二项式定理高考题型归类及求解

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95二项式定理5大题型(精讲)(原卷版)

9.5 二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n C0n a n C1n a n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为T r＋1＝g(r)·x h(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔T r＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔T r＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔T r＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔T r＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++()rq n r q qrn n r C C ab c---=++++r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数．例1 （2022·华师大二附中高三练习）若()()()2880128111x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a = ．例2 在73x⎛ ⎝的系数是．例3 （2022·江西模拟）在 5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的展开式中，含 32x y 的项的系数是（）A ．10B ．12C ．15D ．20【题型精练】1. （2022·河南高三月考）在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（）A ．280B ．280-C ．560D ．560-2．（2022·全国高三课时练习）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.3．（2022·枣庄模拟）在()622x x y-+的展开式中，含52x y 项的系数为（）A ．480B ．480C ．240D ．2404. （2022·汕头模拟）100的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二已知项的系数求参】例4 （2022·四川模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则a =（） A ．2B ．2C ．2或2D ．4例5 （2022·武昌模拟）()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10，则实数a = .【题型精练】1．（2022·石家庄模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （）A ．2B ．2C ．2或2D ．42. （2022·临沂二模）已知 ()5221ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中 x 的系数为（） A ．120 B ．40 C ．40 D ．120【题型三二项式定理的性质】例6 （2022·唐山二模）（多选）已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（） A ．n=9B ．11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是1例7 设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【题型精练】1．（2022·高三课时练习）若()*1N nn x ⎛+∈ ⎝⎭的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =（） A ．11 B ．10 C ．9 D ．82.（2022·广东高三模拟）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．3. （2022·浙江高三模拟）在1)2n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（） A ．454B ．358-C ．358D ．7【题型四二项式系数和及系数和问题】方法技巧系数和问题2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8 （2022·福建泉州科技中学月考）在10(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.【题型精练】1．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）若()5234501234513x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为．2.（2022·济北中学高三月考）设 ()()54234501234521x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++ .若01234532a a a a a a +++++= ，则实数 m = ， 3a = ．3. （2022·上虞模拟）已知()102100121031x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = ，1012210333a a a ++⋅⋅⋅+= .【题型五二项式定理的应用】例9 （2022福建省部分名校高三联合测评）（多选）若202051a +能被13整除，则实数a 的值可以为（） A ．0 B ．11 C ．12 D ．25例10 71.95的计算结果精确到个位的近似值为 A ．106 B ．107 C ．108 D ．109【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.342. 若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.。

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(xx -展开式中9x 的系数是；（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；（3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；2．求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；3．求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有项；4．求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。

二项式定理的常见题型及解法特全版

Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ，填 2 2 2
（备用题）：（05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3

1 的展开式中没有常数项，且 2≤n≤8， n N* ，．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。（备用题）（05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2）一般的系数最大或最小问题例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式 ----二项式的乘方的展开式。

二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。

所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。

二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。

本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

题型一：求二项展开式例1 .求（3j X 1 〒）4的展开式;V x3x 解：原式=(3X^ V x 1、4 (3x 1)4一)= ----- 2—x1 0 41 3茫©4网4C 4(3X)31—(81x 4 84x 3 X2 23 4C 4(3X )2C 4(3X ) C 』212 = 81x 284x —x小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2. “（a b ）n ”型的展开式例2•求（3低亠）4的展开式;v x分析：解决此题，只需要把（3J X ¥）4改写成［3-f X v xA“ / I \n ” 1. (a b)型的展开式54x 212x 1)“先（于）］4的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的 3 •二项式展开式的 “问题转化” 能力。

“逆用”例3 .计算13cn239C n27Cn ....( 1)n 3ncn ；12233）1C n（ 3）2C n（小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式, 解：原式=c nc n（ 3)33C n（ 3）n（1 3）n（ 2）n把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项21~2求两个二项式乘积的展开式指定幕的系数27例5. （02全国）（X 1）（X 2）的展开式中,X 3的系数应为：C 7（求可化为二项式的三项展开式中指定幕的系数1 3（04安徽改编）（X — 2）3的展开式中，常数项是X1 •求指定幕的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幕的系数1 例4•（03全国）（X 2——）9展开式中 2X1 X rr丈=C9X解: T r1 C9（X 2）9r （令 18 3x9,则r X 9的系数是 18 2r（y （1）r =c 9（ 1）rX18 3X93，从而可以得到X的系数为:解: （X 丄 2）3 [4]3X X（X 1）63X 上述式子展开后常数项只有一项 3 3 3C6X 3（ 1）3 C63 ，即 X 20本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后, 考查了变型与转化的数学思想。

高考数学复习考点题型归类解析47二项式定理(解析版)

高考数学复习考点题型归类解析专题47二项式定理一、关键能力1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用. 2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题．二、教学建议（1）考查二项式定理；（2）考查通项公式的应用；（3）考查二项式系数的性质.（4）热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n ，求参数的值等. 三、必备知识 1. 二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为.()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈()na b +rn C 0,1,2,3,,r n =r n rr n C a b -1r T +1r +1rn rr r n T C ab -+=1n +(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，. 3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，4.注意: (1)．分清是第项，而不是第项.(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.n a b n a n b n 0n C 1n C 1n n C -nn C 0n n n C C =11n n n C C -=m n m n n C C -=r n C 12n r +≤12n r +>n 2n nC n 12n nC +12n nC-()na b +2n 012r nn n n n n C C C C +++++=02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=rn rr n C ab -1r +r 1rn rr r n T C a b -+=1r T +r n C a b n r a b n r n r n r(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系.(4). 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数． 5. 二项式定理的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①；②；（5）证明不等式.四、高频考点+重点题型考点一.二项展开式中指定项或系数问题例1-1.（2021·全国高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭r n n r 1r n r rr nT C a b -+=r n C a b 1r T +x ()11nx nx +≈+()()21112nn n x nx x -+≈++其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.例1-2.（2021·天津高考真题）在的展开式中，的系数是_________．【答案】10 【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．例1-3.（2021·浙江省高考真题）设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________．【答案】80 ； 122 【解析】【分析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭532r -=1r =2x 15210C ⨯=10利用二项式展开式的通项公式计算即可. 【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122例1-4.（2017·山东高考真题（理））已知的展开式中含有项的系数是54，则n=_____________. 【答案】【解析】（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1（3x ）r ＝3rx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴54，可得6，∴6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为：4．例2-1. 将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.答案：－160例2-2. (1＋2x －3x 2)5展开式中x 5的系数为________．(13)n x +2x 4r n=r n223n=2n=()12n n -=答案 92解析方法一 (1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 5525＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92. 方法二 (1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.例2-3. (x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )A.10B.20C.30D.60[解析] (x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.答案：C例2-4. (1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( )A.－4B.－3C.3D.4 [答案] B[解析]法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令m 2＋n 2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. 例2-5.(2019·马鞍山模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．7 答案 D解析根据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r20·420-3r x ，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．思维升华 (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 3＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)当n 为偶数时，展开式中第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2C nn ；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为12C n n -或12C n n +.考点二、二项式系数的性质及各项系数和例3-1.（2021·浙江·高三期中）若多项式()()()78280178111x x a a x a x a x +=+++++++，则0123456782a a a a a a a a a ++++++++=_______．【答案】29 【分析】在()()()78280178111x x a a x a x a x +=+++++++中令0x =，则0123456780a a a a a a a a a ++++++++=.方法一：构造()()28281111x x x x +=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求出()21x +的系数即为2a ，即可求解. 方法二：对原式二次导数，令1x =-即可求出2a ，即可求解. 【详解】方法一：()()()78280178111x x a a x a x a x +=+++++++令0x =则()()()7828017800010101a a a a +=+++++++0123456780a a a a a a a a a ∴++++++++=，()()28281111x x x x +=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()0662281129a C C =-+-= 0123456780123456782229a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴++++++++=+++++++++=方法二：()()()78280178111x x a a x a x a x +=+++++++令0x =则()()()7828017800010101a a a a +=+++++++0123456780a a a a a a a a a ∴++++++++=，()()()78280178111x x a a x a x a x +=+++++++ ()()()677127828217181x x a a x a x a x ∴+=+++++++()()66238287261871x a a x a x ∴+⨯⨯=+++⋯+⨯⨯+，令1x =-，则2258a =，229a ∴=．0123456780123456782229a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴++++++++=+++++++++=例3-2.（2021·上海·格致中学高三期中）如果12212222187n nn n n C C C +++⋅⋅⋅+=，则12n n n n C C C ++⋅⋅⋅+=______.【答案】127 【分析】依题意可得()122187n+=，计算n ，然后计算21n -即可.【详解】由题可知: ()1221222122187nn n nn n C C C +++⋅⋅⋅+=+=，所以7n = 所以1221n nn n n C C C ++⋅⋅⋅+=-，由7n =，所以结果为127故答案为：127例3-3.（2021·广东·广州市协和中学高二期中）已知5250125(12)x a a x a x a x -=++++，则0125a a a a ++++=________________.【答案】243 【分析】首先根据二项式系数性质得到024,,a a a 为正数，135,,a a a 为负数，从而得到0125012345a a a a a a a a a a ++++=-+-+-，再令1x =-求解即可.【详解】由题知：5250125(12)x a a x a x a x -=++++中，024,,a a a 为正数，135,,a a a 为负数，所以0125012345a a a a a a a a a a ++++=-+-+-.令1x =-得：()55012345123243a a a a a a +=-+-+-==，所以0125243a a a a ++++= 故答案为：243例3-4.（2021·浙江丽水·高三期中）若532345012345(21)(2)x x a a x a x a x a x a x -++=+++++，则5a =________，01234a a a a a -+-+=________．【答案】32210- 【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：05055(1)232a C -==，令1x =-，得012345a a a a a a -+--+，结合532a =得所求解．【详解】由题意可知5a 为展开式5x 的系数，由二项式定理可得：5(21)x -的通项公式为55152(1)--+=-r r r rr T C x ，所以令0r =，得05055(1)232a C -==，所以532a =.因为532345012345(21)(2)x x a a x a x a x a x a x -++=+++++令1x =-，得53012345(21)(12)242a a a a a a -+-+-=--+-+=-，所以01234524224232210a a a a a a -+-+=-+=-+=- 故答案为：32；210-．例3-5.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________. 解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或1考点三、二项式定理的应用例4-1.设，且，若能被13整除，则（）A ．0B ．1C ．11D ．12 【答案】D 【解析】本题考察二项展开式的系数. 由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.例4-2.（2019·湖北高二期末（理））的计算结果精确到个位的近似值为（） A.106B.107C.108D.109 【答案】B 【解析】∵， ∴. 故选：B例4-3.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________.解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1例4-4.（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）71.95()77716252771.9520.05220.0520.05C C =-=-⨯⨯+⨯⨯-⋅⋅⋅107.28≈71.95107≈A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C ．由“第行所有数之和为”猜想：D ．由“，，”猜想【答案】ABC 【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确；，故D 错误.故选：ABC.例4-5.（2021·全国·高二课时练习）当n 是大于1的正整数且0x >时，求证：()()21112nn n x nx x -+≥++．【答案】证明见解析. 【分析】利用二项式定理可得()1nx +展开式，由0x >可得结论. 【详解】由二项式定理可知：()001122331n n n n nn n n x C x C x C x C x C x +=++++⋅⋅⋅+1nx =++m n mn n C C -=11r r r n n n C C C -+=+n 2n 0122n n n n n n C C C C ++++=11111=211121=3111331=51115101051=5505142332415555555111011010101010161051C C C C C C()23312n nn n n n x C x C x -++⋅⋅⋅+， 0x，330n nn n C x C x ∴+⋅⋅⋅+>，()()21112nn n x nx x +∴-+≥+. 巩固训练一. 单选题1.（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（） A.-80B.-40C.40D.80 【答案】C 【解析】，由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为.2.在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为( )A ．－240B ．－60C ．60D ．240 Dx y x y x y ()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-()52x y -()()515C 2rrrr T x y -+=-3r =()52x x y -33x y ()3325C 2140⨯⨯-=-2r()52y x y -33x y ()2235C 2180⨯⨯-=33x y 804040-=因为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6(－2)r x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，所以常数项为T 5＝C 46(－2)4＝240，故选D.3.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 D根据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20；∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x 20展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r20·x 20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18；∴x 的指数是整数的项共有7项．故选D.4.若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.72 Cx 4的系数为C 04×(－1)＋C 14×a ＝－1＋4a ＝15，得a ＝4，故选C. 5．在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120 答案 C解析令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n 2n ＝2n＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r 352rx －，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.6．设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ≡b (mod10)，则b 的值可以是( )A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 021 答案 D解析 a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a ≡b (mod10)，所以b 的值可以是2 021.7．已知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ等于( ) A.π4B.π4或3π4C.π3D.π3或2π3 答案 B解析由二项式定理知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数为C 35cos 2θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544的展开式中x 3的系数为C 14×54，所以C 35cos 2θ＝C 14×54，解得cos 2θ＝12，解得cos θ＝±22，又θ∈(0，π)，所以θ＝π4或3π4，故选B. 二．多选题8．二项式(2x －1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项答案 CD解析本题考查二项式系数的性质．因为二项式(2x －1)7展开式的各项的二项式系数为C r 7(r ＝0,1,2,3,4,5,6,7)，易知当r ＝3或r ＝4时，C r 7最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项．9．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，以下判断正确的有( )A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项答案 AD解析该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎪⎫1x n －r (x 3)r＝C r n x 4r －n， ∴当n ＝4r 时，展开式中存在常数项，A 选项正确，B 选项错误；当n ＝4r －1时，展开式中存在x 的一次项，D 选项正确，C 选项错误．故选AD.10.已知(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 ABC若展开只有第五项的二项式系数最大，则n ＝8；若展开第四项和第五项的二项式系数最大，则n ＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则n ＝9；故选ABC 11.若(1＋mx )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8且a 1＋a 2＋…＋a 8＝255，则实数m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．3 AC当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1＋m )8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1＋m )8－1，所以(1＋m )8－1＝255，解得m ＝1或－3. 故选AC.12．（2021·江苏省太湖高级中学高二期中）设，下列结论正确的是（）A ．B ．C ．中最大的是D ．当时，除以2000的余数是1【答案】ABD 【解析】将原二项展开式转化为，再逐一判6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++6012563a a a a a -+-+=23100a a +=1236,,,,a a a a 2a 999x =6(21)x +()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++断. 详解：由，得，所以，故A 正确；，故B 正确；中最大的是，故C 错误；当时，，能被2000整除，所以除以2000的余数是1，故D 正确；故选：ABD 三.填空题13．（2021·全国）（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++4123562356666666601234564,2,2,2,2,2,2a a a a a a a C C C C C C C =======6012563a a a a a -+-+=223323662+2=100a a C C +=1236,,,,a a a a 4a 999x =11000x +=1256,,,a a a a 6(21)x +【答案】455 【分析】对数据进行多角度观察，进而找出每一行的数与数之间，行与行之间的规律，进而求得答案. 【详解】由题图可知，第1行：011C =，111C =，第2行：021C =，122C =，221C =，第3行：031C =，133C =，233C =，331C =，第4行：04C 1=，14C 4=，246C =，344C =，441C =，…，观察可得第n 行第r （11r n ≤≤+）个数为1r n C -，所以第15行第13个数为1215455C =．故答案为：455.14．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝_______，展开式中常数项为_______．答案－23 10解析在⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中，令x ＝1，得(a ＋1)·35＝81，解得a ＝－23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为1x ·C 45·2x ＝10. 15．若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n 除以9的余数是.【答案】0或7【解析】根据二项式定理可知，7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －1＝8n －1，又因为8n－1＝(9－1)n －1＝9n ＋C 1n 9n －1·(－1)＋C 2n 9n －2·(－1)2＋…＋C n －1n 9·(－1)n －1＋(－1)n －1，所以当n 为偶数时，除以9的余数为0，当n 为奇数时，除以9的余数为7.16.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －35的展开式中常数项是________．答案－1 683解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －35表示五个⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ,2x ，1x ，1x ，－3，则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ，1x ，－3，－3，－3，则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683. 17.设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ≥4，n ∈N *，已知a 23＝2a 2a 4. (1)则n 的值为________；(2)设(1＋3)n ＝a ＋b 3，其中a ，b ∈N *，则a 2－3b 2的值为________．(1)5 (2)－32(1)因为(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n，n ≥4，所以a 2＝C 2n ＝nn －12，a 3＝C 3n ＝n n －1n －26，a 4＝C 4n ＝nn －1n －2n －324.因为a 23＝2a 2a 4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －1n －262＝2×n n －12×n n －1n －2n －324，解得n ＝5. (2)由(1)知，n ＝5.(1＋3)n ＝(1＋3)5＝C 05＋C 153＋C 25(3)2＋C 35(3)3＋C 45(3)4＋C 55(3)5＝a ＋b 3.解法1：因为a ，b ∈N *，所以a ＝C 05＋3C 25＋9C 45＝76，b ＝C 15＋3C 35＋9C 55＝44，从而a 2－3b 2＝762－3×442＝－32.解法2：(1－3)5＝C 05＋C 15(－3)＋C 25(－3)2＋C 35(－3)3＋C 45(－3)4＋C 55(－3)5＝C 05－C 153＋C 25(3)2－C 35(3)3＋C 45(3)4－C 55(3)5.因为a ，b ∈N *，所以(1－3)5＝a －b 3.因此a 2－3b 2＝(a ＋b 3)(a －b 3)＝(1＋3)5×(1－3)5＝(－2)5＝－32.四.解答题18.在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和．(1)210(2)1 (3)92，92 (4)1＋5102，1－5102 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10， (*) 各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.19.已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x 项的系数．(1)8 (3)28,7 (3)358(1)因为前三项系数1，12C 1n ，14C 2n 成等差数列．所以2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0.所以n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项为T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x 4－34r ，r ＝0,1，…，8. 所以第三项的二项式系数为C 28＝28.第三项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7. (3)令4－34r ＝1，得r ＝4，所以含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.20．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋24x n 展开式中前三项的系数和为163，求： (1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解易求得展开式前三项的系数为1,2C 1n ，4C 2n .由题意得1＋2C 1n ＋4C 2n ＝163，可得n ＝9.(1)设展开式中的有理项为T r ＋1，由T r ＋1＝C r 9(x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24x r ＝2r C r 91834r x -，又∵0≤r ≤9，∴r ＝2,6. 故有理项为T 3＝22C 29·18324x -⨯＝144x 3， T 7＝26·C 69·18364x -⨯＝5 376.(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧2r C r 9≥2r ＋1C r ＋19，2r C r 9≥2r －1C r －19， ∴173≤r ≤203，又∵r ∈N ，∴r ＝6，故展开式中系数最大的项为T 7＝5 376.。

二项式定理归类(原卷版)

专题28二项式定理归类目录【题型一】二项式通项公式 (1)【题型二】积型求某项 (2)【题型三】展开式二项式系数和 (2)【题型四】展开式各项系数和 (3)【题型五】赋值法求部分项系数和 (4)【题型六】换元型赋值求系数与系数和 (5)【题型七】求系数最大项 (5)【题型八】杨辉三角形应用 (6)【题型九】三项展开式 (7)培优第一阶——基础过关练 (8)培优第二阶——能力提升练 (9)培优第三阶——培优拔尖练 (9)【题型一】二项式通项公式【典例分析】二项式5的展开式中常数项为（）1.将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（）A ．37A B ．6366A A C ．6367A A D ．7377A A 2.在72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数是（）A ．35B ．35-C ．560D ．560-3.．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为（）A ．160B ．160-C ．3160x D ．3160x -【题型二】积型求某项【典例分析】已知()511a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数为10，则实数a 的值为（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【变式训练】1.．()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-2.在()()2311x x +-展开式中，含4x 项的系数是（）A ．5-B ．5C ．1-D ．13.()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．2B ．6C ．8D ．12【题型三】展开式二项式系数和【典例分析】．()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）．A ．128B ．256C ．512D ．10241.已知2(n x 的展开式中，各二项式系数和为64，则x 7的系数为（）A ．15B ．20C ．60D ．802.已知()2*2nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（）A ．240-B ．240C ．160-D ．1603.已知二项式212mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x 3项的系数是（）A ．1B ．32C ．52D ．3【题型四】展开式各项系数和【典例分析】在3nx ⎛⎝的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（）A ．15B ．45C ．135D ．4051.．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（）.A ．240B ．241C ．242D ．2432.已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．813.已知5312a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为4，则该展开式中的常数项为（）A ．200B ．280C ．200-D ．280-【题型五】赋值法求部分项系数和【典例分析】若()6652460126x y a y a xy a x y a x +=+++⋅⋅⋅+，则()()220246135a a a a a a a +++-++的值为（）A ．0B ．32C ．64D ．1281.已知()727012752x a a x a x a x -=++++，则0127a a a a ++++=（）A ．128B ．2187C ．78125D ．8235432.()4234012341x a a x a x a x a x +=++++，则01234a a a a a -+-+=（）A ．1B ．3C ．0D ．3-3.已知()()4529012912x x a a x a x a x -+=++++，则2468a a a a +++=（）A ．40B ．8C ．16-D ．24-【题型六】换元型赋值求系数与系数和【典例分析】已知()()()()20232202301220232111x a a x a x a x -=+++++++，则0122023a a a a ++++=（）A ．40462B ．1C ．20232D ．01.已知10111012C C nn=，设()()()()201223111n nn x a a x a x a x -=+-+-++-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a ++++=，④展开式中所有项的二项式系数和为1.其中正确的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．32.已知36C C n n =，设()()()()201223111nnn x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．23.．已知(1)n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若()2012(1)1(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+++++⋯++，则1a 等于（）A ．192B ．448C ．192-D ．448-【题型七】求系数最大项【典例分析】已知22nx ⎫⎪⎭的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.A ．3B ．4C ．5D ．6【变式训练】1.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）A ．448-B ．1024-C ．1792-D ．5376-2.已知m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，且137a b =，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．73.已知()*(1),n mx n m +∈∈N R 的展开式只有第5项的二项式系数最大，设2012(1)n n n mx a a x a x a x +=++++，若18a =，则23n a a a +++=（）A ．63B ．64C ．247D ．255【题型八】杨辉三角形应用【典例分析】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165+++⋅⋅⋅+=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【变式训练】1.将三项式展开，得到下列等式：20(1)1a a ++=212(1)1a a a a ++=++22432(1)2321a a a a a a ++=++++2365432(1)367631a a a a a a a a ++=++++++⋯观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数(不足3个数时，缺少的数以0计)之和，第k 行共有21k +个数．则关于x 的多项式()2253(1)a ax x x +-++的展开式中，8x 项的系数（）A ．()2151a a +-B ．()2151a a ++C ．()21523a a ++D ．()21523a a +-2.当N n ∈时，将三项式()21nx x ++展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 的系数为75，则实数a 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n 行中从左至右第14与第15个数的比为2:3，则n 的值为___________.【题型九】三项展开式【典例分析】下列各式中，不是()422a a b +-的展开式中的项是（）A ．78a B ．426a b C ．332a b-D ．3224a b -1.411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-2.在()621x x +-的展开式中，含3x 项的系数为（）A ．30-B ．10-C ．30D ．503.()823x y z ++的展开式中，共有多少项？（）A ．45B ．36C ．28D ．21培优第一阶——基础过关练1．()()412x x --的展开式中，3x 项的系数为（）A ．2B ．14C ．48D ．2-2．6⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为（）A ．160-B ．64-C ．64D ．1603．已知1021001210(1)-=++++x a a x a x a x ,则()01210+++=a a a a （）A ．10-B ．10C ．1D ．1-4．在4(1)(12)()a x y a ++∈N 的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，若()()0,11,06f f +=，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．35．()61x a y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含14x y -项的系数为15-，则=a （）A ．1B ．1-C ．1±D ．2±6．511(12)x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A ．9-B ．10-C ．9D ．107．已知()na b +的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n =（）A ．11B ．10C ．12D ．138．若()()()()()42201223222nn x x x a a x a x a x -+=+-+-++-，则564a a a +=（）A ．15B ．25C ．35D ．45培优第二阶——能力提升练1．8x ⎛+ ⎝的展开式中，以下为有理项的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项2．在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．常数项为160B ．第3项二项式系数最大C ．所有项的二项式系数和为62D ．所有项的系数和为633．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=-D ．012320221a a a a a -+-++=4．下列说法中正确的有（）A ．2799C C =B ．233445C C C +=C ．123C C C C 2n nn n n n ++++=D ．()41x +展开式中二项式系数最大的项为第三项5．()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.6．已知()01311(1)22nn n x a a x a x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭，写出满足条件①②的一个n 的值__________.①*3,n n ≥∈N ；②3,0,1,2,,i a a i n ≥=.7．若()()542345321x a bx cx dx ex fx x -=+++++++，其中a ，b ，c ，d ，e ，f 为常数，那么b c d f +++=______.8．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为_________.培优第三阶——培优拔尖练1．已知集合{}2019,12,6,10,5,1,0,1,8,15H =---，记集合H 的非空子集为1M 、2M 、L 、1023M ，且记每个子集中各元素的乘积依次为1m 、2m 、L 、1023m ，则121023m m m +++的值为___________.2．设0i a i =（，1，2，…，2022）是常数，对于∀x ∈R ，都有()()()()()20220122022112122022x a a x a x x a x x x =+-+--++---（），则012345202120222!3!4!2020!2021!a a a a a a a a -+-+-+-+-=________.3．()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为______.4．对任意正整数i ，设函数()414034log 2i f x x i =-⋅的零点为i a ，数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，则使得n S 能被2n +整除的正整数n 的个数是________．5．如图，我们在第一行填写整数0到()1n n ≥，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在Pasoal 三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是______.012311352148n nn --L L L L6．已知,,y f d 为正整数，()(1)(1)(1)y f df x x x x =+++++.其中x 的系数为10，则2x 的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________.7．由“无穷等比数列各项的和”可知，当0||1x <<时，有21111n x x x x-+++++=-，若对于任意的10||2x <<，都有220122(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则11a =______.8．课本中，在形如()011nn n nn a b C a C a b -+=++…r n r r n C a b -+…n n n C b 的展开式中，我们把()0,1,2,rn C r n =…,）叫做二项式系数，类似地在()201221nn n n x x D D x D x ++=+++…212122n n n n n n D x D x --+的展开式中，我们把()0,1,2,rn D r n =…,2叫做三项式系数，则001122201520152015201520152015D C D C D C ⋅-⋅+⋅-…()201520151kk kD C +-+…2015201520152015D C -⋅的值为______.。

专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)

【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.

二项式定理高考常见题型及其解法

第二讲二项式定理高考常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】1、二项式定理：∑=-∈=+nk kkn k nnn b aCb a 0*)()(N2、二项展开式的通项： )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r +1项.3、二项式系数：).0(n r C r n ≤≤4、二项式系数的性质： ⑴ ).0(n k C C k n n k n ≤≤=-⑵ ).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n ⑶ 若n 是偶数，有n nn nn n nn C CC C C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数2nn C 最大.若n 是奇数，有n nn nn n n n nnC C C C C C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n n nn C C 和相等且最大.⑷ 各二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:021312n n n n n C C C C -++=++=【典型考题】一、求二项展开式：1．“（a +b ）n”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式.解：原式=4)13(xx +=24)13(xx +=])3()3()3()3([14434224314442CCCCC x x x x x ++++=)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xxx x小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的. 2． “（a -b ）n ”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式.分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nnnn n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质. 二、通项公式的应用：1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x xa -的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r rr rr rr r r x aC x x aC T令3923=-r ，即8=r ，依题意，得492)1(894889=⋅⋅---aC ，解得1-=a2．确定二项展开式的常数项例5．103)1(x x -展开式中的常数项是解：rr rr rr r xCxx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-= ，令0655=-r ，即6=r .所以常数项是210)1(6106=-C小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴ 3．求单一二项式指定幂的系数例6．（03全国）92)21(xx -展开式中x 9的系数是 .解：29191()()2rr rr T x xC -+=-=182911()()2rr r r x xC --=18391()2rr x x C --令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：339121()22C -=-，∴填212-三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，x 2的系数等于解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，x 3项的系数是 . 解：在展开式中，3x 的来源有：⑴第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008.四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项例9．求101的展开式的中间项；解：,)1()(310101r r r r xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为5555610(252x C =-.小结：当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n n baC ；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222nnnnb a C . 2、求有理项例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(r rr rrr r xxr T CC--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项.小结：⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.3、求系数最大或最小项 ⑴ 特殊的系数最大或最小问题例11．（2000上海）在二项式（x -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 . 解：rrr r xT C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为5511(1)462C-=- ⑵一般的系数最大或最小问题例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r CT ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即8!8!2(1)!.(9)!(2)!.(10)!8!8!2(1)!.(9)!!(8)!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪----⎪⎨⎪⨯≥⎪---⎩1212219k k k k ⎧≥⎪⎪--⇒⎨⎪≥⎪-⎩，解得43≤≤k ，故系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =. ⑶系数绝对值最大的项例13．在（x -y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是 .解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理，故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -.五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和（参考例题2）例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 . 解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+，令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+-故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多.例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a .分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值. 解：rrr r x T C)1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0六、利用二项式定理求近似值例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算.解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ，且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计.∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=-小结：由122(1)1...nn n n n n x x x x C C C +=++++，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值. 七、利用二项式定理证明整除问题例17．求证：5151-1能被7整除. 证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.49515151505051249251501515151-+++++C C C C C=49P +1251-（*∈N P ）又 1)2(1217351-=-=（7+1）171-=01216171716151717171717.7.7.7.....71C C C C C +++++- =7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除.小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数. 八、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例18 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得 131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……二项式定理中的五大热点二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一，本文总结出了近年高考中的五大热点题型，供参考. 一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项，x 3项的系数等)及有理项，无理项，或逆向问题，常是先写出其通项公式1r T +＝r n r r n C a b -，然后再据题意进行求解，有时需建立方程才能得以解决. 例1 9)12(xx -的展开式中，常数项为．(用数字作答)．解：由99921991(2)(1)2rrr r rr r r r T C x C x ----+⎛⎫=-=-∙∙∙ ⎝．令9－r －2r ＝0，得r ＝6．故常数项为63679(1)2672T C =-∙∙=．故填672．练习：1．10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为_______．[15]2．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4－(x －1)5的展开式中，x 2的系数是_______．[－20]3．9a x ⎛-⎝展开式中x 3的系数为94，常数a ＝______．[4] 二、系数配对型是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题，通常转化为乘法分配律问题来解决.例2 (x 2＋1)(x －2)7的展开式中x 3项的系数是______.解：由x 3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：因此，x 3项的系数是()4472C -＋()6672C -＝1008．练习：(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）．[179]三、系数和差型是指求二项展开式系数的和或差等问题，常可用赋值法加以解决. 例3 若2004220040122004...(12)x a a x a x a x -=++++(x ∈R )，则=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a (用数字作答)．解：取x ＝0，得a 0＝1；取x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004＝(1－2)2004＝1．故010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++ ＝2003a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004)＝2003＋1＝2004．评注：若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n．则有①a 0＝f (0)，②a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)；③a 0－a 1＋a 2－…＝f (－1)；④a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-；a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --．练习：若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为_________．[1]四、综合应用型应用意识是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等式、求组合数及求余数等问题.例4 9192除以100的余数是_______．解：9192＝(90＋1) 92＝0929290C ＋1919290C ＋…＋9029290C ＋919290C ＋9292C＝M ×102＋92×90＋1(M 为整数) ＝100M ＋82×100＋81． ∴ 9192除以100的余数是81．练习：⑴求0.9986近似值(精确到0.001)．[0.998]⑵设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C _________．[1(71)6n-]五、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例5 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．练习：若(1－2x )9展开式的第3项为288，则2111lim ()nx xxx→∞+++的值是_________．[2]。

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二项式定理高考题型归类及求解
二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一。

本文就近年来的高考试题中二项式定理题型进行归纳总结，并对解法进行探讨，供参考。

一、求二项式展开式中指定项
在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定
r的值，进而求出指定的项。

1. 求常数项
例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，其中，则展开式中常数项是（）
A. －45i
B. 45i
C. －45
D. 45
解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有
整理得
解得n=10
设常数项为
则有
得r=8
故常数项为，选D。

2. 求有理项
例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。

解：展开式的前三项的系数分别为
则由题意可得
即
解得n=8（n=1舍去）
于是
若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。

故展开式中所有的有理项为
3. 求幂指数为整数的项
例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）
A. 3项
B. 4项
C. 5项
D. 6项
解：
所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。

4. 求系数最大的项
例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。

解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8
又
设第r+1项的系数最大，则有
解得
又，所以r=2或r=3
所以二项式的展开式中系数最大的项是
二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项
有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。

例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。

解：
对于二项式的展开式中
要得到常数项需10－r=5，则r=5
所以常数项为
例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）
A. 74
B. 121
C. －74
D. －121
解：的展开式中，含的项为
，故选D。

三、求展开式中某一项的二项式系数或系数
此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。

例7 （2006年北京卷）在的展开式中，的系数是_________。

（用数
字作答）
解：
令，得r=1
所以的系数为。

四、求展开式中的系数和
在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时，通常可以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。

例8 （2004年天津卷）若，则=______________（用数字作答）。

解：取x=0，得
取x=1，得
故
=2003+1=2004
五、近似计算、证明整除及求余数问题
近似计算要首先注意精确度，然后选取展开式中前几项进行计算。

用二项式定理证明整除及求余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开，常采用“配凑法”，“消去法”，结合整除的有关知识来解决。

例9 （2002年全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（）
A. 115000亿元
B. 120000亿元
C. 127000亿元
D. 135000亿元
解：设到“十·五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得
A=
故选C
例10 （1992年三南高考题）除以100的余数是___________。

解：＋92
×90＋1（M为整数）=100M＋82×100＋81。

所以除以100的余数是81。

六、考查与其它知识交汇型问题
在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势。

二项定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题。

例11 （2006年安徽卷）设常数a>0，展开式中的系数为，则=___________________。

解：
由，得r=2
又
所以。