工程水文学第六章水文统计

特大频率，尤其是特大频率的点子很难点在图上。
频率格纸，就能较好地率曲线点绘在频率格纸 上。
频率格纸
(0.01,3.720) , (50,0.000)
6.4.2 频率曲线参数估算
在概率分布函数中包含有 ，CV，CS三个参数。 为了唯一确定概率分布函数，就得估算这些参数。 一、样本估计总体 随机变量所取数值的全体称为总体，从总体中任意 抽取的一部分称为样本，样本中所包括的项数称为样本容 量。水文变量的总体是指自古迄今以至未来长远岁月所有 的水文系列，是不知道的，需要靠观测到的样本去估计总 体参数。现有的水文观测的系列可以当作总体的一个随机 样本来处理。
式中，α，β，a0－参数，且有：
如果已知设计值xP，推求
xp 取决于p、α、β和αO四个数，并且当α、β、αO 三 个参数为已知时，则xp只取决于p了。α、β、αO与分 布曲线的EX，CV和CS有关，因此只要确定EX、CV 和CS，xp仅与p有关，可以由p唯一地来计算xp。
P－3型分布的积分无解析解，实用中制表查用。 取标准化变量Ф（离均系数）
泛滥的概率为0.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为
0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时 河流甲泛滥的概率？
例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没， 设在某时期内河流甲泛的概率为0.1，河流乙泛滥的概率为0.2；又知当河流 甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。 又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？ 解：记河流甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥为事件Ｂ。这个地区被淹没的概 率为：
经验频率曲线计算工作量小，绘制简单， 查用方便，但受实测资料所限 , 往往难以 满足设计上的需要。为此，提出用理论频 率曲线来配合经验点据，这就是水文频率 计算适线法。
频率与重现期的关系
频率这个词比较抽象，为便于理解，有 时采用重现期这个词。所谓重现期是指某随 机变量的取值在长时期内平均多少年出现一 次，又称多少年一遇。
机抽取的样本与总体有差异而引起的，与计算误 差不同，称为抽样误差。
6.4.2.2
适线法
一、经验频率
根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列，
然后用经验频率公式计算系列中各项的频率，称为
经验频率。以水文变量x为纵坐标，以经验频率P为 横坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出一 条平滑的曲线，称为经验频率曲线。
情况（皮尔逊III型分布）。
6.4.1 分布线型
6.4.1.1 正态分布
6.4 水文频率计算
概率密度函数形式：
式中，x — 平均数 σ — 标准差
正态分布在误差估算时将会应用。
f(x)
68.3%
x x x
正态分布密度曲线
6.4.1.2 皮尔逊Ⅲ型分布 皮尔逊III型曲线为一端有限一端无限的不对 称单峰曲线，概率密度函数
数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。
1.均值 均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变
量的观测系列（样本）为 x1,x2，…,xn ， 则其均
值为:
xi 令 ki , k i 称模比系数，则 : x
2.均方差 均方差是反映系列中各变量集中或离 散的程度。研究系列集中或离散程度，常 采用方差 2或均方差 ，计算公式为
σ1 σ2
均方差对频率曲线的影响
3．离势系数（离差系数，变差系数） 例如:甲地区的年雨量分布， x1＝1200mm，均方差σ1＝
360mm；乙地区的年雨量分布， x2 ＝800mm，均方差σ2＝
320mm。尽管σ1＞σ2，但是 两个分布的离散程度。
x1 ＞ x2 ，应从相对观点来比较这
采用一个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为
计算步骤： （1）点绘经验点据 纵坐标为变量值，横坐标为 经验频率，采用期望值公式估计。
（2）初定一组参数 用矩法公式的估算EX和CV， 并假定CS与CV的比值K估算CS 。 （3）根据初定的EX、CV和CS，计算频率曲线，并绘 在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想， 则修改参数再次配线，主要调整CV以及CS 。 （4）选择一条与经验点据配合最佳曲线作为采用曲 线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。
6.2
概率的基本概念
2、概率乘法定理
Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ） ＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ） 式中，Ｐ（Ａ／Ｂ）－事件Ａ在事件Ｂ已发生情况
下的概率，简称为Ａ的条件概率。 Ｐ（Ｂ／Ａ）－事件Ｂ在事件Ａ已发生情况 下 的概率，简称为Ｂ的条件概率。 对于两个独立事件： Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）
A
互斥
经验频率的计算
目前我国水文计算广泛采用的是数 学期望公式:
式中 p- 等于和大于xm的经验频率；
m- xm的序号，即等于或大于xm的项数；
n-系列的总项数。
二、经验频率曲线
x
1200
1000 800
p（X≥xi）＝i / n+1
0
20
40
60
80
100
p（%）
某地年降雨量经验分布曲线
经验频率曲线存在的问题
注意：以上样本参 数不等于总体参数！
只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数； 就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。
原矩法公式得出的S‘，CV ‘，和CS ’并不是 无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的 矩法公式:
抽样误差
用一个样本的统计参数来代替总体的统计参数
是存在一定误差的，这种误差是由于从总体中随
将之代入式（3—22）得
被积函数只含一个参数CS。只要给定CS就可以 算出ФP和P的对应值，最终制定出ФP～Cs～p 的对应数值表（表3－2）。
CS
p
由给定的CS及p从表3—2查出Ф P，通过xP ＝（Ф P CV＋1）EX 即可决定出xP。因此， 已知EX，CV，CS就可求出与各种p值相应的xP值，也就可以绘制分布曲线或频率曲 线。 例如，已知某地年平均雨量EX＝1000mm、CV＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的设计 年雨量。 由CS=1.0，p＝1% 查得 Ф P=3.02，
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。
6.2
概率的基本概念
四．概率加法定理和乘法定理 １．概率加法定理
Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ） 式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ与Ｂ之和的概率； Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率； Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率。 Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同发生的概率。
6.2
概率的基本概念
三、频率 水文事件不属古典概率事件，只能通过试验来 估算概率。设事件在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称
为事件A 的频率。
6.2
概率的基本概念
掷币试验出现正面的频率表 试验者 掷币次 出现正 频率 数 面次数 4040 2040 0.5080 蒲丰 皮尔逊 12000 皮尔逊 24000 6018 12014 0.5016 0.5006
X1%=（Ф P Cv＋1）EX
＝（3.02×0.5＋1）1000 ＝ 2510（mm）
在频率计算时，由已知的Cs值，查Φ值
表得出不同的P的Φ，然后利用已知的EX、
Cv，通过Φ公式即可求出与各种P相应的x，
从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。
频率格纸
把频率曲线画在普通方格纸上，频率曲线的两
端特别陡峭，又因图幅的限制，对于特小频率或
Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB） ＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）
＝0.1＋0.2－0.3×0.1 ＝0.27 由于
Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）
故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为
Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/ Ｐ（B）
＝0.3×0.1 / 0.2 ＝0.15
若x＝800mm，由分布曲线知P（X＞800）＝0.6，表
明年雨量超过800mm的概率等于60％。
年雨量在800mm～900mm间的概率是多少呢？ 这就要讨论的随机变量落在某区间（x，x＋Δ
x）内的概率，可用下式表示： P（x＋Δ x＞X≥x）＝F（x）－F（x＋Δ x） 从图3—1得: F（800）＝0.60 ； F（900）＝0.21
离势系数
cv x
4．偏态系数（偏差系数） 反映分布是否对称的特征CS参数，记为
用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对EX对 称，CS＝0；若不对称，当正离差的立方占优时， CS＞ 0，称为正偏；当负离差的立方占优势时，CS ＜ 0，称为负偏。
Cs ＞ 0
Cs＝0
Cs ＜ 0
Cs 对密度曲线的影响
故： P（900＞x≥800）＝0.60－0.21＝0.39
年雨量落在800mm至900mm之间的可能性是39％。
函数f（x）＝-F’（x）为概率密度函数，简 称为密度函数或密度曲线。
f(x)
f(x)dx
dx
x
概率密度函数
f(x)
F(xp)=P(X>xp) xp 密度函数
x
x
x
F(xp)=P(X>xp) xp
称此事件必然事件。
不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。 随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发 生，这样的事件就称为随机事件。
6.2 二、概率
概率的基本概念
随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现， 但其出现（或不出现）可能性的大小则有所不同。 为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标 准，这个数量标准就是事件的概率。
＝P（X ≤ x），称为随机变量的概率分布函数。
水文统计中通常研究随机变量的取值大于某一
个值的概率，F（x）＝P（X＞x）在水文统计学上也 称此为随机变量的概率分布函数（或概率分布曲