空间距离(一)PPT课件
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人教A版必修五 1.2.2 空间距离问题ppt课件
栏 目 链 接
解析：如上图所示，在△ABC 中，∠CAB＝15° ， ∠ACB＝30° －15° ＝15° ，∴BC＝AB＝5 km， 在 Rt△BCD 中， CD＝BC×tan ∠DBC≈BC×tan 8° ≈0.702 5 km≈703 m. 栏 答：山的高度约为 703 m. 目 点评： 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角 链 接 形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度问题 时，常出现仰角和俯角的问题，要清楚它们的区别及联系．测 量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角 形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．
栏 目 链 接
跟踪 训练
解析： 在△ABC 中， ∠BCA＝90° ＋45° ＝135° ， ∠ABC＝90° －60° ＝30° ，∠BAC＝60° －45° ＝15° ， ∠BAD＝60° . BC AB 根据正弦定理： ＝ ， sin ∠BAC sin ∠BCA BCsin ∠BCA 所以 AB＝ ＝30( 3＋1)， sin ∠BAC 在 Rt△ABD 中，得 BD＝ABsin ∠BAD＝15(3＋ 3)米， CD＝BD－BC＝15(1＋ 3)米． 答：山的高度约为 15(1＋ 3)米．
第一章
解三角形
1.2 应用举例 1.2.2 空间距离问题
栏 目 链 接
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题. 2.学会将应用问题转化为解三角形问题.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基础 梳理
BAC 的大小． 1.(1)A点望B、C的视角是指∠ ______
栏 目 链 接
点评：解决这类设计测量方案问题时，应先进行发散思维 ——联想数学模型，寻求解决问题的各种方案，然后进行收敛思 维——比较各种方案的优劣，考虑计算量的大小，是否具备可操 栏 作性以及实施测量的工作量的大小等等．
空间两点间的距离公式 课件
【探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明 (1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广. (2)公式的推导是转化成平Байду номын сангаас内两点之间的距离,结合勾股定理 推出的. (3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以改变.
类型 一 空间两点间的距离公式
尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间 距离的步骤. 1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
()
A. 14
B. 13
C.2 3
D. 11
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， 2 ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解. 2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两 点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.
【解析】1.选C.| AB | (4 1)2 (2 2)2 (3 11)2 89.
| AC | (6 1)2 (1 2)2 (4 11)2 75 5 3. | BC | (6 4)2 (1 2)2 (4 3)2 14.
因为|AB|2=|AC|2+|BC|2, 又|AB|，|AC|，|BC|两两不等， 所以△ABC为直角三角形，故选C.
空间两点间的距离公式 观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为
P1P2 (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
探究1：观察公式,探究以下问题 (1)空间两点间的距离公式有何特征? 提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和 的算数平方根. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么 关系? 提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的 推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标.
空间距离
（6）两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形 （2）证明它们符合定义 （3）在平面图形内进行计算
二、例
例1：在600二面角M-α-N内有一点P，P到平面M、平面N 的距离分别为1和2，求P到直线a距离。
距离。
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。
（5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。
空间距离求法
一、知识概念
1.距离定义 （1）点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的
距离叫这点到这个平面的距离。
（3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的
解：设PA，PB分别垂直平面M， 平面N与A、B，PA，PB所确定 的平面为α,且平面α交直线a与Q，
M A
设PQ=x
a
在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x
Q
在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/x
P
B N
cos600=cos(∠AQP +∠AQP)，由此可得关于x的方程
最后可解得 x 2 21 3
解：连AC，BD，设交于O,设
P
AC交EF于H
连PH
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形 （2）证明它们符合定义 （3）在平面图形内进行计算
二、例
例1：在600二面角M-α-N内有一点P，P到平面M、平面N 的距离分别为1和2，求P到直线a距离。
距离。
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。
（5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。
空间距离求法
一、知识概念
1.距离定义 （1）点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的
距离叫这点到这个平面的距离。
（3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的
解：设PA，PB分别垂直平面M， 平面N与A、B，PA，PB所确定 的平面为α,且平面α交直线a与Q，
M A
设PQ=x
a
在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x
Q
在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/x
P
B N
cos600=cos(∠AQP +∠AQP)，由此可得关于x的方程
最后可解得 x 2 21 3
解：连AC，BD，设交于O,设
P
AC交EF于H
连PH
2.1.2 空间两点间的距离 课件-2021-2022学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第二册
空间两点间的距离
数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值． 平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
距离是几何空间基本的度量，给定了空间两点的坐标，就确定了它 们的位置，也就确定了它们的距离．
怎样根据它们的坐标求它们的距离?
空间两点间的距离
原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点 的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)．
xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z) ，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z)．
02
新知探索
New Knowledge explore
z
2
1
O 3 2 1 21 1 2 y
3
x
建立空间直角坐标系
空间直角坐标系中，点的坐标： 若点 P不在三个坐标平面内，则过点 P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的
平面，依次交x轴、y轴、z轴于点A，B，C．设交点A，B，C分别代表唯一 的实x，y，z，将这三个实数按顺序排成(x，y，z)，那么点P就对应唯一确 定的有序实数组(x，y，z)．
z
设长方体的三条棱分别为AC，
B(x2，y2，z2 )
CD和DB，则
点C的坐标为(x1，y2，z1)， 点D的坐标为(x2，y2，z1)， 于是有
A( x1，y1，z1 )
O
D ( x2，y2，z1 )
C (x1，y2，z1)
y
|AC|=|y2－y1|， |CD|=|x2－x1|， |DB|=|z2－z1| x
特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为
3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
【核心扫描】 1．空间直角坐标系中点的坐标的表示以及两点间的距离公式的 理解、应用．(重点) 2．坐标系的建立、距离公式的推导与应用．(难点)
3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
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3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
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3．空间两点间的距离公式 (1) 在 空 间 中 ， 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O 的 距 离 |OP|＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝
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(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指 向 y轴 的正方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐 标系为右手直角坐标系．
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自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
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3．空间两点间的距离公式 (1) 在 空 间 中 ， 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O 的 距 离 |OP|＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝
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(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指 向 y轴 的正方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐 标系为右手直角坐标系．
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高中数学第一章空间向量与立体几何2.5空间中的距离课件新人教B版选择性必修第一册
＝|－1| 3
＝
3 3
.
即点A到平面EFG的距离为
3 3
.
直线到平面、平面到平面的距离 [例4] 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC ＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1.
(1)求证：BE∥平面DCF； (2)求BE到平面DCF的距离．
[解] (1)证明：∵四边形ADFE为矩形， ∴AE∥DF.又∵梯形ABCD中AB∥CD，AE∩AB＝A，DF∩DC＝D， AE，AB⊂平面ABE，DF，DC⊂平面DFC，∴平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF. (2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． ∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°， 则△ADB∽△BCD⇒ABDC ＝DCDB ， ∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝ 5 ， ∴AD＝2 5 ，AB＝5，∴F(0，0，1)，
―AM→＝(4，0，0)＋λ(－4，3，1)＝(4－4λ，3λ，λ).
又―BM→·―AC→1 ＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4，3，1)＝0，
∴λ＝183 ，∴―BM→＝4－8× 134，8× 133，183 ＝2103，2143，183 ，
∴|―BM→|＝
21032＋21432＋1832
＝4
设 E 满足―A1→E ＝λA―1→C1且 BE⊥A1C1，
―B→E ＝―BA→1 ＋―A1→E ＝(2，0，2)＋λ(－1， 3 ，0)＝(2－λ， 3 λ，2)， 又―B→E ⊥A―1→C1，∴(2－λ， 3 λ，2)·(－1， 3 ，0)＝0， ∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝12 ，∴―B→E ＝32， 23，2 .
.
|n |
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上 任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平面
高三数学课件-空间两点间的距离公式课件1 最新
C.a
1 D. a 2
2.分别求下列距离. (1)A(0,1,-3),B(1,-2,-2)两点间的距离. (2)C(-2,1,4)到yOz平面的距离. (3)D(1,2,5)到x轴的距离.
【解析】1.选B.A′(a,0,a)，C(0,a,0)， 所以E点坐标为 a a a 所以
a ( , , )， F(a, ,0)， 2 2 2 2
【微思考】 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗? 提示:两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根,因 此空间两点间的距离公式与两图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCOA′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为 ( )
A. 2a
2 B. a 2
14 9
14 9
.所以C（0,0,
14 9
）.
(2)如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA, 所以AB⊥OA, 设B(0,y,0), 则有OA＝ |AB|＝ ,|OB|＝y,
2
2 2, 由OB2＝OA AB 12 ＋ y 1 . y2＝2＋1＋(y-1)2,解得y＝2, 得
所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立．
【延伸探究】在题(1)中若改为在x轴上求点C,其他条件不变， 又如何求解？ 【解析】设C(x,0,0)，因为|AC|=|BC|， 所以
(0,0,z).
2.若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA, 由此可得AB⊥OA.
【自主解答】(1)设C(0,0,z)，因为|AC|=|BC|， 所以
4 0 1 0 7 z
2 2 2 2 2
2
解得z=
答案：（0，0，
2 z ， 3 0 5 0 ）
空间两点间的距离公式.1ppt
分析：设P(x,0,0),由已知求得x=9或-1 (9,0,0)或(-1,0,0)
小结
空间两点间的距离公式：
P1P2 （x1 x2） （y1 y2） （z2 z2）.
2 2 2
作业
P138练习：4
P138习题：A组 1、3. B组 1
Thank you!
op
0 B BP
2
2
x A
x y y
2 2 2
y B
因为 BP z ,所以 OP
这说明，在空间直角坐标系Oxyz 中， 任意一点 p（x, y, z） 与原点间的距离
OP x y y
2 2 2
联想
x2 y 2 r 2 表示什么图形？
y
O r
x
表示以原点为圆心，r为半径的圆。
空间两点间的 距离公式
课题引入
1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
| P1P2 |= (x 1 - x 2 )2 + (y1 - y 2 )2
2. 如何计算空间两点之间的距离?（请看如下图片）
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两 点间的距离公式吗？
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
例题
在Z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点 B（1，-3，1）的距离相等.
解： 设点M (0,0, Z )
则根据空间两点间的距 离公式
P1P2 （x1 x2） （y1 y2） （z2 z2）.
2 2 2
2 2 2 有 （0 - 1） （0 - 0） （Z 2） 2 2 2 （0 1 ） （0 3） （Z 1 ）
小结
空间两点间的距离公式：
P1P2 （x1 x2） （y1 y2） （z2 z2）.
2 2 2
作业
P138练习：4
P138习题：A组 1、3. B组 1
Thank you!
op
0 B BP
2
2
x A
x y y
2 2 2
y B
因为 BP z ,所以 OP
这说明，在空间直角坐标系Oxyz 中， 任意一点 p（x, y, z） 与原点间的距离
OP x y y
2 2 2
联想
x2 y 2 r 2 表示什么图形？
y
O r
x
表示以原点为圆心，r为半径的圆。
空间两点间的 距离公式
课题引入
1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
| P1P2 |= (x 1 - x 2 )2 + (y1 - y 2 )2
2. 如何计算空间两点之间的距离?（请看如下图片）
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两 点间的距离公式吗？
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
例题
在Z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点 B（1，-3，1）的距离相等.
解： 设点M (0,0, Z )
则根据空间两点间的距 离公式
P1P2 （x1 x2） （y1 y2） （z2 z2）.
2 2 2
2 2 2 有 （0 - 1） （0 - 0） （Z 2） 2 2 2 （0 1 ） （0 3） （Z 1 ）
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3
在 Rt△PCG 中，CG= 3 AC=3 2 ，PC=2。
H
4
CH= CG PC 6 2 6 11
CG 2 PC2 22 11
D
∴B 到平面 PEF 的距离为1 CH= 2 11
C
3
11
F
G
A
E
B
解 E、法F2分：例别连是3结：AEBP正、、方AFPD、形的B中DA点、B，ACC、DE的F，边EF长与为BD4分，别E交、ACF于分H、别O是，在正方形 ABCD 中，
∴PG⊥EF。∴EF⊥平面 PCG。
A过 C点作到PG面的P垂E线FC的H，距交离PG的于 H3，倍有。EF⊥CH。
∴CH⊥（平2面）PE求F，点CHB的到长即平为面点 PCE到F平面的P距EF离的距。离
又∵AE=EB
P
∴B 到平面 PEF 的距离等于 A 到平面 PEF 的距离。也等于 C 到平面 PEF 距离的 1 ，
由于 Rt△HKO 和 Rt△HCP 有一个公共角，故△HKD∽△HCP。
∴OK= OH PC 2 2 2 11
D
HP
22 11
H
C
即点 B 到平面 PEF 的距离是 2 11 。 F
11
G
O
A E
B
方法总结： （空间距离转化为点面距离）
1、找出或作出垂线段、2、证明其符合定义、3、 归结为几何计算或解三角形。
D
A
O
C
B
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行的平面 的距离，叫做这条直线到平面的距离。
l
例1 如图，已知正三角形 ABC的边长为 6cm，点 O 到 ABC各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则
例 2：直角 ABC 在平面 内，点 P 在平面 外， 若 P 到直角顶点 A 的距离为 8，到两条直角 边的距离均为 5 2 ，求 P 到平面 的距离。
P
E
C
O
A
D
B
例 2如：图：直过角P 作PAOBC平在面平于 面O，连内结 A，O，点 P 在平面 外，
过 O 作 OD AB 于 D，OE AC 于 E，连结 PD、
距 离 (一）
试问:那条线段最短？
F1
F2
距离的概念：
图形F1内的任一点与图形F2内的任 一点距离中的最小值叫做图形F1与图 形F2的距离。
1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离
P
A B
练习：
1已知线段AB不在平面内，A、B两点到平面 的距离分别是1和3，那么线段AB的中点到 平面的距离是 2 。
在 RtPAO中
PO= PA2 AO2 6
故点 P 到平面 的距离为 6
E
C
O
A
D
B
例 3：正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，PC 面 ABCD，PC=2。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。
（2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
OA OB OC ,
HA HB HC ,
即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BC 3 , BH BE 2 3 ,
2
cos 30
A
OH OB2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
O
C
H
E
B
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
4.利用空间向量方法求点面距离。先确定平面的 法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面 的法向量上的射影长。
P0
n
P
练习
5.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D A'
C' B'
D A
C
E B
B M A
B'
M'
A'
练习
2.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
O
D
C
3.如图，AB 是⊙O的直径， PA⊥平面 ⊙O，C为圆
周上一点，若 AB＝5，AC ＝2，求B到 平面PAC的距 离。
4.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，求P点 到平面ABC的距离。
∴ 作EOFK⊥⊥（PCP2H）交则求PEHF点⊥于平点B面K到，PH平由C两面个∴平平P面E面F垂P直E的F的⊥距性平质离面定。P理HC作。OK⊥PH。
交 PH 于点 K，由两个平Biblioteka 垂直的性质定理知 OK⊥平面 PEF
P
那么线段 OK 的长就是点 B 到平面 PEF 的距离 ∵正方形的边长为 4
PC=2 ∴AC= 4 2 ，HO= 2 ，PH= 22
若 PE，P由到三垂直线定角理顶得 P点D AAB的，P距E 离AC为。 8，到两条直角
边的 距PD离=P均E=5为2 5 2∴，OD求=OEP 到平面 的距离。
BAC=90°∴四边形 ADOE 是正方形
PA=8 ∴AD= 82 (5 2)2 14
P
AO= 14 2 2 7
D
F
A
E
B
X
Z P
Y C
解法 1：例连3结：PG正，方PC⊥形平A面BACBCDD，的C边E=C长F，为而4C，E、EC、F 是F 分别是
A斜BPE、、APFD在的平面中A点BC，D 上P的C射影面。ABCD，PC=2。
∴PE=PF。 在等腰三角形 PEF 中，∵G 是 EF 的中点。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于
A∴BEF、//BAD，DH的为中AO点的，中点PC 面 ABCD，PC=2。
∵EF 平面 PEF，BD 平面 PEF。
∴BD//（平面1）PE求F，证则 ：B 到C平点面的到距平离就面是PBEDF上的任一距点离到平等面于PEF 的距离，于是只需求点 O
到平面 PEF 的距离。
A∵ B点D⊥到AC面， ∴PEEFF⊥的HC距∵离PC的⊥ 平3 面倍A。BCD
在 Rt△PCG 中，CG= 3 AC=3 2 ，PC=2。
H
4
CH= CG PC 6 2 6 11
CG 2 PC2 22 11
D
∴B 到平面 PEF 的距离为1 CH= 2 11
C
3
11
F
G
A
E
B
解 E、法F2分：例别连是3结：AEBP正、、方AFPD、形的B中DA点、B，ACC、DE的F，边EF长与为BD4分，别E交、ACF于分H、别O是，在正方形 ABCD 中，
∴PG⊥EF。∴EF⊥平面 PCG。
A过 C点作到PG面的P垂E线FC的H，距交离PG的于 H3，倍有。EF⊥CH。
∴CH⊥（平2面）PE求F，点CHB的到长即平为面点 PCE到F平面的P距EF离的距。离
又∵AE=EB
P
∴B 到平面 PEF 的距离等于 A 到平面 PEF 的距离。也等于 C 到平面 PEF 距离的 1 ，
由于 Rt△HKO 和 Rt△HCP 有一个公共角，故△HKD∽△HCP。
∴OK= OH PC 2 2 2 11
D
HP
22 11
H
C
即点 B 到平面 PEF 的距离是 2 11 。 F
11
G
O
A E
B
方法总结： （空间距离转化为点面距离）
1、找出或作出垂线段、2、证明其符合定义、3、 归结为几何计算或解三角形。
D
A
O
C
B
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行的平面 的距离，叫做这条直线到平面的距离。
l
例1 如图，已知正三角形 ABC的边长为 6cm，点 O 到 ABC各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则
例 2：直角 ABC 在平面 内，点 P 在平面 外， 若 P 到直角顶点 A 的距离为 8，到两条直角 边的距离均为 5 2 ，求 P 到平面 的距离。
P
E
C
O
A
D
B
例 2如：图：直过角P 作PAOBC平在面平于 面O，连内结 A，O，点 P 在平面 外，
过 O 作 OD AB 于 D，OE AC 于 E，连结 PD、
距 离 (一）
试问:那条线段最短？
F1
F2
距离的概念：
图形F1内的任一点与图形F2内的任 一点距离中的最小值叫做图形F1与图 形F2的距离。
1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离
P
A B
练习：
1已知线段AB不在平面内，A、B两点到平面 的距离分别是1和3，那么线段AB的中点到 平面的距离是 2 。
在 RtPAO中
PO= PA2 AO2 6
故点 P 到平面 的距离为 6
E
C
O
A
D
B
例 3：正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，PC 面 ABCD，PC=2。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。
（2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
OA OB OC ,
HA HB HC ,
即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BC 3 , BH BE 2 3 ,
2
cos 30
A
OH OB2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
O
C
H
E
B
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
4.利用空间向量方法求点面距离。先确定平面的 法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面 的法向量上的射影长。
P0
n
P
练习
5.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D A'
C' B'
D A
C
E B
B M A
B'
M'
A'
练习
2.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
O
D
C
3.如图，AB 是⊙O的直径， PA⊥平面 ⊙O，C为圆
周上一点，若 AB＝5，AC ＝2，求B到 平面PAC的距 离。
4.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，求P点 到平面ABC的距离。
∴ 作EOFK⊥⊥（PCP2H）交则求PEHF点⊥于平点B面K到，PH平由C两面个∴平平P面E面F垂P直E的F的⊥距性平质离面定。P理HC作。OK⊥PH。
交 PH 于点 K，由两个平Biblioteka 垂直的性质定理知 OK⊥平面 PEF
P
那么线段 OK 的长就是点 B 到平面 PEF 的距离 ∵正方形的边长为 4
PC=2 ∴AC= 4 2 ，HO= 2 ，PH= 22
若 PE，P由到三垂直线定角理顶得 P点D AAB的，P距E 离AC为。 8，到两条直角
边的 距PD离=P均E=5为2 5 2∴，OD求=OEP 到平面 的距离。
BAC=90°∴四边形 ADOE 是正方形
PA=8 ∴AD= 82 (5 2)2 14
P
AO= 14 2 2 7
D
F
A
E
B
X
Z P
Y C
解法 1：例连3结：PG正，方PC⊥形平A面BACBCDD，的C边E=C长F，为而4C，E、EC、F 是F 分别是
A斜BPE、、APFD在的平面中A点BC，D 上P的C射影面。ABCD，PC=2。
∴PE=PF。 在等腰三角形 PEF 中，∵G 是 EF 的中点。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于
A∴BEF、//BAD，DH的为中AO点的，中点PC 面 ABCD，PC=2。
∵EF 平面 PEF，BD 平面 PEF。
∴BD//（平面1）PE求F，证则 ：B 到C平点面的到距平离就面是PBEDF上的任一距点离到平等面于PEF 的距离，于是只需求点 O
到平面 PEF 的距离。
A∵ B点D⊥到AC面， ∴PEEFF⊥的HC距∵离PC的⊥ 平3 面倍A。BCD