二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；题型二：求二项展开式的特定项1． 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；2． 求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；3． 求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；4． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。
二项式定理11种题型解题技巧
二项式定理知识点及11种答题技巧【知识点及公式】1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
高考数学二项式定理习题精选精讲
例说二项式定理的常有题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型众多，解法灵巧且比较难掌握。
二项式定理既是摆列组合的直策应用，又与概率理论中的三大体率散布之一的二项散布有着亲密联系。
二项式定理在每年的高考取基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，有时也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常有的二项式定理题目种类一一剖析以下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项睁开式1．“ (ab) n ”型的睁开式例 1．求 (3 x1) 4 的睁开式；x解：原式 = (3x1) 4 = (3x 2 1)4= 1[ xx(3 )41(3 ) 32(3 )2 3(3 x ) 4]x 2C4xC 4xC4x C 4C4=1 (81x 4 84x 3 54 x2 12 x1)x 2121=81x 2 84x 54x x 2小结：这种题目一般为简单题目，高考一般不会考到，可是题目解决过程中的这种“先化简在睁开”的思想在高考题目中会有表现的。
2． “ ( a b) n ”型的睁开式例 2．求 (3 x1 ) 4 的睁开式；x剖析：解决本题， 只要要把 (3 x1 )4改写成 [3 x (1 )] 4 的形式而后依据二项睁开式的格式展xx开即可。
本题主要观察了学生的“问题转变”能力。
3．二项式睁开式的“逆用”1231) n 3n n例 3．计算 1 3C n9Cn27C n....( cn ；1233解：原式 =C nC n ( 3)1C n ( 3)2C n ( 3)3 .... C n ( 3) n (1 3) n( 2)n小结：公式的变形应用，正逆应用，有益于深刻理解数学公式，掌握公式实质。
二、通项公式的应用1．确立二项式中的有关元素例 4．已知 (ax)9 的睁开式中 x 3的系数为9，常数 a 的值为x2r43 rC 9r( a)9 r( x )rC 9r( 1) r9解： T r 12 2 a9 rx2x2令 3r9 3 ，即 r 82依题意，得C 98 ( 1) 8 2 4 a 989 ，解得 a 12．确立二项睁开式的常数项 4例 5．(x1 )10 睁开式中的常数项是3 xC 10r ( x)10 r (1 ) r ( 1) r C 10r 5 5 r解： T r 1x 63 x令 5 5 r0 ，即 r 6 。
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
二项式定理高考题型归类及求解
二项式定理高考题型归类及求解二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一。
本文就近年来的高考试题中二项式定理题型进行归纳总结，并对解法进行探讨，供参考。
一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。
解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。
高考数学 专题51 二项式定理常见的解题策略黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题51 二项式定理常见的解题策略【高考地位】二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数解题模板：第一步首先求出二项展开式的通项；第二步根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；第三步得出结论.例1.展开式中第3项的二项式系数为（）A．6 B．-6 C．24 D．-24【答案】A【变式演练1】二项式展开式中，项的系数为．【答案】【解析】试题分析：，所以由得系数为考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.【变式演练2】的展开式中项的系数为20，则实数．【答案】【解析】试题分析：二项式展开式的通项为，令，解得，故展开式中项的系数为，解得.考点：二项式定理．【变式演练3】求的展开式中的系数.【答案】．考点：二项式定理．类型二二项式系数的性质与各项系数和使用情景：二项式系数的性质与各项系数和解题模板：第一步观察题意特征，合理地使用赋值法；第二步区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；第三步得出结论.例2【2018某某某某模拟】若的展开式中的二项式系数和为，的系数为，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选【变式演练4】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．【答案】14.考点：1、二项式定理的应用.类型三二项式定理的应用使用情景：使用二项式定理处理整除问题解题模板：第一步通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；第二步再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的X围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；第三步得出结论.例3 .设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1 C．11 D．12【答案】D.【解析】点评：在使用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的X围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．【变式演练5】S＝C＋C＋…＋C除以9的余数为________．【答案】7.【解析】考点：二项式定理．【高考再现】1. 【2017课标1，理6】展开式中的系数为A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.2．【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为A．B．C．40 D．80【答案】C3.【2017某某，13】已知多项式32=，则=________，=________．【答案】16，4【解析】试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得【考点】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．4.【2017某某，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则.【答案】【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得．【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.5.【2016年高考某某理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A6.【2016年高考理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的X围分析. 7. 【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理8 【2016高考某某理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理9. 【2016高考某某理数】若（a x2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.10.【2015高考某某，理12】在的展开式中，的系数为.【答案】【反馈练习】1．【2018某某桂梧高中联考】的展开式的第4项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.2.【2018某某某某长安区联考】若，则的展开式中常数项为A. 8B. 16C. 24D. 60【答案】C【解析】∵∴的通项公式为令，即∴二项式展开式中常数项是，故选C3.【2018东北名校联考】若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．4．【2018某某两校联考】的展开式中的系数是（）A. 56B. 84C. 112D. 168【答案】D【解析】根据和的展开式的通项公式可得，的系数为,故选D.5．【2018某某某某摸底联考】的展开式中项的系数为（）A. 80B.C.D. 48【答案】B【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B.6．【2018某某某某一中摸底】二项式展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B7．【2018某某某某摸底联考】的展开式中，的系数为（）A. 60B.C. 240D.【答案】C【解析】，选C.8．【某某省某某市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】展开式中除常数项外的其余项的系数之和为.【答案】考点：二项式定理.9．【2018某某某某八中摸底】在的展开式中，含的项的系数是（）A. 60B. 160C. 180D. 240【答案】D【解析】二项式的通项公式为，令，所以含的项的系数是，故选D10．【2018某某名校五校联考】的展开式中常数项为( )A. B. C. D. 25【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.11．【2018某某某某一中二模】在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B12．【2018某某德阳三校联考】已知,则___________.【答案】【解析】含的项的系数为，故填.13. 【2018某某四校联考】在的二项展开式中，的项的系数是_______.（用数字作答）【答案】70【解析】根据二项式定理, 的通项为，当时,即r=4时,可得.即项的系数为70.14.【2018某某某某一模】在的展开式中，常数项是__________．【答案】【解析】第一个括号取，第二个括号为∴常数项是故答案为：15.【2018某某某某六校联考】若，且，则的值为__________．【答案】116.【2018某某山大附中四调】，则__________．【答案】28【解析】令，则，设的展开式含有项，，令，，所以.17.【2018某某凌源三校联考】在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，。
二项式定理的常见题型解析
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划 要 求 ：新 桥 ＢＣ 与 河 岸 ＡＢ 垂 直 ；保 护 区 的 边 界 为 圆 心 Ｍ 在线段 ０Ａ上并与 ＢＣ相切 的圆．且古桥 两端 ０和 Ａ到该 圆 上任 意一点 的距 离均不少于 ８０ ｍ．经测量 ，点Ａ位 于点 Ｏ正 北 方向 ６０ ｉｎ处 ，点 ｃ位于点 ０正东方 向 １７０ ｍ处（ＯＣ为河
一 、 求 特 定 项 特定项 是指含指定幂的项 、常 数项 、中间项 、有 理项 、系 数最 大的项等 ，这类 题 常利用 二项式 展开 式 的通项 公式 来 求解 ．
例１ （１）若（√ 展开式中前三项系数成等差
数列 ，求展 开式 中所有 的有理项． 思路导析 通过第一 、二 、三项系数成等差数列可求 出
Ｃｌ ￣ｏ
，
相加得
２Ｓ＝１０·２ 即
Ｓ＝５·２ ，所以
Ｅ ａｎｂ２ ＝
∑ｎＣｉ＇ｏ＋∑ｃ ＝５·２ ＋２ 一１＝６ １４３．
四 、整 除 问题 利 用二项式展开式来 解决整 除 问题很 方便 ，关键是 如 何 拆 分 成 二 项 的 和 ．
（下转 １２１页 ）
酸学 学 习 与 研 究 ２０１８．３
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解 题 技 巧 与 方 法
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孽●、 或 定理的常驰题 解橱
◎杨 丙华 （江苏省如 东县丰利 中学 ，江苏 南通 ２２６４０８）
二项式定 理在高 考 中经常 考查 ，其 内容是初 中所学 多 项式乘法 的继 续 ，它所 研究 的是 一种 特殊 的 多项 式—— 二 项式乘方 的展 开式 ，是培 养观察 、归 纳 能力 的好题 材．在 高 中数学 中二 项式 定 理 主要有 以下 几种 题 型 ：求 特 定项 、系 数 、求 值等问题 ；证 明整 除 问题 ；证 明等式 和不 等式 成立 问 题 ．下面就这几种题 型加 以阐述 ．
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题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1(....27931321-++-+-； 解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项1． 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(x x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r rr r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(-- 令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ； 解：36323)1(])1([)21(x x x x x x -=-=-+上述式子展开后常数项只有一项33336)1(xx C -，即20-本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101r rrr xx T C -=-+Θ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C -即：65252x -。
当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n nbaC；当n 为偶数时，n b a )(+的展开式的中间项是222n n n nb a C。
3． 求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(rr rr r rr xxr T C C--+-=-=Θ∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。
故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。
4． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：rr rr x T C)1(11111-=-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C （2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kk k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴KK K K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。
（3） 系数绝对值最大的项例11．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“nb a )(-”型转化为")("nb a +型来处理， 故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -。
题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；解： Θ443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；解：Θ2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 令1=x ，有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ，有1)01(02004==-a故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。
解：rr rr x T C )1()2(661-=-+Θ ∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =0题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。
解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T Θ，且第3项以后的绝对值都小于001.0， ∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=- 小结：由nnn n n nx x x x C C C ++++=+...1)1(221，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n-++≈+。
利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。
所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五：利用二项式定理证明整除问题求证：15151-能被7整除。
证明：15151-Θ =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051-+++++C C C C C=49P+1251-（*∈N P ） 又Θ1)2(1217351-=-=（7+1）171-=17.....7.7.7.17171617152171611717017-+++++C C C C C =7Q （Q *∈N ） )(77715151Q P Q P +=+=-∴ 15151-∴能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。