23.3实践与探索(2)
23.3.2实践与探索(二)
23.3 .2实践与探索(二)教学目标：1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。
2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。
重点难点：1、重点：列一元二次方程解决实际问题。
2、难点：寻找实际问题中的相等关系。
教学方法：三疑三探教学过程：一、设疑自探（考考你）1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的27，求这个两位数。
（这个两位数是63）2、如图，一个院子长10cm ，宽8cm ，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。
（花圃的宽度为1m ）二、解疑合探：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？三、尝试探索，合作交流，解决问题1、翻一番，你是如何理解的？（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）2、“平均年增长率”你是如何理解的。
（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。
即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）3、独立思考后，小组交流，讨论。
4、展示成果，相互补充。
解：设平均年增长率应为x ，依题意，得2(1)2x += 1x +=11x =21x =，10.414x = 2 3.414x =-因为增长率不能为负数 所以增长率应为41.4%。
三、质疑再探：同学们还有什么问题或疑问？四、拓展运用若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。
人教版初中数学九年级上册 23.3 课题学习 图案设计 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
鼓励学生
利用 EZClick
根据自己在实 电子表决器即时评
践中的收获和 选出最优秀“地球
体会，各抒己 名片”作品，体验
见，互相交流. 成功.
反思图案 设计的过程和 欣赏变换产生 的美，展现了 数学的应用价 值和美学价值.
六、做一做（运用拓展，完善发 展）
课后完善自己的作品.
鼓励学生 课后继续完善 自己的作品.
完善作品.
完善作品 的过程既是对 知识的研究和 探讨，又是美 的追求和感悟 的过程，让学 生感受生活是 数学之源.
为主展示其创
交流、评价.
学生代表展示 作成果，在促
引导学生反思 设计成果, 说出作品 进学生进行数
图案设计的关 的设计技巧和优胜 学交流的基础
键，即选取简 之处.
上增强学生表
单的基本几何
达与交流的意
图形，通过不
识.
同的变换组合
出丰富的图案.
五、评一评（民主评价，体验成 功）
1、利用 EZClick 电子表决器即时 评价.
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、赏一赏（图片欣赏，知识再
现）1. 视频欣赏：神秘的麦田圆 电脑演示
圈. 视频.
2.提出基本问题: 如何用数学创造
美妙的图案世界？
二、说一说（复习回顾，掌握本
质） [活动 1] 1、观察变换，《几何画板》动态演
示三种变换的过程.
教师引导 学生回顾三种 图形变换.
2、归纳三种图形变换的共性.
提出问题：
[活动 2]
①请你说说这
1、展示麦田圆圈图片.
幅图案是由什 么“基本图
23.3已修改
23．3 实践与探索——面积问题导学提纲一、教学目标：1、会将实际问题建模，转化为一元二次方程解决。
2、会根据问题的实际问题，检验所得的结果是否合理。
二、教学重、难点：1、面积的设计问题。
2、利用等量关系列出方程。
三、创设情景引入新知：在经过半年多的星际旅行后，美国宇航局“勇气”号火星车于2004年北京时间1月4日12时35分左右成功的在火星表面着陆，并于12时52分向地球发回了第一个成功登陆信号，随后美国宇航局宣布“勇气”号登陆计划获得成功，接下来“勇气”号将进行一周自检，之后才开始在火星表面移动和勘测，这是人类又一次尝试对火星上是否有生命存在的可能性的实践与探索。
你会在数学中运用一元二次方程这个工具探索具有规律的实际问题吗？四、联系实际建立知识：1、举例：让学生举出生活中这样的事例，以小组为单位交流。
2、明确：典型的实际生活的问题，应结合题目实际要求综合分析，分类讨论，再通过比较得出最优方案。
3、形成：根据每个小组的举例说明列一元二次方程解决实际问题，小组内交流，小组代表发言，教师评价。
五、应用知识解决问题：1、若两个连续偶数的积是168，则此两偶数为____．2、若从一块正方形的铁板上一侧裁去一块3米宽的长方形铁板，剩下的面积为40平方米，则原来这块铁板的面积为____．3、若把100厘米长的铁丝折成一个面积为525平方厘米的长方形，则长方形的长为____，宽为___．4、在旧城改造中，市建委计划在恐龙公园内修一条横断面为等腰梯形的水渠，横断面面积为10.5平方米，上口比底宽3米，比深多2米，求上口应挖多宽．5、现有长方形塑料片一块，长19cm，宽15 cm，给你锋利小刀一把、粘胶、直尺，你能做一个底面积为77 cm2 的无盖的长方形水槽吗？说说你是怎样做的。
6、小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子，如图。
如果要求长方形的底面积为81 cm2 ，那么剪去的正方形边长为多少？7、要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料。
23.3.2实际与探索(根与系数的关系)
方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0
3
1
-2
-
3 2
-1
一元二次方程根与系数关系的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
+
b 2b = = 2a a
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 4ac b b 2a
X=
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2 12 7 -3 -4
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6
(3) x1 = - 7 , x2 = 7 (4) x1 = -2+ 5, x2 = -2- 5
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根 是1，求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两 个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
3 x1+x2= 2
x1+x2=3 x1+x2=0
1 x1x2= 4
x1x2=0
4 x1x2= 3
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2
华师大版九年级上册电子课本(新版) 第23章 一元二次方程
第23章一元二次方程 (2)§23.1 一元二次方程 (3)§23.2 一元二次方程的解法 (4)阅读材料 (13)§23.3 实践与探索 (14)小结 (16)复习题 (17)第23章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为x 米，可列出方程900)10(=+x x ，整理得0900102=-+x x ．方程0900102=-+x x 中未知数x 的最高次数是2，它是一个一元二次方程．§23.1 一元二次方程问题1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程x （x ＋10）＝900，整理可得0900102=-+x x ． （1）问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．分析设这两年的年平均增长率为x ．已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即2)1(5)1)(1(5x x x +=++万册．可列得方程2.7)1(52=+x ， 整理可得02.21052=-+x x ． （2）思考这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown ）．通常可化成如下的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，a ≠0），其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）232=-x x ；（2）2237x x =-；（3）0)2(3)12(=---x x x x ；（4）4)5(3)1(2-+=-x x x ．习题23．11．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2．已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值．3．根据题意，列出方程（不必求解）：（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径．（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？§23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．（1）42=x ；（2）012=-x ．概括对于方程（1），有这样的解法：方程 42=x ， 意味着x 是4的平方根，所以4±=x ，即 x ＝±2．这种方法叫做直接开平方法．对于方程（2），有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x －1）（x ＋1）＝0，必有 x －1＝0或x ＋1＝0，分别解这两个一元一次方程，得1,121-==x x ．这种方法叫做因式分解法．思考（1）方程42=x 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程012=-x 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程09002=-x ．例1 解下列方程：（1）022=-x ；（2）025162=-x ．解 （1）移项，得22=x ．直接开平方，得2±=x ．即 2,221=-=x x ．（2）移项，得25162=x ．方程两边都除以16，得16252=x直接开平方，得45±=x ．即 45,4521=-=x x ．例2 解下列方程：（1）0232=+x x ；（2）x x 32=．解 （1）方程左边分解因式，得x （3x ＋2）＝0．所以 x ＝0或3x ＋2＝0．得 32,021-==x x ．（2）移项，得032=-x x ．方程左边分解因式，得x （x －3）＝0．所以 x ＝0或x －3＝0，得 3,021==x x ．练习1．解下列方程：（1）1692=x ；（2）0452=-x ；（3）025122=-y ；（4）022=-x x ；（5）0)1)(2(=+-t t ；（6）05)1(=-+x x x ．2．小明在解方程x x 32=时，将方程两边同除以x ，得到原方程的解x ＝3，这种做法对吗？为什么？例3 解下列方程：（1）04)1(2=-+x ；（2）09)2(122=--x ．分析两个方程都可以转化为 a =2的形式，用直接开平方法求解．解（1）原方程可以变形为4)1(2=+x ， 直接开平方，得x ＋1＝±2．所以 3,121-==x x ．（2）原方程可以变形为____________________，有 ____________________，得____________,21==x x ．读一读小张和小林一起解方程x （3x ＋2）－6（3x ＋2）＝0．小张将方程左边分解因式，得（3x ＋2）（x －6）＝0， 所以3x ＋2＝0或x －6＝0． 得 6,3221=-=x x ．小林的解法是这样的：移项，得 x （3x ＋2）＝6（3x ＋2），方程两边都除以（3x ＋2），得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个根32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）016)2(2=-+x ；（2）018)1(2=--x ；（3）1)31(2=-x ；（4）025)32(2=-+x ．例4 解下列方程：（1）522=+x x ；（2）0342=+-x x ．思考能否经过适当变形，将它们转化为a =2的形式，用直接开平方法求解？解（1）原方程两边都加上1，得6122=++x x ， _______________________,_______________________,_______________________．（2）原方程化为43442+-=+-x x ，_______________________，_______________________，_______________________．归 纳上面，我们把方程0342=+-x x 变形为1)2(2=-x ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．例5用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ． 解（1）移项，得762=-x x ． 方程左边配方，得32237332+=+⋅⋅-x x ， 即 16)3(2=-x ．所以 x －3＝±4．得 1,721-==x x ．（2） 移项，得132-=+x x ．方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ， 即45)23(2=+x ． 所以2523±=+x ． 得2523,252321--=+-=x x x ．练习1．填空：（1）2x +6x+( )=(x+ )2；（2）2x -8x+( )=(x- )2；（3）x x 232++( )=(x+ )2；（4）42x -6x+( )=4(x- )2=(2x- )2．2．用配方法解下列方程：（1）2x ＋8x －2＝0；（2）2x －5x －6＝0．试一试用配方法解方程2x ＋px ＋q ＝0（q p 42-≥0）．思考如何用配方法解下列方程？（1）42x －12x －1＝0；（2） 32x ＋2x －3＝0．讨论请你和同桌讨论一下： 当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．因为a ≠0，方程两边都除以a ，得02=++a cx a bx ． 移项，得a c x a bx -=+2． 配方，得a c a b a b a bx x -=+⋅⋅+222)2()2(22， 即22244)2(a acb a bx -=+．因为a ≠0，所以42a ＞0，当2b －4ac ≥0时，直接开平方，得aac b a bx 2422-±=+． 所以aacb a bx 2422-±-=， 即a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=．由以上研究的结果，得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a acb b x ． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例6 解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0；（2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ． 解（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49， 所以47122491242±-=⨯±-=-±-=aacb b x ， 即23,221=-=x x ．（2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24， 所以622244±-=±-=x ． 即62,6221--=+-=x x ．（3） 因为2b －4ac ＝256， 所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ． 得2,5621=-=x x ． （4） 整理，得42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0， 所以812±-=x ， 即2321-==x x ．练习用公式法解下列方程：（1）2x －6x ＋1＝0；（2）22x －x ＝6；（3）42x －3x －1＝x －2；（4）3x （x －3）＝2（x －1）（x ＋1）．思考根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下．应用现在我们来解决§23．1的问题1：x （x ＋10）＝900，2x ＋10x －900＝0，3755±-=x ，3755,375521+-=--=x x ． 它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取x ＝3755+-≈25．4，x ＋10≈35．4，符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米．例7学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm ，则两条小道的面积分别为32x 2m 和20x 2m ，其中重叠部分小正方形的面积为2x 2m ，根据题意，得 32×20－32x －20x ＋2x ＝540．图23.2.1图23.2.2试一试如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．练习1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的32时较美观，求镶上彩纸条的宽．（精确到0．1厘米）2．竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=．爆竹点燃后以初速度0v ＝20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g ≈10米/秒2）例8某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．分析 若一次降价百分率为x ，则一次降价后零售价为原来的（1－x ）倍，即56（1－x ）元；第二次降价百分率仍为x ，则第二次降价后的零售价为56（1－x ）的（1－x ）倍．解设平均降价百分率为x ，根据题意，得56（1－x ）2＝31．5．解这个方程，得75.1,25.021==x x ．因为降价的百分率不可能大于1，所以75.12=x 不符合题意，符合本题要求的是x ＝0．25＝25%．答： 每次降价百分率为25%．练习1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%）2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．习题23．21．解下列方程： （1）22x －6＝0； （2）27＝42x ；（3）32x ＝4x ； （4）x （x －1）＋3（x －1）＝0； （5）2)1(+x ＝2；（6）32)5(-x ＝2（5－x ）．2．解下列方程： （1）2)12(-x －1＝0； （2）212)3(+x ＝2；（3）2x ＋2x －8＝0；（4）32x ＝4x －1；（5）x （3x －2）－62x ＝0； （6）2)32(-x ＝2x ． 3．求满足下列要求的x 的所有值： （1）32x －6的值等于21；（2）32x －6的值与x －2的值相等． 4．用适当的方法解下列方程： （1）32x －4x ＝2x ；（2）312)3(+x ＝1；（3）2x ＋（3＋1）x ＝0； （4）x （x －6）＝2（x －8）；（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22；（6）x （x ＋8）＝16； （7）（x ＋2）（x －5）＝1；（8）2)12(+x ＝2（2x ＋1）．5．已知A ＝22x ＋7x －1，B ＝6x ＋2，当x 为何值时A ＝B ？6．已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数．7．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）8．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？ 9．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式 我们在一元二次方程的配方过程中得到 22244)2(aac b a b x -=+．（1）发现当且仅当2b －4ac ≥0时，右式2244aac b -有平方根.直接开平方，得aac b ab x 2422-±=+．也就是说，一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）当且仅当系数a 、b 、c 满足条件2b －4ac ≥0时有实数根．观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当2b －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当2b －4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==；③ 当2b －4ac ＜0时，方程没有实数根．这里的2b－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程2x－x＋1＝0，可由2b－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：m取什么值时，关于x的方程++-mx-xm222=2)2(有两个相等的实数根？求出这时方程的根．§23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．图23.3.1（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍．若设原值为1，那么两年后的值就是2．探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的1．5倍、1．2倍、……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1．某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）．2．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3．某市人均居住面积14．6平方米，计划在两年后达到18平方米．在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等．请你把问题补充完整，再予解答．问题3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？ （1） 2x －2x ＝0； （2） 2x ＋3x －4＝0； （3） 2x －5x ＋6＝0．一般地，对于关于x 的一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0（p 、q 为已知常数，2p －4q ≥0），试用求根公式求出它的两个根1x 、2x ，算一算21x x +、21x x ⋅的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？习题23．31．一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0．1米）2．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）4．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？5．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形．要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等．请你给出设计方案．（画图并标注尺寸）(第5题)6．解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：（1）已知关于x的方程2x－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；（2）已知关于x的方程2x－6x＋2p－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．小结一、知识结构二、概括1．要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性．2．掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法．着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流．3．在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意．复习题A组1．解下列方程：（1）32x＝2x；（2）62x－40＝0；（3）x（3x－1）＝3－x；（4）y（y－2）＝4－y；（5）4x（1－x）＝1；（6）t（t－2）－32t＝0．2．已知A＝22x＋7x－1，B＝4x＋1，分别求出满足下列条件的x的值：（1）A与B的值互为相反数；（2）A的值比B的值大3．3．已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值．4．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．5．要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米．求原正方形广场的边长．（精确到0．1米）6．村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1．6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0．4米．求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度．7．求出本章习题23．1中第3题小题（2）所列方程解的近似值（精确到0．1米），并在学校举行大型活动时实地观察、比较一下效果．8．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？（第8题）B组9．解下列方程：（1）4（x －2）2－（3x －1）2＝0； （2）（2x －1）2＋3（2x －1）＋2＝0； （3）2x ＋5＝x 52；（4）32x 32--x ＝0．10．解下列关于x 的方程（a 、b 是常数，且ab ≠0）： （1）2x ＋ax －22a ＝0；（2）ab 2x －（2a －2b ）x －ab ＝0．11．已知x ＝1是一元二次方程（a －2）2x ＋（2a －3）x －a ＋1＝0的一个根，求a 的值． 12．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值． 13．已知代数式2x －5x ＋7，先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？14．学校原有一块面积为1500平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了5米，另一边减少了5米，结果使场地的面积增加了10%，求现在场地的长和宽．C 组15．试求出下列方程的解：（1）（2x －x ）2－5（2x －x ）＋6＝0；（2）112122=+-+x xxx ．16．证明： 不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝2m 总有两个不相等的实数根．17．已知xy ≠0，且32x －2xy －82y ＝0，求yx 的值．18．已知关于x 的方程（m －1）2x －（m －2）x －2m ＝0.它总是二次方程吗？试求出它的解．19．某产品每件生产成本为50元，原定销售价65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．。
华东师范版数学九年级上册目录
华东师范版九年级数学上册目录第22章二次根式
22.1二次根式
22.2二次根式的乘除法
1. 二次根式的乘法
2. 积的算术平方根
3. 二次根式的除法
22.3二次根式的加减法
第23章一元二次方程
23.1一元二次方程
23.2一元二次方程组的解法
23.3 实践与探索
第24章图形的相似
24.1相似的图形
24.2相似图形的性质
1. 成比例线段
2. 相似图形的性质
24.3相似三角形
1. 相似三角形
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
4. 相似三角形的应用
24.4中位线
24.5画相似图形
24.6图形与坐标
1. 用坐标确定位置
2. 图形的变换与坐标
第25章解直角三角形
25.1测量
25.2 锐角三角函数
1. 锐角三角函数
2. 用计算器求锐角三角函数值
25.3解直角三角形
第26章随机事件的概率
26.1概率的预测
1. 什么是概率
2. 在复杂情况下列举所有机会均等的结果
26.2 模拟实验
1．用替代物做模拟实验
2. 用计算器做模拟实验。
23.3.2 实践与探索(2)
作
业
Ｐ35 习题2、3
问题思考
思考：原价和现在的价格没有具体数 字，如何列方程？请同学们联系已有的 知识讨论、交流。
问题解答
解:设原价为1个单位，每次降价的百分率 为x.根据题意，得 解这个方程，得
问题解答
由于降价的百分率不可能大于1，所以 不符合题意，因此符合 本题要求的x为 ≈29.3 ％
答：每次降价的百分率为29.3%.
1 、党的十六大提出全面建设小康 社会，加快推进社会主义现代化建设， 力争国民生产总值到 2020 年比 2000 年 翻两番，在本世纪的头二十年（ 2001 年至 2020 年），要实现这一目标，以 十年为单位计算，设每个十年的国民 生产总值的平均增长率为 x，那么 x 满 2=4 (1+x) 足的方程为_____________
答：平均每月增长的百分率是
练习2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降 价, 现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价 百分之几?
例1：耒阳市市政府考虑在两年 后实现市财政净收入翻一番，那么 这两年中财政净收入的平均年增长 率应为多少？ （精确到0.1%）
尝试探索，合作交流，解决问题
1、翻一番，你是如何理解的？ （翻一番，即为原净收入的2倍，若设原 值为1，那么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的。 （“平均年增长率”指的是每一年净收入 增长的百分数是一个相同的值。即每年按 同样的百分数增加，而增长的绝对数是不 相同的）
解这个方程，得
2
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
小结
九年级上册数学同步练习册参考答案
三一文库（）/初中三年级〔九年级上册数学同步练习册参考答案[1]〕第22章二次根式§22.1 二次根式（一）一、1. D 2. C 3. D 4. C二、1. x2#1 2. x＜-7 3. x≤3 4. 1 5. x≥2y1 2. x＞-1 3. x=0 2§22.1 二次根式（二）三、1. x≥一、1. B 2. B 3. D 4. B22二、1.（1）3 （2）8 （3）4x2 2. x-2 3. 42或(-4)2 或（#）7）4. 15. 3a三、1. (1) 1.5 (2) 3(3) 25 (4) 20 2. 原式=(x-1)+(3-x)=273. 原式=-a-b+b-a=-2 a§22.2 二次根式的乘除法（一）一、1. D 2. B二、1. ,a 2. 3. n2#1#n#1#n#1(n≥3,且n为正整数)212三、1. （1）（2）（3） -108 2. cm 32§22.2 二次根式的乘除法（二）一、1. A 2. C 3. B 4. D二、1. 3 2b 2. 2a 2 3. 5三、1. (1) 52 (2) 62 (3) 22 (4) 4a2b 2. cm §22.2 二次根式的乘除法（三）一、1. D 2. A 3. A 4. C, 2. x=2 3. 6 3222三、1.(1) (3) 10 (4) 2 2 (2) 3-32二、1.2. 82nn#8#2,因此是2倍. 553. (1) 不正确，#4#(#9)##9#4#；(2) 不正确，4121247. #4###2525255§22.3 二次根式的加减法一、1. A 2. C 3. D 4. B二、1. 2 #35(答案不) 2. 1 3. ＜x＜34. 5#25. 3三、1.（1）43 （2）（3） 1 （4）3-52 （5）52-2 （6）3a-2 32. 因为42##）#42#32#42）#4#82#2#45.25＞45所以王师傅的钢材不够用.3. (#2)2#23#2第23章一元二次方程§23.1 一元二次方程一、1．C 2．A 3. C二、1. ≠1 2. 3y2-y+3=0，3，-1，3 3．-1三、1. (1) x2-7x-12=0，二次项系数是1，一次项系数是-7，常数项是-12(2) 6x2-5x+3=0，二次项系数是6，一次项系数是-5，常数项是32. 设长是xm,根据题意,列出方程x(x-10)=3753. 设彩纸的宽度为x米,根据题意得(30+2x)(20+2x)=2#20#30（或2(20+2x)x+2#30x=30#20 或2×30x+2×20x+4x2=30×20）§23.2 一元二次方程的解法(一)一、1．C 2．D 3．C 4. C 5. C1二、1. x=0 2. x1=0，x2=2 3. x1=2，x2=# 4. x1=-22，x2=22 2三、1. (1) x1=-，x2=； (2) x1=0，x2=1；(3) x1=0，x2=6； (4) x1=#§23.2 一元二次方程的解法(二)一、1．D 2. D 3. B二、1. x1=3，x2=-1 2. x1=3+3，x2=3-；3．直接开平方法，移项，因式分解，x1=3，x2=1三、1.（1） x1=3，x2=0 （2） x1=3，x2=-5 2, x2=1 2. 11米 3（3） x1=-1+22，x2=-1-22 （4）x1=75，x2= 241 3§23.2 一元二次方程的解法(三)一、1．D 2．A 3. D 2. x=1或x==#1； 2. 移项，1 3．3或7 二、1. 9，3；193三、1. （1）x1=1，x2=-5；（2） x1=5#，x2=5#；（3）x1=7，x2=-1； 22（4）x1=1，x2=-9.#p#p2#4q#p#p2#4q5#5#2. x=或x=. 3. x1=，x2=. 2222§23.2 一元二次方程的解法(四)一、1．B 2．D。
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答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25
天才能挖完渠道．
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方 形拼成，则每个小长方形的面积为【 A 】 A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果 要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为
x 35, x 1
1 2
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
练习：
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着 宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽 度. A D
B
C
解:设小路宽为x米，则
(20 2 x)(15 2 x) 246 15 20
∴此方程无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米
的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并 请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种 方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道 路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
练习：
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若 能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
20 解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 ( 2 x)
cm,
20 x( x) 30 2
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4 1 30 20 0
草坪面积= ( 32×20 - 100 )= 540（米2）
答：所求道路的宽为2米。
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改 变”的道理，把纵、横两条路移动一下， Nhomakorabea列方程容
易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按
原图的位置修路）
如图，设路宽为x米， 横向路面: 32x米2 纵向路面面积为: 20x米2
分析：此题的相等关系是矩形面 积减去道路面积等于540米2。 解法一、 如图，设道路的宽为x米， (2)
则横向的路面面积为 32x 米2，
纵向的路面面积为 20x 米2 。 所列的方程是不是 32 20 (32 x 20 x) 540 ？ 注意：这两个面积的重叠部分是 x2米2 图中的道路面积不是
实际问题与一元二次方程 ——面积、体积问题 复习：列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才 能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率
问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”。
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形 的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？
化简得，
35x 123 041 2x
2
( x 3)(2 x 41) 0
x1 3 41 , x2 2
其中x=-20.5应舍去 答:小路的宽为3米.
例3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙
的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱
笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S 米2 ，
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？
探究1
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽 21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比 例相同的矩形,如果要使四周的边衬所
27
占面积是封面面积的四分之一,上、下
边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩 形两边之比也为9:7
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为x米，
则
(32 2 x)( 20 2 x) 540
化简得，
x2 26 x 25 0
(1)
( x 25)( x 1) 0
x 25, x 1
1 2
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1米.
1 2
答:应围成一个边长为9米的正方形.
例4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形 的渠道，断面面积为1.6m2，• 口宽比渠深多2m，渠 上 底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能 把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深 为xm，则上口宽为（x+2）m，• 底为（x+0.4）m， 渠 那么，根据梯形的面积公式便可建模．
积不能增加2平方米. 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的 长为x米，则宽为（16-x）米.
x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0，
b2 4ac (16)2 4 1 65 4 0
∴此方程无解. ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增 加2平方米
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得 解得
9x 7x
x1
3 27 21 4
3 2
3
x
2
= -
3 2
3
(不合题意 , 舍去 )
27 9 x 故上下边衬的宽度为: 2
21 7 x 左右边衬的宽度为: 2
27 9
3 3 2 54 27 3 1.8 2 4
草坪矩形的长（横向）为: （32-x)米
草坪矩形的宽（纵向:）为：(20-x)米 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即
32 x 20 x 540.
x2 52x 100 0, x1 50, x2 2
化简得：
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习：
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同
xcm，那么x满足的方程是【 B 】
A．x2+130x-1400=0 C．x2-130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 D．x2-65x-350=0
x x
80cm
x
50cm
x
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为
2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个
有效数字）【 C 】 A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m
32x 20x 米2。
而是从其中减去重叠部分，即应是(32x+ 20x-x2 ) m2
32 20 32 x 20 x x 2 540 所以正确的方程是：
化简得，
x2 52 x 100 0,
x1 2, x2 50
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时， 道路总面积为： (32×2 + 20× 2 - 22 ) =100 (米2)
•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用 题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
• 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所
得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问 题的要求．
（1）求S与x的函数关系式; （2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是
多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
21 7
3 3 2 42 21 3 1.4 2 4
要设计一本书的封面,封面长27㎝, 宽21㎝,正中央是一个与整个封面长
27
宽比例相同的矩形,如果要使四周的
上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应 如何设计四周边衬的宽度?
边衬所占面积是封面面积的四分之一,
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边 之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度 之比也为9:7
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，
长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出 长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
解: (1)
方案1：长为 9 1 米，宽为7米; 方案2：长为16米，宽为4米; 方案3：长=宽=8米;
7
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面
a
练习：
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所
围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别
为_______．
练习：
5、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的 面积为4800m2.求这个公园的长与宽.
280 2 x x 4800 2
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
练习：
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面 靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,
应该怎么设计?
解:设苗圃的一边长为xm,则
x(18 x) 81
化简得， x2
18 x 81 0
( x 9)2 0
x x 9
解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
1 依题意，得： ( x 2 x 0.4) x 1.6 2