库仑主动土压力计算
土力学与地基基础学习情境五 计算土压力与稳定边坡
采取加强的构造措施。
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设计挡土墙
2
挡土墙的类型
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
（1）如图5-6 所示"对土质边坡"边坡主动土压力应
按下式进行计算：
抗滑移稳定性验算
抗倾覆稳定性验算
式中
Ea——主动土压力(kN/m);
——主动土压力增大系数，挡土墙高度小于5 m
抗倾覆稳定性验算
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2
设计挡土墙
挡土墙的类型
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
抗滑移稳定性验算
抗倾覆稳定性验算
图5-6重力式挡土墙土压力计算示意图
1--岩石边坡2--填土
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2
挡土墙的类型
设计挡土墙
抗滑移稳定性应按下式验算，如图5-7所示。
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
抗滑移稳定性验算
体的静力平衡条件建立的，并做了如下假定：
1)挡土墙是刚性的，墙后填土为无黏性土；
2)滑动楔体为刚体；
3)楔体沿着墙背及一个通过墙踵的平面滑动。
土的抗剪强度是指土体对外荷载所产生的剪应力的极
限抵抗能力。
1
土压力的基本
概念
静止土压力的
计算
朗肯土压力理论
库仑土压力理论
计算土压力
土体发生剪切破坏时，将沿着其内部某一曲线面(滑
2
设计挡土墙
挡土墙的类型
挡土墙的构造要求
重力式挡土墙土压力
计算
抗滑移稳定性验算
抗倾覆稳定性验算
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2
库仑主动土压力计算
1．库仑主动土压力（1）库仑主动土压力计算如图6-12(a)所示，设挡土墙高为h，墙背俯斜，与垂线的夹角为，墙后土体为无粘性土（c=0），土体表面与水平线夹角为，墙背与土体的摩擦角为。
挡土墙在土压力作用下将向远离主体的方向位移（平移或转动），最后土体处于极限平衡状态，墙后土体将形成一滑动土楔，其滑裂面为平面BC，滑裂面与水平面成角。
沿挡土墙长度方向取１m进行分析，并取滑动土楔ABC为隔离体，作用在滑动土楔上的力有土楔体的自重W，滑裂面BC上的反力R和墙背面对土楔的反力E（土体作用在墙背上的土压力与E大小相等方向相反）。
滑动土楔在W，R，E的作用下处于平衡状态，因此三力必形成一个封闭的力矢三角形，如图6-12（b）所示。
根据正弦定理并求出E的最大值即为墙背的库仑主动土压力：图6-12库仑主动土压力计算(a)挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形公式推导（6-12）库仑主动土压力计算公式推导在图6-13（b）的力矢三角形中，由正弦定理可得：（6－12a）式中º，其余符号如图6-13所示。
土楔自重为在三角形ABC中，利用正弦定律可得：由于故在三角形ADB中，由正弦定理可得：于是土楔自重可进一步表示为将其代入表达式（6-12a）即可得土压力E的如下表达式：E的大小随角而变化，其最大值即为主动土压力E a。
令求得最危险滑裂面与水平面夹角0=45º+/2，将0代入E的表达式即得主动土压力E a的如下计算公式：这里式中K a为库仑主动土压力系数，其值为：（6-13）2．库仑被动土压力库仑被动土压力计算公式的推导与库仑主动土压力的方法相似，计算简图如图6-14，计算公式为：（6－14）作用点在离墙底H/3处，方向与墙背法线的夹角为式中K p为库仑被动土压力系数，其值为：（6－15）库仑被动土压力强度分布图也为三角形，E p的作用方向与墙背法线顺时针成角，作用点在距墙底h/3处。
图6－15 库仑被动土压力计算（a）挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形特别提示当墙背垂直（=0）、光滑（=0）、土体表面水平（=0）时，库仑土压力计算公式与朗肯土压力公式一致。
Rankine土压力理论主动土压力计算被动土压力计算库仑
2
Kp只与内摩擦角有关。
无粘性土的被动土压力计算
pp zKp
Ep
H
H/3
Ep
1 2
K p H
2
HKp
粘性土的被动土压力计算
a 2c Kp
pp zKp 2c Kp
H
Ep
Ep
1 H
2
2Kp
2c
Kp H
h
H 2a b
h
b
3 ab
γHKp 2c Kp
τ
主动Rankine状态
f c stg
被动 Rankine状态
O
s
sz=s3=z sxmax=s1=pp
Rankine被动土压力—计算原理
45
2
Rankine被动土压力—计算方法
基本计算公式
s z z s 3 s x s1 pp
sp1p
sz3 tan2
静止土压力（Earth pressure at rest）
墙体静止不动 静止土压力
主动土压力（Active earth pressure）
墙体背离填土方向移动 土压力逐渐减小 土体达到极限平衡状态， 土压力达到最小值
主动土压力
被动土压力（Passive earth pressure）
墙体朝向填土方向移动 土压力逐渐增大 土体达到极限平衡状态， 土压力达到最大值
基本原理
认为作用在挡土墙上的土压力就是墙后半无限 土体达到极限平衡状态时的应力。
根据土体处于极限平衡状态时的最大和最小主 应力的相互关系来建立土压力的计算公式。
Rankine土压力理论
库伦土压力理论
2 a
Pp
被动土压力系数
K tg ( 45 /2 ) p
2
1 sin 1 sin
1 sin 静止土压力系数 K 0
K K 1 K a 0 p
思考
如果墙背倾斜，具有倾角； 墙背粗糙，与填土摩擦角为； 墙后填土面任意。 如何计算挡土墙后的土压力？
2 .被动土压力分布及破坏面
p z K 2 cK p p p
H
v
Pp
被动区
Ep
45－/2 90+
2c Kp
HKp
小结
基本条件和假定 极限应力分析 破坏形式 v Pa 主动和被动 砂土和粘性土 1 sin tg ( 45 / 2 ) 主动土压力系数 K 1 sin
b
若验算结果不满足要求时，可按以下措施处理
（1）增大挡土墙断面尺寸，使G增大 （2）加大χ 0,伸长墙址 （3）墙背做成仰斜，可减小土压力
（4）在挡土墙垂直墙背上做卸荷台，使总土压力减小，
抗倾覆稳定性增大
（二）抗滑稳定验算
挡土墙在土压力作用下可能沿基础 底面发生滑动 ( G E ) n an K 1 . 3 抗滑稳定条件 s
W1
R1
2 cos ( ) K a sin( ) sin( )2 2 cos cos( )[ 1 ] cos( ) cos( )
库仑土压力理论
库仑土压力理论1776年法国的库伦（C.A.Coulomb）根据极限平衡的概念，并假定滑动面为平面，分析了滑动楔体的力系平衡，从而求算出挡土墙上的土压力，成为著名的库伦土压力理论。
一、基本原理库伦研究了回填砂土挡土墙的土压力，把挡土墙后的土体看成是夹在两个滑动面（一个面是墙背，另一个面在土中，如图6－12中的AB和BC面）之间的土楔。
根据土楔的静平衡条件，可以求解出挡土墙对滑动土楔的支撑反力，从而可求解出作用于墙背的总土压力。
这种计算方法又称为滑动土楔平衡法。
应该指出，应用库伦土压力理论时，要试算不同的滑动面，只有最危险滑动面AB对应的土压力才是土楔作用于墙背的Pa或Pp库伦理论的基本假设：1.墙后填土为均匀的无粘性土（c=0），填土表面倾斜（β＞0）；2.挡土墙是刚性的，墙背倾斜，倾角为ε；3.墙面粗糙，墙背与土本之间存在摩擦力（δ＞0）；4.滑动破裂面为通过墙踵的平面。
二、主动土压力计算如图所示，墙背与垂直线的夹角为ε，填土表面倾角为β，墙高为H，填土与墙背之间的摩擦角为δ，土的内摩擦角为φ，土的凝聚力c=0，假定滑动面BC通过墙踵。
滑裂面与水平面的夹角为α，取滑动土楔ABC作为隔离体进行受力分析（图6－11b）。
土楔是作用有以下三个力：1．土楔ABC自重W，由几何关系可计算土楔自重，方向向下；2．破裂滑动面BC上的反力R，大小未知，作用方向与BC面的法线的夹角等于土的内摩擦角φ，在法线的下侧；3．墙背AB对土楔体的反力P（挡土墙土压力的反力），该力大小未知，作用方向与墙面AB的法线的夹角δ，在法线的下侧。
土楔体ABC在以上三个力的作用下处于极限平衡状态，则由该三力构成的力的矢量三角形必然闭合。
已知W的大小和方向，以及R、P的方向，可给出如图所示的力三角形。
按正弦定理可求得：求其最大值（即取dP/dα=0），可得主动土压力式中Ka为库伦主动土压力系数，可按下式计算确定沿墙高度分布的主动土压力强度pa可通过对式（6－21）微分求得：由此可知，主动土压力强度沿墙高呈三角形分布，主动土压力沿墙高的分布图形如图所示。
挡土墙抗倾覆稳定性验算
其中，
称为库仑主动土压力系数，由上式见，库仑主动土压力系数与 内摩擦角φ，墙背倾角ε，外摩擦角δ，以及填土面倾角β有关， 参见P182表9---1。
数，因此，被动土压力强度pp=γzKp，沿墙高仍呈三角形分布， 合力作用点在墙高1/3处，EP的作用方向与墙背法线成δ角， 在外法线的下侧。
三、挡土墙稳定性验算
1．挡土墙抗倾覆稳定性验算
图（a）表示一具有倾斜基底的挡土墙，设在挡土墙自重G和 主动土压力Ea作用下，可能绕墙趾O点倾覆，抗倾覆力矩与倾 覆力矩之比称为抗倾覆安全系数Kt
当挡土墙在外力作用下推向土体时，墙后填土作用在填背上的 压力随之增大，当位移量达到一定值时，填土中出现过墙踵的 滑动面BC，形成三角形土楔体，此时，土体处于极限平衡状
态。
此时土楔ABC在自重G、反力R及E三力作用下静力平衡，与 主动平衡状态相反，R和E的方向均处于相应法线的上方，三 力构成一闭合力矢三角形。
第十二讲 土压力
-------库伦理论
§ 库仑土压力理论
一、假设
（1）当墙后填土达到极限平衡状态 时，其滑动面为一平面；
（2）填土面为坡角β的平面，且无超载；
（3）墙后填土为C=0的无粘性均质土体；
（4）墙背粗糙，有摩擦力，墙与土的摩
擦角为δ（称为外摩擦角）；
Charles- Auguste de
其中：
式中：μ—— 挡土墙基底对地基的摩擦系数 若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施： （1）增大挡土墙断面尺寸，增加墙身自重以增大抗滑力； （2）在挡土墙基底铺砂石垫层，提高摩擦系数μ，增大抗滑力； （3）将挡土墙基底做成逆坡，利用滑动面上部分反力抗滑； （4）在墙踵后加钢筋混凝土拖板，利用拖板上的填土自重增大
45几种常见情况下的土压力计算
4.5.2 填土面有均布荷载 1)、连续均布荷载 (1)、墙背竖直、填土表面水平：
当量土层厚度：
h q r
h' q
a
a
q
d
h
b qKa hKa c
z处的垂直应力为：
q
z
z
q
主动土压力强度为：
p ( z q )tg（2 45 ）
σz
a
z
2
总的土压力为：
Ka2 1h1Ka2 2c2
Ka2
a3
2
(
1h1 2
h2 )K a2
2c2
Ka2
( 1h1 2h2 )Ka2 2c2 Ka2
可见，土层分界面处，a有突变
(a)
(b)
(c)
11 h1
22 h2
1h1 K a1
1h1 K a1 1h1 Ka2
应为H+h’。为清楚起见，将A点附近的图形放大，根据图中
h h' h
A的几E 何关系，有：AE=h，AA’cos(-)=AEcos，
h’=AA’q cos，于是得到：
A
p aA
A' E
h h cos cos cos( )
A
然后以A'B为墙背，按土体表面无荷载时的情况计算土压
荷载按第二层土的重度换算为当量土层高度h1，即
h1
1(H1
2
h)
相应的墙高计算值应为：
h1
h1
cos cos(
cos )
故在第二层土的顶面处： paC下 2h1Ka2 第二层土的底面处： paB 2 (H2 h1 )Ka2
库仑主动土压力计算
库仑主动土压力计算
1.原理
库仑主动土压力计算是根据库仑理论推导得出的一种计算土体受力的方法。
根据库仑理论，土体的平衡状态由屈服轨迹和塑性体积变化两部分组成。
屈服轨迹是土体水平面上的等功耗线，塑性体积变化是土体塑性变形产生的体积变化。
库仑主动土压力计算即是计算土体在一定条件下的屈服轨迹和塑性体积变化，从而求得土体的主动土压力。
2.公式
P_a = γH/2[1 + sin(φ - δ)]
其中，P_a为主动土压力，γ为土体的体积密度，H为土体高度，φ为土体内摩擦角，δ为土体的倾角。
在实际应用中，由于土体的不均匀性和复杂性，常常需要对公式进行修正。
根据具体情况，可以采用不同的修正公式，以得到更准确的计算结果。
3.应用
例如，在基础工程中，计算土体的主动土压力可以用于确定基坑支护结构的设计参数。
在边坡工程中，计算土体的主动土压力可以用于评估边坡的稳定性，为防止边坡失稳采取相应的措施提供依据。
此外，库仑主动土压力计算还可以应用于土体在不同条件下的力学行为研究。
通过计算土体的主动土压力，可以获得土体的变形规律和破坏机理，为土力学理论的发展提供实验数据。
总之，库仑主动土压力计算是土力学中一种重要的计算方法，通过计算土体的主动土压力可以评估土体受力情况和提供工程设计依据。
在实际应用中，需要考虑土体的不均匀性和复杂性，对计算公式进行修正，以获得更准确的计算结果。
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1．库仑主动土压力（1）库仑主动土压力计算
如图6-12(a)所示，设挡土墙高为h，墙背俯斜，与垂线的夹角为ε，墙后土体为无粘性土（c=0），土体表面与水平线夹角为β，墙背与土体的摩擦角为δ。
挡土墙在土压力作用下将向远离主体的方向位移（平移或转动），最后土体处于极限平衡状态，墙后土体将形成一滑动土楔，其滑裂面为平面BC，滑裂面与水平面成θ角。
沿挡土墙长度方向取１m进行分析，并取滑动土楔ABC为隔离体，作用在滑动土楔上的力有土楔体的自重W，滑裂面BC上的反力R和墙背面对土楔的反力E（土体作用在墙背上的土压力与E大小相等方向相反）。
滑动土楔在W，R，E的作用下处于平衡状态，因此三力必形成一个封闭的力矢三角形，如图6-12（b）所示。
根据正弦定理并求出E的最大值即为墙背的库仑主动土压力：
图6-12库仑主动土压力计算
(a)挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形
公式推导（6-12）
库仑主动土压力计算公式推导
在图6-13（b）的力矢三角形中，由正弦定理可得：
（6－12a）
式中ψ=90º-ε-δ，其余符号如图6-13所示。
土楔自重为
在三角形ABC中，利用正弦定律可得：
由于
故
在三角形ADB中，由正弦定理可得：
于是土楔自重可进一步表示为
将其代入表达式（6-12a）即可得土压力E的如下表达式：
E的大小随θ角而变化，其最大值即为主动土压力E a。
令
求得最危险滑裂面与水平面夹角θ0=45º+ϕ/2，将θ0代入E的表达式即得主动土压力E a的如下计算公式：
这里
式中K a为库仑主动土压力系数，其值为：
（6-13）
2．库仑被动土压力
库仑被动土压力计算公式的推导与库仑主动土压力的方法相似，计算简图如图6-14，计算公式为：
（6－14）
δ作用点在离墙底H/3处，方向与墙背法线的夹角为
式中K p为库仑被动土压力系数，其值为：
（6－15）
库仑被动土压力强度分布图也为三角形，E p的作用方向与墙背法线顺时针成δ角，作用点在距墙底h/3处。
图6－15 库仑被动土压力计算
（a）挡土墙与滑动土楔（b）力矢三角形
特别提示
当墙背垂直（ε =0）、光滑（δ =0）、土体表面水平（β=0）时，库仑土压力计算公式与朗肯土压力公式一致。
库仑土压力理论是从无粘性土出发推导得到的，故不能直接用于计算粘性土中的土压力。
工程实践表面，墙后土体破坏时的滑动面只有主动状态下在墙背斜度不大且墙背与土体之间的摩擦角很小时才接近于平面，库仑公式的平面假设引起的误差在计算主动土压力时比较小，约为2％～10％；而在计算被动土压力时的误差较大，且误差随 δ角的增大而增大，有时可达2～3倍，故工程中计算被动土压力一般不使用库仑公式。