[公开课优质课课件]解析椭圆的离心率求法
圆锥曲线离心率公开课课件
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
（2）椭圆焦点三角形顶角范围 (3)一般结论：b2 MF1 MF2 a2
2
利用焦点三角形顶得F1MF2 120o,120o F1BF2 180o,
60o
OBF2
90o,e sin OBF2 [
3 ,1). 2
利用焦点三角形顶角范围
一般结论：椭圆 G
： x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的两焦点为 F1(c, 0), F2 (c, 0)
2b2 ，即 a2
2(a2 c2 ) 所以e
c a
2 ，所以椭圆离心率 2
的取值范围是[ 2 ,1) . 2
一般结论：b2 MF1 MF2 a2
求圆锥曲线离心率值及 范围常见题型与思路
1，直接利用已知条件找关系
2，在焦点三角形中找关系
3，利用条件中平面几何知识，结合 椭圆（双曲线）特殊边，角找关系
23
A. 7
B.4
C. 3
D. 3
解析 因为△ABF2为等边三角形， 所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m， 因为A为双曲线右支上一点， 所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a， 因为B为双曲线左支上一点， 所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a， 由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°， 在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，
[公开课优质课课件]详解椭圆曲线的离心率求解
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[公开课优质课课件]详解椭圆曲线的离心
率求解
简介
本课程将详细解释椭圆曲线的离心率求解方法。
通过本课程，您将了解离心率的概念、计算方法，以及椭圆曲线上离心率的意义和应用。
椭圆曲线和离心率
椭圆曲线是平面上一组满足特定数学方程的点的集合。
离心率是描述椭圆曲线形状的一个重要参数，它衡量了椭圆曲线的扁平程度。
离心率的取值范围是0到1，离心率越接近0，椭圆曲线越接近圆形；离心率越接近1，椭圆曲线越扁平。
离心率的计算方法
离心率的计算方法可通过椭圆曲线的半长轴和半短轴长度进行求解。
我们可以使用以下公式计算离心率：
离心率 = sqrt(半长轴^2 - 半短轴^2) / 半长轴
其中，sqrt表示计算平方根。
离心率的结果是一个在0到1之间的实数。
离心率的意义和应用
离心率对于椭圆曲线的几何特征和性质具有重要影响。
离心率越大，曲线越扁平，其特征点和形状会有所改变。
离心率的值还可以用来判断椭圆曲线是否为圆形、椭圆或双曲线，并对密码学等领域的算法和保密性产生重要影响。
感谢您参加本次公开课，希望通过本课程的学习，您能更好地理解椭圆曲线的离心率求解方法及其应用。
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通过化简这个等式，可以得到 椭圆的标准方程。
这种方法适用于已知椭圆的焦 点、长轴和短轴等信息，可以 通过这些信息来求解椭圆的标 准方程。
利用极坐标转换求解
01
将椭圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，得到一个关于 $x$和$y$的二次方程。
02
通过解这个二次方程，可以得到椭圆的标准方程中的参数 $a$和$b$。
$frac{x^2}{a^2}
+
frac{y^2}{b^2}
=
1$
（$a>b>0$），其中$a$和$b$分
别为椭圆的长半轴和短半轴。
焦点、焦距和离心率
焦点
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和 等于长轴长。
焦距
离心率
椭圆的离心率$e$定义为 $e=frac{c}{a}$，离心率越小，椭圆 越接近于圆。
两焦点之间的距离，用$2c$表示，其 中$c=sqrt{a^2-b^2}$。
解析：(1) 利用离心率和过点条件列出 方程组，求解得到椭圆C的方程；(2) 联立直线与椭圆方程，利用判别式和垂 直平分线性质列出不等式组，求解得到 $k$的取值范围。
04
椭圆在几何图形中应用
利用椭圆性质解决几何问题
椭圆的定义和性质
椭圆是由在平面内满足“从两个 定点F1和F2出发的线段长度之和 等于常数（且大于两定点之间的 距离）的点的集合”形成的图形。
03
椭圆与直线关系分析
直线与椭圆相交条件判断
判别式法
通过联立直线与椭圆方程，消元后得到一个关于$x$（或$y$）的二次方程，利用判 别式$Delta$判断方程的根的情况，从而确定直线与椭圆的交点个数。
图形法
通过绘制直线与椭圆的图形，观察交点的个数和位置，从而判断直线与椭圆的关系。
椭圆离心率求法经典全面
离心率的五种求法椭圆的商心率0<0<1,双曲线的商心率丘>1,抛物线的离心率e = \. 一、直接求出“、J 求解《巳知圆锥曲线的标准方程或4、e 易求时，可利用率心率公式0 =上来解决。
a例1:已知双曲线^y-y 2 =1 (d>0)的一条淮线与抛物线y 2 =-6x 的准线重合, 则该双曲线的离心率为()A •迺B. 22 2Q 2 解：抛物线y 2 =-6x 的准线是X = -,即双曲线的右准线X =—2c2c 2 — 3c — 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3，e =—=——,故选 r> a 3变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为仟(1,0)、竹(3,0),则其商心率为()A. -B. -C. -D.丄43 24解：由片(1,0)、F 2(3,0)知 2c = 3 —1, • • c = 1 ,又T 椭圆过原点,■•a_c = l, a + c = 3 > • • a = 2 , c = 1 ,所以离心率e = — = — •故选C ・a 2变式练习2:若是双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A. —B. —C. - D 22 2 2c 3解：由题设a = 2, 2C = 69则c = 3, ^ =-=-,因此选Ca 2变式练习3：点P (-3, 1)在椭圆亠+二=1 (a >b>0)的左准线上，过点P 且方向 a 2b 2为a =(2,-5)的光线，经直线$ = -2反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为()Di 2解：由题意知，入射光线为y-l=--(x + 3),关于y = —2的反射光线(对称关系)为 2 尤“c J3c解得 a = \[3 9 c = 1,则 e = — = •故选A云+ 5 = 0"3二、构造"、。
的齐次式，解出fV 6 TB !35x-2y+ 5 = 0,贝ij<按照题设条件，借助〃、b、C之间的关系，构造"、e的关系（特别是齐二次式），进而取得关于0的一元方程，从而解得离心率2 2例2：已知片、化是双曲线二一匚=1 （。
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椭圆的离心率为(
)
[解析] b ( b ) 1 a2 c2 ac e 5 1
ac
2
3，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线
MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 3 1
变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果
22
m2
3
综上 m 16 或 3 3 3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
4，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 x2 y2 1的离心率为 mn
2n 2m n
[解析]由 n2 m2n mn 0
m 2 n 4 ，椭圆
x2 m
可得| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则| PF1 || PF2 | 2(a2 c2 ) 2b2 ，
PF1
，
PF2
是方程 z 2
2az
2b2
0 的两个根，则
4a2
8(a2
c2) 0 e2
c2 a2
1 2
e
2 2
解法 3：正弦定理
设记 PF1F2 ，PF2 F1 ，由正弦定理有
4
0 3 则 2 sin( ) 1，1 2 sin( ) 2
24
44 2
4
4
所以 2 e 1 2
解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | 平方后得 4a 2 | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 2(| PF1|2 | PF2 |2 ) 2| F1F2 |2 8c2
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03
提高数学思维能力
通过学习和练习，提高数学思 维能力，包括逻辑推理、归纳 分类、化归等思想方法的应用 能力。
04
关注数学文化
了解数学史、数学名著和数学 家的故事等数学文化内容，丰 富自己的数学素养和视野。
2024/1/25
30
感谢您的观看
THANKS
2024/1/25
31
PF_2$，若$Delta PF_1F_2$的面积为9，求椭圆的方程。
7
02
椭圆与直线关系
2024/1/25
圆方程的解的情况，可以确定直线与椭圆的位置关系， 如相切、相交或相离。
判别式法
将直线方程代入椭圆方程，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的二 次方程，通过判别式Δ的值来判断位置关系。当Δ>0时，直线与椭圆相交；当 Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离。
例题4
结合实际问题，利用参数方程求 解最值问题。
01
02
例题1
已知椭圆的参数方程，求其普通 方程和焦点坐标。
03
04
例题3
利用参数方程研究椭圆上点的运 动轨迹和性质。
2024/1/25
22
05
高考真题回顾与拓展延伸
2024/1/25
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历年高考真题回顾
（2019年全国卷II）椭圆的焦点 三角形面积问题
解题思路
首先根据题目条件列出方程或不等式，然后结合图形分析，运用相关知识点进行 求解。在解题过程中，需要注意数形结合思想和转化与化归思想的应用。
2024/1/25
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03
椭圆在几何图形中应用
2024/1/25
13
利用椭圆性质求最值问题
《2.2.2椭圆的几何性质(2)》课件-优质公开课-人教A版选修2-1精品
6、点P是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的动点，当P的坐标为(±a，0)时，
P到原点O的最大距离为
a
；当P的坐标为(0，±b时) ，
P到原点O的最小距离为------b-------；设F（1 c,0),则当P的
的 轨 迹 方 程 又 是 怎 样 呢？
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的.
定义 1
图形
定义 2
平面内与 两个定点F1、 F2的距离的和 等于常数（大
焦 准
点 线
：F1 ( ：x
c ,0 a 学.科.网2
)、
F
2
(
c
,0
)
c
平面内与 一个定点的距 离和它到一条
定直线的距离
于 F1F2 ）的点 的轨迹。
(x c)2 y2 c
.
a2 x
a
c
将 上 式 两 边 平 方 ， 并 化简 ， 得 （ a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ).
设a2 c2 b2,则 方 程 可 化 成 x2 y2 a 2 b2 1(a b 0).
2 2,
要将这个工艺品平放在一圆形盒中邮寄，则盒子底面圆的
直径至少为 8 2cm 。
2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千 万年的梦想与希望，遨游太空返回地面.其运行的轨道是以地 球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点 距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴
的比是常数
e c (0 e 1) a
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ac e =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23 B. 23 C. 26D.332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A. 43B. 32C. 21D. 41解：由()0,11F 、()0,32F 知132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
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[公开课优质课课件]解析椭圆的离心率求
法
椭圆是一个重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。
而椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
本文将解析椭圆的离心率求法，帮助读者更好地理解椭圆的性质和特点。
1. 椭圆的定义
椭圆可以定义为到两个焦点距离之和恒定的点构成的图形。
数学上，椭圆可以用一个数学方程来表示，即椭圆的离心率求法的基础。
2. 椭圆的离心率
离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
离心率的定义是椭圆焦点间距离除以长轴长度的比值。
我们可以通过以下步骤计算椭圆的离心率：
1. 确定椭圆的长轴和短轴长度。
2. 计算椭圆的焦点之间的距离。
3. 将焦点之间的距离除以长轴长度，得到离心率的值。
3. 举例说明
例如，假设椭圆的长轴长度为a，短轴长度为b。
椭圆的焦点之间的距离为c。
那么椭圆的离心率可以表示为：
离心率 = c / a
通过以上公式，我们可以计算出任意椭圆的离心率。
4. 总结
本文解析了椭圆的离心率求法。
椭圆的离心率是一个重要的参数，用来描述椭圆形状的特点。
离心率的值越接近于0，椭圆形状越接近于圆形；离心率的值越接近于1，椭圆形状越长而细长。
希望本文对读者理解椭圆的离心率求法有所帮助。
> 注意：以上内容仅供参考，具体情况还需根据实际问题进行具体分析和计算。
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