数学北师大版一年级下册将军饮马问题
最值问题----将军饮马(一)
本节课你的收获是什么？
【问题解析】 △PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处 M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P''， 化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．当P'、N、M、P''共线时， 得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、OP''， 可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
【问题解析】：此处点P为折点，可以作点D关于折点P 所在直线OA的对称： 也可以作点C的对称：
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，
DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【问题解析】：作点C关于P点 所在直线AB的对称点C'，当C'、 P、D共线时，PC+PD最小， 最小值为5，故选B．
05 正方形中的将军饮马。
【问题描述】：如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上 的一动点，则△DMN周长的最小值是________。
【问题解析】：考虑DM为定值， 故求△DMN周长最小值即求 DN+MN最小值．点N为折点， 作点D关于AC的对称点，即点B， 连接BN交AC于点N，此时 △DMN周长最小．
04 将军饮马模型系列“一定两动”之点到线。
【问题描述】：在OA、OB上分别取点M、N，使得PM+MN最小。
将军饮马问题
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
A
最短路线：
P
A ---P--- B.
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
A.' .C
O
B'
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
反
思
我的收获；
是
进
步 的
我的疑惑；
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
专题14 将军饮马问题(解析版)
专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。
将军饮马最全最系统讲解
将军饮马——轴对称“化折为直”求最值求PA+PB最小值求PA+PB最小值两定点在定线两侧（两点之间，线段最短）两定点在定线同侧（先对称，转化成如上）动点A,B在两定线上,P定,△PAB周长最小值动点M,N在两定线上,P定，求PM+MN最小（P’N⊥l1时最小：依据——垂线段最短）【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．P OBANP''A四边形ABPQ 周长最小 四边形ABPQ 周长最小模型4：平移型将军饮马如图，A,B 两点在直线l 的同侧，P,Q 是直线l 上的两个动点，且PQ 为定长， 确定P,Q 位置，使使PA+PQ+BQ 最小模型5：差值型将军饮马当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB −最大。
连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB −的最大值为AB 。
l BAl P2121当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB −最大。
作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的PA PB −的最大值为AB ′。
lAl。
将军饮马基础题
1、在古战场上，将军需从营地A出发，到达河边l饮马，然后返回营地B，以下哪种策略能使将军的总路程最短？A. 直接从A到l，再从l到BB. 选择河边l上离A最近的点饮马C. 选择河边l上使A到该点再到B距离和最小的点饮马（答案）D. 先到B，再从B到l，最后返回A2、将军的营地位于山丘上，他需要下山走到河边饮水，再上山返回另一营地。
为了节省体力，他应该：A. 尽量选择陡峭的路径下山和上山B. 下山时走直线，上山时走曲线C. 利用光的折射原理，选择看似最近的路径D. 找到使上下山总路程最短的点饮水（答案）3、假设河边是一条直线，将军需要从点A到河边饮马，然后到点B，河边的哪个点是他应该选择的？A. AB连线与河边的交点B. A点关于河边的对称点与B连线和河边的交点（答案）C. B点关于河边的对称点与A连线和河边的交点D. 河边中点4、将军的营地A和B分别位于山的两侧，中间隔着一条河。
为了最快回到B营地，他应该：A. 直接游泳过河B. 找到河边使得从A到河边再到B总时间最短的点C. 选择离A营地最近的河边点D. 先走到河边任意点，再根据情况决定下一步（答案：B，若考虑实际情况，可能需要结合游泳速度和行走速度综合考虑最优解，但题目简化为寻找最短路径点）5、在平原上，将军需要从A点出发到直线型的河边l饮马，然后返回B点，他应该：A. 选择离A或B更近的河边点B. 选择AB连线与河边的交点C. 通过作图法找到使总路程最短的河边点（答案）D. 随机选择一个河边点6、将军的营地A和B位于一片广阔的草原上，中间有一条笔直的河流。
为了最快完成饮马并返回，他应该：A. 走到河边中点饮马B. 走到AB连线与河边的交点饮马C. 利用几何知识找到最优饮马点（答案）D. 直接从A走到B，不饮马7、假设将军的营地A和B位于同一高度，中间隔着一条河，为了最快完成饮马任务，他应该：A. 选择离A营地较近的河边点B. 选择离B营地较近的河边点C. 通过计算找到使总时间（考虑行走和饮水时间）最短的点（答案，若题目未明确只考虑路程，则需综合考虑）D. 走到河边任意点饮马8、在山地环境中，将军需要从A点到河边l饮马，然后返回B点，考虑到地形因素，他应该：A. 忽略地形，直接选择AB连线与河边的交点B. 根据地形调整路径，但仍选择AB连线与河边的交点饮马C. 综合考虑地形和路程，找到最优饮马点（答案）D. 选择离A或B营地最近的河边点。
1最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B军军军军军【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
将军饮马问题课件
问题拓展
已知：在一个角的内部有两点Q、P
求作：点M和点N, 使得点M在 l1 上 ，点N在 l₂ 上 ，
使 QM+MN+PN+PQ
最短。
2
Q
15
问题拓展
已知： MON 内两点A、B 求作：点C和点D, 使得点C在OM上， 点D在ON上，
使 AC+CD+BD+AB 最 短 。
问题特征： 两线两定两动
9
将三条折线段化为一条直线段.
12
练一练 已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上 分别确定一点Q和R, 使△PQR的周长最短吗?
13
课堂小结
将军饮马的实质：
(1)求最短路线问题----通过几何变换找对称图形
( 2 ) 把A,B 在直线同侧的问题转化为在直线的两 侧， 化折线为直线
(3)可利用“两点之间线段最短”加以解决 14
?
抽象： 如图，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小?
N
6
问题分析
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小?
作法：
(1)作点A关于直线 MN 的对称点 A'
(2)连结AB, 交MN于点 P;
∴ 点P就是所求的点.
未命名1.gsp 7
问题分析
作点A关于直线的对称点A', 连接BA', 交MN于点P, 连接AP, 则PA'=PA,
使AB+BC+AC 最 小
作法： (1)作点A关于OM、ON的 对称点A'、A’'
(2)连接A'和A'',交OM于B, 交ON于C.则点B,C为所求.
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题【原创版】目录1.将军饮马问题的背景和基本概念2.将军饮马问题的数学模型3.将军饮马问题的解决方法4.将军饮马问题的实际应用正文一、将军饮马问题的背景和基本概念将军饮马问题是一个古老的数学问题，最早出现在中国古代数学家刘徽的《九章算术》中。
问题的大致情景是这样的：一位将军要率领他的军队去一个水源地饮水，但水源地距离军队有一定距离，且水源地有两个方向可以到达。
为了保证军队能够尽快饮水，将军需要选择一条最短的路径。
这就是将军饮马问题的基本概念。
二、将军饮马问题的数学模型为了解决将军饮马问题，我们可以将其建立为一个数学模型。
假设将军所在的位置为 A，水源地为 B，两个方向分别由点 C 和 D 连接。
那么，将军可以通过 AC 和 AD 两条路径到达水源地。
为了使路径最短，我们需要求出 AC 和 AD 两条路径的长度，并选择较短的那一条。
三、将军饮马问题的解决方法解决将军饮马问题的方法主要有两种：一种是使用几何法，另一种是使用代数法。
这里我们主要介绍使用代数法的解决方法。
首先，我们可以设点 A 的坐标为 (a, b)，点 C 的坐标为 (c, 0)，点 D 的坐标为 (0, d)。
那么，路径 AC 的长度可以表示为√((a-c)+b)，路径 AD 的长度可以表示为√(a+d)。
为了求出最短路径，我们需要比较这两条路径的长度，并选择较短的那一条。
通过比较，我们可以得到一个不等式：(a-c)+b ≤ a+d。
将不等式进行化简，可以得到一个关于 a、b、c、d 的代数方程。
通过求解这个代数方程，我们就可以找到使路径最短的将军饮马问题的解。
四、将军饮马问题的实际应用将军饮马问题在实际生活中有很多应用，比如最短路径问题、物流配送问题、通信网络设计等。
这些问题都可以通过将军饮马问题的数学模型来解决，从而为实际问题提供有效的解决方案。
总之，将军饮马问题是一个古老而富有挑战性的数学问题，它的解决方法可以帮助我们在实际生活中解决许多实际问题。
第11讲 “将军饮马”问题探究(教师版)
知识导航
①作定点关于动点所在直线的对称点，构造轴对称图形
②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型
经典例题
1
三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
2
如图，正方形
3
如图，正方形4
在
直线、射线、线段问题>题型：动点与线段-无数轴1
三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法：
2
如图，在
3
如图，在知识导航
经典例题1
如图，直线2
如图，
知识导航
经典例题
1
如图，在一组平行线
2
如图，直线
3
如图，在正方形
设汽车行驶到公路上点的位置时，距离村庄最近，行驶到点的位置时，距离村庄上分别画出、的位置；
行驶时，在公路的哪一段上距离、两村都越来越近？在哪一段两村都越来越
关于直
三角形
>等腰三角形>等腰等边综合如图，四边形中，。
(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
5.搭桥模型 已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定
点，（直线AB不与m垂直）
要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.
分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），
OB=4 ，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短
时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小
分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于l的对称点，转化为上述模型3
解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l
的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.