二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；题型二：求二项展开式的特定项1． 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；2． 求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；3． 求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；4． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。
二项式定理11种题型解题技巧
二项式定理知识点及11种答题技巧【知识点及公式】1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
二项式定理十种题型及解法
二项式定理十种题型及解法1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n .③项数：共(1)r 项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r 项rn rr n C a b 叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r n T C a b 表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n 项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b 与()nb a 是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N 令1,,a b x 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C ，···1k k n n C C ②二项式系数和：令1a b ,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ，变形式1221r nn n n n n C C C C 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()nr rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()nr r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理的常考题型
二项式定理的常考题型
二项式定理是代数中常见且重要的定理之一，它可以用来展开二项式的幂。
在数学考试中，常常会出现与二项式定理相关的题目。
下面介绍几种常见的与二项式定理相关的考题类型。
1. 二项式系数的求解：考生需要根据给定的条件，求解二项式展开
式中某一项的系数。
这类题目通常需要考生运用组合数的性质，结合二项式定理进行计算。
2. 二项式展开的特定项：考生需要根据给定的条件，求解二项式展
开式中某一特定项的值。
这类题目通常需要考生根据二项式定理按照对应的系数进行计算，并注意运用组合数的性质。
3. 二项式定理与多项式的展开：考生需要将一个多项式展开成二项
式的形式。
这类题目通常需要考生运用二项式定理的逆定理，即将一个多项式写成二项式的形式。
4. 二项式定理与数列的关系：考生需要根据给定的数列，利用二项
式定理推导数列的通项公式或者递推关系。
这类题目通常需要考生观察数列的特点，利用二项式定理进行变形推导。
除了上述常见考题类型，二项式定理还可以与其他数学概念进行结合，
如排列组合、数学归纳法等。
因此，在学习二项式定理时，需要注意将其与其他数学概念进行联系，深化对二项式定理的理解，并灵活运用于解决各类数学问题。
高考数学 专题51 二项式定理常见的解题策略黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题51 二项式定理常见的解题策略【高考地位】二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数解题模板：第一步首先求出二项展开式的通项；第二步根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；第三步得出结论.例1.展开式中第3项的二项式系数为（）A．6 B．-6 C．24 D．-24【答案】A【变式演练1】二项式展开式中，项的系数为．【答案】【解析】试题分析：，所以由得系数为考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.【变式演练2】的展开式中项的系数为20，则实数．【答案】【解析】试题分析：二项式展开式的通项为，令，解得，故展开式中项的系数为，解得.考点：二项式定理．【变式演练3】求的展开式中的系数.【答案】．考点：二项式定理．类型二二项式系数的性质与各项系数和使用情景：二项式系数的性质与各项系数和解题模板：第一步观察题意特征，合理地使用赋值法；第二步区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；第三步得出结论.例2【2018某某某某模拟】若的展开式中的二项式系数和为，的系数为，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选【变式演练4】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．【答案】14.考点：1、二项式定理的应用.类型三二项式定理的应用使用情景：使用二项式定理处理整除问题解题模板：第一步通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；第二步再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的X围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；第三步得出结论.例3 .设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1 C．11 D．12【答案】D.【解析】点评：在使用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的X围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．【变式演练5】S＝C＋C＋…＋C除以9的余数为________．【答案】7.【解析】考点：二项式定理．【高考再现】1. 【2017课标1，理6】展开式中的系数为A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.2．【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为A．B．C．40 D．80【答案】C3.【2017某某，13】已知多项式32=，则=________，=________．【答案】16，4【解析】试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得【考点】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．4.【2017某某，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则.【答案】【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得．【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.5.【2016年高考某某理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A6.【2016年高考理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的X围分析. 7. 【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理8 【2016高考某某理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理9. 【2016高考某某理数】若（a x2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.10.【2015高考某某，理12】在的展开式中，的系数为.【答案】【反馈练习】1．【2018某某桂梧高中联考】的展开式的第4项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.2.【2018某某某某长安区联考】若，则的展开式中常数项为A. 8B. 16C. 24D. 60【答案】C【解析】∵∴的通项公式为令，即∴二项式展开式中常数项是，故选C3.【2018东北名校联考】若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．4．【2018某某两校联考】的展开式中的系数是（）A. 56B. 84C. 112D. 168【答案】D【解析】根据和的展开式的通项公式可得，的系数为,故选D.5．【2018某某某某摸底联考】的展开式中项的系数为（）A. 80B.C.D. 48【答案】B【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B.6．【2018某某某某一中摸底】二项式展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B7．【2018某某某某摸底联考】的展开式中，的系数为（）A. 60B.C. 240D.【答案】C【解析】，选C.8．【某某省某某市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】展开式中除常数项外的其余项的系数之和为.【答案】考点：二项式定理.9．【2018某某某某八中摸底】在的展开式中，含的项的系数是（）A. 60B. 160C. 180D. 240【答案】D【解析】二项式的通项公式为，令，所以含的项的系数是，故选D10．【2018某某名校五校联考】的展开式中常数项为( )A. B. C. D. 25【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.11．【2018某某某某一中二模】在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B12．【2018某某德阳三校联考】已知,则___________.【答案】【解析】含的项的系数为，故填.13. 【2018某某四校联考】在的二项展开式中，的项的系数是_______.（用数字作答）【答案】70【解析】根据二项式定理, 的通项为，当时,即r=4时,可得.即项的系数为70.14.【2018某某某某一模】在的展开式中，常数项是__________．【答案】【解析】第一个括号取，第二个括号为∴常数项是故答案为：15.【2018某某某某六校联考】若，且，则的值为__________．【答案】116.【2018某某山大附中四调】，则__________．【答案】28【解析】令，则，设的展开式含有项，，令，，所以.17.【2018某某凌源三校联考】在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，。
二项式定理的常见题型解析
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划 要 求 ：新 桥 ＢＣ 与 河 岸 ＡＢ 垂 直 ；保 护 区 的 边 界 为 圆 心 Ｍ 在线段 ０Ａ上并与 ＢＣ相切 的圆．且古桥 两端 ０和 Ａ到该 圆 上任 意一点 的距 离均不少于 ８０ ｍ．经测量 ，点Ａ位 于点 Ｏ正 北 方向 ６０ ｉｎ处 ，点 ｃ位于点 ０正东方 向 １７０ ｍ处（ＯＣ为河
一 、 求 特 定 项 特定项 是指含指定幂的项 、常 数项 、中间项 、有 理项 、系 数最 大的项等 ，这类 题 常利用 二项式 展开 式 的通项 公式 来 求解 ．
例１ （１）若（√ 展开式中前三项系数成等差
数列 ，求展 开式 中所有 的有理项． 思路导析 通过第一 、二 、三项系数成等差数列可求 出
Ｃｌ ￣ｏ
，
相加得
２Ｓ＝１０·２ 即
Ｓ＝５·２ ，所以
Ｅ ａｎｂ２ ＝
∑ｎＣｉ＇ｏ＋∑ｃ ＝５·２ ＋２ 一１＝６ １４３．
四 、整 除 问题 利 用二项式展开式来 解决整 除 问题很 方便 ，关键是 如 何 拆 分 成 二 项 的 和 ．
（下转 １２１页 ）
酸学 学 习 与 研 究 ２０１８．３
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解 题 技 巧 与 方 法
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孽●、 或 定理的常驰题 解橱
◎杨 丙华 （江苏省如 东县丰利 中学 ，江苏 南通 ２２６４０８）
二项式定 理在高 考 中经常 考查 ，其 内容是初 中所学 多 项式乘法 的继 续 ，它所 研究 的是 一种 特殊 的 多项 式—— 二 项式乘方 的展 开式 ，是培 养观察 、归 纳 能力 的好题 材．在 高 中数学 中二 项式 定 理 主要有 以下 几种 题 型 ：求 特 定项 、系 数 、求 值等问题 ；证 明整 除 问题 ；证 明等式 和不 等式 成立 问 题 ．下面就这几种题 型加 以阐述 ．
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二项式定理的高考常见题型及解题对策浙江省温州22中学 高洪武 325000二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。
所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1( (279313)21-++-+-； 解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）92)21(x x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r r r r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r rx C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C 3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ； 解：36323)1(])1([)21(xx x x x x -=-=-+ 上述式子展开后常数项只有一项33336)1(x x C -，即20-本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101r rrr xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C -即：65252x -。
当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n nbaC和212121+-+n n n nbaC；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222n n nnb a C。
3． 求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(r rrrrrr xxr T C C--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。
故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。
4． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：rr rr x T C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C（2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kk k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴KK K K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。
（3） 系数绝对值最大的项例11．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“nb a )(-”型转化为")("nb a +型来处理， 故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -。
题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ； 解： 2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，令1=x ，有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ，有1)01(02004==-a故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。
解：r rrr x T C )1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =0题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。
解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ， 且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=- 小结：由nnn n n nx x x x C C C ++++=+...1)1(221，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n-++≈+。
利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。
所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。
证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051-+++++C C C C C=49P+1251-（*∈N P ） 又 1)2(1217351-=-=（7+1）171- =17.....7.7.7.17171617152171611717017-+++++C C C C C=7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。
二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。