牛顿迭代法
牛顿迭代法
xn1
xn
xne xn 1 e xn (1 xn )
xn
xn exn 1 xn
取x0=0.5,逐次计算得 x1=0.57102, x2=0.56716， x3=0.56714
1.5 牛顿下山法
通常,牛顿迭代法的收敛性依赖于初始值 x0 的选取,
如果 x0 偏离所求的根 x* 比较远,则牛顿法可能发散。
由定理2.2知,牛顿迭代法在 x* 附近局部收敛。又由 定理2.3知, 迭代公式至少具有二阶收敛速度。
利用泰勒公式
0
f (x*)
f (xk )
f (xk )(x*
xk )
f ( ) (x*
2
xk )2 ,
xk
x*
f f
(xk ) (xk )来自f 2f( )
(xk )
(x*
xk
)2
x*, xk
为了防止迭代发散,我们对牛顿迭代法的迭代过程再附
加一项要求,即具有单调性
f (xk1) f (xk )
满足这项要求的算法称下山法。 将牛顿迭代法与下山法结合起来使用,即在下山
法保证函数值下降的前提下,用牛顿迭代法加快收敛 速度。把这一算法称为牛顿下山法。即
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
xk
f (xk ) f (xk )
x*
f ( ) (x*
2 f (xk )
xk )2
所以
xk 1
x*
f ( )
2 f (xk )
(x*
xk
)2
lim x* xk1 f (x* ) k x* xk 2 2 f (x* )
证毕
1.3 牛顿迭代法的收敛性
研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法
z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法 设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x
xk
f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。 方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴 交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142
牛顿迭代法
一 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
x
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
5
二 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C，应用牛顿法解二次方程
x 2 C 0,
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（3.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知
10
在（3.7）中取C
1 ，则称为简化牛顿法，这 f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x 轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）
牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x* 较远，则牛顿法可能发散.
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
14
x1 17.9，它不满足条件（3.10）.
研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法
称为埃特肯算法。
例７ 用迭代法求方程
f ( x) x 2 x 0 在[0，1]内根 x *
的近似值，精确到
xk 1 xk 104
解：取初始近似根 x0 0.5 xk 1 2 x 1.用简单迭代法 2.用牛顿迭代法 3.用埃特肯算法
1 1 0 m
这表明直接用牛顿迭代法对方程 只有线性收敛速度。
f ( x) 0
求重根
对 x* 是方程 则 x* 是方程
f ( x) 0
重根的情形，如将方程改写成
(其中 F ( x) f ( x) / f ' ( x) ）
F ( x) 0
F ( x) 0
的单根，再对
F ( x) 0
f ' ( x) 0
；
在 [a, b] 上保号，
则当初值 x0 [a, b] ，且 f ( x0 ) f '' ( x0 ) 0 时， 牛顿迭代公式产生的迭代序列 { xk } 收敛于方程
f ( x) 0 在 [a, b] 上的唯一实根 x* 。
定理５的简要几何说明：
条件（1）保证了曲线 y=f (x)的连续性和光滑性； 条件（2）保证了方程y = f (x) 在[a ,b]内至少有 一实根； 条件（3）说明在[a ,b]上恒有
135.607
使其精确至7位有效数字。 解：作函数 f ( x) x2 c ， 则f (x)=0的正根 x* 就是 c
f ( x) 0 的牛顿迭代公式为
2 f ( xk ) xk c 1 c xk 1 xk ' xk ( xk ) f ( xk ) 2 xk 2 xk
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
第二节_牛顿迭代法
2 3 xk
2 f ( x) 3 x
k 0,1, 2,
4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 B ( x *) [ x , x ]， f ( x ) 0 续，且 ，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.
标即为 xk 1 。 y
( x0 , f ( x0 ))
x* x2 x x0 1
x
例2.5：写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式；写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
2 f ( x ) x a 0 (a 0) 的正根 f ( x) 2x 解： 等价于求方程
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( ) ( x x 0 ) 2 ， 2!
在 x0 和 x 之间
* 取 x x ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
lim x n 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 n
x n1 x* x n x*
2
x*
,故
f" ( n ) f " ( x* ) * 2 f ' ( xn ) 2 f' ( x )
0(二阶收敛)若 f "( x* ) 0 0(大于二阶收敛)若 f "( x* ) 0
Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其 迭代函数为: f ( x) ( x) x f '( x )
牛顿迭代法
有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x(n+1) = g(x(n)) = x (n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
例1：已知f(x) = cos(x) - x。
x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x) =0的近似值，要求精确到10E－6。
算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。
#include<stdio.h>double F1(double x); //要求解的函数double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序int main(){double x0 = 3.14159/4;double e = 10E-6;printf("x = %f\n", Newton(x0, e));getchar();return 0;}double F1(double x) //要求解的函数{return cos(x) - x;}double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数{return -sin(x) - 1;}double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序{double x1;do{x1 = x0;x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);} while (fabs(x0 - x1) > e);return x0; //若返回x0和x1的平均值则更佳}例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。
牛顿迭代法
一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递 推新值的过程，跟迭代法相对应的就是直接法（或 称为一次解法） ，即一次性解决问题。迭代算法是用 计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运 算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对 一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这 组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出他 的一个新值。 利用迭代法解决问题，需要做好以下三个方面的 工作： 一、确定迭代变量 在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个 可直接或间接的不断由旧值递推出新值的变量， 这个变量就是迭代变量； 二、建立迭代关系式 所谓的迭代关系式，指如何从变量的前一个值递 推出其下一个值得公式（或关系） 。迭代关系式的 建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推 或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制 在什么时候结束迭代过程？这时编写迭代程序必
欧几里德算法（辗转相除法）
最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两 个整数 a,b 的最大公约数。 其计算原理依赖于下面 的定理： 定理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 证明：a 可以表示成 a=kb+r,则 r=a mod b. 假设 d 是 a,b 的一个公约数， 则有 a%d==0,b%d==0, 而 r=a-kb,因此 r%d==0,因此 d 是(b,a mod b)的公约 数 同理，假设 d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0, r%d==0， 但是 a=kb+r， 因此 d 也是(a,b)的公约数； 因此(a,b)和(b, a mod b)的公约数是一样的， 其最大 公约数也必然相等，得证。
牛顿迭代法
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优 点是在方程 f(x)=0 的单根附近具有平方收敛， 而且该 法还可以用来求方程的重根、 复根， 此时线性收敛， 但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法 广泛用于计算机编程中。
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牛顿迭代法一、 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
二、 迭代公式,...2,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。
3、 要保证迭代法收敛，不管非线性方程=)(x f 0的形式如何，总可以构造：)()()(x f x k x x x -==ϕ )0)((≠x k作为方程求解的迭代函数。
因为：)(')()()('1)('x f x k x f x k x --=ϕ 而且)('x ϕ在根α附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：0)('=αϕ 若≠)('αf 0(即根α不是=)(x f 0的重根)，则由0)('=αϕ得：)('1)(ααf k =，因此可令)('1)(x f x k =，则也可以得出迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。
4、 迭代法的基本思想是将方程0)(=x f改写成等价的迭代形式)(x x ϕ=，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。
运用前述加速技巧，对于简单迭代过程)(1n n n x f x x +=+，其加速公式具有形式：θθϕ--=+1)(1nn n x x x )(111n n n x x x --+=++θθ，其中)(1n n x x ϕ=+记1-=θL ，上面两式可以合并写成：L x f x x n n n )(1-=+这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：L x f x x )()(-=ϕ。
需要注意的是，由于L 是)('x ϕ的估计值，若取)()(x f x x +=ϕ，则)('x ϕ实际上便是)('x f 的估计值。
假设0)('≠x f ，则可以用)('x f 代替上式中的L ，就可得到牛顿法的迭代公式：)(')(1n n n n x f x f x x -=+。
牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。
三、算法描述用Newton 法求方程f （x ）=0的一个解输入 初始值x0；误差容限TOL ；最大迭代次数m 输出 近似解p 或失败信息 Step1 00x p ←Step2 对i=1，2，...，m 做setp3~4Setp3)()(000p f p f p p '-←Setp4若TOL p p <-0，则输出（p ），停机，否则p p ←0Setp5输出失败信息；停机注：在第4步中的迭代终止准则可用：TOLp f TOL pp p TOLpp p <<-<-)(0且或者四、C 语言代码求一元四次方程045.13234=-+-x x x 的解 double func(double x) //函数{ return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0; } double func1(double x) //导函数 { return 4*x*x*x-9*x*x+3*x; } int Newton(double *x,double precision,int maxcyc)//初始值， 精度， 迭代次数{double x1,x0; int k; x0=*x;for(k=0;k<maxcyc;k++) {if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0{printf("迭代过程中导数为0!\n");return 0;}x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1))<precision) //达到结束条件{ *x=x1; //返回结果return 1; }else //未达到结束条件x0=x1; //准备下一次迭代}printf("迭代次数超过预期!\n"); //达到迭代次数，仍没有达到精度return 0;}int main(){double x,precision;int maxcyc;printf("输入初始迭代值x0:");scanf("%lf",&x);printf("输入最大迭代次数:");scanf("%d",&maxcyc);printf("迭代要求的精度:"); scanf("%lf",&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1printf("该值附近的根为:%lf\n",x);else //若函数返回值为0 printf("迭代失败!\n"); getch(); return 0;}五、二元函数的牛顿迭代法设z=f （x ，y ）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h ，y0+k ）为此邻域内任意一点，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+≈++==00),(),(),(),(0000y y x x y x f y k y x f xh y x f k y h x f 其中00,y y k x x h -=-=于是方程f （x ，y)=0可近似表示为0),(),(),(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+==k k y y x x k k y x f y k y x f x h y x f 即0),()(),()(),(=-+-+k k y k k k x k k k y x f y y y x f x x y x f同理，设z=g （x ，y ）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h ，y0+k ）为此邻域内任意一点，则同样有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+≈++==00),(),(),(),(0000y y x x y x g y k y x g xh y x g k y h x g其中00,y y k x x h -=-=于是方程g （x ，y)=0可近似表示为0),(),(),(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+==k k y y x x k k y x g y k y x g x h y x g 即0),()(),()(),(=-+-+k k y k k k x k k k y x g y y y x g x x y x g 于是得到方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=-+-+0),()(),()(),(0),()(),()(),(k k y k k k x k k k k k y k k k x k k k y x g y y y x g x x y x g y x f y y y x f x x y x f 求解这个方程组：当0),(),(),(),(≠-k k y k k x k k y k k x y x g y x f y x f y x g 时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=--+=),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(k k y k k x k k y k k x k k x k k k k x k k kk k y k k x k k y k k x k k y k k k k y k k k y x g y x f y x f y x g y x f y x f y x f y x g y y y x g y x f y x f y x g y x f y x g y x g y x f x x 雅可比行列式：),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(k k x k k k k x k k y k k k k y k k k k y x k k y k k x k k y k k x y x g y x g y x f y x f J J y x g y x g y x f y x f J J y x g y x g y x f y x f J ===所以，解可改写为：⎩⎨⎧+=+=y k x k J y y J x x迭代公式为：⎩⎨⎧+=+=++y k k x k k J y y J x x 11Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。