22.2.4一元二次方程的解法-公式法(1)
22.2.4 一元二次方程根的判别式 华师大版数学九年级上册教案
4.一元二次方程根的判别式※教学目标※【知识与技能】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程根的判别式.2.能运用一元二次方程根的判别式的知识在不解方程的情况下判断出一元二次方程根的情况，并能根据方程根的情况，探究所需的条件.【情感态度】学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强自主探究以及与他人交流的能力.【教学重点】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【教学难点】一元二次方程根的判别式的探究与归纳.※教学过程※一、复习引入1.用公式法解下列方程：答案：(3)无解.2.探究一元二次方程的根.（1）当时，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，方程有两个相等的实数根:;(3)当时，方程没有实数根.二、探索新知这里的叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根.【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：解：（1）原方程可变形为因为所以方程有两个不相等的实数根.（2）因为所以方程有两个相等的实数根.（3）原方程可变形为因为所以方程没有实数根.三、巩固练习不解方程，判断下列方程的根的情况：答案：（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程没有实数根（3）方程有两个相等的实数根（4）方程没有实数根四、应用拓展【例2】已知关于x的方程(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？(3)当k取何值时，方程没有实数根？分析：已知一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，当一元二次方程有两个相等的实数根时，当一元二次方程没有实数根时，解：因为所以(1)若方程有两个不相等的实数根，则Δ>0,即(2)若方程有两个相等的实数根，则Δ=0,即(3)若方程没有实数根，则Δ<0,即综上所述：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.五、归纳小结利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤:1.将方程化成的形式；2.判断a的值是否为零；3.若a≠0,则再考虑的取值.※课后作业※教材第36页习题22.2的第7、8、9题.。
22.2.4公式法
例2：一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（ A） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根； C.无实数根； D.无法确定。 [解析]∵a=1,b=1,c=-2,∴△=b2-4ac=12-4 ×1 × （-2）=1+8=9>0, ∴方程有两个不相等的实数根，故选A
判断下列各方程根的情况
在实数范围内，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根由其系数a,b,c确定， 它的根的情况由△=b2-4ac确定。 （1）当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的 实数根； （2）当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实 数根； （3）当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根。
命题点2：不解方程判断方程根的情况
b b2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
一元二次方程根的判别式
在推导一元二次方程的求根公式过程中，当 2 2 b b 4 ac 2 的两边才 b 4ac 0 时， (x ) 2
2a 4a
2
能直接开平方，这里的式子 b 4ac 叫做一 2 ax bx c 0(a 0) 的根的判 元二次方程 2 别式，用“△”表示，即 b 4ac
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
∴x1=9, x2= -2.
b b2 4αc x 2α
例 2 解方程：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2 3x 3 0
∴ a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
一元二次方程的解法公式法
一分耕耘 一分收获 1 一分耕耘 一分收获§22.2.4一元二次方程的解法—公式法【学习目标】1．掌握求根公式的概念及推导. 2．运用公式解一元二次方程.3. 能初步判断一元二次方程是否有根.【学习重难点】1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．3．熟练地用求根公式解一元二次方程． 【知识链接】用配方法解一元二次程的一般步骤:1.二次项系数化为１,２．移项：３．配方：４.当n 0≥时；用 法求解；当0 n 时，方程没有实数根。
【学习过程】：一． 创设情境，导入新课１. 思考：方程09822=--x x 用配方法如何解？二．合作交流２．用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的一元二次程 解：因为0≠a ，方程两边都除以ａ，得移项：得配方，得即 因为0≠a ，所以042a ，当042≥-ac b 时，直接开平方得所以x= 即=x 1 =x 2 由以上的研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式：：思考：这里为什么强调042≥-ac b ?如果042ac b -，会怎么样呢？用求公式根解一元二次方程的方法叫做总结：用求公式根解一元二次方程的步骤：1.一化：将方程化为一元二次方程的 ；2.二定：确定a,b,c 的值及 的值；3.三代：若 042≥-ac b ，则代入求根公式 ，求出方程的两个实数根；若042ac b -，则方程无实数根。
三．应用迁移，巩固提高例１.用公式法解方程122=-x x 步骤解：0122=--x x （ ） 因为a=1, b=-2，c=-1 （ ）ac b42-=()08114)2(2=-⨯⨯-- （ ）所以x=128)2(⨯±-- （ ）即211+=x ，212-=x （ ）课型：新授课 编号： 编写人：李春晖 审核组：数学组 审核人：谢晴 姓名 班级 编写日期：2013.8.6编号：16师生札记一分耕耘 一分收获 2 一分耕耘 一分收获练习：1. 042=+x x 2. 1252=x例2用公式法解方程0132=++x x总结：当042=-ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根。
22.2解一元二次方程公式法教案
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有广泛的应用，是解决实际问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示一元二次方程在实际中的应用，以及如何运用公式法帮助我们解决问题。
4.增强学生的数据分析观念，通过对判别式Δ的分析，培养学生对数学问题进行深入探讨的能力。
5.激发学生的数学探究精神，鼓励他们通过一元二次方程的学习，探索数学问题的内在规律，培养创新意识。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的综合运用能力和数学思维能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一元二次方程的标准形式及其相关概念，特别是系数a、b、c的作用和意义。
-提供多道练习题，让学生在教师的指导下逐步完成，特别关注符号的准确使用。
（4）对于解的情况的分类讨论，教师可以通过以下方式帮助学生理解：
-通过图形展示，当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ < 0时，抛物线与x轴无交点。
-引导学生思考，为什么在实际情境中，无实数根可能意味着某件事不可行或不存在。
-掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用公式进行计算。
-理解判别式Δ的计算方法及其与方程根的关系，能够根据Δ的值判断根的情况。
-能够将实际问题抽象为一元二次方程，并运用公式法解决。
举例解释：在讲解重点内容时，教师可以通过以下例题进行强调：
（1）方程2x² - 5x + 3 = 0中，指出a、b、c的值及其对应的物理意义。
（2）给定方程的系数，如a = 1, b = -3, c = 2，要求学生直接写出求根公式并计算。
22.2.4一元二次方程根与系数关系
则 x1 + x2 = − p, x1 • x2 = q ：
一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理） 韦达定理）
若 程 方 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)的 根 x1, x2 , 两 为
2
b c 则 1 + x2 = − , x1 • x2 = x a a
推 论
以 个 x1, x2为 的 元 次 两 数 根 一 二 方 （ 次 系 为） 程 二 项 数 1 是 x − x1 + x2） + x1 • x2 = 0 （ x
练习： 练习：P42 练习
作业：
P数的关系 (韦达定理） 韦达定理）
若 程 方 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)的 根 x1, x2 , 两 为
2
b c 则 1 + x2 = − , x1 • x2 = x a a
推 论
特 地 别 ： 若 程 + px + q = 0 两 为 1, x2， 方 x 的 根 x
2
1、课本P41例4 、课本 例
2、利用根与系数的关系，求作 、利用根与系数的关系， 根与系数的关系 一个一元二次方程， 一个一元二次方程，使它的两根 为2和3.
是方程2X +mX+3=0的一个根 的一个根， 3、如果 是方程 X +mX+3=0的一个根， 求它的另一个根及m的值. 求它的另一个根及m的值.
1 2
2
4、已知关于x的方程 2+(2k+1)+k2-2=0 、已知关于 的方程 的方程x 的两根的平方和比两根之积的3倍少 的两根的平方和比两根之积的 倍少 10，求k的值 ， 的值. 的值
华师版九年级上册数学作业课件 第22章 一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式
14．(2018·常德)若关于 x 的一元二次方程 2x2＋bx＋3＝0 有两个不相等的
实数根，则 b 的值可能是 6(答案不唯一，b2>24 即可)(只写一个)
．
15．(2018·南通)若关于 x 的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0 有两个相等
±1.
知识点二：一元二次方程根的情况 3．(2018·上海)下列对一元二次方程 x2＋x－3＝0 根的情况的判且只有一个实数根 D．没有实数根
4．(2018·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是( C ) A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
无实数根
．
17．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程：x2－2x－k－2＝0 有两个不相 等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； (2)给 k 取一个负整数值，解这个方程．
解：(1)根据题意得Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得 k＞－3
(2)取 k＝－2，则方程变形为 x2－2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2
m 的取值范围是 m<13且 m≠0
.
易错点：应用根的判别式忽视一元二次方程的隐含条件 10．已知关于 x 的一元二次方程(k－1)x2－(k－1)x＋14＝0 有两个相等的实数 根，求 k 的值．
解：由题意得
Δ＝[－（k－1）]2－4（k－1）×14＝0，解得 k＝2 k－1≠0，
11．(福州中考)下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝0 一定 有实数根的是 ( D )
5．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． (1)16x2＋8x＝－3；
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新人教版九年级上)
x1 x2 p
x1 x2 q
方 程
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数 是
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2
22.2.4 一元二次方程根的判别式-2021-2022学年九年级数学上(华师大版)
22.2.4一元二次方程根的判别式基础知识1.一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac 叫做一元二次方程02=++c bx ax （c b a a 、、,0≠是常数）的根的判别式。
2、△>0⇔有两个不相等的实数根; △=0⇔有两个相等的实数根; △<0⇔没有实数根; △≥0⇔有实数根.【提醒】应用根的判别式时,其前提条件为二次系数不为0.不解方程，判断方程根的情况时，须做到：(1)明确方程是常数系数方程还是字母系数；(2)确定二次方程中的a ，b ，c ；(3)求出b 2－4ac 的值，利用判别式的性质进行判断． 例题例1．已知：关于x 的方程2230x kx k ++-=．（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根： （2）若5k =，请解此方程． 【答案】见解析；（2）x 1＝12-，x 2=-2【分析】（1）由△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0可得结论； （2）将k =5代入方程得2x 2+5x +2=0，利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）∵△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0， ∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k =5时，原方程为：2x 2+5x +2=0， ∴（2x +1）（x +2）=0， ∴x 1=12-，x 2=-2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；也考查了配方法．例2．关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）98m ≤且0m ≠；（2）11x =，22x =【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式组求解即可； （2）根据（1）得到m 的值，求出方程的解． 【详解】解：（1）∵2=(3)42m ∆--⨯=98m -，依题意，得0980m m ≠⎧⎨-≥⎩，解得98m ≤且0m ≠． （2）∵m 为正整数， ∴1m =．∴原方程为2320x x -+=． 解得11x =，22x =．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握本章知识并应用解决问题是解题的关键． 练习1．下列一元二次方程中,没有实数根的是（ ） A ．2210x x -+= B ．2210x x -+= C ．2210x x --=D ．220x x -=2．已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13a >-B ．13a <-C ．13a >-且0a ≠D ．13a ≥-且0a ≠3．如果关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠4．一元二次方程4x 2＋1＝﹣4x 的根的情况是（ ） A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根5．关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根6．一元二次方程2414x x +=的根的情况是______．7．如果关于x 的一元二次方程()21230k x kx k -+++=有实数根，则k 的取值范围是______________．8．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．9．已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于______________．10．若关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解，则m 的取值范围是______． 11．已知关于x 的一元二次方程210x x m -+-=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个实数根．12．已知关于x 的一元二次方程0222=++-k x x ． （1）若6k =-，求此方程的解；（2）若该方程无实数根，求k 的取值范围．13．已知：关于x 的一元二次方程2(1)210(1)m x mx m m --++=>． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数．14．已知关于x 的方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x ＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m 2+12m +2021的值．15．已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程202m x mx的两个实数根．（1）求m 的值； （2）求正方形的面积．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 逐个求解即可． 【详解】A ､224(1)42170b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,没有实数根,故A 正确;B ､224(2)4110b ac ∆=-=--⨯⨯=,有两个相等的实数根,故B 不正确;C ､224(1)42(1)90b ac ∆=-=--⨯⨯-=>,有两个不相等的实数根,故C 不正确;D ､224(2)41040b ac ∆=-=--⨯⨯=>,有两个不相等的实数根,故D 不正确． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况． 2．C 【分析】根据一元二次方程解的情况利用根的判别式可求出a 的取值范围，同时必须考虑0a ≠的情况． 【详解】解：关于x 的方程2230ax x +-= 有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，即224(3)0a -⨯⨯->， 解得：13a >-，又a 是二次项系数，0a ∴≠，综上：a 的取值范围为：13a >-且0a ≠，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况运用根的判别式求参，熟知（1）240b ac ->，方程有两个不相等的实数根；（2）24=0b ac -，方程有两个相等的实数根；（3）24＜0b ac ，方程无根，是解题关键．3．B 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围． 【详解】解：关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，∴△＞0，△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1＞0．又∵方程是一元二次方程， ∴k ≠0，∴k ＞14-且k ≠0．故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4．C 【分析】把方程化为一般形式，计算其判别式，即可求得答案． 【详解】解：方程4x 2+1=-4x 化为一般形式为4x 2+4x +1=0， ∴Δ=42-4×4×1=0， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 5．C 【分析】先计算根的判别式得到△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2， ∵（p ﹣2）2≥0， 即△≥0，∴方程有两个实数根． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 6．有两个相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程2414x x +=可得：24410x x -+=， ∴24164410b ac ∆=-=-⨯⨯=，∴一元二次方程2414x x +=的根的情况是有两个相等的实数根； 故答案为：有两个相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．32k ≤且1k ≠ 【分析】当0≥时，一元二次方程有实数根，结合二次项系数不为0，列出不等式求解即可． 【详解】由题意得2(2)4(1)(3)010k k k k ⎧--+≥⎨-≠⎩，解得32k ≤且1k ≠， 故填：32k ≤且1k ≠． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，熟记0≥时，一元二次方程有实数根是解题的关键，注意一元二次方程的二次项系数不等于0． 8．8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ， 解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根，因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 9．6或7． 【分析】当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4，代入方程即可得到结论，当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4， ∴方程为42﹣6×4+k +2＝0， 解得：k ＝6，此时该方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝2，此时三角形的三边为4，4，2，符合题意； 当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0， 解得：k ＝7，此时该方程为x 2﹣6x +9＝0， 解得：x 1＝x 2＝3，此时三角形的三边为3，3，4，符合题意， 综上所述，k 的值等于6或7， 故答案为：6或7． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键． 10．3m ≥ 【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①2560m m -+=时，有(3)0m --=此时方程无解，可求出m 的值；②2560m m -+≠时，由根的判别式∆<0，即可求出m 的取值范围． 【详解】 解：根据题意，∵关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解， ①当2560m m -+=时，则原方程是一元一次方程，即1(3)04m x --+=； 则有：2560(3)0m m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得：3m =；②当2560m m -+≠时，则原方程为一元二次方程， ∴3m ≠，2m ≠，∴221[(3)]4(56)04m m m ∆=---⨯-+⨯<，解得：3m >；综合上述，m 的取值范围是3m ≥； 故答案为：3m ≥．【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题． 11．（1）54m ≤；（2）1m =，0x = 【分析】（1）根据判别式的意义得到△2(1)4(1)0m =--->，然后解不等式即可；（2）先根据方程的解的定义把1x =代入原方程求出m 的值，则可确定原方程变为20x x -=，然后利用因式分解法解方程得到方程的另一根．【详解】解：（1）根据题意得△2(1)4(1)0m =---≥， 解得54m ≤； （2）把1x =代入原方程得10m -=， 解得1m =，∴原方程变为20x x -=解方程得10x =，21x =， ∴方程的另一个根为0x =．【点睛】本题考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式△=-24b ac ：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．12．（1）121,1x x ==；（2）1k >- 【分析】（1）把6k =-代入方程得2240x x --=，然后求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：（1）把6k =-代入方程得2240x x --=， ∴2215x x -+=，即()215x -=，解得：121,1x x = （2）∵该方程无实数根，∴()244420b ac k ∆=-=-+<，解得：1k >-．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．13．（1）见解析；（2）m =2或m =3【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m 的值．【详解】解：（1）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0，∴x =()2221m m ±-，∴()1221212111m m x m m m ++===+---，()221221m x m -==-， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m ＞1， ∴21m -是正整数， ∴m =2或m =3．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（1）见详解；（2）2030【分析】（1）根据a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，求出△＝b 2−4ac 的值，进而作出判断； （2）把x ＝2代入方程列出m 的一元二次方程，再整体代入求值，即可．【详解】（1）证明：∵a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，∴△＝b 2−4ac ＝（-2m ）2−4（m 2−1）×1＝4＞0， ∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x ＝2是该方程的一个根，∴22﹣2×2m +m 2﹣1＝0，即： m 2-4m =-3， ∴﹣3m 2+12m +2021=-3 (m 2-4m )+2021=9+2021=2030．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及代数式求值，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及整体代入思想方法，此题难度不大．15．（1）2；（2）12．【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC BD =，再利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）先解一元二次方程可得1AC BD ==，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，AC BD =，由题意得：关于x 的方程202m xmx 的根的判别式等于0，即220m m -=，解得122,0m m ==，0AC BD =>， 20m ∴=舍去，故m 的值为2；（2）由（1）得：方程为2210x x -+=，解得121x x ==，1AC BD ∴==，则正方形的面积为11111222AC BD ⋅=⨯⨯=． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．。
2022秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法目标二解一元二次方程课件新版华
⑤x2－ 2x＋14＝0; ⑥x2－2x－98＝0.
(1)直接开平方法：____①________； (2)配方法：___④__⑥___________； (3)公式法：____③__⑤__________； (4)因式分解法：___②_________．
4 已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－ 3＝0，那么x2＋x＋1的值为( A ) A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
【点拨】运用换元法解方程时，先要找出相同的整 体进行换元，使方程变得简单，解完方程后还要注 意还元．
(1)已知(x2－y2＋1)(x2－y2－3)＝5，求x2－y2的值； 解：设x2－y2＝a， 则原方程可化为(a＋1)(a－3)＝5， 解得a1＝－2，a2＝4， 则x2－y2＝－2或x2－y2＝4. 变式：已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，求x2＋y2的值．
2 解 方 程 (5x － 1)2 ＝ 3(5x － 1) 的 最 适 当 的 方 法 是
(D) A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
3 已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法
后的横线上．
①2(x－1)2＝6；
②(x－2)2＋x2＝4；
③(x－2)(x－3)＝3; ④x2－2x－1＝0；
第22章
一元二次方程
22.2. 公式法
3
目标二 解一元二次方程
习题链接
温馨提示：点击 进入讲评
1
5
2D
6
3
4A
答案呈现
1 【2021·浙江钱江新城实验中学期末】阅读材料，解答 问题．
解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0. 解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y， 则原方程可化为y2－10y＋24＝0. 解得y1＝6，y2＝4. ∴4x－1＝6或4x－1＝4. ∴x1＝74，x2＝54.
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
பைடு நூலகம்
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
当 b2 4ac 0 时 4a 0
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
例 1 解方程： x 7 x 18 0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得 配方，得
b c x x 0 a a b c 2 x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
即
b b 2 4ac x 2a 4a 2
2
解： 这里 a 1 b 7 c 18
b 4ac （ 7 4 1 18 121 ） （ ）
2 2
7 121 7 11 x 21 2
即：
x1 9 x2 2
b b 2 4ac x 2a
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
一、用配方法解下列方程 2x² -12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程
两边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半 的平方，使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平 方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无 实根。
例 3 解方程： x 2 1 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x 7x 8 0
2
这里
2
a 3、 b= - 7、 c= 8
2
b 4ac （ 7 4 3 8 ） 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
结论：当b2 4ac 0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、 的值。
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2
例 2 解方程： x 3 2 3 x
2
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b 2 4ac （ 2 3 2 4 1 3 0 ） 2 3 0 2 3 （） x 3 21 2
即：
x1 x2 3
2
结论：当 b 4ac 0 时，一元二次方程有两个 相等的实数根.
根的判别式 2 一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定: 方程有两个 当 b2 4ac 0 时， (1) 不相等的实数根； 方程有两个 当 b2 4ac 0 时， (2) 相等的实数根； 方程没有实数根. (3) 当 b2 4ac 0 时，
思考题
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有 两个相等的实数解
小
结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解