采用朗肯土压力理论计算主动
(整理)土主动、被动土压力概念及计算公式
主动土压力挡土墙向前移离填土，随着墙的位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐减小，当墙后土体达到主动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力减至最小，称为主动土压力P a 。
被动土压力挡土墙在外力作用下移向填土，随着墙位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐增大，当墙后土体达到被动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力增至最大，称为被动土压力P p 。
上述三种土压力的移动情况和它们在相同条件下的数值比较，可用图6-2来表示。
由图可知P p ＞P o ＞P a 。
朗肯基本理论朗肯土压力理论是英国学者朗肯（Rankin ）1857年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。
在其理论推导中,首先作出以下基本假定。
(1)挡土墙是刚性的墙背垂直； (2)挡土墙的墙后填土表面水平；(3)挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。
把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。
如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，σz 仍保持不变，但σx 将不断增大并超过σz 值，当土墙挤压土体使σx 增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O 3，σz 变为小主应力，σx 变为大主应力，即为朗肯被动土压力(p p )。
土体中产生的两组破裂面与水平面的夹角为245ϕ-︒。
朗肯主动土压力的计算根据土的极限平衡条件方程式σ1=σ3tg 2(45°+2ϕ)+2c ·tg(45°+2ϕ) σ3=σ1tg 2(45°-ϕ)-2c ·tg(45°-ϕ)当z=H 时p a =γHK a -2cK a在图中，压力为零的深度z 0，可由p a =0的条件代入式(6-3)求得a0K c 2z γ=(6-4)在z 0深度范围内p a 为负值，但土与墙之间不可能产生拉应力，说明在z 0深度范围内，填土对挡土墙不产生土压力。
朗肯主动土压力计算公式
朗肯主动土压力计算公式朗肯主动土压力计算公式是用于计算土体在活动土压下的土压力的一种计算方法。
该公式是根据土体在活动土压下的应力分布特点而推导出来的，可以用于分析土体在不同深度下的土压力变化情况，以及土体的总土压力和侧向土压力。
Qa=(Ka*γ*H^2)/2其中，Qa为土体的主动土压力（kN/m^2），Ka为活动土压系数，γ为土体的体积重（kN/m^3），H为土体的高度（m）。
在使用朗肯主动土压力计算公式时，需要先确定土壤的活动土压系数和体积重。
活动土压系数是指土体在活动状态下的土压力和土体重量之比，它反映了土体的内摩擦角、孔隙水压力等因素对土压力的影响。
体积重是指土体的单位体积重量，它是土体的物理性质之一，可以通过试验或者经验确定。
通过朗肯主动土压力计算公式，可以计算出土体在不同深度下的主动土压力大小。
主动土压力是指土体由于受到外力作用而产生的土压力，它具有水平分布的特点，随着土体深度增加而递减。
主动土压力的大小对于土体的稳定性和承载力有着重要的影响，因此准确计算主动土压力是土力学分析和工程设计中的一个重要问题。
朗肯主动土压力计算公式的使用范围较广，适用于各种土质条件和土压力计算要求。
但是需要注意的是，该公式只适用于土质均匀且无阻力的情况，对于土体中存在水平分层、斜面、岩层等特殊情况，需要根据具体情况进行修正。
此外，在使用公式计算土压力时，还需要考虑土体的稳定性和强度，以确保工程的安全和可靠。
总之，朗肯主动土压力计算公式是一种常用的土压力计算方法，通过该公式可以计算出土体在不同深度下的主动土压力大小。
在工程设计和土力学分析中，合理使用并正确计算土压力，对于工程的稳定性和承载力有着重要的影响。
土主动被动土压力概念及计算公式
主动土压力挡土墙向前移离填土，随着墙的位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐减小，当墙后土体达到主动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力减至最小，称为主动土压力P a 。
被动土压力挡土墙在外力作用下移向填土，随着墙位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐增大，当墙后土体达到被动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力增至最大，称为被动土压力P p 。
上述三种土压力的移动情况和它们在相同条件下的数值比较，可用图6-2来表示。
由图可知P p ＞P o ＞P a 。
朗肯基本理论朗肯土压力理论是英国学者朗肯（Rankin ）1857年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。
在其理论推导中,首先作出以下基本假定。
(1)挡土墙是刚性的墙背垂直； (2)挡土墙的墙后填土表面水平；(3)挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。
把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。
如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，σz 仍保持不变，但σx 将不断增大并超过σz 值，当土墙挤压土体使σx 增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O 3，σz 变为小主应力，σx 变为大主应力，即为朗肯被动土压力(p p )。
土体中产生的两组破裂面与水平面的夹角为245ϕ-︒。
朗肯主动土压力的计算根据土的极限平衡条件方程式σ1=σ3tg 2(45°+2ϕ)+2c ·tg(45°+2ϕ) σ3=σ1tg 2(45°-ϕ)-2c ·tg(45°-ϕ)a0K c 2z γ=(6-4)在z 0深度范围内p a 为负值，但土与墙之间不可能产生拉应力，说明在z 0深度范围内，填土对挡土墙不产生土压力。
墙背所受总主动土压力为P a ，其值为土压力分布图中的阴影部分面积，即γ+-γ=--γ=22c 2K cH 2K H 21)z H )(K c 2HK (21P a a 0a a a (6-5)2)填土为无粘性土(砂土)时根据极限平衡条件关系方程式，主动土压力为a a zK )245(ztg p 2γ=ϕ-︒γ= (6-6)上式说明主动土压力P a 沿墙高呈直线分布，即土压力为三角形分布，如图6-6所示。
土体主动、主动土压力概念及计算公式
[ 指南] 土体主动、主动土压力概念及计算公式主动土压力挡土墙向前移离填土，随着墙的位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐减小，当墙后土体达到主动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力减至最小，称为主动土压力P。
a被动土压力挡土墙在外力作用下移向填土，随着墙位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐增大，当墙后土体达到被动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力增至最大，称为被动土压力P。
上述三种土压力的移动情况和它们在相同条件下的数值比较，p可用图6-2 来表示。
由图可知P,P,P。
poa朗肯基本理论朗肯土压力理论是英国学者朗肯(Rankin)1857 年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。
在其理论推导中, 首先作出以下基本假定。
(1) 挡土墙是刚性的墙背垂直;(2) 挡土墙的墙后填土表面水平;(3) 挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。
把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。
如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，ζ仍保持不变，但ζ将不断增大并超过Z 值，ZXZ当土墙挤压土体使Z增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O, Z x3z变为小主应力，Z变为大主应力，即为朗肯被动土压力(p) 。
土体中产生的两组破裂面与xp,45:, 水平面的夹角为。
2 朗肯主动土压力的计算根据土的极限平衡条件方程式,,2 Z =Z tg(45?+)+2c?tg(45?+) 1322,,2 Z =Z tg(45?-)-2c?tg(45?-) 3122土体处于主动极限平衡状态时，Z = Z = Y Z, Z = Z =p,代入上式得1z3xa1) 填土为粘性土时填土为粘性土时的朗肯主动土压力计算公式为,,2,ap= γztg(45?-)-2c?tg(45?-)= γzK-2c (6-3) aa22由公式(6-3) ，可知，主动土压力p 沿深度Z 呈直线分布，如图6-5 所示。
土主动被动土压力概念及计算公式
主动土压力挡土墙向前移离填土，随着墙的位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐减小，当墙后土体达到主动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力减至最小，称为主动土压力P a。
被动土压力挡土墙在外力作用下移向填土，随着墙位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐增大，当墙后土体达到被动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力增至最大，称为被动土压力P p。
上述三种土压力的移动情况和它们在相同条件下的数值比较，可用图6-2来表示。
由图可知P p＞P o＞P a。
朗肯基本理论朗肯土压力理论是英国学者朗肯（Rankin）1857年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。
在其理论推导中,首先作出以下基本假定。
(1)挡土墙是刚性的墙背垂直；(2)挡土墙的墙后填土表面水平；(3)挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。
把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。
如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，σz 仍保持不变，但σx 将不断增大并超过σz 值，当土墙挤压土体使σx 增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O 3，σz 变为小主应力，σx 变为大主应力，即为朗肯被动土压力(p p )。
土体中产生的两组破裂面与水平面的夹角为245ϕ-︒。
朗肯主动土压力的计算根据土的极限平衡条件方程式σ1=σ3tg 2(45°+2ϕ)+2c ·tg(45°+2ϕ)σ3=σ1tg2(45°-ϕ)-2c·tg(45°-2ϕ)2土体处于主动极限平衡状态时，σ1=σz=γz，σ3=σx=p a，代入上式得1)填土为粘性土时填土为粘性土时的朗肯主动土压力计算公式为p a=γztg2(45°-ϕ)-2c·tg(45°2-ϕ)=γzK a-2c a K(6-3)2由公式(6-3)，可知，主动土压力p a沿深度Z呈直线分布，如图6-5所示。
用朗肯土压力理论计算图示挡土墙上
如图所示，某挡土墙高7m，填土表面作用均布荷载q=20kPa。填土分两层，第一层土： h1=3m，；第二层土：h2=4m，。按朗肯压力理论计算作用在挡土墙背上的主动土压力分 布及合力Ea的大小，并绘出主动土压力强度分布图。 （2011年10月）
.按朗肯土压力理论，确定图示挡土墙上的主动土压力沿墙高的分布，并计算其 合力。 （2011年1月）
•
201210：某地基中有一土层，其厚度为h=2m，其顶面的自重应力=92kPa，底面的自 重应力=108kPa，已知该土层在外荷载作用下顶面受到的附加应力=64kPa，底面受到 的附加应力=36kPa。求：该土层的最终压缩量大小。（注：计算时仅分一层即可）压 力和孔隙比e的填土由两层土组成，填土表面作用q=30kPa均布荷载，第 一层土为粉质粘土，厚度hl=2.0m，=15.68kN／m3，cl=9.8kPa，=10°。第二层土为粘土， 厚度h2=3.0m，=17.64kN／m3，c2=14.7kPa，=20°。试利用朗肯土压力理论，求作用在挡 土墙墙背上的主动土压力及其合力。 （2009年10月倒数第二题）
（2013年1月）
图示挡土墙，墙后填土的性质指标如图示，试用朗肯理论计算并画出图示挡土墙上的主 动土压力分布图，并计算其合力大小。(12分)（2012年10月）
如图所示，某挡土墙高6m，墙后填土由两层组成，地下水位距墙底2m。第一层土为细砂，其厚 度为2m，γ1=15.8kN／m3，φ 1=10°，c1=0；第二层土为粉质粘土，其厚度为4m， γ2=17.8kN／m3，γ2sat=19.8kN／m3，φ 2=16°，c2=10kPa。按朗肯土压力理论计算作用在 挡土墙背上的主动土压力Ea的大小，并绘出主动土压力强度的分布图。 （2012年1月）
土主动、被动土压力概念及计算公式.
基本原理
库伦于1776年根据研究挡土墙墙后滑动土楔体的静力平衡条件,提出了计算土压力的理论。他假定挡土墙是刚性的,墙后填土是无粘性土。当墙背移离或移向填土,墙后土体达到极限平衡状态时,填后填土是以一个三角形滑动土楔体的形式,沿墙背和填土土体中某一滑裂平面通过墙踵同时向下发生滑动。根据三角形土楔的力系平衡条件,求出挡土墙对滑动土楔的支承反力,从而解出挡土墙墙背所受的总土压力。
墙背所受总主动土压力为P a ,其值为土压力分布图中的阴影部分面积,即
γ+-γ=--γ=
22c 2K cH 2K H 21z H (K c 2HK (2
1
P a a 0a a a (6-5
2填土为无粘性土(砂土时
根据极限平衡条件关系方程式,主动土压力为
a a zK 2
45(ztg p 2γ=ϕ
-︒γ= (6-6
p p p K c zK tg c ztg p 22
45(2245(2+=+︒⋅++︒=γϕ
ϕγ (6-8
填土为无粘性土时
p p zK ztg p γϕ
γ=+
︒=2
45(2 (6-9
式中: P p ——沿墙高分布的土压力强度,kPa ;
K p ——被动土压力系数,2
45(2
ϕ
+
=tg Kp ;
其余符号同前。
取土楔ABC为脱离体,作用于滑动土楔体上的力有:①是墙对土楔的反力P ,其作用方向与墙背面的法线成δ角(δ角为墙与土之间的外摩擦角,称墙摩擦角;②是滑动面PC上的反力R ,其方向与BC面的法线φ角(φ为土的内摩擦角;③是土楔ABC的重力W。根据静力平衡条件W、P、R三力可构成力的平衡三角形。利用正弦定理,得:
ch6-3.4朗肯、库仑土压力计算解读
z
pp z K p
K p tg 2 (45 f / 2)
－朗肯被动土压力系数
Ep K p H 2 / 2
1 H 3
总被动土压力(大小、作用点)
1 E p K pH 2 2
p p K pH
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯被动土压力计算－填土为粘性土
于是：被动土压力强度
p p h 1 z tg 2 (45 f / 2)
K0 v v=z
pp=1f
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯被动土压力计算－填土为无粘性土（砂土） 被动土压力强度
p p z tg (45 f / 2)
2
3
pp=1
pa=3
45+f/2
1
z
－朗肯主动土压力系数
Ea Ka H 2 / 2
1 H 3
总主动土压力(大小、作用点)
1 E a K a H 2 2
pa K aH
6.3 朗肯土压力理论
•朗肯主动土压力计算－填土为粘性土
竖向应力为大主应力
1 v z
水平向应力为小主应力
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯主动土压力计算－填土为粘性土 主动土压力强度
负号
－
z0
pa z K a 2c K a
Ka tg 2 (45 f / 2)
－朗肯主动土压力系数
z0
2c z0 K a －拉力区深度
z< 3 1tg (45 f / 2)
2
K0 v
v=z
6.3 朗肯土压力理论 •朗肯主动土压力计算－填土为无粘性土（砂土） 主动土压力强度
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采用朗肯土压力理论计算主动、被动土压力
朗肯土压力理论是依据半空间体的应力状态和土的极限平衡理论推出土压力强度的计算式。它的假设条件１.挡土墙背垂直;2.墙后填土表面水平;3.挡墙背面光滑即不考虑墙与土之间的摩擦力。
(8）
关于朗肯条件
现以无粘性土填土和主动应力状态为例，朗肯条件的更一般情况为地面倾斜时，土体在侧向和深度上都是无限的情况(图4a)。此时如果土体有机会侧向伸展足够的量，则在土体中形成两簇滑移面（图4b),与竖直面 的夹角分别为 和 ， 和 的值为:
得到 (３)
有时也被称为土的“临界高度”，被认为是粘性土中无支挡直立开挖的最大深度。
主动土压力合力 则为三角形bｃe的面积，其值由式（８－7）计算:
（4)
或
作用在三角形bｃe的形心上,即在挡土墙底面以上（H- ）/3处。
对于粘性土的上述算法,有学者认为低估了主动土压力值。为此采用了一些修正方法。例如在墙背底面处的主动土压力值仍用式(1)计算，但墙顶处的土压力取为零值,而不是按式（１)求得的负值。作用在墙背上的主动土压力合力则为：
大主应力 在水平向，并被认为是被动土压力强度 (图1b）,土体中两组滑移面与水平面的夹角为 (图1d）。
朗肯认为可以用直立的挡土墙来代替上述竖直面AB左边的土体,如果满足墙背与填土界面上的剪应力为零的条件，并不改变右边土体中的应力状态。当挡土墙的变位符合上述主动或被动极限平衡条件时,作用在挡土墙墙背上的土压力即为朗肯主动土压力或朗肯被动土压力。墙背直立、光滑,墙后填土面水平的挡土墙满足这种条件。
（c)主动朗肯状态的剪切破坏面;(d）被动朗肯状态的剪切破坏面
如图1a在半空间土体中取一竖直切面AＢ，在AB面上深度为Z处取一土单元体,在静止土压力状态下,作用在单元体上的大主应力 为竖直向应力 ,小主应力 为水平向应力 ,单元体处于弹性平衡状态,其应力圆 位于强度包线下方。假定在某种原因下土体朝侧向松开,在保持大主应力 不变的条件下小主应力 不断减少，其应力圆直径随之增加，最终当应力圆 与强度包线相切时，单元体处于主动极限平衡状态，此时的小主应力 仍在水平向,即为主动土压力强度 (图１b),土体中的两组滑移面与水平面成 (图1ｃ)。当在某种原因下土体朝单元体侧向挤压时,水平向应力不断增加，应力圆直径不断减小至一点，当水平向应力继续增大到超过竖直向应力时，水平向应力成为大主应力 ,而竖直向应力变成了小主应力 ，此后随着水平向应力的增加应力圆直径又不断增加，最终应力圆 与强度包线相切，单元体处于被动极限状态,此时
(２）
式中H—挡土墙的高度。
图２朗肯主动土压力的计算
(ａ)无粘性填土；（b）粘性填土
当墙后填土为粘性土时，由式(1）可知主动土压力由两部分组成，粘聚力c的存在减少了作用在墙上的土压力,并且在墙上部形成一个负侧压力区（拉应力区)，见图２b中的三角形acd。由于墙背与填土在很小的拉应力下就会脱开,该区域的土中会出现拉裂缝，在计算作用在墙背上的主动土压力时应略去这部分负侧压力，而仅仅考虑三角形bce部分的土压力。此时，由土压力为零的条件可计算受拉区的高度 :
。
或者仍按式(4)计算主动土压力值，但应考虑 范围内张裂缝中从地面渗入的水压力作用。
被动土压力
由图１ｂ可知任一深度z处的朗肯被动土压力强度 为大主应力 ，而小主应力 为上覆土压力 ，根据土的极限平衡条件，则有:
或 （5）
式中 —朗肯被动土压力系数， 。
图3朗肯被动土压力的计算
(a)无粘性填土；(ｂ)粘性填土
３土压力是土与挡土支护结构之间相互作用的结果,它与结构的变位有着密切的关系，从而导致设计土压力值的不确定性。如经典的库仑土压力仅考虑主动与被动状态;在挡土支护结构变形很小时，要采用静止土压力(其值无统一求法）；对于作用于多支点挡土支护结构的土压力则按弹塑性理论进行计算。
图1半空间体的应力状态
（a)单元体的初始应力状态；(b）达到朗肯状态的应力路径;
无粘性土的朗肯被动土压力沿深度也呈三角形分布(图3a),合力 值由式6计算,作用在墙底以上H／3处。
(６）
粘聚力c的存在增加了被动土压力，作用在墙背上的被动土压力呈梯形分布,如图３b所示,合力 值为梯形面积，可以用矩形aｂdc与三角形cdｅ的面积之和求得:
（7)
作用在梯形的形心上，也可以用分块求矩的方法计算 距墙底的距离
主动土压力
由图1b可知任一深度ｚ处的朗肯主动土压力强度 为小主应力 ,而大主应力 为上覆土压力 ，根据土的极限平衡条件，则有:
或 (1）
式中 —朗肯主动土压力系数, ;
—土的重度；
c、 —土的粘聚力和内摩擦角。
对于无粘性土，c=０， ,主动土压力仅仅是由土的自重所产生，其强度随深度线性增加，呈三角形分布（图２ａ)。主动土压力的合力 为三角形的面积,其值由(１）式计算;合力作用在三角形的重心处,即在挡土墙墙底以上Ｈ/3处。
应用范围:
1.墙背与填土条件：
(1）墙背垂直，光滑，墙后填土面水平
（2）墙背垂直，填土面为倾斜平面,
（3）坦墙（工程上把出现滑裂面的挡土墙定义为坦墙)。
(4）还适应于“∠”形钢筋混凝土ﻩ挡土墙计算
2．地质条件
粘性土和无粘性土均可用，均有公式直接求解
影响土压力的因素：ﻫ作用在挡土支护结构上的土压力受以下因素制约：ﻫ1不同土类中的侧向土压力差异很大。采用同样的计算方法设计的挡土支护结构，对某些土类可能安全度很大，而对另一些土类则可能面临倒塌的危险。因此在没有完全弄清挡土支护结构土压力的性能之前,对不同土类应区别对待。ﻫ2 土压力强度的计算及其计算指标的取值与基坑开挖方式和土类有关。当剪应力超过土的抗剪强度时,背侧土体就会失去稳定，发生滑动。由于基坑用机械开挖，一般进度均较快，开挖卸荷后，土压力很快形成，为与其相适应采用直剪快剪或三轴不排水剪是合理的。但剪切前是否要固结，则根据土的渗透性而定。渗透性弱的土,由于加荷快、来不及固结即可能剪损，此时宜采用不固结即进行剪切；反之,渗透性强的土,宜固结后剪切。