08-4.椭圆锥面PPT
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椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
椭圆基本知识PPT课件
（2）若 a=c ，则集合P为线段； （3）若 a＜c，则集合P为空集.
(2)第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)，则动点 M 的轨 迹是椭圆，定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭 圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率． 这里要注意：一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离，其商是常数 e；二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1)；三是定点 F 不在定直线 l 上． 2．椭圆的两种标准方程 ax22＋by22＝1，ay22＋bx22＝1. (1)a>b>0；(2)a2－b2＝c2.
第1页/共61页
3.椭圆的几何性质
标准 方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
图形
第2页/共61页
范围 对称性
顶点
-a≤x≤a -b≤y≤b
对称轴：坐标轴
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称中心：原点
[8分]
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由题意x1≠x2,
x12 y12 1
①
94
x22 y22 1 94
②
由①-②得：
(x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0.
60°=
3 b2 , 3
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
第23页/共61页
探究提高 （1）椭圆上一点与两焦点构成的三角
形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的
(2)第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)，则动点 M 的轨 迹是椭圆，定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭 圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率． 这里要注意：一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离，其商是常数 e；二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1)；三是定点 F 不在定直线 l 上． 2．椭圆的两种标准方程 ax22＋by22＝1，ay22＋bx22＝1. (1)a>b>0；(2)a2－b2＝c2.
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3.椭圆的几何性质
标准 方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
图形
第2页/共61页
范围 对称性
顶点
-a≤x≤a -b≤y≤b
对称轴：坐标轴
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称中心：原点
[8分]
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由题意x1≠x2,
x12 y12 1
①
94
x22 y22 1 94
②
由①-②得：
(x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0.
60°=
3 b2 , 3
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
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探究提高 （1）椭圆上一点与两焦点构成的三角
形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的
柱面和锥面PPT演示课件
M0M v r v
3.例 求半径为2，对称轴为 x y z 的圆柱面
的方程.
23
解：直线l0过点M0 (0, 0, 0), 其方向向量为 v(1, 2,3)
设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：
M0M v 2 v
化简得：13x2 10 y2 5z2 4xy 12 yz 6zx 56 0
M0 ( x0 , y0 , z0 )，准线C的方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个锥面的方程.
点 M(x, y, z) 在此锥面上的充分必要条件是：M
在一条母线上，即，准线上有一点 M1(x1 , y1 , z1 ) 使得 NhomakorabeaM1
在直线
M
0
M
上.
F
方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个柱面的方程.
点 M(x, y, z)在此柱面上的充分必要条件是 M在某
一条母线上，即，有准线C 上一点 M0 (x0 , y0 , z0 )使得 M 在过 M0 且方向为 v 的直线上（如图3.7）.
因此，有
F (x0 , y0 , z0 ) 0,
y0 y0
( (
y y
(
x1,
y1
,
z1
)
0,
因此，有
Gx1(x1x, 0y1,
z1) 0, (x x0 )u,
y1
y0
(y
y0 )u,
消去 x1 , y1 , z1 得 z1 z0 (z z0 )u.
3.例 求半径为2，对称轴为 x y z 的圆柱面
的方程.
23
解：直线l0过点M0 (0, 0, 0), 其方向向量为 v(1, 2,3)
设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：
M0M v 2 v
化简得：13x2 10 y2 5z2 4xy 12 yz 6zx 56 0
M0 ( x0 , y0 , z0 )，准线C的方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个锥面的方程.
点 M(x, y, z) 在此锥面上的充分必要条件是：M
在一条母线上，即，准线上有一点 M1(x1 , y1 , z1 ) 使得 NhomakorabeaM1
在直线
M
0
M
上.
F
方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个柱面的方程.
点 M(x, y, z)在此柱面上的充分必要条件是 M在某
一条母线上，即，有准线C 上一点 M0 (x0 , y0 , z0 )使得 M 在过 M0 且方向为 v 的直线上（如图3.7）.
因此，有
F (x0 , y0 , z0 ) 0,
y0 y0
( (
y y
(
x1,
y1
,
z1
)
0,
因此，有
Gx1(x1x, 0y1,
z1) 0, (x x0 )u,
y1
y0
(y
y0 )u,
消去 x1 , y1 , z1 得 z1 z0 (z z0 )u.
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
08-4.椭圆锥面PPT
椭圆锥面方程
一、截痕法
二次曲面的定义：
三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
2222220x y z a b c
+-=椭圆锥面用截痕法讨论：o x z y
平面截痕
xoy 面及平行于它的平面一点或者椭圆
zox 面及平行于它的平面yoz 面及平行于它的平面
两相交直线或双曲线
两相交直线或双曲线二、椭圆锥面
三、常见的椭圆锥面方程2222z y x =+222z
y x =+22232x z y =+222x z y =+22232y z x =+222y z x =+22y
x z +=2
22y x z +-=2
2y x z +-=
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面
截痕法
（熟知这几个常见曲面的特性）。
柱面锥面和旋转曲面ppt课件
f (y1, z1)=0
.
S
建立旋转曲面的方程：
如图
得方程
规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标.
例3.1.6 将圆
绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程.
解：所求旋转曲面的方程为：
l
M1
S
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面
特例--- 以直线为母线的旋转面
母线和轴共面时
圆柱面 (母线和轴线平行)
圆锥面 (母线和轴线相交 而不垂直)
平面 (母线和轴线正交)
母线和轴线异面且直母线 与轴线不垂直呢?
母线不是经线
单叶旋转双曲面
解：设P(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过P的纬圆方程是：
（母线平行于Y轴的椭圆柱面）
（母线平行于x轴的双曲柱面）
（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
1、锥面的概念
定义3.1.3 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。
补充：
曲线 C
C
绕 z 轴
3、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面
曲线 C
C
绕z 轴
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
M(x,y,z)
.
S
.
S
建立旋转曲面的方程：
如图
得方程
规律：一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标.
例3.1.6 将圆
绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程.
解：所求旋转曲面的方程为：
l
M1
S
旋转曲面又可看作以轴 l 为连心线的一族纬圆生成的曲面
特例--- 以直线为母线的旋转面
母线和轴共面时
圆柱面 (母线和轴线平行)
圆锥面 (母线和轴线相交 而不垂直)
平面 (母线和轴线正交)
母线和轴线异面且直母线 与轴线不垂直呢?
母线不是经线
单叶旋转双曲面
解：设P(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过P的纬圆方程是：
（母线平行于Y轴的椭圆柱面）
（母线平行于x轴的双曲柱面）
（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
1、锥面的概念
定义3.1.3 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。
补充：
曲线 C
C
绕 z 轴
3、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面
曲线 C
C
绕z 轴
曲线 C
旋转一周得旋转曲面 S
C
S
M
N
z
P
y
z
o
绕 z轴
f (y1, z1)=0
M(x,y,z)
.
S
3.1柱面、锥面和旋转曲面PPT课件
（2） （3）
F 2(x1, y1, z1) 0
（4）
从(2)(3)(4)消去参数 x1, y1, z1 最后得一个三元方程 F (x , y , z ) 0
0
M1
x
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X, Y, Z
的柱面方程.
-
9
例3.1.1 柱面的准线方程为
x2 y2 z2 1 x y z 0
的母线.
定方向
观察柱面的形成过程:
-
准 线
3
一般柱面
母线
准线
准线
-
4
注
1）柱面被它的准线和直母线方向完全确定． 2）柱面的准线不唯一． 3）准线不一定是平面曲线． 4）平面也是柱面，但是其母线方向不唯一．
-
5
建立曲面方程的两种方法: 一是看成点的轨迹， 二是看成曲线产生的.
-
6
2. 求柱面方程
向向量可取为 (x, y, z) .而圆锥的轴线的方向向量 v 就是平
面 2x 2y z 0的法向量,即 v (2,2,1)
•. • 根据圆锥面的特性,有
v
cos30 ,
v
2x 2y z
3
即
.
x 2 y 2 z2 22 (2)2 12 2
化简得圆锥面的方程为：
11x2 11y2 23z2 32xy 16xz 16yz 0.
而母线的方向数为 (1，1，1)，求这柱面的方程。
2x2 2y2 2z2 2xz 2yz 2xy 3 0
-
10
例3.1.2 已知圆柱面过点P（2，0,1），轴为
x 1 y z 1, 1 1 1
求这个圆柱面的方程.
P（2,0,1）
工图08-圆柱、圆锥、圆球的截切
假设 全部截通
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线水的平侧投面影投为影部为分部圆分弧圆，弧侧， 水面平投投影影积积聚聚为为直直线线。。
例8：完成半球体被截切后的水平和侧面投影。
同轴回转体的截切
首先分析同轴回转体由哪些基本回转体组成以及它们 的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并 依次将其连接。
2024/8/29
27
★判别可见性，光滑连接各点；
★分析轮廓线的投影。
例7: 已知圆锥被正垂面截切，试完成水平投影并求侧面 投影。
球体的截切
1、平面与圆球相交，截交线的空间形状永远是圆。 2、由于截平面与投影面的相对位置不同，其截交 线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线段。
例8：完成半球体被截切后的水平和侧面投影。 注意 圆心位置， 半径长度
Qv
截平面之 间的交线
Pv
2024/8/29
13
例5：求作圆柱被截切后的侧面投 影。
Q1
Q2
解题步骤
一.空间及投影分析；
二.求截交线；
P1
1.绘制未截切圆柱
的投影；
2.分析、整理轮廓
素线的投影；
3.检查。
例5：求作圆柱被截切后的侧面投
影。Q1Q2 NhomakorabeaP1例6：求圆筒被截切后的侧面投影。
1'(3 ')
第三章 基本体和曲面的投影
§3-1 平面体的投影 §3-2 曲面体的投影 §3-3 曲面的投影
2024/8/29
1
第四章 立体截切与相贯的投影
§4-1 平面体的截切 §4-2 曲面体的截切
2024/8/29
2
回转体截切
截交线的性质：
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08-4.椭圆锥面PPT
椭圆锥面方程
一、截痕法
二次曲面的定义：
三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
2222220x y z a b c
+-=椭圆锥面用截痕法讨论：o x z y
平面截痕
xoy 面及平行于它的平面一点或者椭圆
zox 面及平行于它的平面yoz 面及平行于它的平面
两相交直线或双曲线
两相交直线或双曲线二、椭圆锥面
三、常见的椭圆锥面方程2222z y x =+222z
y x =+22232x z y =+222x z y =+22232y z x =+222y z x =+22y x z +=2
22y x z +-=2
2y x z +-=
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面
截痕法
（熟知这几个常见曲面的特性）。