07年辽宁高考数学理科真题及答案

理科数学试题辽宁卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件AB ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24πS R =如果事件AB ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p n n -=-= ，，，，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()UUA B =痧（ ）A {1}B {2}C {24}，D {1234}，，， 2 若函数()y f x =的反函数图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ）A (11)，B(15)，C(51)，D(55)，3若向量a与b不共线，0≠a b，且⎛⎫⎪⎝⎭a ac=a-ba b，则向量a与c的夹角为（）A0 B π6 Cπ3 Dπ24设等差数列{}na的前n项和为n S，若39S=，636S=，则789a a a++=（）A63 B45 C36 D275若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin)(sin cos)iθθθθ++-在复平面内所对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6若函数()y f x=的图象按向量a平移后，得到函数(1)2y f x=+-的图象，则向量a=（）A (12)--，B(12)-，C(12)-，D(12)，7若m n，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若mβαβ⊂⊥，，则mα⊥ B若mαγ=nβγ=，m n∥，则αβ∥C若mβ⊥，mα∥，则αβ⊥D若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥8已知变量x y，满足约束条件20170x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则yx的取值范围是（）A965⎛⎫⎪⎝⎭，B[)965⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦，，C (][)36-∞+∞，，D[36]，9 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）A 122B 111C 322D 21110 设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件11 设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）AB 12 CD 2412 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A 0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值B 0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值C 0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值D 0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13 已知函数2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，在点0x =处连续，则a 14 设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP DF =+ ，则||OM=15若一个底面边长为216 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分12分）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R，（其中0ω>）（I ）求函数()f x 的值域；（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间18 （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，ACBC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30（I ）证明：111A B C D⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离19 （本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>ABA 1M该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式；（II ）当产量q 确定时，求期望kE ξ；（III ）试问产量q 取何值时，kE ξ取得最大值20 （本小题满分14分）已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF，的最大值和最小值 21 （本小题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：n na b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*（I ）若()102f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim nn a →∞存在，求x 的取值范围；（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意n ∈N*，lim nn a →∞（用t 表示）22 （本小题满分12分）已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =（I）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（III ）证明：3()2f x ≥答案与评分参考一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 每小题5分，满分60分（1）B （2）C （3）D （4）B （5）B （6）A （7）C （8）A （9）D （10）A （11）B （12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 每小题4分，满分16分（13）-1（14）2（15）π34（16）30 三、解答题（17）本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力 满分12分(Ⅰ)解：)1(cos cos 21sin 23cos 21sin 23)(+--++=x x x x x x f ωωωωω1)cos 21sin 23(2--=x x ωω1)6πsin(2--=x ω···············5分由1-≤)6πsin(-x ω≤,得3-≤2)6πsin(-x ω1-≤1 可知函数)(x f 的值域为[-3,1] ······················· 7分（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(x f y =的周期为ω又由π,＞0，得π2π2=，即得.2=ω 9分于是有1)2π2sin(2)(--=x x f ，再由2π2-πk ≤6π2-x ≤2π2+πk )(Z ∈k ，解得 6π-πk ≤x ≤3π+πk )(Z ∈k所以)(x f y =的单调增区间为[6π-πk ，3π+πk ])(Z ∈k ······ 12分（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维满分12分(Ⅰ)证明：连结CD ∵三棱柱ABC-A ，BC 是直三棱柱∴.1ABC CC 平面⊥∴CD 为C 1D 在平面ABC 内的射影∵△ABC 中，AC =BC ，D 为AB 中点∴,CD AB ⊥∴,1D C AB ⊥∵,//11AB B A ∴.111D C B A ⊥（Ⅱ）解法一：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点 ∵,//AC DE 又,,//AC CE CE AF ⊥∴,DE AF ⊥∵AF 为MF 在平面ABC 内的射影，ABA 1∴,DE MF ⊥∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA在Rt △MAF 中,,221aBC AF ==︒=∠30MFA ,∴.63a AM = 作MF AG ⊥，垂足为G ∵,,DE AF DE MF ⊥⊥∴.AMF DE 平面⊥∴.AMF MDE 平面平面⊥∴.MDE AG 平面⊥在Rt △GAF 中, ︒=∠30MFA ，AF =,2a∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4a∵,//DE CA ∴,//MDE CA 平面∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等,为4a，解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连结MF∵D 、E 分别为AB 、CB 的中点，∴,//AC DE 又∵,,//AC CE CE AF ⊥∴,DE AF ⊥∵,ABC MA 平面⊥∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影，∴,DE MF ⊥∴MFA ∠为二面角A DE M --的平面角，︒=∠30MFA在Rt △MAF 中,,221aBC AF ==︒=∠30MFA ,∴.63a AM =设C 到平面MDE 的距离为h ∵MDE C CNEM V V --=,∴.·31·31h S MA S MDE CDE ∆∆=,63,8·212a MA a DE CE S CDE ===∆,6330cos ,21·212a AF DE MF CE S MDE=︒==∆∴,12383122h a a ⨯⨯⨯∴4a h =,即C 到平面MDE 的距离相等,为4a(19)本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力 满分12分(Ⅰ)解:由题意可得L 1=)102033() 3164(22++---q q q q q 1014433-+-=q q (q ＞0)同理可得1081332-+-=q q L (q ＞0)1050333-+-=q q L (q ＞0)················ 4分(Ⅱ) 解:由期望定义可知3212.04.04.0L L L E ++=ξ)10503(2.0)10813(4.0)101443(4.0333-+-⨯+-+-⨯+-+-⨯=q q q q q q .1010033-+-=q q(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知ξE 是产量q 的函数,设101003)(3-+-==q q E q f ξ(q ＞0)得='+-=')(.100)(2q f q q f 令0解得 10,10-==q q (舍去)由题意及问题的实际意义(或当0＜q ＜10时,f ′(q )＞0;当q ＞10时, f (q ) ＜0＝可知,当q=10时, f (q )取得最大值,即ξE 最大时的产量q 为10(20)本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14分(Ⅰ)解法一:设A 、B 两点坐标分别为),2(),,2(222121y y y y ，由题设知.)()22()2()2(221222212222221221y y y y y y y y -+-=+=+解得,122221==y y 所以).32,6(),32,6()32,6(),32,6(B A B A --或设圆心C 的坐标为（r ,0），则.4632=⨯=r 因此圆C 的方程为.16)4(22=+-y x ···················· 4分解法二：设A 、B 两点坐标分别为),,(),,(2211y x y x 由题设知22222121y x y x +=+又因为,22,2,2222121222121x x x x x y x y +=+==可得即.0)2)((2121=++-x x x x 由x 1＞0，x 2＞0，可知x 1=x 2，故A 、B 两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上设C 点的坐标为（r ,0），则A 点坐标为)23,23(r r ，于是有rr 232)23(2⨯=，解得r =4,所以圆C 的方程为 .16)4(22=+-y x ···················· 4分(Ⅱ)解：设∠ECF =2a ,则16cos 322cos 162|穋os |穦|·2-===a a a CF CE CF CE ·· 8分在Rt △PCE 中,||4||cos PC PC r a ==由圆的几何性质得||PC ≤,8171||=+=+MC ||PC ≥,6171||=-=-MC ·· 10分 所以21≤αcos ≤32，由此可得8-≤CF CE ·≤916- 故·的最大值为916-，最小值为8- ········· 14分 （21）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力 满分12分(Ⅰ)解法一：由题设知⎩⎨⎧=++=++,21111n n n b a tbn a 得112++=n n a t a ，又已知2≠t ,可得).22(2221-+=-++t a t t a n n 由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t t tb t a t t b g b f n 所以可知 是等比其首项为2,2t t t tb 公比为-+ 于是.2)2)(2()2)(2(221,1---++-+=-+--t t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即又lim a n 存在，可得0＜|2|t ＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t .22lim t a n n -=∞→ 解法二 由题设知tb n +1=2b n +1,且.2≠t 可得).21(2211-+=-++t b t t b n n由,0,2),()(≠≠≠t t b g b f 可知02,021≠≠-+t t b ,所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+21t b n 是首项为21-+t b ,公2t 的等比数列 .21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即由12++n n b a 可知，若n n a ∞→lim 存在，则n n b ∞→lim 存在 于是可得0＜|2|t ＜1,所以-1＜t 0≠n n a ∞→lim =2n n b ∞→lim .22t -=解法三:由题设知tb n +1=2b n +1,即,2121+=+n n b t b ①于是有,21212+=++n n b t b ②②-①得得令,),(21112n n n n n n n b b c b b t b b -=-=-++++.21n n c t c =+由02,021)2(10,2),()(12≠≠+-=-=≠≠≠t b t b b c t t b g b f 可知，所以{}n c 是首项为b 公比为2t 的等比数列，于是.)(21)2(1)(121211b b b t t b c c c b n n n +---=++⋯⋯++=+t t b a n n n --==+2])2(1[421（b 2-b 1）+2b又n n a ∞→lim 存在，可得0＜|2|t ＜1,所以-2＜t ＜2且.0≠t.222)(24lim 12t b b b t a n n -=+--=∞→说明：数列{}n a 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准(Ⅱ)证明：因为)(),)(),()(11(111n n n n n a f b b f b g a x f x g ====++-+-即所以下面用数学归纳法证明1+n a ＜*)(N ∈n an(1)当n =1时，由f (x )为增函数,且)1(f ＜1,得)1()(11f b f a ==＜1)1()(12f a f b ==＜1)(22b f a =＜1)1(a f =，即2a ＜1a ，结论成立（2）假设n=k 时结论成立，即1+k a ＜k a 由f (x )为增函数，得)(1+k a f ＜f k a 即2+k b ＜1+k b 进而得)(1+k a f ＜f (1+k b )即2+k a ＜1+k a 这就是说当n =k +1时，结论也成立根据（1）和（2）可知，对任意的*)(N ∈n ，1+n a ＜n a(22)本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，考查综合运用数学知识解决问题的能力 满分12分(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x x te e x g x e t e x g 又由x x e e -+2≥22,且t ＜22得t ＜x x e e -+2，即12)(2+-='x x te e x g ＞0由此可知，)(x g 为R 上的增函数(Ⅱ)证法一：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t12)(2+-='x x te e x g ＜0，即t ＞x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上成立即可因此y =x x e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续，故在闭区[a ,b ]上有最大值，设其为k ，t ＞k 时, )(x g '＜0在闭区间[a ,b ]上恒成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数证法二：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t ＞k 时12)(2+-='x x te e x g ＜0，在闭区间[a ,b ]上成立即可 令,x e m =则)(x g '＜0(],[b a x ∈)当且仅当122+-tm m ＜0(],[b a e e m ∈) 而上式成立只需⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--b b aa e e t e e t 22 成立 取a a e e -+2与b b e e -+2中较大者记为k ，易知当t ＞k 时，)(x g '＜0在闭区[a ,b ]成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++-=x e t x e t t F x x,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F x x 易得)(t F ≥1)(212+-x e x令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x -='易知0)0(='H 当x ＞0时, )(x H '＞0;当x ＜0,)(x H ' ＜0 故当x =0时，)(x H 取最小值，1)0(=H 所以1)(212+-x e x ≥23，于是对任意x 、t ，有)(t F ≥23，即)(x f ≥23证法二：设)(t F =,1)(22222++++-x e t x e t x x )(t F ≥23，当且仅当21)(22222-+++-x e t x e t x x ≥0只需证明 )21(42)(4222--⨯-+x e x e x x ≤0，即2)(x e x -≥1 以下同证法一证法三：设)(t F =1)(22222++++-x e t x e t x x ，则 ).(24)(x e t t F x +-=' 易得.0)2(=+'x e F x 当t ＞2x e x +时, )(t F '＞0; t ＜2x e x +时, )(t F '＜0，故当t =2xe )(t F 取最小值.1)(212+-x e x 即)(t F ≥.1)(212+-x e x 以下同证法一。