新课标必修一示范教案(1.1.3 集合的基本运算第2课时)

1.1.3 集合的基本运算第2课时导入新课问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x 3-)=0,其结果会相同吗?②若集合A={x|0<x<2,x ∈Z },B={x|0<x<2,x ∈R },则集合A 、B 相等吗？学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节学习的内容,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题①用列举法表示下列集合:A={x ∈Z |(x-2)(x+31)(x 2-)=0}; B={x ∈Q|(x-2)(x+31)(x 2-)=0};C={x ∈R|(x-2)(x+31)(x 2-)=0}.②问题①中三个集合相等吗？为什么？ ③由此看,解方程时要注意什么？④问题①,集合Z,Q,R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.⑤已知全集U={1,2,3},A={1},写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义.⑦用V enn 图表示A.活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围. 讨论结果： ①A={2},B={2,31-},C={2,31-,2}. ②不相等,因为三个集合中的元素不相同.③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.④一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记为U. ⑤B={2,3}.⑥对于一个集合A,全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.集合A 相对于全集U 的补集记为A,即A={x|x ∈U,且xA}.⑦如图1-1-3-9所示,阴影表示补集.图1-1-3-9应用示例思路11.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A, B.活动：让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写出A, B.解：根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集合运算的结果.常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).变式训练1.2007吉林高三期末统考,文1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∩(B)等于( )A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.思路二:A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.答案：A2.2007北京东城高三期末教学目标抽测一,文1设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},则A∩(B)等于( )A.{1,2,3,4,5}B.{1,4}C.{1,2,4}D.{3,5}答案：B3.2005浙江高考,理1设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于( )A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,6,7}D.{1,2,3,4,5}答案：A2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,(A∪B).活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A∩B是由集合A,B中公共元素组成的集合,(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合.解：根据三角形的分类可知A∩B= ,A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},(A∪B)={x|x是直角三角形}.变式训练1.已知集合A={x|3≤x<8},求 A. 解：A={x|x<3或x≥8}.2.设S={x|x 是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是菱形},C={x|x是矩形},求B∩C,B,A.解：B∩C={x|正方形},B={x|x 是邻边不相等的平行四边形},A={x|x 是梯形}.3.已知全集I=R ,集合A={x|x 2+ax+12b=0},B={x|x 2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值. 答案：a=78,b=712 . 4.设全集U=R ,A={x|x≤2+3},B={3,4,5,6},则(A)∩B 等于…( )A.{4}B.{4,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4} 分析:∵U=R ,A={x|x≤2+3},∴A={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3,∴(A)∩B={4,5,6}.答案：B思路21.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求:(1)A,B;(2)(A)∪(B),(A∩B),由此你发现了什么结论？(3)(A)∩(B),(A ∪B),由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B. 解：如图1-1-3-10所示,图1-1-3-10(1)由图得A={x|x<-2或x>4},B={x|x<-3或x>3}.(2)由图得(A)∪(B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3},∴(A∩B)={x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}.∴得出结论(A∩B)=(A)∪(B).(3)由图得(A)∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4};∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},∴(A∪B)={x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.∴得出结论(A∪B)=(A)∩(B).变式训练1.2006重庆高考,理1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∪(B)等于( )A.{1,6}B.{4,5}C.{1,2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}答案：D2.2005江西高考,理1设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(B)等于( )A.{1}B.{1,2}C.{2}D.{0,1,2}答案：D2.设全集U={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(B)={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},求集合A、B.活动：学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集U,根据题中所给的条件,把集合中的元素填入相应的V enn图中即可.求集合A、B的关键是确定它们的元素,由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于V enn图来解决.解：U={2,3,5,7,11,13,17,19},由题意借助于V enn图,如图1-1-3-11所示,图1-1-3-11∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.点评：本题主要考查集合的运算、V enn图以及推理能力.借助于V enn图分析集合的运算问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.变式训练1.2007临沂高三期末统考,文1图1-1-3-12设I为全集,M、N、P都是它的子集,则图1-1-3-12中阴影部分表示的集合是( )A.M∩[(N)∩P]B.M∩(N∪P)C.[(M)∩(N)]∩PD.M∩N∪(N∩P)分析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.思路二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(N)∩P内,所以阴影部分表示的集合是M∩[(N)∩P].答案：A2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(A)∩B={3,7},(B)∩A={2,8},(A)∩(B)={1,5,6},则集合A=________,B=________.分析:借助V enn,如图1-1-3-13,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.图1-1-3-13答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}知能训练课本P11练习4.【补充练习】1.设全集U=R,A={x|2x+1>0},试用文字语言表述A的意义.解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,A中元素均不能使2x+1>0成立,即A中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.2.如图1-1-3-14所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_______.图1-1-3-14分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M,P的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P的交集的交集,即(S)∩(M∩P).答案：(S)∩(M∩P)3.2007安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则A等于( )A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}分析:如图1-1-3-15所示.图1-1-3-15由于(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则有A={1,2}.∴A={3,4}.答案：C4.2006安徽高考,文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则(S∪T)等于( )A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}分析:直接观察(或画出V enn图),得S∪T={1,3,5,6},则(S∪T)={2,4,7,8}.答案：B5.2007河北石家庄一模,文1已知集合I={1,2,3,4},A={1},B={2,4},则A∪(B)等于( )A.{1}B.{1,3}C.{3}D.{1,2,3}分析:∵B={1,3},∴A∪(B)={1}∪{1,3}={1,3}.答案：B拓展提升问题:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均解对者有20人,问:(1)至少解对其中一题者有多少人？(2)两题均未解对者有多少人？分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解决.解：设全集为U,A={只解对甲题的学生},B={只解对乙题的学生},C={甲、乙两题都解对的学生},则A∪C={解对甲题的学生},B∪C={解对乙题的学生},A∪B∪C={至少解对一题的学生},(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.由已知,A∪C有34个人,C有20个人,从而知A有14个人;B∪C有28个人,C有20个人,所以B有8个人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人),(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).∴至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人.课堂小结本节课学习了:①全集和补集的概念和求法. ②常借助于数轴或V enn 图进行集合的补集运算. 作业课本P 12习题1.1A 组9、10,B 组4.设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或V enn 图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合,本节也对此也予以体现,可以利用课余时间学习有关解不等式的知识.习题详解(课本P 5练习)1.(1)中国∈A,美国∉A,印度∈A,英国∉A. (2)∵A={x|x 2=x}={0,1},∴-1∉A.(3)∵B={x|x 2+x-6=0}={-3,2},∴3∉A.(4)∵C={x ∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, ∴8∈C,9.1∉C.2.(1){x|x 2=9}或{-3,3}; (2){2,3,5,7};(3){(x,y)|⎩⎨⎧+=+=6-2x y 3x y }或{(1,4)};(4){x ∈R |4x-5<3}或{x|x<2}.(课本P 7练习)1.∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.2.(1)a ∈{a,b,c}.(2)∵x 2=0,∴x=0.∴{x|x 2=0}={0}. ∴0∈{0}.(3)∵x 2+1=0,∴x 2=-1.又∵x ∈R ,∴方程x 2=-1无解.∴{x ∈R |x 2+1=0}=∅.∴∅=∅. (4).(5)∵x 2=x,∴x=0或x=1. ∴{x|x 2=x}={0,1}. ∴{0}{0,1}.(6)∵x 2-3x+2=0,∴x=1或x=2. ∴{x|x 2-3x+2=0}={1,2}. ∴{2,1}={1,2}.3.(1)由于1是任何正整数的公约数,任何正整数都是自身的公约数,所以8的公约数是1,2,4,8,即B={1,2,4,8}.∴A B.(2)显然B ⊆A,又∵3∈A,且3∉B,∴B A.(3)4与10的最小公倍数是20,4与10的公倍数应是20的倍数,显然A=B. (课本P 11练习)1.A∩B={5,8},A ∪B={3,5,6,7,8}.2.∵x 2-4x-5=0,∴x=-1或x=5.∵A={x|x 2-4x-5=0}={-1,5}, 同理,B={-1,1}.∴A ∪B={-1,5}∪{-1,1}={-1,1,5}, A∩B={-1,5}∩{-1,1}={-1}.3.A∩B={x|x 是等腰直角三角形}, A ∪B={x|x 是等腰三角形或直角三角形}.4.∵B={2,4,6},A={1,3,6,7},∴A∩(B)={2,4,5}∩{2,4,6}={2,4},(A)∩(B)={1,3,6,7}∩{2,4,6}={6}. (课本P 11习题1.1)A 组1.(1)∈ (2)∈ (3)∉ (4)∈ (5)∈ (6)∈2.(1)∈ (2)∉ (3)∈3.(1){2,3,4,5};(2){-2,1};(3){0,1,2}.(3)∵-3<2x-1≤3,∴-2<2x≤4. ∴-1<x≤2.又∵x ∈Z ,∴x=0,1,2.∴B={x ∈Z |-3<2x-1≤3}={0,1,2}. 4.(1){y|y≥-4}; (2){x|x≠0}; (3){x|x≥54}. 5.(1)∵A={x|2x-3<3x}={x|x>-3},B={x|x≥2},∴-4∉B,-3∉A,{2}B,B A. (2)∵A={x|x 2-1=0}={-1,1},∴1∈A,{-1}A,∅A,{1,-1}=A.(3);.6.∵B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},∴A ∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2}, A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}. 7.依题意,可知A={1,2,3,4,5,6,7,8},所以A∩B={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3}={1,2,3}=B, A∩C={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{3,4,5,6}={3,4,5,6}=C. 又∵B ∪C={1,2,3}∪{3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}.∴A∩(B ∪C)={1,2,3,4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}. 又∵B∩C={1,2,3}∩{3,4,5,6}={3},∴A ∪(B∩C)={1,2,3,4,5,6,7,8}∪{3}={1,2,3,4,5,6,7,8}=A.8.(1)A ∪B={x|x 是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学}. (2)A∩C={x|x 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.9.B∩C={x|x 是正方形},B={x|x 是邻边不相等的平行四边形},A={x|x 是梯形}.10.∵A ∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10}, ∴(A ∪B)={x|x≤2或x≥10}.又∵A∩B={x|3≤x<7}∩{x|2<x<10}={x|3≤x<7}, ∴(A∩B)={x|x<3或x≥7}.(A)∩B={x|x<3或x ≥7}∩{x|2<x<10}={x|2<x<3或7≤x<10},A ∪(B)={x|3≤x<7}∪{x|x≤2或x≥10}={x|x≤2或3≤x<7或x≥10}.B 组1.∵A={1,2},A ∪B={1,2}, ∴B ⊆A.∴B=∅,{1},{2},{1,2}.2.集合D={(x,y)|2x-y=1}∩{(x,y)|x+4y=5}表示直线2x-y=1与直线x+4y=5的交点坐标;由于D={(x,y)|⎩⎨⎧=+=54y x 1y -2x }={(1,1)},所以点(1,1)在直线y=x 上, 即D C.3.B={1,4},当a=3时,A={3},则A ∪B={1,3,4},A∩B=∅; 当a≠3时,A={3,a},若a=1,则A ∪B={1,3,4},A∩B={1}; 若a=4,则A ∪B={1,3,4},A∩B={4}; 若a≠1且a≠4,则A ∪B={1,a,3,4},A∩B=∅. 综上所得,当a=3时,A ∪B={1,3,4},A∩B=∅; 当a=1,则A ∪B={1,3,4},A∩B={1}; 当a=4,则A ∪B={1,3,4},A∩B={4};当a≠3且a≠1且a≠4时,A ∪B={1,a,3,4},A∩B=∅. 4.作出韦恩图,如图1-1-3-16所示,图1-1-3-16由U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩(B)={1,3,5,7},可知B={0,2,4,6,8,9,10}.。