1.4《空间图形的基本关系与公理》教案
空间图形的基本关系与公理一. 教学内容：空间图形的基本关系与公理二. 学习目标：1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。
三、知识要点（一）空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与直线的位置关系有两种：①点P在直线上：；②点P在直线外：；II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：①点P在平面上：②点P在平面外：；III、空间直线与直线的位置关系：IV、空间直线与平面的位置关系：V、空间平面与平面的位置关系：①平行；②相交说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。
（二）异面直线的判定1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。
（三）平面的基本性质公理1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。
2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。
3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线4、平面的基本性质公理的三个推论①经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面；③经过两条平行直线，有且只有一个平面思考：①公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？②平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？（四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。
（五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。
【典型例题】考点一空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。
例1.下列命题：①空间不同的三点可以确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必定重合；③空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。
其中正确的命题是。
解：⑥。
例2.空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。
解：0个、1个、2个或3个。
分别如图（图中所画平面为辅助平面）：考点二异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。
例3.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
考点三“有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。
例4.求证：过两条平行直线有且只有一个平面。
已知：直线a∥b。
求证：过a，b有且只有一个平面。
证明： 存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。
唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面。
在直线上任取两点A、B，在直线b 上任取一点C，则A、B、C三点不共线。
由于这两个平面都过直线a，b，因此由公理1可知：都过点A、B、C。
由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾。
矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。
综上所述：过a，b有且只有一个平面。
考点四共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。
例5.三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。
已知：平面，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。
证明：因为，故a，b共面I、若a∥b：由于，故，因直线，故a，c无公共点。
又a，c都在平面内，故a∥b；故a∥b∥c。
II、若，则，故知综上所述：命题成立。
说明：证明三点共线的问题的常用思路是先证两条直线相交，然后再证该交点在第三条直线上；证明交点在第三条直线上常证明该点是两个相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上即在第三条直线上。
考点五共线的判断与证明：常见题型是三点共线。
例6.如图，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、M、A三点共线。
证明：连结AC.因为A1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。
同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A 且A∈AA1C1C。
所以，O1、M、A三点在平面B1D1A和AA1C1C的交线上，故O1、M、A 三点共线。
说明：证明三线共点问题的常见思路是证明第三点在前两点所确定的直线上；或者证明三点是两相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上。
考点六共面问题的判断与证明：此类题型常见的是四点共面或三线共面，如证明某个图形是平面图形。
例7.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。
求证：①E、F、G、H四点共面；②直线FH、EG、AC共点。
证明：①如图，连结HG，EF。
在△ABD中，E、F分别为AB、AD中点，故EF是△ABD的中位线，故EF∥BD。
在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF ∥GH，从而GH、EF可确定一个平面，即G、H、E、F四点共面②由于E、F、G、H四点共面，且FH与EG不平行，故相交，记交点为M，则M∈FH，FH面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。
从而M是面ACD和面ABC的公共点，由公理3可知，M在这两个平面的交线AC上，从而FH、EG、AC三线共点。
说明：共面问题的常用的处理方法是利用平面的基本性质公理2及三个推论，先证明部分元素确定一个平面，再证剩下的元素也在此平面上；有时也可先证部分元素共面，剩下的元素共面，然后证明这两个平面重合（此时也可用反证法）。
［本讲涉及的主要数学思想方法］1、数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工具，必须能将这三种语言即文字语言、符号语言和图形语言进行准确的互译和表达，这在空间关系的证明与判断中显得十分重要；2、空间观念和空间想象能力：高考中立体几何题的题型功能最重要的一点就是考查考生的空间观念和空间想象能力，因为我们是通过平面图形（直观图）去研究空间关系，所以同学们在学习过程中一定要多观察、多思考，动手做一些空间模型或通过电脑动画模拟一些空间图形，培养空间概念，提高空间想象能力。
【模拟试题】一、选择题1、在空间内，可以确定一个平面的条件是（）A. 两两相交的三条直线B. 三条直线，其中的一条与另两条分别相交C. 三个点D. 三条直线，它们两两相交，但不交于同一点2、（2008辽宁卷）在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A. 不存在B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有无数条*3、已知平面外一点P和平面内不共线的三点A、B、C。
A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分别在PA、PB、PC上，若延长A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（）A. 成钝角三角形B. 成锐角三角形C. 成直角三角形D. 在一条直线上4、空间中有三条线段AB、BC、CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面或相交均有可能5、下列叙述中正确的是（）A. 因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α。
B. 因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。
C. 因为，C∈AB，D∈AB，因此CD∈α。
D. 因为，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。
6、已知异面直线a，b分别在平面α，β内且α∩β＝c，那么c（）A. 至少与a，b中的一条相交；B. 至多与a，b中的一条相交；C. 至少与a，b中的一条平行；D. 与a，b中的一条平行，与另一条相交7、已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是（）二、填空题8、在空间四边形ABCD中，M、N分别是BC、AD的中点，则2MN与AB+CD的大小关系是。
9、对于空间中的三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。
其中，能推出三条直线共面的有。
三、解答题10、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点。
①求证：CE、D1F、DA三线共点；②求证：E、C、D1、F四点共面；11、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若Q是A1C与平面ABC1D1的交点，求证：B、Q、D1三点共线。
12、如图，已知α∩β＝a，bα，cβ，b∩a＝A，c//a.求证：b与c是异面直线。
*13、（2005高考题改编）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、C1B1的中点，试作出正方体过P、Q、R三点的截面。
高考数学总复习 第八章 立体几何初步 第3节 空间图形的基本关系与公理教案 文(含解析)
第3节空间图形的基本关系与公理最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识梳理1. 空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l独有关系图形语言符号语言a ，b 是异面直线a α3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角.(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.[微点提醒]1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.( )解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a 不平行于平面α，且a α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修2P28A4改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( ) A.30° B.45° C.60°D.90°解析 连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角.又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.答案 C3.(必修2P26例1改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.答案 B4.(2019·萍乡调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行解析依题意，m∩α＝A，nα，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案 D5.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1) 图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.答案 A6.(2018·西安调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.解析在EF上任意取一点M，如图，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有无数条. 答案 无数考点一 空间图形的公理及应用【例1】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点.求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点.证明 (1)如图，连接CD 1，EF ，A 1B ， 因为E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形. 所以A 1B ∥CD 1， 所以EF ∥CD 1，所以EF 与CD 1确定一个平面α.所以E ，F ，C ，D 1∈α，即E ，C ，D 1，F 四点共面. (2)由(1)知，EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形， 所以CE 与D 1F 必相交.设交点为P ， 则P ∈CE 平面ABCD ， 且P ∈D 1F 平面A 1ADD 1，所以P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又因为平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， 所以P ∈AD ，所以CE ，D 1F ，DA 三线共点.规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【训练1】 如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2. (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线. 证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面. (2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点. 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线. 考点二 判断空间直线的位置关系【例2】 (1)(一题多解)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线AD 折起得到空间四面体ABCD ，如图(2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( ) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直D.异面但不垂直解析 (1)法一 由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交.若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾.故l 至少与l 1，l 2中的一条相交.法二 如图(1)，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图(2)，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确.(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.答案(1)D (2)C规律方法 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】(1)(2019·湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )A.①③B.②③C.②④D.②③④(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能解析(1)由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N 三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH 与MN异面.故选C.(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.答案(1)C (2)D考点三异面直线所成的角多维探究角度1 求异面直线所成的角或其三角函数值【例3－1】(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.22B.32C.52D.72解析 如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan∠EAB ＝BEAB ＝52. 答案 C角度2 由异面直线所成角求其他量【例3－2】 在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________. 解析 如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF . 因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 答案 12或32规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤： (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.【训练3】 (2019·合肥模拟)三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.13B.24C.33D.23解析 连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ， ∵M 是AD 的中点， ∴MO ∥AN ，∴∠BMO (或其补角)是异面直线BM 与AN 所成的角. 设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2， 则AN ＝BM ＝DN ＝22－12＝3，则MO ＝12AN ＝32＝NO ＝12DN ，则BO ＝BN 2＋NO 2＝1＋34＝72. 在△BMO 中，由余弦定理得cos∠BMO ＝BM 2＋MO 2－BO 22·BM ·MO＝3＋34－742×3×32＝23， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23.答案 D [思维升华]1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想. [易错防范]1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( ) A.①B.①④C.②③D.③④解析 显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错. 命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确. 答案 B2.已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线解析 由已知得直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 为异面直线相矛盾.答案 C3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A.12对 B.24对 C.36对D.48对解析 如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1；CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对).答案 B4.下列命题中正确的个数为( )①若△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P ，Q ，R ，则P ，Q ，R 三点共线.②若三条直线a ，b ，c 互相平行且分别交直线l 于A ，B ，C 三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面. A.0B.1C.2D.3解析 在①中，因为P ，Q ，R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P ，Q ，R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A ，B 两点在该平面上，所以l α，即a ，b ，l 三线共面于α；同理a ，c ，l 三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a ，l ，所以α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错. 答案 C5.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15B.25C.35D.45解析 连接BC 1， 易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2， 则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 在△A 1BC 1中，由余弦定理得 cos∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.答案 D 二、填空题6.给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面. 其中真命题的序号是________.解析 ①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点.②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交.③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内. 答案 ①②③7.(2019·宝鸡模拟)如图，四边形ABCD 和四边形ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________.解析 如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 所以∠APG ＝π3.答案π38.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________(填序号).解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误.答案③④三、解答题9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求直线A1C1与EF所成角的大小.解(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即直线A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即直线A1C1与EF所成的角为90°.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1，H，O三点共线.证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形.又H∈B1D，B1D平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1.故D 1，H ，O 三点共线.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·长春质检)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定解析 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直.因此l 1与l 4的位置关系不能确定.答案 D12.(2019·珠海模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，P 为边AB 的中点，现将△DAP 绕直线DP 翻转至△DA ′P 处，若M 为线段A ′C 的中点，则异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为( )A.12B.2C.14D.4解析 取A ′D 的中点N ，连接PN ，MN .∵M 是A ′C 的中点，∴MN ∥CD ，且MN ＝12CD ， ∵四边形ABCD 是矩形，P 是AB 的中点，∴PB ∥CD ，且PB ＝12CD ， ∴MN ∥PB ，且MN ＝PB ，∴四边形PBMN 为平行四边形，∴MB ∥PN ，∴∠A ′PN (或其补角)是异面直线BM 与PA ′所成的角.在Rt△A ′PN 中，tan∠A ′PN ＝A ′N A ′P ＝12， ∴异面直线BM 与PA ′所成角的正切值为12. 答案 A13.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号).①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值；④B 1E ⊥BC 1.解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误. 答案 ①②③14.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE 2＋EM 2＝MD 2，∴△DEM 为直角三角形，且∠DEM ＝90°，∴tan∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1234 空间图形的基本关系与公理导学案(无答案)北师大版必修2 学
4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【重点难点】掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习（课前完成，含独学和质疑）1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．7．公理2经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．8．公理3如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．9．公理2的推论推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．合作探究：（对学、群学）探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题．思考 1 观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？思考8 我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？思考9 如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？例2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．探究点三共线问题例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．【达标拓展】（检测、拓展）1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C αC．ABαD．AB∩α＝C2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．【学后反思】【练案】一、基础过关1．下列图形中，不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形2．空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形 D．三个点3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．二、能力提升8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0B．1C．1或4D．无法确定9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上．12.已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．三、探究与拓展13.在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．。
§4空间图形的基本关系与公理(北师大版)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
等角定理及异面直线所成旳角
问题1：在平面内，假如两个角旳两边分别相应平行，那么这 两个角相等或者互补.在空间中成立吗？举例阐明
观察下图
等角或补角定理：在空间中假如两个角旳两边分别相应行，
那么这两个角相等或互补.
空间四边形旳常见画法经常用一种平面烘 托，如下图中旳两种空间四边形ABCD和 ABOC.
A l，B l，且A ，B ，
l .
一面一是内、鉴，定只鉴直需线拟定在定线平直面线在内上面旳两根个内据点，在或即平要面点鉴内在定即直可面线；内在也平是旳 根据 鉴定点在平面内旳措施，即假如直线在平面内、点 在二二直是、线检上验检，平则面验点旳平在措平施面面内.
观察下图，你能得到什么结论？
A
CB
思索：
⑴ 作异面直线夹角时，夹角旳大小与点O 旳位置有关吗? 点O 旳位置怎样取才比较简便?
⑵ 异面直线所成旳角旳范围是多少? ⑶ 两条相互垂直旳直线一定在同一平面上吗? ⑷ 异面直线旳夹角是经过什么样旳措施作出来旳?
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边
AB,BC,CD,DA旳中点.
练习3：列图形中不一定是平面图形旳（ ） A、三角形 B、菱形
C、梯形
D、四边相等旳四边形
练习4
下列结论正确旳是（ D ）
A.若两个角相等，则这两个角旳两边分别平行
B.空间四边形旳四个顶点能够在一种平面内
C.空间四边形旳两条对角线能够相交
D.空间四边形旳两条对角线不相交
4 空间直线与平面旳位置关系有三种：
1、直线在平面内
直线a与平面α有无数多种公共点
记作：直线a 平面α
α
2、直线与平面相交
直线与平面只有一种公共点
1.4 空间图形的基本关系与公理
“学案引导法”课堂教学设计§4.1 空间图形的基本关系与公理 （第1课时）南昌大学附属中学 庄子娟教学目标：1.通过观察长方形模型，发现“点、线、面”之间的关系及相关公理；2.能用简单的模型发现点与点、点与直线、点与平面、线与线、线与平面、平面与平面的位置关系（观察问题的能力），并从分类的角度再重新发现这些位置关系中的联系，从而发现公理（分类讨论的能力）.3.体验用模型观察几何关系，并用分类思想研究几何问题的过程，从而了解数学研究的一般方法，体会研究的乐趣与成就感，感受数学的魅力；4.在培养学生空间想象能力，以及文字语言转化为树图语言的能力，同时养成学生合情推理的探究精神.教学方法1、启发式.以实物（教室等）为媒体，启发、诱思学生逐步经历定理的直观感知过程；2、指导学生进行合情推理.让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用.教学的重点与难点：教学重点：理解“点、线、面”之间的五类位置关系；教学难点：异面直线的理解.教学过程设计：一、新课引入，学生自主学习以《学案》为导向阅读课本2223P ，完成《学案》第一部分【学习引导】中的问题. （设计意图及课堂效果：用“阅读型学案”来引导学生自主学习，完成浅显的一些知识准备，同时给学生足够的信心.教材在内容上脉络清晰，教师放手让学生看课本，再通过学案引导学生理清本节知识线条. 《学案》中【学习引导】部分属于课本的浅显性问题，在课堂中多数学生能很好的独立完成，很多同学能根据《学案》中的【小结引导】进行自主小结.这一过程中学生体验到自己发现问题的乐趣和成就感.当老师问到能否挑战新的问题时，学生表现出极大的兴趣和信心.）二、“点、线、面”之关系的初探（一）看长方体（通过模型观察“点、线、面”）1．问：（1）长方体中有多少个顶点？多少条棱？多少个面？（2）长方体中点、线、面之间的关系？（不考虑重合）2间中的点、线、面的各种关系.引导学生初步完成学案中的【小结引导】，请学生上台板书，同时给学生以肯定.）（二）观察、动手、分析“点、线、面”通过身边的实物或模型来分析，以学案[思考引导]的“提问题”为导向，引导学生思考：点、线、面互相搭配共有几种情况？再次分析学案中的【小结引导】.探究成果一：线与面点与直线 点与点点与平面 线与线面与面（三）课堂演练：完成《学案》[变题目]第1题（设计意图及课堂效果：通过例题引导学生观察不同几何体中点、线、面的关系.将课堂上师生共同总结的成果在具体问题上应用，完成了从特殊——一般——特殊的研究过程.同时极大提升了学生的自信心，养成了学生良好的研究数学的习惯.）三、“点、线、面”之关系再探究（一）在学生的“探究成果”的基础上设计问题串.问1：从分类的角度，你能发现哪些是平面问题，哪些是空间问题吗？问2：“不同在任何一个平面内”的意义是什么？（《学案》【思考引导】中问题2）（设计意图及课堂效果：从平面与空间的角度出发，再次分析点与直线、线与线，成功发现公理2.学生感慨：原来公理也是有理可循的.）问3：能否从公共点个数多少来说明“直线与平面”、“平面与平面”关系的合理性？（《学案》【思考引导】中问题3）问4：从公共点的分类的完整性出发，你能发现线与面、面与面的关系中蕴藏着哪些秘密吗？（设计意图及课堂效果：设置问题层层深入，引导学生学习探究问题的方法，同时激发学生一起探究的兴趣和信心.学生在上一个问题成功解决的基础上，继续从分类的角度，很快发现了公理1和公理3.教师指出公理为推理论证的出发点和根据.）探究成果二：点与直线点与平面线与线线与面点与点（二）分析《学案》中的【拓展引导】问1：直线上有两点在一个平面内，则直线与平面的关系是？如何说明？问2：两个不重合平面有两个公共点，则两个平面的关系是？如何说明？问3：“两直线上有一个公共点”能否说明两直线在一个平面内？（设计意图及课堂效果：在学生自主学习的基础上，教师适时地引导后进行进一步提高性的学习和总结.【拓展引导】中的3个问题的设计意图正在于此.为下一节课作了很好的铺垫，对学生的能力进行适当提升，让学生在这堂课中“带着问题来，带着问题走”，激发了学生探索的欲望. ）四、本课小结、作业1.小结（师生共同回顾本节课的探究成果.）.P习题1-4.第3、4题.2.作业26五、教学反思高中数学新课程改革的启动对高中的教育教学提出了新的要求，“关注学生”是新课程的核心.有效转变学生的学习方式，提高学生的学习能力，成为教育改革的重要课题.高中数学教学如何适应新课程改革的要求？如何调动学生的学习积极性？如何引导学生主动学习？在面对新课程改革的时候，我们的教学也同样需要充满智慧.实践中我们不断探索“学案引导法”的课堂教学模式.本节课的设计思路正在源于此.本节课以阅读型《学案》，达到教学中“学生会的不讲，只作点拨，适时引导”，完整的发挥了学生的自主性和老师的引导作用.完整的发挥了学生的自主性和老师的引导作用.本节《学案》在内容上看似简单，却给学生丰富的思考空间和实践空间，学生真正在自主学习中完成相关问题的解决，这一点在实践教学中已充分体现.学案中的【学习引导】、【思考引导】、【总结引导】、【拓展引导】在整体设计上完整、流畅、系统. 以学案中设计问题串的形式教学，很好的调动了学生的自主学习. 真正实现了学案与教学相结合的数学课堂.实际教学中，学生感觉收获很大，对分类的数学思想印象深刻，并对立体几何和数学研究产生浓厚的兴趣.在教学模式上较传统方法更加张驰有度，大胆把时间给学生，大胆把课堂给学生.在问题的设置上层层深入，处处设疑，使得学生主动积极的思考，最后在课堂中出现了一个高潮---学生自主挖掘出本节课的重难点并进行拓展提升，使得课堂一气呵成.附：学案【必修2】第一章立体几何初步第四节空间图形的基本关系与公理（一）学时:1学时【学习引导】一、自主学习1.阅读课本2223P 练习止.2.回答问题：（1）本节内容可以分为几个层次？（2）每个层次的中心内容是什么？（3）层次之间联系？3.完成练习4.小结二、方法指导1.阅读本节内容时，必须对照模型“长方体”或对照“教室”，多观察实物.2.本节内容属“概念分类型”，应将文字语言转化为树图语言.3.阅读本节内容时,应与平面图形的位置关系作比较.【思考引导】一、提问题1.点、线、面互相搭配共有几种情况？2.“不同在任何一个平面内”的意义是什么？3.能否从公共点个数多少来说明“直线与平面”、“平面与平面”关系的合理性？二、变题目1.在四棱锥中，举出一些点、线、面的位置关系的例子.2.在三棱锥中，与AB 异面直线有哪些？【总结引导】点与点点与直线点与平面线与线线与面面与面【拓展引导】1.课外作业26P 习题1-4.第4题.2.直线上有两点在一个平面内，则直线与平面的关系是？如何说明？3.两个不重合平面有两个公共点，则两个平面的关系是？如何说明？4.“两直线上有一个公共点”能否说明两直线在一个平面内？。
1.4 空间图形的基本关系与公理第1课时 教案高中数学必修2北师大版
§4空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形的基本关系与公理1～公理3 问题导学1．公理1的应用活动与探究1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M，交C′B′的延长线于点E，连接C′N，交CB的延长线于点F.求证：直线EF平面BCC′B′.迁移与应用如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，试判断AC是否在平面α内．公理1的作用：(1)用直线检验平面；(2)判断直线是否在平面内，要证明直线在平面内，我们需要在直线上找到两个点，这两个点都在这个平面内，那么直线就在这个平面内．解决问题的关键就在于寻找这样的点．2．公理2的应用活动与探究2已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求证：a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．经过同一直线上的三个点的平面( )．A．有且只有一个B．有且只有三个C．有无数个 D．不存在2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．公理2的作用：(1)确定一个平面；(2)证明点、线的共面问题；(3)判断一图形是否为平面图形．对于平面的确定问题，务必分清它们的条件，对于证明几点(或几条直线)共面问题，可先由其中几个点(或直线)确定一个平面后，再证明其他点 (或直线)也在该平面内即可．3．公理3的应用活动与探究3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点(如图)，求证：P，Q，R三点共线．迁移与应用如图，在三棱锥S－ABC的边SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH=P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．1．公理3的作用：(1)判断两平面是否相交；(2)证明点在直线上；(3)证明共线问题；(4)证明共点问题．证明三点共线问题的常用方法有：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．2．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．当堂检测1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )．A．P l，lα B．P∈l，l∈αC．P l，l∈α D．P∈l，lα2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )．3．下列说法正确的是( )．A．线段AB在平面α内，直线AB不会在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线( )．A．AD上 B．B1C1上C．A1D1上 D．BC上5．如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A 的交点．求证：O1，M，A三点共线．答案：课前预习导学预习导引1．(1)点在直线上点在直线外A∈l B l(2)点在平面内点在平面外(3)同一平面没有公共点a∥b只有一个公共点a∩b＝P不同在任何一个平面内(4)有无数个公共点只有一个公共点l∩α＝P没有公共点l∥α(5)没有公共点α∥β不重合但有公共点预习交流1 提示：不能．如图所示，a在平面α内，b在平面β内，但是a与b平行．预习交流2 提示：当两直线在同一平面内时，没有公共点就一定平行；在空间中，当两直线不同在任何一个平面内时，没有公共点，是异面直线．2．两点所有的点在平面内lα不在同一条直线上有且只有确定有且只有一个平面α有一个公共点有且只有α∩β＝l且A∈l预习交流3 提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面．预习交流4 提示：(1)能；(2)能；(3)能．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：要证明直线在平面内，只需证明直线上有两个点在这个平面内．证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，∴直线BC平面BCC′B′.又∵C′N∩CB＝F，∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.同理可得E∈平面BCC′B′.∴直线EF平面BCC′B′.迁移与应用解：AC在平面α内，证明如下：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴A点、C点都在平面α内．∴直线AC 在平面α内．活动与探究2 思路分析：依题意，可先证a与b确定一个平面，再证明c在这个平面内，从而可证a，b，c在同一平面内．证明：∵a∥b，∴a与b确定一个平面α，∵a∩c＝A，∴A∈a，从而A∈α；∵b∩c＝B，∴B∈b，从而B∈α.于是ABα，即cα，故a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．C2．证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可．因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．活动与探究3 思路分析：只需证明P，Q，R三点在平面ABC内，又在平面α内，再利用公理3推得结论．证明：方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．迁移与应用证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC，∴EF平面SAC.同理可得GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC共点于P.当堂检测1．D 2．D 3． D 4．B。
1.4.1__空间图形基本关系的认识__1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间 的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是 否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘 就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．
A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个
《1.4 空间图形的基本关系与公理》教学案
《1.4 空间图形的基本关系与公理》教学案●三维目标1．知识与技能(1)通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系；(2)理解异面直线的概念，以及空间图形基本关系；(3)掌握空间图形的三个公理．2．过程与方法培养和发展学生的空间想象能力，运用图形语言进行交流的能力，通过典例的学习和自主探索让学生体会蕴涵在其中的数学思想方法．3．情感、态度与价值观培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度，体会推理论证中反映出的辨证思维的价值观．●重点难点重点：空间图形的基本关系及3个公理．难点：三种语言：文字语言、图形语言和符号语言的转化．教学时要注意图形语言、文字语言、符号语言的综合描述，在用文字和符号描述对象时，要紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，以帮助学生在图形的基础上发展数学语言．●教学建议本节知识与学生的生活联系密切，如直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等都可以在学生的生活世界中找到模型．因此教学时，既要引导学生多从生活中的实际出发，把所学到的知识同周围的现象联系起来，同时还要注意让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的过程．另外，还应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言．●教学流程通过两大问题引出空间图形的位置关系及3个公理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握文字语言、图形语言、符号语言间的转化⇒通过例2及互动探究，使学生掌握点、线共面问题的证明⇒通过例3及变式训练，让学生掌握点共线、线共点问题的证明⇒归纳整理课堂小结，整体认识本节所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节所学知识并进行反馈矫正1．长方体的一个顶点与12条棱和6个面有12种位置关系？2．12条棱中，棱与棱有几种位置关系？3．棱所在直线与面之间有几种位置关系？4．六个面之间有哪几种位置关系．【提示】 1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．2．相交，平行，既不平行也不相交．3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．4．平行和相交．1.续表2．异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线．1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？【提示】 1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．图1－4－1(1)图(1)可以用符号语言表示为：_______________.(2)图(2)可以用符号语言表示为：______________.【思路探究】(1)图中平面α、平面β是什么关系？(2)图(1)中直线a与平面α，直线b与平面β，直线a、b与交线AB是什么关系？(3)图(2)中△ABC的三个顶点满足什么条件？【自主解答】(1)α∩β＝AB，a α，b β，a∥AB，b∥AB.(2)α∩β＝MN，A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN.规律方法1．分析好图形的位置关系是本题的解题关键．2．三种语言之间转化的基本思路是，观察图形、分析位置关系、符号表示．变式训练满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )【解析】由线面符号语言描述及图形语言知D正确．【答案】 D例2已知：如图1－4－2所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.图1－4－2求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．【思路探究】先选取两条直线构造一个平面，然后证明另一条直线在这个平面上或构造两个平面，证明这两个平面重合．【自主解答】法一(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．规律方法1．同一法证明直线共面的步骤(1)证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α；(2)证明其余直线上均有两点也在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是证明了这些直线共面．2．重合法证明直线共面的步骤(1)证明这些直线确定若干个平面；(2)利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了这些直线共面．互动探究本例中若l1∥l2，其它条件不变．求证：l1、l2、l3在同一平面内．【证明】∵l1∥l2，∴l1、l2确定一个平面记为α.∵l1∩l3＝C，∴C∈l1.∵l1 α，∴C∈α.∵l2 α，∴B∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α，即l1、l2、l3在同一平面内.例3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图1－4－3，求证：P、Q、R三点共线．图1－4－3【思路探究】(1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何关系？(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关系？【自主解答】法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．法二∵A P∩A R＝A，∴直线A P与直线A R确定平面A PR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面A PR∩平面α＝PR.∵B∈平面A PR，C∈平面A PR，∴BC 平面A PR.∵Q∈BC，∴Q∈平面A PR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．规律方法1．法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．2．证明此类问题的关键是证明这些点是两个相交平面的公共点．变式训练如图1－4－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．图1－4－4【证明】∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B、Q、D1三点共线.忽视平面的确定性致误典例已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？【错解】∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．【错因分析】在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．【防范措施】证明共面问题的理论依据是公理2，注意平面的确定可以免避上述错误的出现．【正解】A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．空间中点、线、面的位置关系，异面直线的画法及判定．2．文字语言、图形语言、符号语言三种语言的转化．3．公理1，公理2，公理3都是判定点、线、面位置关系的依据．公理1的作用是证明直线在平面内，公理2是确定平面的依据，由公理1和公理2可解决点、线共面的证明问题，公理3是判定两个平面相交的依据，同时也可用来证明点共线或三条线交于一点的问题.1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，lαB．A∈l，l∉αC．A l，lαD．A l，l∉α【解析】点A在直线上用“∈”，直线在平面外用“”．【答案】 A2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有()A．2条B．4条C．6条D．8条【解析】画出图形，观察图形可知与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．【答案】 B3．一条直线和直线外两点可确定平面的个数是()A．1 B． 2 C． 3 D．1或2【解析】当这两点与直线共面时，可确定一个平面；当这两点和直线不共面时，可确定两个平面．【答案】 D4．(2013·郑州高一检测)如图1－4－5，在△ABC中，若AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．图1－4－5【解】AC在平面α内．∵AB在平面α内．∴A∈α.又BC在平面α内．∴C∈α，∴AC在平面α内．一、选择题1．(2013·日照高一检测)下列叙述中错误的是()A．若P∈α∩β且α∩β＝l，则P∈lB．三点A，B，C只能确定一个平面C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α【解析】不共线的三点才能确定平面，所以B错．【答案】 B2．(2013·桂林高一检测)下列说法正确的是()A．平面α和平面β只有一个公共点B．两两相交的三条直线必共面C．不共面的四点中，任何三点不共线D．有三个公共点的两平面必重合【解析】四点中，若三点共线，则四点便成了一条直线和直线外一点，则共面，所以与四点不共面矛盾，所以C正确．【答案】 C3．已知a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】若a，b异面，c∥a，则c与b相交或异面，则C正确．【答案】 C图1－4－64．(2013·烟台高一检测)如图1－4－6，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线C R D．直线A R【解析】∵C∈平面ABC，AB 平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，l β，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝C R.【答案】 C5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG 交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上【解析】因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF 与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．【答案】 A二、填空题图1－4－76．如图1－4－7所示，用符号语言可表示为________．【解析】根据图形语言与符号语言之间的转化可得α∩β＝m，n α，m∩n＝A.【答案】α∩β＝m，n α，m∩n＝A图1－4－87．(2013·合肥高一检测)如图1－4－8，在这个正方体中，①B M与E D平行；②C N与B M 是异面直线；③C N与B E是异面直线；④D N与B M是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】观察图形可知①③错误，②④正确．【答案】②④8．下列说法中正确的个数是________．①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．【解析】对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，故④不正确．故正确的个数为1.【答案】 1三、解答题9．用符号表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于P B，平面β与平面γ相交于P C；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.【解】(1)语句可表示为α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝P B，β∩γ＝P C，图形如图①所示．(2)语句可表示为平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形如图②所示．图1－4－910．如图1－4－9所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．【证明】∵AB∥CD，∴可设AB，CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，AB β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵由公理3两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线．∴E，F，G，H四点必定共线．11．已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a、b、c、d共面．【证明】(1)无三线共点情况．如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，∵a∩d＝M，∴a、d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQ α，即b α，同理c α，∴a、b、c、d共面．(2)有三线共点的情况，如图所示，设b、c、d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N、P、M且K∉a，∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，a β，∴N∈β，∴NK β，即b β.同理c β，d β，∴a、b、c、d共面，由(1)(2)可知a、b、c、d共面备选例题如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a 和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．【思路探究】解答本题可先证明两条直线相交于一点，再证明该交点也在另外一条直线上．【自主解答】∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．规律方法1．证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．2．此类问题的本质是要利用公理3证明点在直线上．备选变式如图所示，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：直线AA1、BB1、CC1交于一点．【证明】∵A1B1∥AB，∴直线A1B1与AB确定一平面α.同理，直线B1C1与BC确定一平面β，直线C1A1与CA确定一平面γ.易知β∩γ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1 γ，BB1 β，∴P∈γ，P∈β，∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，根据公理2知，P∈C1C，∴直线AA1、BB1、CC1交于一点．第2课时空间图形的公理(公理4，定理)●三维目标1．知识与技能(1)了解公理4及等角定理，会用公理4和等角定理进行简单的推理论证．(2)了解异面直线所成的角的定义，会求异面直线所成的角．2．过程与方法通过学习公理4及等角定理培养学生的空间想象能力，通过异面直线所成的角让学生体会数学的转化、化归方法．3．情感、态度与价值观培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度．●重点难点重点：公理4与等角定理．难点：异面直线所成的角．公理4表明了平行的传递性，可以作判断两条直平行的依据，其直接作用是证明等角定理，为研究异面直线所成角打基础．等角定理是定义异面直线所成角的理论基础．●教学建议本节知识是上节课的继续，上节课讲了3个公理、异面直线的概念，本节课解决异面直线所成角及它的理论基础公理4、定角定理，因此教学时宜采用探究式模式，让学生以长方体为载体，通过“观察”引入公理4，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，要让学生在学习中认真体会．●教学流程通过问题引出公理4，等角定理及异面直线所成的角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握公理4的应用⇒通过例2及互动探究，使学生掌握等角定理的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求异面直线所成的角⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行矫正1．把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？2．在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？3．在平面上，“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．那么在空间中，结论是否仍然成立呢？【提示】 1.平行.2.平行.3.仍成立．1．公理4空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在四棱柱ABCD—A′B′C′D′中，棱AB与棱B′C′什么关系？在平面内我们是如何定量的研究两条相交直线的位置关系的？那么在空间中又如何定量的确定棱AB与棱B′C′的相对位置关系？【提示】棱AB与棱B′C′是异面直线；在平面内我们通过两条直线的“夹角”来定量的确定两条相交直线的位置关系，类似的，我们可以用两条棱“所成的角”来定量的确定异面直线的相对位置关系．例1 四边形MN A′C′是梯形．【思路探究】 【自主解答】 如图，连接AC.∵M 、N 分别为CD 、AD 的中点，∴MN 綊12AC. 由正方体的性质可知AC 綊A′C′，∴MN 綊12A′C′， ∴四边形MN A′C′是梯形． 规律方法1．解答本题易出现“只证MN ∥A′C′”，而忽视“证明MN ≠A′C′”的错误．2．公理4是证明两直线平行的重要方法，应用的关键在于寻找与所证直线平行的“中间直线”．图1－4－10已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、CC1的中点，如图1－4－10所示．求证：B F綊E D1.【证明】如图所示，取BB1的中点G.连接G C1、GE.∵F为CC1的中点，∴B G綊C1F.∴四边形B G C1F为平行四边形．∴B F綊G C1.又∵EG綊A1B1，A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1，∴四边形EG C1D1为平行四边形，∴E D1綊G C1.∴B F綊E D1.中点，图1－4－11求证：∠C1E1B1＝∠C E B.【思路探究】证明空间两角相等有何定理？【自主解答】连结EE1，∵E，E1分别是AD，A1D1的中点，∴A1E1綊A E，∴四边形A1E1E A为平行四边形，∴A1A綊E1E.又A1A綊B1B，由公理4知B1B綊E1E，∴四边形E1E BB1为平行四边形，∴E1B1∥E B.同理E1C1∥E C.又∠C1E1B1与∠C E B的对应边方向相同，∴∠C1E1B1＝∠C E B.规律方法1．本题易出现漏掉“对应边方向相同”这样的错误．2．利用空间等角定理证明两角相等时，一要说明两角的对应边分别平行；二要说明两角的方向相同．互动探究正方体ABCD—A1B1C1D1不变，其他条件改为E、F、G分别是棱CC1、BB1、DD1中点．求证：∠B G C＝∠F D1E.图1－4－12【证明】∵E、F、G分别是正方体的棱CC1、BB1、DD1的中点，∴C E綊G D1，B F綊G D1，∴四边形C E D1G与四边形B F D1G均为平行四边形．∴G C∥D1E，G B∥D1F，∵∠B G C与∠F D1E的方向相同，∴∠B G C＝∠F D1E.例3如图1－4－13所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．图1－4－13【思路探究】 如何找出异面直线所成的角？【自主解答】 如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴EG ∥CD ，GF ∥AB ，EG ＝12CD ，GF ＝12AB. ∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角， ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ，即∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴GF ＝EG ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°. 规律方法1．异面直线所成的角θ的取值范围为0°<θ≤90°. 2．利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤是： (1)平移；(2)证明；(3)计算；(4)检验． 变式训练在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求AD 1与EF 所成的角的大小．图1－4－14【解】 ∵EF ∥B 1D 1，∴∠AD 1B 1为AD 1与EF 所成的角或其补角，连接AB 1， 则△AB 1D 1为正三角形． ∴∠AD 1B 1＝60°.化归思想在求两异面直线所成角问题中的应用(12分)如图1－4－15，空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝3，CD ＝3，E 、F 分别是另外两条对边AD 、BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝3，求AB 和CD 所成的角的大小．图1－4－15【思路点拨】【规范解答】 如题图，在BD 上取点M 使B M ＝12M D ，连接EM ，MF .∵AE ED ＝BF FC ＝12，∴EM 綊23AB ，MF 綊13DC. 4分 ∴∠EMF (或其补角)为AB 和CD 所成的角. 6分 ∵AB ＝3，CD ＝3，∴EM ＝2，MF ＝1.又∵EF ＝3， ∴∠EMF ＝60°. 10分 ∴AB 和CD 所成的角为60°. 12分 【思维启迪】 通过作平行线把异面直线所成的角转化为相交两直线所成的角，这就体现了化归思想．1．平行公理又称平行线的传递性，它表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节．2．要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件． 3．异面直线所成的角通过作平行线转化为相交直线所成的角．1．a ，b ，c 为三条不重合的直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，则a ，b 的位置关系必定是( ) A ．相交 B ．平行C ．异面D ．以上答案都不对【解析】 垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面． 【答案】 D2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与DD 1所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【解析】 AA 1∥DD 1⇒∠AA 1B 是异面直线A 1B 与DD 1所成的角， 在Rt △ABA 1中，AB ＝AA 1， ∴∠AA1B ＝45°，故选B. 【答案】 B图1－4－163．(2013·海淀高一检测)已知如图1－4－16，在三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、C D 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD) B ．MN ≤12(AC ＋BD) C ．MN ＝12(AC ＋BD) D ．MN <12(AC ＋BD)【解析】 如题图，取AD 的中点P ，连接NP 、MP . ∵M 、N 也分别为AB 、CD 的中点， ∴NP 綊12AC ，MP 綊12BD ， ∴在△MPN 中，MP ＋NP ＝12(AC ＋BD)>MN . 【答案】 D4．如图1－4－17所示，不共面的三条射线O A 、O B 、O C ，点A 1、B 1、C 1分别是O A 、O B 、O C 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC .图1－4－17求证：△A 1B 1C 1∽△ABC.【证明】 在△O AB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB ，∴A 1B 1∥AB. 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC. ∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ， ∠A 1B 1C 1＝∠ABC. ∴△A 1B 1C 1∽△ABC.一、选择题1．(2013·杭州高一检测)一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )A ．相交B ．异面C ．相交或异面D ．平行【解析】 可能相交，如图，A 1B 1∥C 1D 1，DD 1与A 1B 1异面，而DD 1与C 1D 1相交； 可能异面，E 、F 为B 1C 1、BC 的中点，则EF 与A 1B 1、EF 与C 1D 1都是异面直线，不可能平行，故选C.【答案】 C2．若∠A O B ＝∠A 1O 1B 1且O A ∥O 1A 1，O A 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．O B ∥O 1B 1C ．O B 与O 1B 1不平行D ．O B 与O 1B 1不一定平行【解析】O B与O1B1不一定平行，反例如图．【答案】 D3．已知一对等角，若一个角的一边和另一个角的一边平行，则它的另一边()A．一定平行B．一定不平行C．一定相交D．不一定平行【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝∠DAB，AD∥A1D1，AB∥A1B1，但∠D1A1B1＝∠B1C1C.A1D1∥B1C1，A1B1与CC1不平行，故选D.【答案】 D图1－4－184．如图1－4－18，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG、IH、HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.【答案】 B5．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①错，符合条件的两角相等或互补；②符合等角定理；③错，可能不相等也不互补；④是公理4.故②④正确．【答案】 B二、填空题图1－4－196．(2013·济南高一检测)如图1－4－19，在三棱锥P—ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．【解析】据异面直线的定义可知共3对，A P与BC，C P与AB，B P与AC.【答案】 37．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．【解析】如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．【答案】平行、相交或异面8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有________条．【解析】与AD1成60°的面对角线有A1C1，B1D1，AC，BD，AB1，A1B，D1C，DC1共8条．【答案】8三、解答题9．长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．图1－4－20(1)求证：D1E∥B F；(2)求证：∠B1B F＝∠D1E A1.【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EM C1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得M B綊C1F，∴B F∥C1M，∴D1E∥B F.(2)∵E D1∥B F，BB1∥E A1，又∠B1B F与∠D1E A1的对应边方向相同，∴∠B1B F＝∠D1E A1.10．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，求异面直线AD与BC1所成角的大小．【解】如图，取AC中点E，连接C1E，B E，∵C1D綊A E，∴四边形A E C1D为平行四边形，∴C1E∥AD，∴∠BC1E即为异面直线AD和BC1所成角．在Rt△ABC中，AC ＝AB 2＋BC 2＝22， ∴B E ＝E C ＝2， 在Rt △C 1C E 中，E C 1＝CC 21＋EC 2＝6，又∵BC 1＝22，∴△BC 1E 中，BC 21＝B E 2＋E C 21，∴∠B E C 1＝90°，∴sin ∠BC 1E ＝BE BC 1＝222＝12， ∴∠BC 1E ＝30°. 11．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，高AA 1为1，M 、N 分别是边C 1D 1与A 1D 1的中点．(1)求证：四边形MN AC 是等腰梯形； (2)求梯形MN AC 的面积．【解】 (1)证明：连接A 1C 1，则MN 是△A 1C 1D 1的中位线，如图所示， 则有MN 綊12A 1C 1， 又A 1C 1綊AC ，∴MN 綊12AC.∴M 、N 、A 、C 共面， 且四边形MN AC 为梯形． ∵Rt △AA 1N ≌Rt △CC 1M ， ∴A N ＝C M .∴四边形MN AC 为等腰梯形．(2)由题意，得A N 2＝A 1A 2＋A 1N 2＝1＋1＝2. AC ＝22，MN ＝2， ∴梯形MN AC 的高为 h ＝AN 2－[12 AC －MN ]2＝62，∴S 梯形AC MN ＝12(AC ＋MN )h ＝332.备选例题如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别是棱AB 、AD 、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：(1)EF 綊E 1F 1；(2)∠E A 1F ＝∠E 1C F 1.【思路探究】 第(1)问若能设法证明两直线平行于同一条直线，则借助公理4可解；第(2)问考虑利用等角定理求解．【自主解答】 (1)连接BD ， B 1D 1，在△ABD 中，因为E 、F 分别为AB 、AD 的中点，所以EF 綊12BD.同理，E 1F 1綊12B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1綊DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形．因此B D 綊B 1D 1，又EF 綊12BD ，E 1F 1綊12B 1D 1，所以EF 綊E 1F 1.(2)取A 1B 1的中点M ，连接F 1M ，B M ，则MF 1綊B 1C 1，又B 1C 1綊BC ，所以MF 1綊BC.所以四边形B MF 1C 为平行四边形，因此B M ∥C F 1.因为A 1M ＝12A 1B 1，B E ＝12AB ，且A 1B 1綊AB ，所以A 1M 綊B E ，所以四边形B M A 1E 为平行四边形，则B M ∥A 1E .因此，C F 1∥A 1E .同理可证A 1F ∥C E 1.因为∠E A 1F 与∠E 1C F 1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠E A 1F ＝∠E 1C F 1.规律方法1．空间中证两条直线平行的方法有：(1)借助于平面几何知识，如三角形中位线的性质，平行四边形的性质等．(2)借助于公理4.2．在应用等角定理时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的，还要注意角的两角的方向是相同还是相反．备选变式如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 的中点，N 是B 1C 1的中点，求证：C M ∥A 1N .【证明】 取A 1D 1的中点P ，连接C 1P ，MP ，则A 1P ＝12A 1D 1，又N 为B 1C 1的中点，B 1C 1綊A 1D 1.∴C 1N 綊P A 1，四边形P A 1N C 1为平行四边形，A 1N ∥C 1P .又由PM 綊DD 1綊CC 1，得C 1P ∥C M .∴C M ∥A 1N .。
空间图形的基本关系教学设计
《空间图形的基本关系》教学设计本节选自普通高中北师大版必修2第一章第四节第一课时【教材分析】空间图形的基本关系与公理是学习平行关系与垂直关系的基础。
教材依托长方体，表述了空间点、线、面间的基本位置关系。
教材先引导学生对“实例分析”中的长方体进行仔细的观察，然后讨论长方体的顶点、棱、面之间的关系。
在此基础上，在进入“抽象概括”，总结出空间点、线、面的五类位置关系。
这样处理的目的是让学生通过长方体这个具体模型对位置关系有直观地认识。
注意三种语言即文字语言、符号语言、图形语言的互译，让学生熟练掌握点、线、面的符号表示，及“∈”和“≠⊂”符号的正确使用。
【三维目标】1.知识与技能（1）了解构成空间图形的基本元素：点、直线、平面。
（2）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上抽象出点、线、面的位置关系的定义。
（3）正确使用用图形语言、符号语言进行表述点、线、面的位置关系。
2.过程与方法学生在“立体几何初步”起始课中从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则，认识空间中点、线、面之间的位置关系。
3.情感、态度与价值观通过对空间图形的认识，使学生知道我们生活的三维空间是丰富多彩的，结合三种语言的互相转换，体会数学图形的直观美以及数学语言的简洁美。
【教学重点】在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上进一步培养学生符号语言的运用能力。
【教学难点】异面直线的理解。
【教学问题诊断】在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，学生在直观认识上很容易理解，但是对异面直线的理解上学生很可能存在很大的困难，对于这一问题本节课利用下面的思考交流让学生再一次体会异面直线的定义，教师从旁引导学生理解。
【教法特点】为了实现本节课的教学目标，突出重点，本节课将按照以学生为主体的原则促进学生的自主学习；并将通过教师适时引导使学生的认识由整体到局部、由具体到抽象，由直观感知到抽象概括的目标。
北师大版数学必修二课件：1.4.1空间图形的基本关系与公理
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.821.9.811:51:2611:51:26September 8, 2021
(2)因为A∈α,B∈α,所以AB⫋α.
又因为C∈AB,所以C∈α.
4.空间平面与平面的位置关系(除重合外)
位置关
文字语言
图形语言
系
两个平
如果平面 α 与平面 β 没有公
面
共点,我们称平面 α 与平面 β
不相交
是平行平面
(平行)
两个平
面
相交
如果平面 α 和平面 β 不重合,
但有公共点,我们称平面 α
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三上午11时51分26秒11:51:2621.9.8
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午11时51分21.9.811:51September 8, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三11时51分26秒11:51:268 September 2021
内.
证明:∵B∈平面BCC'B',C∈平面BCC'B',
∴直线BC⫋平面BCC'B'.
又C'N∩CB=F,∴F∈CB,∴F∈平面BCC'B'.
北师大版高中数学高一必修2教学案 第一章 4 空间图形的基本关系与公理
空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3预习课本P22～25，思考并完成以下问题(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？(2)空间图形的公理1，公理2，公理3的内容是什么？各有什么作用？[新知初探]1．空间中点、线、面的位置关系(1)点与直线的位置关系①点B在直线l上：B∈l；②点B在直线l外：B∉l.(2)点与平面的位置关系①点A在平面α内：A∈α；②点B在平面α外：B∉α.[点睛]通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集．2．空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α用来确定一个平面公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα用来证明直线在平面内公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l用来证明空间的点共线和线共点公共直线[点睛]对公理1必须强调是不共线的三点．3．公理1的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．[点睛]公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两两相交的三条直线确定一个平面．()(2)经过一条直线和一个点确定一个平面．()(3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点．()答案：(1)×(2)×(3)×2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα答案：C3．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在____________．答案：α与β的交线上4．根据右图，填入相应的符号：A______平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案：∈∉AC文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[典例]根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解](1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，aαC．M a，aαD．M a，a∈α解析：选B根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．平面的基本性质的应用题点一：点线共面问题1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴lα.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.同理可证lβ.于是bα，lα，bβ，lβ，即α∩β＝b，α∩β＝l.又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1及其推论、公理2.解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．题点二：点共线问题2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．题点三：三线共点问题3．已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l 3相交于一点．证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．层级一学业水平达标1．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．lαB．lαC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A∵M∈a，aα，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故lα.2．下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据公理1可知①②④正确，③错误．故选C.3．已知直线m平面α，P∉m，Q∈m，则()A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α解析：选D因为Q∈m，mα，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D根据公理3可知，两个平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．空间中四点可确定的平面有()A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个解析：选D当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或37．下列命题：①若直线a与平面α有公共点，则称aα；②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；③三条平行直线共面；④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号)解析：①错误．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或aα；②正确．由公理3知该命题正确；③错误．三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；④如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．答案：②8．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．解析：若l与α有两个不同的公共点，则由公理一知lα，又B∈l，所以B∈α与B∉α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A.答案：19．将下列符号语言转化为图形语言．(1)aα，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，aα，bβ，a∥c，b∩c＝P.解：(1)(2)10．求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点．证明：延长AA 1，BB1，设AA1∩BB1＝P，又BB1平面BCC1B1，∴P∈平面BCC1B1，∵AA1平面ACC1A1，∴P∈平面ACC1A1，∴P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点，又∵平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合解析：选C当lα，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．可能三点共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确．4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是________．解析：因为平面α∩平面β＝l，AB∩l＝D，所以D∈平面β.因为AB平面ABC，所以D∈平面ABC.又C∈平面ABC，C∈平面β，C∉l，所以平面ABC∩平面β＝CD.答案：直线CD6．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是________．解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．答案：1或37．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．8．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．第二课时公理4及等角定理预习课本P25～27，思考并完成以下问题(1)公理4的内容是什么？(2)等角定理的内容是什么？有什么作用？(3)异面直线所成的角的定义是什么？求角的方法是什么？1．公理4(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号表述：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．两条直线的位置关系(1)共面直线①平行直线：特征：在同一平面内没有公共点．记法：直线m与直线n平行，记作m∥n.②相交直线特征：在同一平面内有且只有一个公共点．记法：直线m与直线n相交于点A，记作m∩n＝A.(2)异面直线：特征：不共面的两条直线，没有公共点．3．等角定理空间中，两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补．[点睛](1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．4．异面直线所成的角特殊当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b情况(1)两条异面直线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定义的，是研究空间两条直线位置关系的基础．(2)等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了理论依据，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中不相交的两条直线是异面直线．()(2)两条异面直线所成的角一定是锐角．()(3)和两条异面都相交的两直线必是异面直线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°答案：D3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．答案：60°公理4及等角定理的应用[典例] 如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，E ′，F ′分别是AB ，BC ，A ′B ′，B ′C ′的中点，求证：EE ′∥FF ′.[证明] 因为E ，E ′分别是AB ，A ′B ′的中点，所以BE ∥B ′E ′，且BE ＝B ′E ′，所以四边形EBB ′E ′是平行四边形，所以EE ′∥BB ′，同理可证FF ′∥BB ′.所以EE ′∥FF ′.[一题多变]1．[变条件，变设问]在本例中，若M ，N 分别是A ′D ′，C ′D ′的中点，求证：四边形ACNM 是梯形．证明：如图所示，连接A ′C ′，∵M ，N 分别是A ′D ′，D ′C ′的中点，∴MN ∥A ′C ′且MN ＝12A ′C ′.由正方体的性质可知： A ′C ′∥AC ，且A ′C ′＝AC ，∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC ， ∴四边形MNCA 是梯形．2．[变条件，变设问]将本例变为：已知E ，E 1分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD ，A 1D 1的中点，求证：∠BEC ＝∠B 1E 1C 1.证明：如图所示，连接EE 1.因为E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点，所以AE ∥A 1E 1，且AE ＝A 1E 1.所以四边形AEE 1A 1是平行四边形．所以AA 1∥EE 1，且AA 1＝EE 1.又因为AA 1∥BB 1，且EE 1＝BB 1.所以四边形BEE 1B 1是平行四边形．所以BE ∥B 1E 1.同理可证CE ∥C 1E 1.又∠BEC 与∠B 1E 1C 1的两边方向相同，所以∠BEC ＝∠B 1E 1C 1.1．证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补． 异面直线及所成的角[典例] 如图所示，已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．[解] 如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ； PN ∥CD ，且PN ＝12CD ， 所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，(1)若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.(2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上，直线AB与MN所成的角为60°或30°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．解析：连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′.又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角，即∠B′AB ＝45°.答案：45°层级一学业水平达标1．不平行的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．相交或异面解析：选D若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．2．在三棱锥S -ABC中，与SA是异面直线的是()A．SB B．SCC．BC D．AB解析：选C 如图所示，SB ，SC ，AB ，AC 与SA 均是相交直线，BC 与SA 既不相交，又不平行，是异面直线．3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．以上结论都不对解析：选B ∠ABC 的两边与 ∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR ＝30°或150°.4．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．平行、相交或异面都有可能解析：选D 当a ，b ，c 共面时，a ∥c ；当a ，b ，c 不共面时，a 与c 可能异面也可能相交．5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A ．平行或异面B ．相交或异面C ．异面D ．相交解析：选B 假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行．(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)c 与b 可能相交或异面．6．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．解析：六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．答案：247．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CG CD，则EH 与FG 的位置关系是________．解析：如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AH AD ，则EH ∥BD ，同理可得FG ∥BD .∴EH ∥FG .答案：平行8．已知∠ABC ＝120°，异面直线MN ，PQ 其中MN ∥AB ，PQ ∥BC ，则异面直线MN 与PQ 所成的角为________．解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN 与PQ 所成的角为60°.答案：60°9．如图所示，OA ，OB ，OC 为不共面的三条射线，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立． 求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .证明：在△OAB 中，因为OA 1OA ＝OB 1OB，所以A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .所以∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .所以△A 1B 1C 1∽△ABC .10．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的平面A 1B 1C 1D 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解：如图所示，在平面A 1B 1C 1D 1内过P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .层级二 应试能力达标1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是平行直线的图是________(填序号)．解析：结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS 和PQ 相交，只有③是异面直线． 答案：①②6．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中．(1)AA 1与C 1D 1所成的角的度数为________；(2)AA 1与B 1C 所成的角的度数为________．解析：(1)∵AA 1∥DD 1，∴∠DD 1C 1即为所求的角．∵∠DD 1C 1＝90°，∴AA 1与C 1D 1所成的角为90°.(2)∵AA 1∥BB 1，∴∠BB 1C 即为所求的角．∵∠BB 1C ＝45°，∴AA 1与B 1C 所成的角为45°.答案：(1)90° (2)45°7．如图所示，空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求AB 和CD 所成的角的大小．解：如图，过E 作EO ∥AB ，交BD 于点O ，连接OF ，所以AE ED ＝BO OD ，所以BO OD ＝BF FC， 所以OF ∥CD .所以∠EOF (或其补角)是AB 和CD 所成的角．在△EOF 中，OE ＝23AB ＝2，OF ＝13CD ＝1， 又EF ＝5，所以EF 2＝OE 2＋OF 2，所以∠EOF ＝90°.即异面直线AB 和CD 所成的角为90°.8．在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面ABCD 是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.解：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°，因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB＝BC＝23，所以△ACD1是等腰直角三角形．所以AD1＝22AC.又底面ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，所以AC＝23×sin 60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，所以AA1＝AD21－A1D21＝()322－()232＝ 6.。