1.2 余弦定理(1)
2.1.2余弦定理课件ppt(
sin C＝c·sian A＝
6＋ 2
2·22＝ 2
6＋ 4
2，∴C＝75°，
由三角形内角和定理，得 B＝180°－75°－45°＝60°.
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当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得
sin C＝c·sian A＝
6－ 2·22＝ 22
6－ 4
2，
∴C＝15°，∴B＝180°－15°－45°＝120°.
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当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3.
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规律方法 已知三角形的两边与一角解三角形，必须 先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边 的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第 三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定 理建立一元二次方程，解方程求出第三边互动
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. ∴A＝90°，C＝60°. 法二 由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝323知本题有两 解．由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
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规律方法 已知三边解三角形的方法及注意事项： (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小． (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小； 由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角 对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确 定第三个角的大小． (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为 锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．
1_2余弦定理(1)
1.2余弦定理（1）（时间：）1.掌握余弦定理的内容；2.掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的证明及其应用.余弦定理的证明，余弦定理在解三角形时应用思路.读记教材交流问题1：余弦定理的内容是什么？问题2：怎么推导余弦定理？问题3：由余弦定理怎么判断角的大小？问题4：利用余弦定理能够解决斜三角形中的哪些类型问题？中，【例1】在ABC（1）已知3=b ，1=c ，︒=60A ，求a ；（2）已知654===c b a ，，，求A cos ，A tan ．【例2】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．： ：1．在ABC ∆中，（1）已知︒=60A ，4=b ，7=c ，求a ； （2）已知7=a ，5=b ，3=c ，求A ．2.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不是钝角三角形3.在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小．4.两游艇自某地同时出发，一艇以h km /10的速度向正北行驶，另一艇以8/km h 的速度向北偏东060方向行驶，问：经过30min ，两艇相距多远？一、填空题1．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ＝________.2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝______________.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．4．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B ＝____________.5．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状 为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．水平提升13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1.2余弦定理(一)答案作业设计1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°. 6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34. 7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .10．－23解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 13.3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
1.1.2余弦定理黑底白字
变式训练3 如图所示,在△ABC中,已知BC=15 4 3 AB:AC=7:8,sinB= , 求BC边上的高AD的长. 7
思悟升华
1.解斜三角形时,要注意将正弦定理与余弦定 理有机结合起来,要根据条件灵活选用正,余弦 定理. 2.要注意三角形中常见的结论: (1)A+B+C=π; (2)大边对大角,反之亦然; (3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
余弦定理习题
1.在△ABC中, 角B, C的对边分别是a ,b,c,则 下列等式不成立的是( A.a =b +c -2bccosA B.b =c +a -2acosB b +c -a C.cosA= 2bc 2 2 2 a +b +c D.cosC= 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2
)
2.已知△ABC满足B 60 , AB=3,AC= 7, BC的长等于( ) A.2 B.1 C.1或2 D.无解
3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .
3 4.在△ABC中, AB 2, BC 1, cos C , 4 则AC .
5.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角 形为 .
6.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大 角和sinC.
典例导语
类型一 例1 利用余弦定理解三角形 在 ABC中,已知b=3,c=2 3,A =30 ,
求边a, 角C和角B.
变式训练1 已知在 ABC中,a:b:c=2: 6:( 3+1), 求 ABC的各角度数.
类型二
判断三角形的形状
例2 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=2bc且 sinA=2sinBcosC,是确定△ABC的形状.
高二数学必修5第1章第 3课时学案
高二数学必修5第1章第 3课时学案
1.2余弦定理（一）
［学习目标］
掌握余弦定理及其证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．
［自学质疑］范围：课本P 13～15．
1．在直角三角形ABC 中，角A 是直角，三边长c b a ,,有什么关系？该结论对任意三角形也成立吗？
2．已知三角形ABC 中的1,3==c b 及角060=A ，这样的三角形唯一确定吗？画图试一试．你能利用学过的数学知识求出a 边长度吗？
3．已知三角形ABC 中的边长b 、c 及角A ，你能用类似的方法求出a 边吗？你能写出三角形ABC 中其它相类似的结论吗？余弦定理也可以写成怎样的形式？
4．尝试解决Ｐ14的例1、例2，并小结一下余弦定理可以解决哪些类型的三角形问题．
5．如果要求在例1（1）中，求出角B的大小，你能有几种方法？
6.尝试解决Ｐ14的例3,思考它与勾股定理的异同，并解决下列问题：
三角形三边长为：2，3，x；若三角形为
①为锐角三角形，求x的范围；②为钝角三角形，求x的范围
7.你能解决教材
P练习题吗？动动手有问题与同学或老师交流．
8
[矫正反馈]
1、习题
P练习题：1、3、4；习题1．2：3、7
16
2、导学练．。
1.2 余弦定理(第1课时)
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
A.30 B.45 C.135
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
(1)在△ABC中，已知a 2 b 2 c 2 2ab，则角C （B ） D.150
(2)在△ABC中，B 60，b 2 ac，则△ABC是（ D ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
(3)若三角形的三边长的比 为5 : 7 : 8，则它的最大角和最小 角 的和是（ B ） A.90 B.120 C.135 D.150
(4)若△ABC的各边满足(a b) 2 c 2 4，且C 60，则ab的值为 4 2 （ A ）A. B.8 4 3 C.1 D. 3 3
Yanhui Jian
zhumuxiansheng@
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
21 (5)在△ABC中，若a 2，b 3，C 60，则sin A _________ 7
(6)在△ABC中，已知a 3，b 4，c 6，则bc cos A ca cos B 61 ab cosC的值为________ 2
即： BC b c
a a (b c) (b c)
2 2
b b ， bc b c cos A， c c2
a 2 b2 2bc cos A c 2即：a 2 b2 c 2 2bc cos A
1.2 余弦定理(1)
余弦定理
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a = b + c − 2bc cos A 2 2 2 b = a + c − 2ac cos B 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C
)750
116 − 30 3 2
C
B
D
小结: 小结:
余弦定理： 余弦定理：
推论: 推论:
a = b + c − 2bccos A
2 2 2
b2 + c2 − a2 cos A = 2bc
Hale Waihona Puke 2 2 2c +a −b co s B = 2 2 2 b = a + c − 2accosB 2 ca
2 2 2
变式训练 1
在△ABC 中，边 a，b 的长是方程 x2－ ，
5x＋2＝0 的两个根，C＝60°，求边 c. ＋ ＝ 的两个根， ＝ ，
解 由题意：a＋b＝5，ab＝2. 2 2 2 2 2 由余弦定理得 c ＝a ＋b －2abcos C＝a ＋b －ab＝(a 2 2 ＋b) －3ab＝5 －3×2＝19.∴c＝ 19. b) 3ab 5 3 2 19. c
已知三边， 已知三边，求其余角
变式:在△ABC 中，已知 a=10, b=8, c=7, 变式: =10, 判断△ABC的形状 的形状. 判断△ABC的形状. 已知三边， 已知三边，判断三角形形状
练习、 练习、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断△ABC的 ABC中 a=4、b=5、c=6，判断△ABC的 形状. 形状.
人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理正弦定理》教案
课题内容
正弦定理
课型
复习课、新授课
课时
1课时
教学
目标
知识与技能
过程与方法
情感、态度价值观
学习正弦定理；复习二倍角公式，讲解习题
通过一起学习及复习前节课内容，让学生巩固二倍角公式及学习正弦定理
培养学生的抽象思维能力，养成良好的思维习惯
教学重点
与难点
重点：正弦定理及其应用。
难点：正弦定理及其应用。
教学方法
讲解法 问答法 集体教学法 练习法
使用教具
学情简析
学生的基础知识比较薄弱，要有所铺垫，由易到难，循序渐进。
教 学 过 程（内容不能少于150个字）
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
导
入
1、课堂常规
清点人数、师生问好
师生问好
准
备
部
分
一、复习二倍角公式
1、公式复习
2、练习讲解
3、巩固练习
1、以提问的方式让学生背出（或读出）4个公式；
记下作业要求
下ห้องสมุดไป่ตู้，养成教育
作业
布置
课作：课本第15页练习第1题；家作：
板书
设计
二倍角公式、正弦定理公式、例题、练习题
教学
后记
由于数学课一个星期只有一节，因此在上星期所学的内容下星期有可能就会忘记掉，因此在上课时需先复习下前面缩学知识，且学生基础一般，需尽量讲得简单。
授课教师：
示范与讲解
1、教师由直角三角形的正弦和余弦延伸到任意三角形的正弦、余弦。
2、讲解例题
3、出示练习题
5、讲解习题
1、认真听取并记住公式。
版高中数学 第一章 1.11.1.2 余弦定理 NO.1 课堂强化 新人教A版必修5
【创新方案】2013版高中数学 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理 NO.1 课堂强化 新人教A 版必修51．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：∵a >b >c ，∴C 为最小角．由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322×7×43＝32. ∴C ＝π6. 答案：B2．(2011·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2 3sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：根据正弦定理，由sin C ＝2 3sin B 可得c ＝2 3b ，把它代入a 2－b 2＝3bc得a 2－b 2＝6b 2.即a 2＝7b 2，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·2 3b ＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.答案：A3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( )A ．－14B.14 C ．－23 D.23解析：由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，不妨设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k ＞0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k 2＋k 2－k 22×3k ×2k ＝－14.答案：A4．在△ABC 中，b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2. ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 答案：345．(2012·济宁高二检测)△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．解析：当B 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c >b b 2>a 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x >4x 2<7. ∴1<x <7.当C 为钝角时⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，c 2>a 2＋b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4>x ，x 2>25.∴5<x <7.答案：1<x <7或5<x <76．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ，由余弦定理：AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°.即x 2－10x －96＝0.解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.。
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练习
（1）在ΔABC中，已知a 7,b 5,c 3，求A．
练习
（1）在ΔABC中，已知a 7,b 5,c 3，求A．
练习
（1）在ΔABC中，已知a 7,b 5,c 3，求A．
练习
（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）
A. 能组成直角三角形
B. 能组成锐角三角形
探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ca cosC a 2 b2 c 2
2ab
探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？
利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
高中数学 必修5
复习正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
应 用： 1. 两角和任意一边, 求其它两边和一角; 2.两角和其中一边对角, 求另一边的对
角，进而可求其它的边和角.
二、猜想命题，证明定理：
• 直角三角形中,设∠A=90°则有
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
C. 能组成钝角三角形
D. 不能组成三角形
练习
（3）在ABC中，已知a2 b2 ab c2, 试求C的大小．
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
例1
在ABC中， （1）已知b 3, c 1, A 60，求a; （2）已知a 7,b 10, c 6,求最大角的余弦．
例2
用余弦定理证明：在ABC中，当C为锐角时， a2 b2 c2；当C为钝角时，a2 b2 c2．