含有函数记号fx有关问题解法
fx的解析式公式
fx是一个函数的符号，表示它是一个具体的函数。
其解析式公式取决于具体的函数是什么。
如果您有具体的函数，我可以告诉您它的解析式公式。
如果您有一个特定的函数，例如f(x) = x^2 + 3x + 1，那么它的解析式公式是f(x) = x^2 + 3x + 1。
这是一个二次函数，可以用来描述二次函数的形式。
其他函数也有自己的解析式公式，如指数函数f(x) = 2^x 或三角函数f(x) = sin(x)。
请注意，每种函数都有其自己的特殊解析式公式，并且在不同的场景中使用。
另外，在许多情况下，函数f(x) 没有解析式公式，因为它可能不能被数学公式表示。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来近似函数值。
例如，在机器学习中，我们可以使用深度学习网络来拟合复杂的函数，而无需知道其解析式。
总之，fx的解析式公式取决于具体的函数，如果给定函数没有解析式，可能需要使用数值方法来近似函数的值。
另外,对于复合函数f(g(x)) 也可以使用解析式公式来表示, 其中g(x)是一个具体的函数.
如f(g(x))=sin(g(x)), g(x)=x^2+3x+1, 那么f(g(x))=sin(x^2+3x+1) 就是这个复合函数的解析式公式.
总结：fx的解析式公式是一种用数学公式表示函数的方
法，对于每种函数都有其自己的特殊解析式公式，但是并不是所有函数都有解析式公式，在这种情况下可能需要使用数值方法来近似函数的值。
含有函数记fx问题解法
含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u=- ∴2()2111u u f u u u-=+=-- ∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则=22222()24ax bx a c x x +++=++ 比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
求函数f（x）解析式常用的方法
求函数)(x f 解析式常用的方法济宁一中高一数学组 贾广素（邮编272000）电话：130****4397根据实际问题求解函数的表达式，是利用函数知识解决实际问题的基础。
因此，有必要掌握函数解析式的求法，下面就介绍几种求解函数解析式的常用方法：一、直接法直接法就是从题设（已知）条件出发，执因索果，进行演绎推导，从而得出函数解式的方法。
例1、 已知432)(2++=x x x f ，求函数)1(+x f 的解析式。
解：由于432)(2++=x x x f ，∴)1(+x f ＝4)1(3)1(22++++x x ＝9722++x x。
例2、 已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时)1()(x x x f -=，求当0<x 时)(x f 的解析式。
解： 当0>x 时)1()(x x x f -=，∴当x<0时，－x>0，从而)1())(1)(()(x x x x x f +-=---=-又 )(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-；)1()(x x x f +=∴。
注：直接法是一种正向的思维，解决问题时要善于将稍复杂的问题进行分解，各个击破，它不需要特殊的技巧。
二、待定系数法用一些字母作为待定系数，然后根据条件列出含有待定系数的方程式或方程组，解出这些待定系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法。
例3、已知)(x f 是一次函数，并且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。
解：设)0()(≠+=a b ax x f ，则)1(2)1(3--+x f x f ＝ba axb a ax 222333-+-++＝b a ax ++5，又 172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，比较系数得⎩⎨⎧=+=1752a b a 解得7,2==b a ，所以所求函数的解析为72)(+=x x f 。
例4、已知二次函数)(x f y =的最大值等于13，且,5)1()3(=-=f f 求函数)(x f 的解析式。
函数y=f(x)的解析表达式的几种求法
函数y=f(x)的解析表达式的几种求法《解析函数y=f(x)的几种求法》
在数学推导领域，解析函数(y=f(x))是一种表示关系的数学表达式，它能将包
含一个称为“参数”的变量的函数的内容简明地表达出来，而参数的值可以任意变化。
采用解析的方法求解函数，可以大大减少计算工作量，为研究数学特征，求解未知变量提供可靠依据。
精确来说，解析函数有以下几种求法：解析替代法、特征值法、下界条件法、
独立变量假设法、等级法、函数拟合法，每种方法都拥有自己的优点，便于有效的完成计算任务。
以解析替代法为例，此种方法可以用来求解函数中涉及两个变量的求解问题，
它能以比其他方法更快的速度计算出结果，且拥有极高的效率，其原理是将变量替换为固定的数值，保证变量间的函数表示和计算过程中不发生变化。
另一字特征值法，它是求解函数特征值及各特征值在研究区域内的坐标的方法。
其优点在于，当参数值在区域内变化时，该方法得出的结果更准确，且能显示出函数特征值曲线变化情况，有助于定量分析函数行为特性及工程应用。
最后，独立变量假设法是求解函数关于独立变量的表达式的方法，它的特点是
能在较高的效率下将解析函数的表达式表示为一个简单的式子，从而实现函数的可视化表示，便于进行计算。
总之，解析函数的求解是数学运算的一个重要部分，它能以实用的方式来帮助
我们研究函数表达式的特性和参数的关系，从而使我们有效解决待解问题，丰富数学分析，提升数学研究能力。
求函数fx的解析式
解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b= a2 x+ab+bLeabharlann a2 4 ab b 3
a b
12或ba
2 -3
f (x) 2x 1 或 f (x) 2x - 3
例二：已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝
解：令 t x 1，则 t 1 x (t 1)2
f ( x 1) x 2 x ， f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1, f (x) x 2 1 (x 1)
f (x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)
例二：f (x 1) x2 2x 2，求f(x)及
1、解2：、f (解x 1：) f(x(x1)2 1)2x1(x(x 11))22 22(xx1) 3
f f
( (
xx)1()xx2 ( x21x)12)
3
2
22((xx
1)
1)3
02
解得，x1f(2x,)x2 x22 2x 2
四、【待定系数法】
已知函数模型（如：一次函数，二次函数,反比例函数等） 求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系 数。
故f(x)的解析式为f(x)＝a－b 1x.
(2)在原式中用1x替换x，得f1x－2f(x)＝3x＋2，
于是有ff1xx－－22ff1xx＝＝33x＋x＋22，. f(x)＝－x－2x－2.
消去f1x，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f (x y) f (x) 2xy y2 y
求函数fx的解析式
解：令 t x 1，则 t 1 x(t 1)2
Q f( x1)x2 x ， f(t) (t 1 )2 2 (t 1 ) t2 1 , f(x)x21 (x 1)
f(x 1 ) (x 1 )2 1 x 2 2 x(x 0)
b
6
例二：f(x1)x22x2，求f(x)及
解：令 tx1,则 xf( x+t3)1
且f (0)1，求 f ( x).
解： 令xy得
f(0)f(x)2x2x2x
f(x)x2x1
b
17
b
18
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来； (3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来．
3
ff((3fxx(x11)))f((xtf)(t1)4)2 t(3t1113)2 1
4( x 1)
f (x)
3
3b
8
三、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
例二：已知
f(x1)x2 x
ft fx 1 t 1 2 2 t 1 2 t2 1
f xx21 y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
b
7
练习：
1、若 f(3x1)4x3,求f(x)的解析式 2、已f(知 x1)x21,求f(x)的解析式
12、、解：令令t t x3x 1,1则 , 则xx tt11
b
2020年高中数学教学论文 含有函数记号“f(x) ”有关问题解法
含有函数记号“()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u=- ∴2()2111u u f u u u-=+=-- ∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
[例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
1.函数符号与函数的基本问题
2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 059[决胜高考数学母题](第012号)函数符号与函数的基本问题掌握函数,要从认识函数符号f(x)开始,对f(x)我们可以把x 想象为一个口袋,在这个口袋内可以同时填入(赋值)任意一个数或式(包括f(x)自身),由此可充分体现换元方法和整体思想,并产生函数的三类基本问题.[母题结构]:(Ⅰ)(求函数值)已知函数f(x),求f(x 0)的过程,称为求函数值,求函数值的基本方法就是的赋值法.(Ⅱ)(函数方裎)含有未知函数的等式称为函数方程;函数方程的中心问题是求函数的解析式,求函数解析式的基本方法有:待定法、换元法和赋值法.(Ⅲ)(函数迭代)利用了一个函数自身复合多次,这就叫做迭代.一般地,记f (0)(x)=x,f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)),…, f(n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代,并称n 为f (n)(x)的迭代指数.[母题解析]:略.1.求函数值子题类型Ⅰ:(2015年山东高考试题)设函数f(x)=⎩⎨⎧≥<-1,21,3x x b x x,若f(f(65))=4,则b=( ) (A)1 (B)87 (C)43 (D)21[解析]:由f(65)=25-b;①若25-b<1,即b>23;由f(f(65))=4⇒3(25-b)-b=4⇒b=87,不合;②若25-b ≥1,即b ≤23;由f(f(65))=4⇒f(65)=2⇒b=21.综上,故选(D). [点评]:求参数值有而类典型问题:一是求复合函数值,尤其是求分段函数的复合函数值;一般方法是由里至外逐次求解,其中的关键是注意定义域下的函数式.二是问题一的逆向问题,即已知复合函数值,求其中的参数值,要注意分类讨论.[同类试题]:1.(2015年陕西高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-)0(2)0(1x x x x,则f(f(-2))=( ) (A)-1 (B)41 (C)21 (D)232.(2005年江苏高考试题)己知a,b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b= . 2.函数方裎子题类型Ⅱ:(2008年陕西省高考试题)己知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R),f(1)=2,则f(-3)等于( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9[解析]:设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c,与己知f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 比较得a=1,c=0⇒f(x)=x 2+bx,又由f(1)=2⇒b=1⇒f(x)=x 2+x ⇒f(-3)=6.故选(C).[点评]:由二次函数抽象而得到的函数方程模型有:①如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(2m-x)+2f(x)=3(ax 2+bx+c)+2(2am+b)(m-x);②如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c;③如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x)f(y)=af(xy)+c[f(x)+f(y)]+ bxy[a(x+y)+(b-a)]-c(a+c);④如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x-f(y))=f(f(y))+f(x)-2(ax+b)f(y)-c.[同类试题]:3.(2012年安徽高考试题)下列函数中,不满足:f(2x)=2f(x)的是( )(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x| (C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x060 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题4.(2015年浙江高考试题)存在函数f(x)满足:对任意x ∈R 都有( )(A)f(sin2x)=sinx (B)f(sin2x)=x 2+x (C)f(x 2+1)=|x+1| (D)f(x 2+2x)=|x+1| 3.函数迭代子题类型Ⅲ:(2011年山东高考试题)设函数f(x)=x x +2(x>0),观察:f 1(x)=f(x)=x x +2,f 2(x)=f(f 1(x))=43+x x, f 3(x)=f(f 2(x))=87+x x ,f 4(x)=f(f 3(x))=1615+x x ,…,根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x)= f(f n-1(x))= .[解析]:由f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x)分母中的常数项分别为2,22,23,24,猜测f n (x)分母中的常数项=2n ,而一次项系数比常数项少1,为2n-1⇒f n (x)=nnx x 2)12(+-.[点评]:求f (n)(x)的一般解法是先猜后证法:先迭代几次，观察有何规律,由此猜测出f (n)(x)的表达式,然后证明.证明时,常用数学归纳法.[同类试题]:5.(2014年陕西高考试题)已知f(x)=xx+1,x ≥0,若f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +,则f 2014(x)的表达式为 . 6.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x))n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= .4.子题系列:7.(2005年浙江高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||,111||,2|1|2x xx x ,则f(f(21))=( )(A)21 (B)134 (C)-59 (D)41258.(2012年陕西高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥)0()21()0(x x x x,则f(f(-4))= . 9.(2012年福建高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0(1)0(0)0(1x x x ,g(x)=⎩⎨⎧∉∈∈),(0)(1Q x R x Q x ,则f(g(π))的值为( )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)π 10.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-1,21,122x x x x x ,则))2(1(f f 的值为( ) (A)1615(B)-1627 (C)98 (D)18 11.(2010年陕西高考试题)(理)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+1,1,122x ax x x x ,若f(f(0))=4a,则实数a=( ) (A)21 (B)54(C)2 (D)9 12.(2014年浙江高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++)0()0(2222x x x x x ,若f(f(a))=2,则a= .13.(2011年江苏高考试题)已知实数a ≠0,函数f(x)=⎩⎨⎧≥--<+)1(2)1(2x a x x a x ,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为 .2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 06114.(2006年全国高中数学联赛河南预赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b=( ) (A)3 (B)7 (C)-3 (D)-7 15.(2004年湖北高考试题)己知f(x x+-11)=2211x x +-,则f(x)的解析式可取为( ) (A)21x x + (B)-212x x + (C)212x x + (D)-21x x +16.(1984年全国高中数学联赛试题)若F(xx+-11)=x,则下列等式中正确的是( ) (A)F(-2-x)=-2-F(x) (B)F(-x)=F(xx +-11) (C)F(x -1)=F(x) (D)F(F(x))=-x 17.(2011年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f(x)为整式函数且满足f(x+1)+f(x-1)=4x 3-2x,则f(x)= . 18.(2010年全国高中数学联赛江西预赛试题)设多项式f(x)满足:对于任意x ∈R,都有f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,则f(x)的最小值是 .19.(1999年福建省高一数学夏令营选拔试题)关于x 的函数f(x)满足mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x(0<m<n),当x ∈[-1,1]时, f(x)的最小值是 .20.(2006年泰国数学奥林匹克试题)设函数f:R →R,对任意x ∈R,都有f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17.求f(85). 21.(2009年全国高中数学联赛湖南预赛试题)设f(x)为R →R,对任意实数x 有f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,则f(50)的值为( )(A)72 (B)73 (C)144 (D)14622.(2011年北京市中学生数学竞赛高一试题)设函数y=f(x)定义域为R,且对任意x ∈R 都有2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x- 6,则f(60)= .23.(2009年全国高中数学联赛试题)若函数f(x)=21xx +,且f (n)(x)=nx f f f f ]])([[⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则f (99)(1)= .24.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= . 5.子题详解: 1.解:由f(-2)=41⇒f(f(-2))=f(41)=21.故选(C). 2.解:(法一)由f(x)=x 2+4x+3⇒f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a 2x 2+2a(b+2)x+b 2+4b+3=x 2+10x+24⇒a 2=1,2a(b+2)=10,b 2+ 4b+3=24⇒b=3或-7;当b=3时,a=1;当b=-7时,a=-1⇒5a-b=2.(法一)在f(ax+b)=x 2+10x+24中,令x=-5得:f(-5a+b)=-1;又由f(x)=x 2+4x+3=-1⇒x=-2⇒-5a+b=-2⇒5a-b=2. 3.解:若f(x)=kx ⇒f(2x)=k(2x)=2kx,2f(x)=2(kx)=2kx ⇒f(2x)=2f(x)⇒(D)满足条件;若f(x)=k|x|⇒f(2x)=k × |2x|=2k|x|,2f(x)=2(k|x|)=2k|x|⇒f(2x)=2f(x)⇒(A)满足条件;对于(B):当x ≥0时,f(x)=0显然满足条件,当x<0时, f(x)=2x 满足条件⇒(A),(B),(D)满足条件.故选(C).4.解:由f(x 2+2x)=|x+1|=122++x x ;令t=x 2+2x,则f(t)=1+t .故选(D).5.解:由f 1(x)=x x +1⇒f 2(x)=f(f 1(x))=x x 21+⇒f 3(x)=f(f 2(x))=xx31+⇒…⇒f 2014(x)=x x 20141+.6.解:由f 1(x)=f(x)=ax+b ⇒f 2(x)=f(f 1(x))=a 2x+(a+1)b ⇒f 3(x)=f(f 2(x))=a 3x+(a 2+a+1)b ⇒…⇒f 7(x)=a 7x+(a 6+a 5+…+a +1)b ⇒a 7=128,(a 6+a 5+…+a+1)b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5. 7.解:由f(21)=|21-1|-2=-23⇒f(f(21))=f(-23)=134.故选(B).062 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题8.解:由f(-4)=(21)-4=16⇒f(f(-4))=f(16)=4.9.解:由g(π)=0⇒f(g(π))=f(0)=0.故选(B).10.解:由f(2)=22+2-2=4⇒))2(1(f f =f(41)=1-(41)2=1615.故选(A).11.解:由f(0)=2⇒f(f(0))=f(2)=4+2a=4a ⇒a=2.故选(C).12.解:①当a ≤0时,f(a)=a 2+2a+2>0⇒f(f(a))=-(a 2+2a+2)2=2无解;②当a>0时,f(a)=-a 2<0⇒f(f(a))=a 4-2a 2+2=2⇒ a=2.13.解:①当a<0时,f(1-a)=f(1+a)⇒-(1-a)-2a=2(1+a)+a ⇒a=-43;②当a>0时,f(1-a)=f(1+a)⇒2(1-a)+a=-(1+a)-2a ⇒a=-23(舍去).综上,a=-43. 14.解:令x=-2得:f(-2b+c)=-1;由f(x)=-1⇒x=-3⇒-2b+c=-3.故选(C). 15.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒2211x x +-=2222)1()1()1()1(t t t t -++--+=212t t +,所以f(t)=212t t +⇒f(x)=212x x +.故选(C). 16.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒F(t)=t t +-11⇒f(-2-x)=)2(1)2(1x x --+---=-x x ++13,-2-F(x)=-2-xx +-11=-x x ++13.17.解:由方程的右边为三次函数,故设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d,由题知,2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d ≡4x 3-2x ⇒2a=4,2b=0,6a+2c=-2,2b+2d=0⇒a=2,b=0,c=-7,d=0⇒f(x)=2x 3-7x.18.解:由方程的右边为二次函数,故设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c,由题知,2ax 2+2bx+2a+2c ≡2x 2- 4x ⇒2a=2,2b=-4,2a+2c=0⇒a=1,b=-2,c=-1⇒f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2的最小值=f(1)=-2. 19.解:由mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x ⇒mf(t)+nf(-t)=t+3⇒mf(-t)+nf(t)=-t+3⇒f(t)=-m n -1t+nm +1;由x ∈[-1,1]⇒ t=2x-3∈[-5,-1]⇒f(x)的最小值=f(t)的最小值=f(-1)=222m n n -.20.解:在f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17中,用1-x 代替x 得:f(x 2-3x+5)+2f(x 2+x+3)=6x 2-2x+13⇒f(x 2+x+3)=2(x 2+ x)+3;令x 2+x+3=85得:x 2+x=82⇒f(85)=2×82+3=167.21.解:由f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4⇒f(50)=3×50-4=146.故选(D).22.解:由2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2−3x+2)+f(x 2+x)=9x 2−15x,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4,所以f(60)=3×60−4=176. 23.解:由f (1)(x)=f(x)=21x x +,f (2)(x)=f[f(x)]=221x x +,…,f (n)(x)=21nx x +⇒f(99)(x)=2991x x +⇒f(99)(1)=101. 24.解:由f 1(x)=ax+b ⇒f 2(x)=a 2x+ab+b ⇒f 3(x)=a 3x+a 2b+ab+b ⇒…⇒f n (x)=a nx+a n-1b+a n-2b+…+ab+b=a nx+11--a a n b,由 f 7(x)=128x+381⇒a 7=128,117--a a b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5.。
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含有函数记号“()f x ”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式：
1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知(
)211
x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u
=- ∴2()2111u u f u u u
-=+=-- ∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x
x
+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||
x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设()f x =2
ax bx c ++，则
=22222()24ax bx a c x x +++=++ 比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩
∴213()22
f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知y =()f x 为奇函数,当x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,
∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
∵()f x 为奇函数，
∴lg(1)()()x f x f x -=-=-
∴当x <0时()lg(1)f x x =--
∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩
例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =
-，求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，
∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
11
x -………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1
g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =- 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式
例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++
∵(1)f =1,
∴(2)f =(1)f +2,
……
以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =
(1)2n n + ∴1()(1),2
f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题
1.判断函数的奇偶性：
例7已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0,则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①
在①中令y =0则2(0)f =2(0)f
∵(0)f ≠0
∴(0)f =1
∴()()2()f y f y f y +-=
∴()()f y f y -=
∴()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，
∵()f x 为函数，
∴2(1)(1)f m f m -<-
又∵()f x 在（-1，1）内递减， ∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩
3.解不定式的有关题目
例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-
∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴
又∵其开口向上
∴f (2)最小，f (1)=f (3)
∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数
∴f (3)<f (4),
∴f (2)<f (1)<f (4)。