),0D s -，(),0E s ，由题意可得2AD EF =，即()132s m s +=+，化简得132s m =-.直线CD 的斜率为313n n s m m =-+-，直线AB 的斜率为13nm-+，所以131313n n m m ⎛⎫⋅-=- ⎪-+⎝⎭，化简得()()231313n m m =-+①直线AB 的方程为()1313ny x m=--+.椭圆()2222:10x y T a b a b+=>>与ABC 内切，所以a m =.联立()222213,131,n y x m x y m b ⎧=--⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩得()()2222222222221326169130b m m n x m n x m n m b m ⎡⎤++-+-+=⎣⎦.()()()222222222222Δ26413169130m n b m m n m n m b m ⎡⎤⎡⎤=-++-+=⎣⎦⎣⎦，即()()()24222221691313130n m b m m n m +-+-+=.因为()2130m +≠，所以()22222169130n b m m n -+-=，即()()()2221313130m m n b m +--+=，即()()2213130m n b m --+=.结合①可得()()213313.b m m =--设椭圆T 的焦距为2c ，则()()()22222213313213c m b m m m m s =-=---=-=，所以D ，E 为椭圆T 的两个焦点.【点睛】关键点点睛：根据2AD EF =以及垂心和外心满足的几何关系，根据相切，通过判别式为0化简的()()213313b m m =--是本题的关键.19．(1)226,7a a == (2)1349(3)证明见解析【分析】（1）先根据已知的新定义求出2a，从而可求出2a 及2a ；（2）根据112024,2025a a == 求出11,x y ，从而可求出2345678,,,,,,a a a a a a a，进而可得()(211,20243N n a n n ++=-∈且)202430n ->，则可求出m 的最小值；（3）分000,0x y ==，000,0x y =≠，000,0x y ≠=和000,0x y ≠≠四种情况讨论即可.【详解】（1）解：因为()01,9a = ，所以()18,7a = ，所以()21,6a =，所以22166,167a a =⨯==+=.（2）解：因为1111112024,2025a x y a x y ===+= ，所以112024,1x y =⎧⎨=⎩或111,2024,x y =⎧⎨=⎩所以{}{}211222222023,max ,2min ,2022x x y y x y x y =-==-=，即()22023,2022a =.由题意可得()()341,2021,2020,2019a a ==，()()561,2018,2017,2016a a ==，()()781,2015,2014,2013a a ==，根据规律可得()(211,20243N n a n n ++=-∈且)202430n ->，由N n +∈且202430n ->可得n 的最大值为674，所以()13491,2a =，所以()()()()13501351135213531,0,1,1,0,1,1,1,a a a a ====，此后进入循环.所以当1349m <时，11m a +>；当1349m =时，13501a =；当1349m >时，11m a +≥ .所以1m a +最小时，m 的最小值为1349.（3）证明：当000,0x y ==时，显然存在k +∈N ，使得0k a =.当000,0x y =≠时，()()10020,,0,a y y a y ==，即20a = ，存在k +∈N ，使得0k a = .同理，当000,0x y ≠=时，存在k +∈N ，使得0k a =.当000,0x y ≠≠时，若k k x y =，则110,0k k k k x x y a ++=-== ，存在k +∈N ，使得0k a =.若k k x y ≠，设{}()max ,0,1,2,k k k M x y k == .假设对任意,0k k a ∈≠N，则,k k x y 均不为0.因为,k k x y +∈N ，所以{}1max ,k k k k k x x y x y +=-<.若k k x y >，则{}{}1max ,2min ,2k k k k k k k k y x y x y x y x +=-=-<，若k k x y <，则12k k k k y y x y +=-<，所以{}1max ,k k k y x y +<，所以1k k M M +<，即123M M M >>> .因为()1,2,k M k +∈=N ，所以112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，故假设不正确，即存在N k ∈，使得0k a =.综上，对于任意0a u u r，经过若干次F 变换后，必存在k +∈N ，使得0k a = .【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的新定义，解题的关键是对平面向量新定义的正确理解，根据新定义求解，考查分析问题的能力、理解能力和计算能力，属于难题.。
2018届广西柳州市、钦州市、北海市高中毕业班1月模拟理科数学试题及答案
柳州市、北海市、钦州市2018届高中毕业班1月份模拟考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、若集合{}20x x x M =-≤，函数()()22log 1f x x =-的定义域为N ，则M N = （ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1D ．(]1,0-2、若复数31a i z i+=-（R a ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．6-D ．63、某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ ） A ．分层抽样法、系统抽样法 B ．分层抽样法、简单随机抽样法C ．系统抽样法、分层抽样法D ．简单随机抽样法、分层抽样法4、已知向量a 与b 的夹角为30，且1a = ，21a b -= ，则b = （ ）A． B． C．D．5、由曲线y 与3y x =所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1112B ．512C ．23D ．146、若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．12- B ．12C ．34D ．34-7、设变量x 、y 满足约束条件4020340x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则124yx z ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．188、在每条棱长都相等的底面是菱形的直棱柱1111CD C D AB -A B 中，C 3π∠AB =，侧棱1AA 与对角线1D B 所成的角为θ，则θ为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π9、一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（ ）A ．35B ．45C ．320D ．31010、阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，那么输入实数x 的取值范围是（ ）A ．[]2,1--B ．(],1-∞-C ．[]1,2-D ．[)2,+∞11、已知P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上的点，1F 、2F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12F F 0P ⋅P =，若12FF ∆P 的面积为9，则a b +的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812、若()()111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知73ax⎛ ⎝的展开式中，常数项为14，则a = （用数字填写答案）．14、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 的对边长分别是a 、b 、c ，若C 0AB⋅A =，a =6bc +=，则cos A = ．15、设经过点()4,0-的直线l 与抛物线212y x =的两个交点为A 、B ，经过A 、B 两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线l 的斜率等于 ．16、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知递增的等比数列{}n a 前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列． ()1求等比数列{}n a 的通项公式；()2若不等式220n n n a a k +-≥对一切n *∈N 恒成立，求实数k 的取值范围． 18、（本小题满分12分）9台发动机分别安装在甲、乙、丙3个车间内，每个车间3台，每台发动机正常工作的概率为12．若一个车间内至少有一台发动机正常工作，则这个车间不需要停产维修，否则需要停产维修．()1求甲车间不需要停产维修的概率；()2若每个车间维修一次需1万元（每月至多维修一次），用ξ表示每月维修的费用，求ξ的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111C C AB -A B 中，侧面11C C AA ⊥底面C AB ，11C C 2AA =A =A =，C AB =B 且C AB ⊥B ，O 为C A 中点．()1设E 为1C B 中点，连接OE ，证明：//OE 平面1A AB ；()2求二面角11C A-A B-的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，过椭圆顶点(),0a ，()0,b 的直线与圆2223x y +=相切．()1求椭圆C 的方程；()2若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足t OA +OB =OP （O 为坐标原点），当PA -PB < 时，求实数t 的取值范围．21、（本小题满分12分）已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数． ()1若()()ln f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间； ()2若()()ln g x x x ϕ=+，且对任意1x ，(]20,2x ∈，12x x ≠，都有()()21211g x g x x x -<--，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AB 是O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交C A 的延长线于点E ，交D A 的延长线于点F ，过G 作O 的切线，切点为H ．求证：()1C ，D ，F ，E 四点共圆； ()22G G GF H =E⋅．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ．()1求曲线C 的直角坐标方程；()2求11+PA PB的值．24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =-+-．()1当1a =-时，解不等式()3f x ≥；()2如果R x ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．柳州市、北海市、钦州市2018届高中毕业班1月份模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 123456789 10 11 12答案A B B C B A B C D A C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. １３．２ １４．53 １５．81 １６．π3520三、解答题：本大题共6小题，共70分。
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广西钦州市高三元月调考数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x1×x2 ，其中x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3，5}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为为（）
A . 30
B . 31
C . 32
D . 34
2. （2分） (2017高二下·安阳期中) 复数z1=1+bi，z2=﹣2+i，若的实部和虚部互为相反数，则实数b 的值为（）
A . 3
B .
C . ﹣
D . ﹣3
3. （2分）下图是求x1 ， x2 ， ...，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）
A . s=s*(n+1)
B . s=s*xn
C . s=s*xn-1
D . s=s*n
4. （2分）(2017·南充模拟) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f （2﹣x）=f（x）当x∈[0，1]时，f （x）=e﹣x ，若函数y=[f （x）]2+（m+l）f（x）+n在区间[﹣k，k]（k＞0）内有奇数个零点，则m+n=（）
A . ﹣2
B . 0
C . 1
D . 2
5. （2分） (2018高一下·北京期中) 同时投掷两枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是（）
A . 5
B . 6
C . 7
6. （2分）已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 二项式（x﹣）n（n∈N*）的展开式中存在常数项的一个充分条件是（）
A . n=5
B . n=6
C . n=7
D . n=9
8. （2分） (2017高二下·赣州期末) 定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）
A . 0
B . 6
C . 12
9. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知定义在R上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则（）
A .
B . 4
C .
D . 5
10. （2分） (2016高二上·三原期中) 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）
A . a＜b＜＜
B . a＜＜＜b
C . a＜＜b＜
D . ＜a＜＜b
11. （2分）等轴双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2 ，则三边长分别为｜x1｜，｜x2｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）
A . 锐角
B . 直角
C . 钝角
D . 不能确定
12. （2分） (2019高三上·安徽月考) （）
A .
B .
C .
D .
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分）(2017·银川模拟) 如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA 至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为________．
14. （1分）设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是________
15. （1分） (2016高一下·湖北期中) 如图，在△ABC中，已知∠BAC= ，| |=2，| |=3，点D 为边BC上一点，满足 +2 =3 ，点E是AD上一点，满足 =2 ，则| |=________．
16. （1分） (2017高一上·汪清期末) 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．
三、解答题： (共7题；共65分)
17. （10分）(2020·泉州模拟) 记为数列的前n项和.已知， .
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和 .
18. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
19. （15分） (2016高一下·福州期中) 某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成绩是[40，50）和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
20. （5分）(2018·南充模拟) 已知椭圆的左焦点左顶点
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.若，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.
21. （10分） (2017高二下·淄川期中) 已知函数f（x）=ex﹣mx，
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在两个零点，求m的取值范围．
22. （10分） (2016高三上·西安期中) 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角α的值．
23. （10分） (2017高一上·山西期末) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）．
（1）分别将A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共7题；共65分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
21-1、21-2、22-1、
22-2、23-1、
23-2、。