余弦定理1
（四）欣赏定理，加深理解
2.勾股定理也能刻画三边平方关系，它与余弦定理有什么 关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特 例．
角 A 为钝角⇔__a_2_>_b_2＋___c2____， 角 A 为直角⇔__a_2＝___b_2＋__c_2__， 角 A 为锐角⇔__a_2_<_b_2_＋__c_2__.
（五）典例剖析，拓展提升
[解] 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－ 2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°. 在△BCD中，由正弦定理得BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
坐标法
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
余弦定理
复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
＝sinBcosC＋cosBsinC ＝2sinBcosC， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°， ∴△ABC 是等边三角形．
（五）典例剖析，拓展提升
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例3] 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的 长．
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
（3）判断三角形的形状，求三角形的面积
（五）典例剖析，拓展提升
[点评] 1．解三角形时，应先分析题设条件，如本题属于“SAS” 型，先用余弦定理求 a，在此基础上，可以利用余弦定理计 算角 B 或 C 的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B 或 C 的正弦值． 2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”或“SSA”型及“SSS” 型．
（五）典例剖析，拓展提升
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3 4
课堂小结
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
4.余弦定理适用于任何三角形
5.余弦定理的作用
（1）已知三边求三个 角；（SSS）
（2）已知两边和它们 的夹角，求第三边和 其他两个角. (SAS)
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
的夹角为∠C，求边c.
y
(bcosC,bsinC)
c (b cosC a)2 (bsin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin2 C
b2 a2 2abcosC
﹚
(0，0)
则c2 a2 b2 2ab cos C
(a,0)x
同理可得：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
AB 7km
A
B
C
2021/2/13
（五）典例剖析，拓展提升
类型一 利用余弦定理解三角形 [例1] 在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30°，求 边a、角C和角B.
（五）典例剖析，拓展提升
[解] 直接应用余弦定理： a2＝b2＋c2－2bccosA ＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos30°＝3， ∴a＝ 3. ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝ 32×2＋32×322－3 32＝12. ∴B＝60°， ∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
问题2：本题能用正弦定 理解答吗？
A
问题3：如何用学过的数学知识 解答这个问题？
2021/2/13
B C
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
解的:设夹C角B为∠aC,，C求A边cb. ,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
1.如何欣赏定理？（对余弦定理的理解） (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其
中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边 与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边 角关系的互化．
变式训练1 已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 求△ABC的各角度数．
（五）典例剖析，拓展提升
解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝26×＋ 6×3＋ 132＋－14＝ 22，∴A＝45°. cosB＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
解决实际问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量 出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。 最后通过计算求出山脚的长度AB。
解：AB2 82 52 258 cos 60 49
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C
﹚
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
1.证明定理: 向量法、解析法、几何法
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子a2 b2 c2 2bccos A 转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R sin A sin B sinC
得 : a 2Rsin A b 2RsinB c 2RsinC 代入a2 b2 c2 2bc cos A并化简得 :
（五）典例剖析，拓展提升
类型二 判断三角形的形状 [例 2] 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc 且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC 的形状．
（五）典例剖析，拓展提升
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则 2cosA＝1， ∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)
aa2a
b b
b
2
2a
2a
b b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
﹚
向量法
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C ﹚ a 2 b 2 c 2 2bc cos A
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍。
（三）归纳共性，形成定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等 于其他两边的平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两倍. 即 C
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
推论：
b
a
Ac
B
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 cos C a 2 b2 c2
2ac
2ab
（四）欣赏定理，加深理解
b A
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
余弦定理1
A c a B
uuu uur uu r u r AB = CB - CA
2 2 2
C
c = a &#论
余弦定理： 余弦定理：
a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC
高一数学必修五第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 余弦定理
复习巩固
1.正弦定理及其推论： 正弦定理及其推论： 正弦定理及其推论 a b c =2R = = sin A sin B sin C a = 2 R sin A, b = 2 R sin B , c = 2 R sin C
a b c sin A = ,sin B = ,sin C = 2R 2R 2R
C a b A
B c sin A : sin B : sin C = a : b : c 三角形面积公式： 1 1 1 S ∆ABC = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 a b c = 2R2 sin Asin BsinC = 4 R
复习巩固
A+B+C=π 大角对大边， 大角对大边，大边对大角 正弦定理，可以用来解三角形， 正弦定理，可以用来解三角形，判断三角 形的形状，其变形公式可实现三角形边角 形的形状， 关系的转化
2、用正弦定理解三角形适用于两种情形： 、用正弦定理解三角形适用于两种情形： 已知任意两角及一边； ① 已知任意两角及一边； 已知任意两边与其中一边的对角. ② 已知任意两边与其中一边的对角 要注意确定解的个数. 要注意确定解的个数
2 2 2 2 2 2
三角形的余弦定理
三角形的余弦定理三角形的余弦定理，也称作Cosine定理，是解决三角形问题时常用的重要定理之一。
它可以用来计算三角形中缺失的一边长度，或者计算三个角中的某一个角的大小。
通过余弦定理，我们可以更加灵活地处理三角形相关的计算和分析。
余弦定理可以用于任意一个三角形，不仅限于直角三角形。
该定理的表达方式如下：在一个三角形中，设边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表述为：c² = a² + b² - 2ab * cosC （1）a² = b² + c² - 2bc * cosA （2）b² = a² + c² - 2ac * cosB （3）在这三个表达式中，c是第三边的长度，A、B、C是三个角的大小，a、b、c是对应的边长。
通过这三个方程，我们可以互相推导计算。
通过余弦定理，我们可以解决各种与三角形相关的问题。
首先，我们可以计算三角形的某个边的长度，只要已知其他两边的长度和夹角的大小即可。
其次，我们也可以计算三角形中某个角的大小，只要已知其他两条边的长度和这个角的对边即可。
在实际问题中，余弦定理经常被用来解决测量和计算问题。
例如，当我们需要测量一个不规则的三角形中的一条边时，可以利用余弦定理进行计算。
又或者，当我们需要计算两个天线之间的距离时，如果我们知道了两个天线之间的夹角，以及与这个夹角对应的两边长度，就可以利用余弦定理进行计算。
此外，余弦定理也常常与正弦定理结合使用。
这两个定理配合使用可以解决更为复杂的三角形问题，例如计算一个三角形的面积。
正弦定理可以用来计算三角形的面积，而余弦定理则可以用来计算三角形的边长和角度。
总结而言，余弦定理是解决三角形问题时非常有用的工具之一。
它可以应用于各种类型的三角形，并且可以计算三角形的边长和角度。
通过掌握和应用这个定理，我们可以更加方便地解决与三角形相关的计算和分析问题。
余弦定理公式
余弦定理公式
余弦定理公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc，cosA=邻边比斜边。
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个
边求角的问题。
1余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质：
a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA
b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB
c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC
cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2·a·b）
cosB=（a^2+c^2-b^2）/（2·a·c）
cosA=（c^2+b^2-a^2）/（2·b·c）
（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量
分析也会用到）
第一余弦定理（任意三角形射影定理）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。
第4课时——余弦定理(1)(教师版)
听课随笔1.2 余弦定理第1课时知识网络三角形中的向量关系→余弦定理学习要求1．掌握余弦定理及其证明；2．体会向量的工具性；3．能初步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)Acosbc2cba222⋅-+=，______________________，______________________.(2)变形：bc2acbAcos222-+=，___________________，___________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）_______________________________；（２）_______________________________．【精典范例】【例1】在ABC∆中，（1）已知3b=，1c=，060A=，求a；（2）已知4a=，5b=，6=c，求A（精确到00.1）．【解】点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】,A B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测182,CA m=126,CB m=63ACB∠=，求,A B两地之间的距离（精确到1m）．【解】【例3】用余弦定理证明：在ABC∆中，当C为锐角时，222a b c+>；当C为钝角时，222a b c+<．【证】点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．追踪训练一１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求a；（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（）Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形Ｃ．能组成钝角三角形Ｄ．不能组成三角形听课随笔３．在△ＡＢＣ中，已知222c ab b a =++，试求∠Ｃ的大小．４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？【选修延伸】【例4】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。
1.2 余弦定理(第1课时)
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
A.30 B.45 C.135
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
(1)在△ABC中，已知a 2 b 2 c 2 2ab，则角C （B ） D.150
(2)在△ABC中，B 60，b 2 ac，则△ABC是（ D ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
(3)若三角形的三边长的比 为5 : 7 : 8，则它的最大角和最小 角 的和是（ B ） A.90 B.120 C.135 D.150
(4)若△ABC的各边满足(a b) 2 c 2 4，且C 60，则ab的值为 4 2 （ A ）A. B.8 4 3 C.1 D. 3 3
Yanhui Jian
zhumuxiansheng@
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
21 (5)在△ABC中，若a 2，b 3，C 60，则sin A _________ 7
(6)在△ABC中，已知a 3，b 4，c 6，则bc cos A ca cos B 61 ab cosC的值为________ 2
即： BC b c
a a (b c) (b c)
2 2
b b ， bc b c cos A， c c2
a 2 b2 2bc cos A c 2即：a 2 b2 c 2 2bc cos A
余弦定理
课题 余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，＝43AB 123，或20 3.。
余弦定理 三角函数
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·c os Ab^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·c os Bc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cos Cc os C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)c os B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)c os A = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cos C＋c·cos B， b＝c·cos A＋a·cos C， c＝a·cos B＋b·cos A。
编辑本段余弦定理证明两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(pi/2-a)=cos(a)cos(pi/2-a)=sin(a)sin(pi/2+a)=cos(a)cos(pi/2+a)=-sin(a)sin(pi-a)=sin(a)cos(pi-a)=-cos(a)sin(pi+a)=-sin(a)cos(pi+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2。
余弦定理公式6个
余弦定理公式6个余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要工具。
它可以帮助我们计算未知的边长或角度，从而更好地理解和分析三角形。
1. 第一个余弦定理公式是用于计算三角形边长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：c = a + b - 2abcos(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知边长，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
2. 第二个余弦定理公式是用于计算三角形内角的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：cos(C) = (a + b - c) / 2ab。
这个公式可以帮助我们计算未知角度，只需要已知三个边长即可。
3. 第三个余弦定理公式是用于计算三角形面积的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：Area = 0.5 * ab * sin(C)。
这个公式可以帮助我们计算未知面积，只需要已知两个边长和它们之间的夹角即可。
4. 第四个余弦定理公式是用于判断三角形形状的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：c < a + b，如果等号成立，则表示三角形是直角三角形；如果等号不成立，则表示三角形是锐角三角形；如果等号反向成立，则表示三角形是钝角三角形。
5. 第五个余弦定理公式是用于计算三角形的高度的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，而对应的内角为A、B和C，则余弦定理可以表达为：h = b * sin(A)，其中h表示三角形的高度。
这个公式可以帮助我们计算未知高度，只需要已知一个边长和它对应的角度即可。
6. 第六个余弦定理公式是用于计算三角形的周长的公式。
若三角形的边长分别为a、b和c，则余弦定理可以表达为：Perimeter = a + b + c。
这个公式可以帮助我们计算未知周长，只需要已知三个边长即可。
综上所述，余弦定理提供了多种公式和方法来解决三角形中的边长和角度之间的关系。
余弦定理的十一种证明方法
余弦定理的十一种证明方法余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较经典的十一种证明方法，供大家参考！余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。
如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：c2＝a2＋b2－2ab cosCa2＝b2＋c2－2bc cosAb2＝c2＋a2－2c a cosB.【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD＝b cosC，AD＝b sinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
当C重合于D时，在Rt△ABC中，∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。
当C在D左侧时，△ABC为钝角三角形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝b cos(180°－C)＝－b cosC，AD＝b sin(180°－C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋AD2，即AB2＝(a－b cosC)2＋(b sinC)2＝a2－2ab cosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝a2－2ab cosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2ab cosC。
【证法2】将△ABC 的顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，如图4所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (b ，0)，B (a cosC ，a sinC)，C (0，0).由此得|AB|2＝(a cosC －b )2＋(a sinC －0)2＝a 2cos 2C －2ab cosC ＋b 2＋a 2sin 2C＝a 2＋b 2－2ab cosC ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。
解三角形余弦定理
解三角形 余弦定理1、余弦定理：在中，有，，C ∆AB 2222cos a b c bc =+-A 2222cos b a c ac =+-B ．2222cos c a b ab C =+-余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.2、余弦定理的推论：，，．222cos 2b c a bc +-A =222cos 2a c b ac +-B =222cos 2a b c C ab+-=3、设、、是的角、、的对边，则：①若，则a b c C ∆AB A B C 222a b c +=；90C = ②若，则；③若，则．222a b c +>90C < 222a b c +<90C > 余弦定理的应用范围：②知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A AB Ca b c A A B C ab c A∆是锐角三角形A B C 例题：1、在ABC 中，已知，，求b 及A .∆=a c 060=B 2、在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .3、在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝60°，解这个三角形.4、在ABC 中，若，求角A .∆222a b c bc =++1、在△ABC 中，，，，那么等于（）3a =b =2c =B ∠A 、30°B 、45°C 、60°D 、120°2、已知△ABC 的三边长，则△ABC 的面积为（ ）6,5,3===c b a A 、B 、C 、D 、14142151523、在△ABC 中，，则△ABC 是（ ）31,4a b c =-== A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形4．在△ABC 中， ，则A 等于（ ）222a b c bc =++ A ．60° B ．45° C ．120° D ．30°5．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ） A ． B ．－ C ． D ．－232314147．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝，则最大角的余弦值是1413________．8．在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝5，且cos C ＝，则BC ＝________．51099、在△ABC 中，，求及。