相交线与平行线典型例题及拔高训练

第五章相交线和平行线典型例题及强化训练课标要求①了解对顶角，知道对项角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

典型例题1.判定与性质例1判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线。

()2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

()3)两直线平行，同旁内角相等。

()4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

()答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。

例2已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。

分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。

如图证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。

变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°－（∠B+∠D）。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。

我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。

因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。

又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。

∴∠BED==360°－（∠B+∠D）（等式的性质）。

变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D－∠B。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。

模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。

∵∠BED=∠FED－∠FEB，∴∠BED=∠D－∠B（等量代换）。

变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B－∠D。

分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D－（∠1+∠B）=180°－180°（等式的性质）。

∴∠2=∠B－∠D（等式的性质）。

即∠BED=∠B－∠D。

例3已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。

求证：∠BFE=∠FEC。

证法一：过F点作FG∥AB，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。

过E点作EH∥CD，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。

∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又∵EH∥CD（已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠BFE=∠FEC。

证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。

∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。

证法三：（如图12）连结BC。

∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠ABC－∠ABF=∠BCD－∠DCE（等式的性质）。

即∠FBC=∠BCE。

∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

强化训练一.填空1.完成下列推理过程①∵∠3=∠4（已知），__∥___（）②∵∠5=∠DAB（已知），∴____∥______（）③∵∠CDA+=180°（已知），∴AD∥BC（）2.如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°，∠ABC＝50°则∠A度，∠BDC＝度。

3.如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD,则∠AEB＋∠CED=。

4、将点P(－3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，－1)，则xy=___________。

5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC，且∠AOC=68°，则∠BOE=二、选择题1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）A南偏西50度方向；B南偏西40度方向；C北偏东50度方向；D北偏东40度方向2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD,则图中与∠1相等的角共有()个A6个个个个A BCDE FGH1A BED C543CD AC ABED 3、同一平面内的四条直线若满足a ⊥b ,b ⊥c ,c ⊥d ,则下列式子成立的是（） A 、a ∥d B 、b ⊥d C 、a ⊥d D 、b ∥c4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是() °°°°5.已知：AB ∥CD ，且∠ABC =20°，∠CFE =30°, 则∠BCF 的度数是()6判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是（） （A ）∠1＝∠3（B ）∠2＝∠3 （C ）∠4＝∠5（D ）∠2＋∠4＝180° 7.如图，直线c 与直线a 、b 相交，且a 21∠=∠31∠=∠23∠=∠ 18.下列命题正确的是（ ）A 、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B 、两线与第三线相交，内错角相等；C 、两直线平行，内错角相等；D 、两直线平行，同旁内角相等。

9.如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有……（） 个个个个10.如图，已知直线AB ∥CD ，当点E 直线AB 与CD 之间时，有∠BED＝∠ABE ＋∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是（ ）A 、∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE ;B 、∠BED ＝∠ABE －∠CDEC 、∠BED ＝∠CDE －∠ABE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE ; D 、∠BED ＝∠CDE －∠ABE三、解下列各题：1.如图，已知OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。

2、已知AD ∥BC ，∠A =∠C ，求证：AB ∥CD 。

3.如图,AB ∥CD ,求∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD 的度数.4.已知,如图AC ⊥BC ,HF ⊥AB ,CD ⊥AB ,∠EDC 与∠CHF 互补,求证：DE ⊥AC .5.如图，已知AB ∥ED ，∠ABC =135°,∠BCD =80°，求∠CDE 的度数。

6.已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，AE =AF .求证：AD 平分∠BAC 。

四、如图A 、B 是两块麦地，P 是一个水库，A水引到A 、B 方案，并说明理由。

参考答案2. 1略；121°，84°；°；4.－10；5。

56° 二.三.1.解：∵OA ⊥OC ，OB ⊥OD ∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3=26° ∴∠2=64°2证明：∵AD ∥BC ， ∴∠A +∠B =180° ∵∠A =∠C ， ∴∠C +∠B =180° ∴AB ∥CD . 2. 解：连结AC . ∵AB ∥DC∴∠CAB +∠ACD =180°∵∠CAE +∠ACF +∠E +∠F =360° ∴∠CAB +∠ACD =180°∴∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD =540°D G DE C4.证明：∵HF⊥AB，AB⊥CD ∴CD∥HF，∴∠CHF+∠HCD=180°∵∠EDC与∠CHF互补,∴∠EDC=∠HCD，∴ED∥CB∴∠AED=∠ACB∵∠ACB=90°∴∠AED=90°∴DE⊥AC.5.解：延长BC交DE于F.由∠ABC=135°易得∠BFD=45°,又∠BCD=80°，得∠CDE=35°6.证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G ∴AD∥EG，∴∠2=∠3,∠1=∠E,∵AE=AF∴∠E=∠3，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAC。

四.略FB。