高考第一轮复习——函数的单调性(文)

年 级 高三 学 科 数学版本人教版（文）内容标题 函数的单调性编稿老师 孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 概念：设函数)(x f 的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么称函数)(x f 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(x f y =的单调区间。

注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21x f x f ≤或)()(21x f x f ≥② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。

如xy 1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，不能说xy 1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。

③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象） （1）定义法[例1] 证明函数1)(31-=x x f 在R 上是增函数证：设x x <，则32323131213131)()(xx x x x x x x x f x f ++-=-=-而分子021<-=x x 分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=x x x x x x x 故0)()(21<-x f x f 得证补：讨论函数22)(x x a x f -=的单调性)10(≠<a解：设1>a 时，对任R x ∈，022>-xx a ，设121<<x x2112222212)()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减当10<<a 时，同理在（1,∞-）单减，在（1，∞+）单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解：设21x x <，则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=（1）当1021≤<<x x 时，1021<<x x ，0)()(12<-x f x f （2）当211x x <≤时，211x x <，0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减④ 若21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增（2）当0<p 时① 若021<<x x ，则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数0<p 时，)(x f 在)0,(-∞或),0(+∞上是增函数函数xp x y += p 范围0>p0<p定义域 ),0()0,(+∞⋃-∞值域 ),2()2,(+∞⋃--∞p p),(+∞-∞渐近线 x y =及0=x奇偶性 奇函数单调性在],(p --∞及),[+∞p 分别单调递增在)0,(-∞上递增，在),0(+∞上递增在)0,[p -及],0(p 上分别单调递减另法，利用导数21)(x x f -=')(22p x x-= （1）若0>p则))((1)(2p x p x x x f -+='（2）若0<p ，则0)(>'x f 下证高考分式函数试题类型与解法研究 [例4] 讨论分式函数xbax x f +=)(的单调性（0≠ab ） 以下只研究0,0>>b a 与0,0<>b a 两种情形对于0,0><b a 与0,0<<b a 可利用对称性得到。

解：当0,0>>b a 时，由2222))(()()(xabx a b x aa b x x a x b a x f -+=-=-=' 利用导数可知)(x f 在],(a b --∞与),[+∞ab上为单增函数)(x f 在)0,[a b -与],0(ab 为单减函数 当0,0<>b a 时，由0)(2>-='xba x f 知)(x f 在)0,(-∞与),0(+∞上为增函数，图象如下[例5]甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。

解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为)()(2vabv s v s bv a y +=+=，],0(c v ∈ （2）依题意v b a s ,,,都为正数，故有ab s bv vas 2)(≥+当且仅当bv v a =即b av =时，上式中等号成立① 若c b a ≤，则当bav =时全程运输成本y 最小 ② 若c ba>，函数)(bv v a s y +=在],0(c 上是减函数那么当且仅当c v =时，全程运输成本y 最小综上所述可知，为使全程运输成本最小，当c bab≤时 行驶速度应为b ab v =；当c bab >时，行驶速度应为c v =[例6] 在ABC ∆中，θ=∠===ACB c AB b AC a BC ,,,，现将ABC ∆分别以BC 、AC 、AB 所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为321,,V V V 。

（1）求213V V V T +=（用c b a ,,，θ表示）（2）若θ为定值，并令x cba =+，将T 表示为x 的函数，写出这函数的定义域，并求这函数的最大值u（3）当θ在],3[ππ内变化时，求u 的最大值。

解：（1）设ABC ∆的BC 、AC 、AB 边上的高分别为321,,h h h ，由θsin 1b h =，θsin 2a h =，cab c ah h θsin 13==得 θππ22211sin 331ab a h V ==，θππ22222sin 331b a b h V ==，θππ222233sin 331cb ac h V ==于是得(*))(213c b a abV V V T +=+=（2）令x cba =+，则由θcos 2222ab b ac -+=得 )cos 1(2)cos 1(2)(22222θθ+-=⇒+-+=ab x c c ab b a c2cos 4)1()cos 1(2)1(22222θθc x c x ab -=+-=⇒代入（*）得)1(2cos 412cos 4)1(2cos 4)()1(22222222xx x c c x c b a c x T -=⋅-=⋅+-=θθθ当θ为定值时，)cos 1()2(2)(222θ++-+≥b a b a c 即2sin )(222θb ac +≥又220πθ<<，于是2csc2sin12θθ=≤+=cba x（当且仅当b a =时，取等号）又由0>>+c b a ，知1>+c b a ，所以函数)(x T 的定义域为]2csc ,1(θ因为)1(2cos 41)(2x x x T -=θ在]2csc ,1(θ上递增，所以当2csc θ=x ，即b a =时，T取最大值，此时2csc 41]2sin 2sin1[2cos 412θθθθ=-=u（3）由于),3[ππθ∈，2sin41θ=u 是减函数，从而当3πθ=时，u 取最大值为21注：分式函数变通形式，函数)0(2>+=a ax x y 的单调性 将函数式变形为a x a a x a x a a x y +++=++-=2222)(a 2- 令a x t +=，则a ta t y 22-+= 由单调性，在],0(a t ∈即]0,(a x -∈上单减在),[+∞∈a t 即),0[+∞∈x 上单增 在)0,[a t -∈即),2[a a x --∈上单减 在],(a t --∞∈即]2,(a x --∞∈上单增（2）复合函数的单调性在复合函数)]([x g f y =中，设)(u f y =和)(x g u =都是单调函数 ① 若)(u f y =为增函数，则)]([x g f y =的增减性与)(x g u =相同； ② 若)(u f y =为减函数，则)]([x g f y =的增减性与)(x g u =相反。

区间单调性 函数A B C D )(x g u = + + － － )(u f y = +－+ － )]([x u f y =+－ －+利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤 （1）先确定复合函数)]([x g f y =的定义域 （2）在定义域内分别研究)(x g u =及)(u f y =的单调性（分拆）（3）列表，得结论[例7] 讨论函数2112)(x x f -=的单调性解：由112)21()(-=x x f 知定义域),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞令112-=x u ，uy )21(=以下先研究，112-=x u 的单调性令tu 1=，12-=x t)1,(--∞)10,(-（0，1）（1，∞+）12-=x t－ － + + t u 1=－ － － － 112-=x u++－－而uy )21(=在R 上为减函数，故利用复合函数单调性结论知)(x f 在)1,(--∞及)0,1(-上是减函数，在（0，1）及（1，∞+）上是增函数。