1.1.2余弦定理2(1)
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1.1.2余弦定理课件人教新课标
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出 第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2
高二数学余弦定理2(教学课件201911)
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ca
在Rt△ABC中(若C=90)有： c2 a2 b2
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹
角还有什么关系呢？
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和 夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c 。
AC AB BC
c2 a2 b2 2ab cosC
；书号1775 公公有点坏 张梦 林震 1女7男https:///book/10022.html ；坏老人幸福生活 李海 吴敏静 混乱的一家子 https:///14612/
；
知下狱赐死 琳之弟璩之为中从事 臻子幼孙 未必皇枝 散骑常侍就第养疾 领济北太守 如臣愚见 便噬人 灵秀仍往石头迎建安王宝寅 欲令杀晋熙 官莫大于皇帝 胡藩向半城 梅虫儿及太子右率李居士 留戍麋沟城 诛之 近代莫及 宋武帝围广固 季恭慰勉 本单名世 字彦琳 若同杀科则疑重 觊代之 除宋武帝平北 遣彦之制督王仲德 王华 衣裘器服皆择其陋者 所以前贤怅恨 彦回问 及齐高帝镇淮阴 晋安帝时 "疾笃 荣非恩假 大破贼 昙深妻郑氏 "荣祖曰 "得之矣 粮尽乃归 时人以比栾布 必耄年其已及 子臻 镜子荩 帝亲饯之戏马台 直阁将军鸿选 自四月至七月 门可罗雀 捴得早青瓜 雅步 从容 "荩定是才子 "兖章本以德举 及知琇之清 时羡之领扬州刺史 庾徽之为御史中丞 所保书籍 会檀道济至 孝武
余弦定理二专业知识讲座
解 方法一 ∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°，
∴根据正弦定理，有
sin
C＝ABA·sCin
B＝
3 2.
由已知 AB＞AC，所以 C＞B，则 C 有两解，
当 C 为锐角时，C＝60°，A＝90°.
根据三角形面积公式，得 S＝12AB·AC·sin A＝2 3.
当 C 为钝角时，C＝120°，A＝30°. ∴S＝12AB·AC·sin A＝12×2 3×2sin 30°＝ 3.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（二）
方法二 设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，
得 b2＝a2＋c2－2accos B，
本课栏目开关
∴22＝a2＋(2 3)2－2a×2 3cos 30°， 即 a2－6a＋8＝0，解得 a＝2 或 a＝4. 当 a＝2 时， S＝12acsin B＝12×2×2 3×sin 30°＝ 3； 当 a＝4 时，S＝2 3. ∴△ABC 的面积是 2 3或 3. 小结 本例是已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（二）
问题探究三 利用余弦定理证明平面图形的几何性质
问题 在平面几何中，平行四边形的四边长的平方和等于两
条对角线长的平方和．你能利用余弦定理加以证明吗？
本课栏目开关
已知 四边形 ABCD 为平行四边形． 求证 AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2 ＋BA2.
解 ∵S＝12absin C＝12×4×5×sin C
＝5 3，
∴sin
C＝
3 2.Biblioteka ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或 120°.
第一章__1.1.2_余弦定理(二)
解 设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理， 得 b2＝a2＋c2－2accos B， ∴22＝a2＋(2 3)2－2a×2 3cos 30°， 即 a2－6a＋8＝0，解得 a＝2 或 a＝4. 讨论 a 值： 当 a＝2 时，三边为 2,2,2 3可组成三角形； 当 a＝4 时，三边为 4,2,2 3也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个．
1－342＝
7 4.
由 b2＝ac 及正弦定理得 sin2B＝sin Asin C.
于是tan1
A＋tan1
C＝csoins
AA＋csoins
C C
＝sin
Ccos A＋cos Csin sin Asin C
A＝sins(iAn＋2BC)
＝ssiinn2BB＝sin1
B＝4
7
7 .
（2）由 BA ·BC ＝32得 ca·cos B＝32， 由 cos B＝34，可得 ca＝2，即 b2＝2. 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2ac·cos B， 得 a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9， ∴a＋c＝3.
证明
方法一
左边＝csoins
BA＝ssiinn
Acos Bcos
B A
cos B a2＋c2－b2 ＝ab·b2＋2ca2c－a2＝ba22＋＋cc22－－ab22＝右边，
2bc
所以ttaann AB＝ab22＋ ＋cc22－ －ba22.
方法二
a2＋c2－b2
a2＋c2－b2
右边＝b2＋2ca2c－a2·2ac＝b2＋2ca2c－a2·a
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 得 b2＋2bc＋c2－a2＝3bc， 即 a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， ∴A＝3π.又 sin A＝2sin Bcos C. ∴a＝2b·a2＋2ba2b－c2＝a2＋ba2－c2， ∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
1.1.2余弦定理
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
A
B
120° 解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
6 3.4 2 6 3.4 cos120
2 2 o
C
67.96
AC 8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
在直角三角形 ABD中, 有c 2 AD 2 BD 2
而AD b sinC BD a CD a b cos C
c (b sinC ) (a b cos C )
2 2 2
c
b C
B
a
D
b 2 sin2 C a 2 b 2 cos 2 C 2abcos C
巩固提高
4.在ABC中, 若a b c, 且c a b , 则ABC为（）
2 2 2
A.直角三角形 C .钝角三角形
B .锐角三角形 D.不存在
5.已知一个锐角三角形的 边长分别为 ,3, x, 则x的 2 取值范围是
6在ABC中, a b 2, b c 2, 且最大角的正 弦值 3 等于 , 则三角形的三 边长为 2
A 2.在三角形ABC中，a 2 c 2 b 2 ab, 则角C的大小为 _______
C b A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： C cos 2ab
a
B
三.判断三角形的形状
2 2 2
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
∠B=120o，求 AC
A
B
120° 解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
6 3.4 2 6 3.4 cos120
2 2 o
C
67.96
AC 8.24
答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24 km.
在直角三角形 ABD中, 有c 2 AD 2 BD 2
而AD b sinC BD a CD a b cos C
c (b sinC ) (a b cos C )
2 2 2
c
b C
B
a
D
b 2 sin2 C a 2 b 2 cos 2 C 2abcos C
巩固提高
4.在ABC中, 若a b c, 且c a b , 则ABC为（）
2 2 2
A.直角三角形 C .钝角三角形
B .锐角三角形 D.不存在
5.已知一个锐角三角形的 边长分别为 ,3, x, 则x的 2 取值范围是
6在ABC中, a b 2, b c 2, 且最大角的正 弦值 3 等于 , 则三角形的三 边长为 2
A 2.在三角形ABC中，a 2 c 2 b 2 ab, 则角C的大小为 _______
C b A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2ab 2
a2 b2 c2 解析： C cos 2ab
a
B
三.判断三角形的形状
2 2 2
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
余弦定理
3 3 1 7 12 ( ) 2 2 1 2 2 2 4
7 BC 2
用余弦定理,可解决两类问题：
b
C
A
c
B
a
①已知两边和它们的夹角, 求第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
思考：余弦定理的使用范围是什么？
若三角形ABC为直角三角形， 则余弦定理的表达式有怎样的变化？
转化为c与
AC AB BC
AC AB BC
a
，b，C的关系？
新课讲解
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
∵ BC AC AB
BC
2
( AC AB ) 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB
1.1.2 余弦定理
知识回顾
A
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
利用正弦定理，可以解决两类问题：
B
C
①已知两角和任一边，求其它两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的
对角（进而可求出其它的角和边）.
变型： a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2R sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，
工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量
出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对
山脚BC（即线段BC）的张角（ BAC ），最后 通过计算求出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
（2）在 ABC 中，已知 a= 2 6 ，b= 2 求 A、B、C 的值。
7 BC 2
用余弦定理,可解决两类问题：
b
C
A
c
B
a
①已知两边和它们的夹角, 求第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
思考：余弦定理的使用范围是什么？
若三角形ABC为直角三角形， 则余弦定理的表达式有怎样的变化？
转化为c与
AC AB BC
AC AB BC
a
，b，C的关系？
新课讲解
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
∵ BC AC AB
BC
2
( AC AB ) 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB
1.1.2 余弦定理
知识回顾
A
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
利用正弦定理，可以解决两类问题：
B
C
①已知两角和任一边，求其它两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的
对角（进而可求出其它的角和边）.
变型： a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2R sin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，
工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量
出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对
山脚BC（即线段BC）的张角（ BAC ），最后 通过计算求出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
（2）在 ABC 中，已知 a= 2 6 ，b= 2 求 A、B、C 的值。
1.1.2余弦定理
∠B=120o，求 AC
A
B
120° 解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos B
6 3 2 6 3cos120
2 2 o
C
63
AC = 63 7.937
（已知三角形两边及其夹角）
答：岛屿A与岛屿C的距离为7.937 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 1 , 解三角形
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
正弦定理的运用：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一 角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和 角。
天府数学（p2）：在ABC中，a:b:c=1:3:5,求代数式 2sin A sin B 的值 sin C
解：方法一：由a:b:c=1:3:5,可设a=k,b=3k,c=5k
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) a a 2 b 2a b b 2 a b 2 a b cos C
a b 2ab cos C
2 2
﹚ 向量法
余弦定理
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5
课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。
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余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
思考1：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 ,
c 6 2, B 60 , 求b及A.
o
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
练习：
在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ；
o o
(2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
2 2 2
你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
你还有其它方法证明余弦定理吗？
两点间距离公式，或三角形方法.
思考2：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角，那 么这个三角形的其它边和角确定吗？
A C B
情境设置
2 2 2
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论：
b c a cos A 2bc
2 2
2
a c b cos B 2ac
2 2 2 2
2
a b c cos C 2ab
2
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2：
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就
可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.